河北省邯郸市2022-2023学年高一年级下册期末质量检测数学试题（解析版）

河北省邯郸市2022-2023学年高一下学期期末质量检测

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若复数Z满足（2+Dz=l+i,则复数Z的虚部是（）

1CI.

A.ɪB.----C.ɪiD.——1

5555

K答案UA

ɪ1+i(+i)(2-i),2-i+2i-i231.

K解析Rɪ=-^7=----------5-----=—I—i，

2÷ι(2+i)(2-i)^4-i255

复数Z的故虚部为1.

故选：A

2.已知两条不同的直线/,用与两个不同的平面风/?,则下列说法正确的是（）

A.若IHa,aβ=m,则〃/加

B.若且〃则C4

C.若∕uα,机Ua,则直线/与加是异面直线

D.若α〃/?,∕uα,mu尸，则直线/与用是异面直线

K答案HB

K解析》若〃α∕,aΓ∖β=m,贝I"与加平行或异面，A错；

若且〃/，则尸内有垂直于α的直线，故α∙L∕?,B正确；

若∕ul,mya,则直线/与用是相交，平行或异面直线，C错；

"a/甲，lua,muβ,则直线/与加平行或异面，D错.

故选：B

3.已知”=（-1,3）,b=（l,2）,则向量α在向量&上的投影向量为（）

1r1

A.—bB.—hC.bD.ɔA

32w

K答案WC

K解析?因为“=(-1,3)，/?=(!,2).

所以“出=一1+3乂2=5,忖2=（‘尸+22『=5,

α在b上的投影向量为MCOS（a®K=W.第.＞繇包=|』.

∖b∖∖a∖∖b∖∖b∖\^\5

故选：C

4.为了解不同年级男、女学生对食堂饭菜的满意程度，某中学采用按比例分配的分层随机

抽样的方法从高一、高二、高三年级的所有学生中抽取样本进行调查.该中学高一、高二、高

三年级学生的比例与高一男、女生人数如图所示，若抽取的样本中有高一男生140人，则样

本容量为（）

A.500B.600C.700D.800

K答案HC

R解析Il由柱状图可知，高一男生500人，女生400人，总共900人，

若抽取的样本中有高一男生140人，则抽取的高一总人数为1芸40x900=252人，

又因为高一占总人数比例为36%,

则抽取的总人数为252÷36%=700人，

即样本容量为700.

故选：C

5.“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持

续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象.根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅

4

时节每天下雨的概率为1.假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续两天中至少

有一天下雨的概率为（）

24„16-8-4

A.B.—C.—D.—

25252525

R答案》A

4

R解析11因为长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为三，且每天是否下雨互不影

响，所以该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为:

故选：A

6.在dSC中，NA=90。，AB=AC=4,点M,N分别为边AB,AC上的动点,且MTV=2,

点。为斜边BC的中点，则儿〃>的最小值为()

A.0B.4C.4-2√2D.8-4√2

R答案HD

K解析》以A3,AC所在直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系，

则0(2,2),设M(zn,0),

因为MN=2,则0≤m≤2,且AN=h后,故为(0,"一加卜

则MD-ND=8-4cos。一4sin。=8-4&sinθ+-

\4J

Tt,π∣^π3π^∣.（.兀）V∑,

因为Ge0,-,所以。-I—∈—,—>sinθ—∈—,1

24[44」I4J2

故Mr)∙ND=8一sin(9+：J∈[8一40,4],

TT

所以Λ√∕aND的最小值为8-4√2,当且仅当θ=工时取得.

4

故选：D

7.武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学

兴趣小组为了测量其高度AB，在地面上共线的三点C,D，石处分别测得点A的仰角

为30°,45°,60°,且8=DE=22m,则武灵丛台的高度AB约为()

（参考数据：√6≈2,449）

A

A.22mB.27mC.30mD.33m

K答案HB

K解析》由题知，设AB=X,

则BC=——=√3x,BD=---=x,BE=X=—

tan300tan45otan60o3

又CD=DE=22m,

所以在A3EC中，CoSNBEC=BE二ECHCI=3------后-------,①

2BEEC2X√3XX44

3

BE2+ED2-BD2_尸F2?--

在AδDE中，COSNBEC=,②

2BEED2×^x×22

3

联立①②，解得X=26,939a27∙

故选：B

8.如图，有质地均匀的正四面体、正六面体和正八面体骰子各一个.首先抛掷正六面体骰子,

向上的点数记为".若。为奇数，则再抛掷正四面体骰子；若"为偶数，则再抛掷正八面体骰

子，记第二次向下的点数为K设事件As≤2;事件B:b=4；事件C:b=5；事件

。：。+匕=7：事件E:ɑ-匕=2,则下列说法错送的是（）

A.C与石为互斥事件B.A与"相互独立

C.D与E为互斥事件D.A与。相互独立

K答案2D

R解析2样本空间为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4).

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4):

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(6,7),(6,8).

事件A包含的基本事件为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8).

事件B包含的基本事件为：(1,4),(2,4).(3,4),(4,4).(5,4),(6,4).

事件C包含的基本事件为：(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5).

事件。包含的基本事件为：(3,4),(5,2),(2,5),(4,3),(6,1).

事件E包含的基本事件为:(3,1),(5,3),(4,2),(6,4)-

C与石为互斥事件，A选项正确.

B选项，P(A)=HP(B)=系

ɔoɔɔθO

事件A3包含的基本事件为：(1,4),(2,4),

21

所以尸(AB)=/=正=尸(A)P伊),

ɔoIo

所以A与，相互独立，B选项正确.

。与石为互斥事件，C选项正确.

D选项，P(Γ>)=2,

36

事件AO包含的基本事件为：(2,5),

所以P(AD)=P(A)P(D),

36

所以A与。不是相互独立事件，D选项错误.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下图为2022年2月至2023年2月建筑业和服务业的商务活动指数，该指数等于50%反

映该行业经济与上月比较无变化，大于50%反映该行业经济比上月总体上升，小于50%反映

该行业经济比上月总体下降，则下列说法正确的是（）

建筑业商务活动指数

服务业商务活动指数

A.2022年9月至12月服务业经济持续下降

B.2022年9月至12月建筑业经济持续下降

C.2022年5月建筑业经济上升幅度最小

D.2023年2月服务业经济上升幅度最大

R答案2ACD

K解析IIA选项，根据服务业商务活动指数图象可知，

2022年9月至12月服务业经济持续下降，所以A选项正确.

B选项，根据建筑业商务活动指数图象可知，

2022年9月至12月服务业经济持续上升，所以B选项错误.

C选项，根据建筑业商务活动指数图象可知，

2022年5月建筑业经济上升幅度最小，所以C选项正确.

D选项，根据服务业商务活动指数图象可知，

2023年2月服务业经济上升幅度最大，所以D选项正确.

故选：ACD

10.对于非零复数Z∣,Z2,下列结论正确的是()

A.若ZI和Z2互为共辗复数，则Z∣Z2为实数

B.若Zl为纯虚数，则㈤2=z：

C.若㈤=%|,则％=Z2

D.若肉+2-i∣=l,则㈤的最大值为6+1

K答案HAD

K解析H设z∣=α+历,(α,beR)且不同时为0,

对于A,若ZI和Z2互为共轨复数，则Z2=α-万，

故ZV="为实数，故A正确；

对于B,若Zl为纯虚数，则z∣=0i(b二0),

∣z∣∣^=b2,z^=-b2≠∣z∣∣2>故B错误；

对于C,若Z]=1+Gi,z∣=G+i,则㈤=2=闫，故C错误；

对于D,设N2=x+M,(x,ywR)且x,y不同时为0,

则肉+2-4=,+2-(。-1川=1(」+2)2+-1)2=1,

所以(x+2p+(y-l)2=l,

所以复数Z2在复平面内对应的点Z2(x,y)的轨迹为以(一2,1)为圆心，1为半径的圆,

∣Z2∣=Jf+y2表示圆(x+2)2+(y-l)2=l上的点(χ,y)到原点(0,0)的距离，

原点(0,0)到圆心(-2,1)的距离为√4TT=√5，

所以点(x,y)到原点(。,0)的距离的最大值为√5+l，

即∣Z2∣的最大值为逐+1,故D正确.

故选：AD.

兀

11.在ABC中，角A,B,C的对边分别为α,b,c,且b=4,A=-,则下列说法正确

6

的是（）

A.若α≥4,则1钻。有两组解

B.若2<α<4,贝IJABC有两组解

C.若“A3C为锐角三角形，则2G<c<九3

3

D.若,.ABC为等腰三角形，则c=4或46

K答案DBC

K解析XA选项，∙.∙αNb,.∙.“ABC有一解，故A错误；

B选项，∙.∙0sinΛ<α<0,2<α<4,，”WC有两解,故B正确；

C选项，•；，43。为锐角三角形，.∙.反OSA<。<上>即2λΛ<c<述，故C正确;

CoSA3

D选项，YABC为等腰三角形，则b=c=4或C=Q或α=b=4,

当c=α,则A=C=工,B='，故16=c?+c2-2xcxcχ[-L],得C=延；

63I2）3

当a=b=4,贝!∣A=B=',C=如，故c?=/+∕j2—2α∕jχ（-■!=48,得c=46，

63I2）、

综上，c=4或C=Wl或C=4√5,故D错误.

3

故选：BC

12.在棱长为4的正方体ABeD—44GA中，动点P在正方形AMGA（包括边界）内

运动，且满足BP〃平面ARC,则下列结论正确的是（）

A.线段gP长度的最小值为2行

B.三棱锥A-PgC的体积为定值

C.异面直线5P与AC所成角正弦值的取值范围为(θ,;

D.若动点M在线段BC上，则线段RW长度的最小值为逑

3

K答案》ABD

K解析》对于A,如下图所示,

连接4C∣,AB,BG,AA,AC,

易得BCJ∕AD∣,BC∣Z平面ARC,所以BC∣//平面ARC,

同理，BAt//平面4RC,又B4∣CBG=B,所以平面BAG//平面4RC,

又平面BAtClC平面A1B1CD1=AG，，故可知动点尸在线段AG上，

则耳PlaG时，线段用P长度的最小，此时P是AG的中点，易求4P=20,

所以A正确；

对于B,P∈AG,AG//平面ABC,故点尸到平面44C的距离为定值，

又VAAC的面积也为定值，则Lrsc为定值，即三棱锥A-PAC＞的体积为定值,

所以B正确；

对于C,因为AC//4G,直线BP与AC1所成角即为异面直线BP与AC所成角，

又VABG为等边三角形，当P位于4G的中点时，BPLAiCi,

即直线BP与AG所成角为90'，其正弦值为LlW(O,；］,故C错误；

对于D,由题意，异面直线4G与BC之间的距离，即为线段PM长度的最小值，

连接A。,r>C1,BlC∕∕AlP,BC<Z平面AiDCl,

D∣

故BxCH平面AOG,则异面直线AG与BC之间的距离

即为BC到平面a。G距离，即点用到平面a。G距离，设为九

v

又VBLADG=D-AlBlCl,即§X∕?XS.AQG=§XDDlXSAB©，

即Jχ∕ιχ8百=Jχ4χ8,则Zz=迪，D正确.

333

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在.45C中，角A,B,C所对的边分别为α,b,c,若b=2,8=45°,4=105°,

贝IJc=.

K答案H√2

K解析H由三角形内角和定理，可得C=180-A-3=30，

b2

由正弦定理一-可得

SinCSinBsin30sin45

c="=&

解得422

2

故K答案H为：√2∙

14.已知非零向量满足W=2忖=1,且a_L(a+。)，则α与力的夹角为.

K答案》”

3

K解析D因为a_L(a+b),所以α∙(α+6)=α~+α∙6=0,

又忖=2忖=1,所以a∙b=-a~=_：,

ɪ

所以CoS(a,8)=芹[=74-=_:,

'/棉∣×ι2

因为(a,h)∈[0,τr],所以(a,"=g.

2兀

故K答案H为：—

3

15.已知某圆台的高为4,母线长为5,侧面积为45π,则该圆台的体积为.

K答案X84π

K解析H设圆台上下底面圆的半径分别为厂,R.

则母线，高，R-r构成一个直角三角形，母线为斜边5,高为直角边4，

由勾股定理得到R-r=3,即R=3+r.

圆台的侧面积公式＞¾=7r(r+R)∕=5兀(厂+「+3)=45兀，

所以尸=3,R=3+r=6,

所以圆台的体积为：V=∣π∕7(r2+r^+^2)=∣π(9+36+18)=84π.

故K答案H为：84π.

16.在ABC中，AB=BC=5,。为AC的中点，AD=3,沿3。将zλBCD折起.当

AC=3时，三棱锥。一ABO的外接球半径为；当AC=3板，且AE=2ED时，

过点E作三棱锥C-ABD外接球的截面，则截面圆的面积的最小值为.

(答案11①∙√7②.2兀

K解析》在一ABC中，因为AB=BC=5,所以BDLAC,

故3Q=j25-9=4,

因为。为AC的中点，AD=3,AC=3,贝∣JACD为等边三角形，

如图，设厂为AC的中点，2为AACD外接圆的圆心，

O为三棱锥C-ABD的外接球的球心，

则a在线段A尸上，且OlD=IDP=IJ9—£=百,且OQ，平面AcD,

由题意得BD±AD,BDLCD,

又ADCD=AD,CDu平面AC。，所以8。1平面ACD,

故BDllOo

设三棱锥C-ABD的外接球的半径为R,

则R=OB=OD=

即三棱锥C-ABO的外接球半径为小，

当AC=3√∑,则AC?=AΓ>2+Cf>2,所以Af)J_8,

所以ACD为等腰直角三角形,

则一AS外接圆的圆心为AC的中点，设为点。3,则。&

设。2为三棱锥C-ABo的外接球的球心,

则。2。3，平面AC。，故QO3〃B。，Qo3=；8。=2,

r4?

则三棱锥C一ABD外接球的半径为O2D=O2B=+—

由AE=2ED,得AE=2,

在“冲，由余弦定理得E*4+∣32χ唳萍I

因为。2。3，平面AcD，E&U平面ACD,所以Qo3，£°3,

513

则E01=O2Ol+£0；=4+1号，

当点E为截面圆的圆心时，截面圆的半径最小，

此时截面圆的半径r=y∣DO1-E0；=-y=0,

所以截面圆面积的最小值为π/=2π∙

故K答案》为：√7；2π.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.为了推进共同富裕，国家选择在某省建设共同富裕示范区，为全国推动共同富裕提供范

例.为了了解共同富裕示范区的建设成果，某统计机构调查了该省某示范区100位居民2022

年整年的可支配收入，整理后得到如下频率分布直方图.

I0

o9

o8

O4

o2

o

—

(I)根据频率分布直方图估计这100位居民可支配收入的众数和80%分位数；

(2)居民人均可支配收入的中位数和平均数的比值是衡量收入分配的指标之一，比值越大

收入分配越公平.已知2022年全国居民的人均可支配收入为36883元,人均可支配收入的中

位数是平均数的85.1%.请根据频率分布直方图说明该示范区是否起到了示范的作用(利用

平均数，中位数和平均数的比值进行说明).

解：(1)由频率分布直方图可得，人数最多的为［4,6),所以众数为(4+6)+2=5.

[12,14]的人数占比为2x0.02=0.04,[10,12）的人数占比为2x0.04=0.08,

[8,10）的人数占比为2>0.08=0.16,

所以该示范区100位居民可支配收入的80%分位数落在区间［8/())内,

设该示范区100位居民可支配收入的80%分位数为X,则0.08(10—x)+0.08+0.04=0.2,

解得尤=9,

故该示范区100位居民可支配收入的80%分位数为9.

（2）该示范区居民可支配收入的平均数为

1×2×0.01+3×2×0.09+5×2×0.16+7×2×0.10

+9×2×0.08+l1×2×0.（）4+13×2×0.02

=6.4（万元）>36883元.

设该示范区io。位居民可支配收入的中位数为y,

则2x0.01+2x0.09+（y-4）x0.16=0.5,解得y=5.875（万元）.

5.875÷6.4≈91.8%>85.1%,所以该示范区起到了示范作用.

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABa>,PA=AB,

（1）证明：PD〃平面A£C；

（2）求AC与平面PCD所成角的正切值.

（1）证明：连接BO交Ae于点O,连接OE,

由于底面ABCz）为正方形，故点。为BO中点，

在ZVZD中，。,E分别为BQ,BP的中点，所以OE//PD.

因为/Y）（Z平面AΔC,OEU平面AEC,所以PO〃平面AEC.

（2）解：取PO的中点/，连接AEC尸，由PA=AB可得Q4=AD，所以A

因为Q4_L底面ABC。，CDU底面ABcD,故Q4_LCr）,

因为A。_LCD，PACAo=ApAAOU平面PA。,

所以C0_L平面B4O,A尸U平面PAD,所以CO_LAb.

又因为CDCpz)=3,8,Pz)U平面PC。，所以A尸_L平面PCO∙

因此，NACE即为AC与平面PCD所成角.

设Λ4=AB=a,则AR=LPo=也α,CFɪ,ICD2+(-PD)2^—a,

22V22

所以tanZACF=—=^-,所以AC与平面PeD所成角的正切值为—.

CF33

19.在也AeC中，AE=^EC.

(1)若2BF=3FE'用48,AC表示AF；

(2)AD^^AB,线段8交BE于点G,且AG=/LAE+〃AO,求的丸+〃值.

解：(1)如图所示，

因为BR=AP-AB,FE=^AE-AF>

23

所以2(ΛF-AB)=3(AE-AF),所以AF=MAB+《AE,

121

因为AE=-AC,所以AE=—AB+—AC.

355

(2)如图所示,

所以AG=mAC÷(l-m)ΛD=3mAE+(1-〃z)A力.

因为E,G,B三点共线,

所以AG=nAE+(1-n)AB^nAE+2(1-n)AD

1

m=一,

3>m=n,5

所叫i=2(j)解得j3

,〃=二'

347

所以>l=g,μ=-9所以;l+4=g.

∩h

20.在ABC中，角A,B,C对边分别为小b,c,且3；:——=-------.

Λ2-cosAcosB

(ɪ)求;的值；

b

(2)若。=3,角A的平分线与BC交于点O,AD=2√2,求一ABC的面积.

解：(1)因为C∩,=?h；,

2-cosAcosB

所以αcos3=2/7-bcosA,

由正弦定理得，sinAcosB+sinBcosA=2sinB,

所以SinC=2sin5,

由正弦定理得，-=2

b

(2)设NBM>=NC4D=6,

因为D型rI=C*=-AB-A?D-sinθ=.空d=£

BD+DC=BC=3,

DCSADCLACAosineACb

2

所以班>=2,OC=L

在，Ar)B中，由余弦定理得=AB?+AD2-2AB∙AT>∙COS8,

在ZXAQC中，由余弦定理得DC?=AC?+A。？一2AC∙AfbcosO，

将AO=2√5,AB=C,AC=6代入,

4=c2+8-2c-2√2cosθc1-4∖∕2ccosθ=-A

得｛,L，即1,L

1=⅛2+8-2⅛∙2√2COS^[⅛2-4√2⅛COS^=-7

又因为£=2,

b

破-S∖∣2hcosθ=一4①

所以〈L，

/-4√∑bcos6=-7②

(2)x4-@,得V^bCoSe=3，

代入上式得，C=2#＞，b=5

h2+c2-cr4

所以cosA=

2bc5

因为Ae(O,兀)，所以SinA=JI-COS2A3

5

ɪIɜ

所以SAA8c=—^ɛsinA=—×χ∕5×2∖β×=ɜ■

21.五行，指金、木、水、火、土五个元素.五行学说用五行之间的生、克关系来阐释事物之

间的相互关系，是中国文化的重要组成部分，五行之间相生相克的关系如图所示.现有一个

不透明的盒子，盒子中有5个完全相同的小球，5个小球上分别标有“金、木、水、火、土”5

个字，代表5个元素.现在甲、乙两人各从盒子中随机抽取一个球:

①若甲抽到的元素克乙抽取的元素，则甲+2分；②若甲抽到的元素生乙抽取的元素，则甲

T分；③若甲抽到的元素被乙抽取的元素克，则甲-2分；④若甲抽到的元素被乙抽取的元

素生，则甲+1分；⑤若甲抽到的元素与乙抽取的元素相同，则甲不计分.现有两个游戏方案

可供甲选择：方案一,乙先从盒子中随机抽取一个元素后放回，然后甲再从盒子中随机抽取

一个元素；方案二,乙先从盒子中随机抽取一个元素不放回，然后甲再从盒子中随机抽取一

个元素.每次积完分后把所有小球放回盒子再进行下次游戏.

(I)若按方案一进行两次游戏，求两次游戏后甲的积分之和为1分的概率；

(2)现在要从方案一或方案二中选一个方案进行两次游戏，若两次游戏后甲的积分之和超

过1分，则甲获得胜利.为了尽可能获胜，甲应该选择哪个方案，请说明理由.

解：(1)按方案一进行第一次游戏，记甲的积分为。，

分析可知α∈{-2,-1,0,1,2)且出现的概率相同，均为(；

按方案一进行第二次游戏，记甲的积分为〃，

分析可知h∈{-2,-l,0,l,2}且出现的概率相同，均为(；

样本空间。={(。力)卜,。6{-2,-1,0,1,2}},

每个样本点出现的概率相等，均为

5525

设按方案一进行两次游戏后甲的积分之和为1分为事件A,

则A={(-l,2),(0,1),(1,0),(2-1)},所以P(A)=4X《.

(2)设两次游戏甲的积分分别为〃?，n,两次游戏后甲的积分和超过1