2023-2024学年江苏省南通市高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年江苏省南通市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知A(-U),8(3,1),C(l,3),则AABC的8C边上的高所在的直线的方程为()

A.x+y+2=0B.x+y=OC.x-y+2=0D.x-y=0

【正确答案】C

【分析】根据垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式方程求出.

【详解】边BC所在直线的斜率心C=⅛ςΙ=T,

二BC边上的高线斜率Z=L

又;BC边上的高线经过点4(-1,1),

.∙.2C边上的高线方程为y-l=x+l,即x—y+2=0.

故选：C.

2.当点尸在圆V+V=I上运动时，连接它与定点Q(3,0),线段PQ的中点M的轨迹方程是

()

A.(x+3)2+y2=lB.(X-3)2+∕=1

C.(2x-3)2+4/=1D.(2%+3)2+4y2=l

【正确答案】C

【分析】设出M,P的坐标，根据中点坐标关系用M的坐标表示出户的坐标，结合尸在圆上

得到〃的坐标所满足的关系式，即为M的轨迹方程.

【详解】设M(X,y),P(%,%),因为PQ的中点为M,

χ0+3

X=

2XQ=2x-3

所以，,所以

%+0y=2y

y=0

2

又因为P在圆/+丁=1上，所以(2x-3)2+4y2=l,

所以M的轨迹方程即为(2x-3『+4)2=1,

故选：C.

v-2v23

3.设椭圆C:]+方=l(a>6>0)的左、右焦点分别为,F1,尸为直线X=Ia上一点，

・•.£PFl是底角为30。的等腰三角形，则椭圆C的离心率为()

A.2B.ɪC.—D.-

3224

【正确答案】D

【分析】由鸟P耳是底角为30。的等腰三角形，把I"I=EEl用。，c表示出来后可求得离心

率.

o

【详解】解：由题意可得I尸如I=|耳闻,6(c,0),如图，ΛPFlF2=ZFlPF2=30,则NPEE=60。，

ZF2PE=30°,

4.已知双曲线¥-5=1(。>04>0)的一条渐近线过点(6,2),且双曲线的一个焦点在抛

物线∕=4√7y的准线上，则双曲线的方程为()

【正确答案】C

【分析】由题意可得渐近线的斜率，即为4,人的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c,

由4,6,C的关系，解方程可得a,b,进而得到所求双曲线的方程.

【详解】解：双曲线∖-∕=l(α>0,6>0)的一条渐近线过点(6,2),

可得渐近线的斜率为k=自木,

双曲线的一个焦点在抛物线X2=4√7y的准线y=-近上，

可得C=V7，

即。2+/=7,

解得a=2fh=y∕3f

则双曲线的方程为：ɪ--=1.

43

故选C.

本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解

题的关键，属于基础题.

5.在数列｛q｝中，4=20,4=α,ι-3"≥2"wN*,则数列｛4,｝的前〃项和取最大值时，n

的值是（）

A.7B.8C.9D.10

【正确答案】A

【分析】由已知得4-0T=-3,根据等差数列的定义得数列｛%｝是以20为首项，以-3为

公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得见，令4≥0,求解即可.

【详解】解：由q,=",ι-3得4-4τ=-3,又因为α,=20,所以数列｛5｝是以20为首项，

以-3为公差的等差数列，

所以％=20-3（〃-1）=—3〃+23,

令q,=-3"23≥0,解得：n≤y,又〃∈N*,所以数列｛%｝的前〃项和取最大值时，〃的

值是7,

故选：A.

6.已知等比数列｛q｝的前〃项和为S“，若4>0,公比4>1,a,+a5=20,¾¾=64,则Sf=

（）

A.31B.36C.48D.63

【正确答案】D

【分析】根据等比中项的性质可得a2ah=%%=64,解方程即可得数列中的项，进而可得首

项与公比，求得用.

【详解】由等比中项的性质得4%=%%=64,

又见+为=20,

I或a=∖6

解得3

a5=4

«=4

当3时,4=2或4=-2(舍),

%=16

此时4=1,

l×(l-26)

所以S4。二，)=63

O1-

Jq1-2

故选：D.

7.若函数/(司="-Inx在区间(1,+∞)上单调递增，则实数Z的取值范围是

A.(-∞,-2]B.(-∞,-i]C.[2,÷<X))D.[l,+∞)

【正确答案】D

【详解】试题分析：厂门=A-L•••函数/(X)=丘-InX在区间(1,÷∞)单调递增,

X

.∙.f'lx∣20在区间(l,+∞)上恒成立..∙∙4NL,而I=L在区间(1，+∞)上单调递减,

XX

∙∙∙"±L的取值范围是[l,+∞)∙故选D.

利用导数研究函数的单调性.

/、,、S2〃U

8.设等差数列｛叫，也｝的前〃项和分别是S7；,若寸=丁=，则1-T=()

in+/%

A.1B.ɪC.—D.-

11178

【正确答案】B

【分析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可

【详解】因为等差数列｛4｝,也｝的前”项和分别是S7；,

4+%5(α∣+6)

所以今=^⅛^ɪ

5(4+4)T515+7H

22

故选：B

二、多选题

9.已知双曲线。：£-营=1（。＞0乃＞0）的左右焦点分别为B,F2,右顶点为A,M为OA的

中点，P为双曲线C右支上一点且尸心，耳心，且tanN尸耳玛=（,则（）

A.C的离心率为2B.C的渐近线方程为x±6y=0

I3

C.PM平分NnPEiD.PA=-PF,+^PF2

【正确答案】ACD

3

【分析】在直角三角形PG为中，利用tanNPf；K=Z列出关于小从C的齐次式求出离心率,

从而判断A；根据离心率求出渐近线方程，从而判断B；根据耦、盟是否相等即可判

断PM是否平分/KP居，从而判断C；根据|入山、田国的比例关系，利用平面向量的线性

运算即可表示用PTP玛表示PA，从而判断D.

【详解】由「工，KK可知IP周=J,

£

由tan/P冗F,=熠=2=互∙=3得，3ac=2bL

∖FlF2∖2C2ac4

即3αc=2卜--,BP2e2-3e-2=0＞即（2e+l）（e-2）=0,，e=2,故A正确;

双曲线渐近线为y=±√Ix故B错误:

由£=2nc=2a,b=#)a-

a

则IPq='=至=3α,∣P耳ITP闾=2αn∣P周=5α,

aa

.I明=5J5

,,i

∖PF2∖~3a~3

5a

∙.∙∣KM=c+g=2α+g=留，I月MI=C-4=2而0=网，.∙.陷=2=2,

111,21

222222∖F2M∖3。3

T

IPFIEM5

・•・胎=∖曾∖=1，・••根据角平分线的性质可知PM平分/KP巴，故C正确;

∖PF2∖∖F2M∖3

∣∕^A∣=c-a=2a-a=a,∖FlF2∖=2c=4a,

1110

PA=PF2+F2A=PF2+-F2Ft=PF2+-^PFt-PF2)=-PFl+-PF2,故D正确;

故选：ACD.

本题主要考查与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a、b、C的齐次式

求离心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察了向量的线性运算，解题时需数形结合,

合理运用图形的几何关系.

1∏γ

10.对于函数/(*)=也，下列说法正确的有()

X

A.f(χ)在X=e处取得极大值-B./(χ)在X=e处取得最大值-

ee

C./(χ)有两个不同零点D./(2)<∕(π)<∕(3)

【正确答案】ABD

【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值和最值即可判断A、B,令函数等于0,求出

零点即可判断C,利用函数单调性即可判断D.

【详解】函数的导数/U)=上坐,(x>0),

x^

令f'(x)=0得x=e,

则当O<x<e时，∕V)>O,函数Oχ)为增函数,

当x>e时，/(无)<0,函数/(χ)为减函数，

则当X=e时，函数取得极大值，极大值为/(e)=1，

e

故A正确，

由上述可知当x=e时，函数的极大值即为最大值，且最大值为/(e)=

e

故B正确，

由/(x)=0,得InX=O,得χ=l,即函数/(x)只有一个零点，

故C错误，

由"2)=j4)F=Z-=T

所以f(2)=∕(4),

由x>e时，函数/O)为减函数,知"3)>∕(2>"4)="2),

故"2)<∕(π)<"3)成立，

故D正确.

故选：ABD.

H.己知％,出,%,出依次成等比数列，且公比q不为i∙将此数列删去一个数后得到的

数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的值是()

ʌI+^5r—1+>/5r,l+旧r.—1+∙75

2222

【正确答案】AB

【分析】因为公比。不为1,所以不能删去％,出，分类讨论，结合等差数列的性质及等比

的通项公式，即可得到答案.

【详解】公比q不为1,删去的不是％与4，

当删去的是的时：

«1,«3，为成等差数列，∙∙∙2q=4+α∙1,即2qq2="∣+4",

则(l-∕)+(g'-/)=O,即(q-l)(g2-g-l)=O,又q≠l,解得q="6或gJS(舍)；

22

当删去的是％时:

3

al,a2,%成等差数列，二四=q+4，BP2axq=ax+aγq9

贝IJ(I_g)+(/_g)=O,即(g-l)(d+g—])=O,又q≠],解得夕=2^__!或g=_也+∣(舍)，

22

综上,q=年或q=殍,

故选:AB.

12.下列不等式正确的是()

A.当XeR时，ex>x+1B.当x>0时，lnx≤x-l

C.当Xe/?时，e*≥exD.当XeR时，x2SinX

【正确答案】ABC

构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.

【详解】对于A：设/(x)=e'-x-l,则r*)=e-l,令1(X)=0,解得X=0,

当xe(-∞,O)时函数单调递减，当x∈(0,+∞)时，函数单调递增，

所以函数在X=O时，函数取得最小值/(x),,M=∕(0)=0,故当XeR时，e∖.x+∖,故A正确；

对于B：设/(x)=InX-X+1,所以/'(X)=L-I=±二D,

XX

令/'(X)=O,解得x=l,当Xe(O4)时，函数单调递增，当x∈(l,+8)时，函数单调递减，

所以在X=I时，f(x)ιmx=f(1)=0,故当x>0时，皿,x-l恒成立，故B正确；

对于C^f(x)=ex-ex,所以/'(x)=∕-e,令广。)=0,解得x=l,当x∈(-∞,l)时,函

数单调递减，当xe(l,+8)时，函数单调递增，

x

所以当x=l时，/(χ)m,n=/(1)=0,所以当XeR时，e..ex,故C正确；

对于D：设函数/(x)=x-sinx,则f'(x)=l-cosx..O,所以/5)是定义在R上单调递增的

奇函数，

所以x>0时，x..Sinx成立，x<0时，/(x)<0,故D错误.

故选：ABC

三、填空题

13.观察数列1,ln2,sin3,4,ln5,sin6,7,ln8,sin9,…,则该数列的第11项等

于_____

【正确答案】Inll

【分析】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节,

依次出现常数，对数，正弦的形式，从而得解.

【详解】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节,

依次出现常数，对数，正弦的形式，

由11=3x3+2,所以该数列的第11项为Inll.

故Inll.

14.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.

【正确答案】9

【详解】试题分析.知+1=10=X.”=9

抛物线的定义.

【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的

点到准线的距离.解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到V轴的距离.

15.已知圆C过点(1,0),(0,√5),(-3,0),则圆C的方程为一.

【正确答案】x2+y2+2x-3=0

【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可.

【详解】根据题意，设圆的方程为/+/+瓜+或，+尸=()

又由圆C过点(1,0),(0,6),(-3,0),

'∖+D+F=O

则有<3+石E+尸=0,

9-30+F=O

解可得D=2,E=Q,F=—3,

即圆的方程为：x2+y2+2x-3=0,

故答案为./+y2+2χ-3=0

16.设函数尸(x)是奇函数〃X)(XeR)的导函数./(-1)=0,当x>0时,V^,(x)-∕(x)<0,

则使得/(x)<O成立的X的取值范围为.

【正确答案】(T,0)u(l,+8)

【分析】构造函数g(x)=乌，求解单调性与奇偶性，再结合g(χ),X的正负求解.

【详解】令g(x)=以立，当x>0时，g'(χ)=丁“卜)一/、(“<0,

所以函数g(x)在(0,+8)上为减函数，

又因为/(χ)为奇函数，g(x)的定义域为(-8,o)u(o,4∞),

所以g(-)="2=∑23=g(χ),

~X-X

所以g(χ)为偶函数，得g(χ)在(y,0)上为增函数，

因为/(T)=O,所以g⑴=g(τ)=o,

作出g(χ)的大致图象如图所示，

当/(x)<0,x>0时，g(x)<O,得x∈(l,+∞),

当/(x)<0,x<0时，g(x)>O,得x∈(T,0)

所以X的取值范围为(-1,0)=(1,内)

故(一l,0)u(l,+∞)

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多

问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

四、解答题

17.已知函数〃X)=Sinr-ox+b(«,b∈R)的图象在点(0,”0))处的切线方程为y=l.

(1)实数α的值；

(2)求函数”x)在区间［0用上的最大值和最小值.

【正确答案】(1)1；

⑵最大值为江最小值为sinl-1+瓦

【分析】(1)直接利用导数的几何意义求出m

(2)先利用导数判断单调性，求出最值.

【详解】(1)因为函数y(x)=sinr-tυc+b,则f'(X)=COsr-α.

所以f'(0)=COSo-α=l-α.

又函数/(x)的图象在点(0,Λ0)处的切线方程为y=l,

所以/'⑼=>α=0,解得∙a=l

(2)由(1)知，/(x)=sinx-X+⅛,∕,(x)=∞sr-l.

在xe［0,l］时，有r(x)=cc≡-l≤O,所以函数人X)在区间［0,1］上单减，

所以/(x)ITOX="0)=6,f(x)min=∕(l)=sinl-l+⅛.

18.已知｛α,J是各项均为正数的等比数列，q=2,4=2为+16.

(1)求｛α,J的通项公式；

(2)设々fog?%,求数列也J的前"项和.

22

【正确答案】(1)¾=2"^';(2)Sll=n.

【分析】(1)本题首先可以根据数列｛为｝是等比数列将由转化为％/,%转化为a∣q,再然后

将其带入％=2%+16中，并根据数列｛%｝是各项均为正数以及4=2即可通过运算得出结

果；

(2)本题可以通过数列｛%｝的通项公式以及对数的相关性质计算出数列｛〃,｝的通项公式，再

通过数列也｝的通项公式得知数列也｝是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结

果.

【详解】(1)因为数列｛%｝是各项均为正数的等比数列，4=24+16,4=2,

22

所以令数列｛4｝的公比为4，a3=a,q=2q,々=44=24，

所以2∕=4q+16,解得q=-2(舍去)或4,

2

所以数列｛4｝是首项为2、公比为4的等比数列，all=2×4"-'=2"-'.

(2)因为a=log2∕,所以粼=2"-l,d+∣=2"+l,b”=2,

所以数列｛〃,｝是首项为1、公差为2的等差数列，S"=『？"∏2.

本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数

列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.

19.已知抛物线Uy?=©的焦点为F,点P(4,0).

(1)设。是抛物线C上的动点，求IPQl的最小值；

(2)过点尸的直线/与抛物线C交于M、N两点，若.FMN的面积为66,求直线/的方程.

【正确答案】(1)26

⑵x±y-4=0

【分析】(1)设Q(X,)，)，由两点间距离公式得IPQI=J(X-2尸+12,利用二次函数的性质可

得结果；

(2)设直线/：X=Wy+4,与抛物线方程联立，结合韦达定理与一月WN面积的表达式求解即

可.

【详解】(1)设Q(xy),则IPQI=J(X-4)2+V=J(X-4>+4X=J(X-2α+12,

当x=2时，∣Pβ∣min=2√3.

(2)设直线/"=my+4,M(xt,y,),N(X2,%),焦点厂(1,0).

IX—my+4

联立J)2=4χ，消去X得V-4/My-16=0,

.∙.yl+y2=4m,yly2=-16.

•■∙SWFMN=∣∣ff∣¼.-Λ∣=IJ(M+%)2-4*>2=∣√(4∕M)2+64=6√TO2+4=6√5,

.∙.∕72=±1,

，直线/的方程为：χ±y-4=0.

22

20.已知点A(2,l)在双曲线C:与一一=l(α>l)±.

Cra~

(1)求双曲线的方程；

(2)是否存在过点P，,一；)的直线/与双曲线相交于48两点，且满足P是线段AB的中点？

若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

【正确答案】⑴E-V=I

2

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)代入点42,1)的坐标，解方程可得。的值，即可得双曲线方程；

(2)假设存在，设过的直线方程为：y=k(x-l)~,A,8两点的坐标为(为，乂)，

(刍，%),代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可

得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断.

22

【详解】(1)解：已知点A(2,l)在双曲线=上

a'矿一1

所以‘一工=1,整理得：/-4/+4=0,解得：a2=2,则4=0

aa`--l

所以双曲线方程为∙5-V=I

(2)解：由题可知若直线存在则直线/的斜率存在，故设直线/的方程为：y=⅛U-l)-∣

且设交点Aa，%)，8区,%)

则12，两式相间得：(Xl-W)(X+w)=2(y∣-%)(%+%)

i^"=∣

由于尸卜，总为AB中点,则占+W=2,X+%=T

贝Ij%=’——=-1

即有直线/的方程：y=-U-l)-∣,^y=-x+L

1

产…万，

<=>2x~-4Λ,+5=0

尸2-1

~γ~y=

检验判别式为A=(-4『-4×2×5=-24<0,方程无实根.

故不存在过点的直线/与该双曲线相交A,8两点，且满足尸是线段AB的中点.

21.设S“为等差数列｛/｝的前"项和，已知％=9,S5=25.

(1)求数列｛a,｝的通项公式；

(2)记2=-1—,7,为数列也,｝的前“项和，求力,的取值范围.

44+1

【正确答案】⑴q=2〃-l(〃wN*)

1

2)3-

【分析】(1)利用等差数列通项公式及前"项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即

可；

(2)先求出数列也J的通项公式，然后利用裂项相减法求和，在根据数列的单调性求出(的

取值范围.

【详解】(1)等差数列｛&｝中,,¾=9,S5=25,

q+4d=9

•••、5x4」《，

5q+~~~-d—25

解得4=1,d=2,

:.anEN)

(2)么=」一，

,h=1=I(I______

一,I-^(2H-1)(2H÷1)-2V2n-l^2n+l),

-2(1-2n+l)-2n+l,

n_1

由于诉T=口为递增数列，

Zπ---

n

1n11

〃=1时，取得最小值9且2〃+1一2，

3」十一

n

呜≤τ<g,

^11、

故7；的取值范围为.

3Δ)

22.已知函数/(x)=InX+gαr2-(α+l)x(αeR).

(1)当α=2时，求函数y=∕(x)的极值；

⑵求当α>O时,函数y=ʃ(ɪ)在区间U,e］上的最小值0(。)；

2

(3)若关于X的方程ʃ(ɪ)=^ox有两个不同实根χ,,χ2,求实数”的取值范围并证明：

2

x1∙x2>e.

【正确答案】⑴极大值为一心?极小值为-2

121

1+一〃e—（α+l）e,0<0≤-

2e

11

⑵Qm）=,-InQ--------11,—<«<11

2ae

-Q-La≥1

2

(3)T<“<'-l,证明见解析

e

【分析】(1)求导，根据函数的单调性和极值的概念即可得到结果；

(2)由函数/(X)的定义域是(0,+8),分为a>O,O<L≤l,l<,<e和j≥e四种情况，进行

aaa

分类讨论即可求出结果；

(3)根据题意和函数的单调性，结合函数的图象可知，当-l<α<J-l时，"x)=!0χ2有

e2

lnxlx2_x1+x2

两个不同实根%W,满足ln%=(α+l)%,Inx2=(o+l)w,两式化简得到∣n⅛/-

ɪ.

不妨设内<%，利用分析证明法和换元法即可证明结果.

【详解】(1)当α=2时，函数F(X)=InX+f-3χ(χ>0).

(2)()

∕∖x)=1+2x-3='——,

XX

令f'(X)=0,得X=I或X=；

当XW(Os)时，∕,(x)>0,/(χ)在(0,；)上单调递增，

当xe(g,l)时，∕,(x)<0,/(χ)在(；,1)上单调递减，

当x∈(l,+8)时，∕,(x)>0,/(χ)在(1,内))上单调递增，

则/(χ)在尤=g处取得极大值，在X=1处取得极小值.

极大值为∕g)=-ln2-j,极小值为/(1)=-2.

(2)函数/(x)的定义域是［Le］,

Ia(x—)(x-1)

ff(x)=-+ax-(a+l)=----------------(α>0)'

XX

当。〉0时，令/'0)=0有两个解，％=1或x='∙

a

当0<。4!，即工≥e时，<(x)≤0,.∙.f(x)在口,e］上单调递减，

ea

.∙.∕U)在U,e］上的最小值是/(e)=l÷∣6ze2-(a+l)e,

当!<α<1,即1<L<e时•，

ea