中考数学压轴题练习 2半角模型（教师版）

【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题2半角模型

典例题

------------

［例I］如图，在正方形A8C。中，点E、尸分别在边BC、CDl.,且NEA尸=45°,分别连接EEBD,

BD与AF、AE分别相交于点M、N

(1)求证：EF=BE+DF

为了证明‘'EF=BE+DF”,小明延长CB至点G,使BG=QF,连接AG,请画出辅助线并按小明的思路

写出证明过程.

(2)若BE=2,DF=3,请求出正方形A8C。的边长.

(3)请直接写出线段BMMN、力M三者之间的数量关系

【分析】(1)延长3C到G,使BG=QF,连接AG,证得AABG咨ZV1Z)F,∆AEF^ΔAEG,最后利用

等量代换求得答案即可；

(2)根据(1)中的结论，设正方形的边长为X,列方程可解答；

(3)在AG截取A4=AM,连接M7、BH,证得aA8∕7丝aAOM,AAMN冬AAHN,最后利用勾股定理

求得答案即可.

【解析】(1)证明：如图1,延长CB至点G,使BG=力尸，连接4G,

图1

：四边形ABC。为正方形,

：.AB=AD1ZBAD=ZADF=ZABE=ZABG=90°,

在aABG和aADF中，

AB=AD

/-ABG=Z.ADFy

BG=DF

:.XABGQZXADF(SAS),

：.ΛDAF=ZBAG,AF=AG,

ooo

：.ZGAE=ZBAG+ZBAE=ZDAF+ZBΛE=90-45=45=ZEAF9

在AAEF和△?!EG中，

AF=AG

Z-FAE=Z-GAE，

AE=AE

：.ΛAEF^∕∖AEG(SAS),

：.EF=EGf

•：EG=BE+BG,

：.EF=BE+DF；

(2)解：设正方形的边长为羽

VBE=lf.DF=3,

ΛCE=x-2,CF=X-3,

由(1)得：EF=BE÷DF=2+3=5,

RtΔCEFφ,EF2=CE2+CF2,

52=Cx-2)2+(X-3)2,

解得：x=6或-1(舍)，

答：正方形ABC。的边长为6.

(3)解：BN2+DM2=MN2;

理由是：如图2,在AG上截取A4=AM,连接“N、BH,

图2

在4A"8和Mf)中,

AB=AD

乙HAB=∆MAD‹

AH=AM

Λ∆ΛHβ^∆ΛMD(SAS),

：.BH=DM,ZABH=ZADB=45°,

又∖∙NA5A=45°,

：.NHBN=90°.

.∖BH2+BN2^HN2.

在AAHN和aAMN中，

AH=AM

乙HAN=LMAN,

.AN=AN

:.XAHN迫XAMN(SAS),

：.MN=HN.

：.BN2+DM2=MN2.

【例2】.如图，ASC是边长为2的等边三角形，%>C是顶角为120。的等腰三角形，以点。为顶点作

NMON=60。，点M、N分别在AB、ACl..

(1)如图①，当MNHBC时，贝U.AMN的周长为；

(2)如图②，求证：BM+NC=MN.

图①图②

【答案】(1)4；(2)见解析

【分析】

(I)首先证明ABDM丝ZiCDN,进而得出ADMN是等边三角形，NBDM=/CDN=30。，NC=BM=TDM=T

MN,即可解决问题；

(2)延长AC至点E,使得CE=3”,连接。石，首先证明aBZW之△(?£)£,再证明ZWW会Z∖EQN,

得WMN=NE,进而得出结果即可.

【详解】

解：(1)YA4C是等边三角形，MNHBC,

ZAMN=ZABC=60°,ZAW=ZAC3=60。

・・・是等边三角形，.∖AM=AN,则=NC,

，BDC是顶角NBOC=120。的等腰三角形，

o

.∖ZDBC=ZDCB=30f

:"DBM=/DCN=90。,

在/3DW和ACDN中,

BM=CN9

<ZMBD=ZDCN,

BD=CD,

:.ABDM/ACDN(SAS),

:.DM=DN,ABDM=/CDN,

•；NMDV=60。，

・・・jOMN是等边三角形，ZBDM=/CDN=30。,

NC=BM=LDM='MN,：.MN=MB+NC,

22

・・...AAW的周长=AB+AC=4.

(2)如图，延长Ae至点E,使得CE=BM,连接。E,

・・,.ABC是等边三角形，8。C是顶角N8DC=120。的等腰三角形，

o

・•.ZABC=ZAeB=60。,ZDBC=ZDCB=30f

o

:.ZABD=ZACD=90f

.∙.ZDCE=90°,

在L3DM和"DE中,

BD=CD,

<NMBD=NECD,

BM=CE,

.ΛBDMACDE(SAS),

:.MD=ED,ZMDB=ZEDC,

：.AMDE=120。-AMDB+AEDC=120o,

•；NMDN=60°,

NNDE=60。,

在4MDN和LEDN中，

'MD=ED、

-NMDN=/NDE=60°,

DN=DN,

.-.AMDN沿LEDN(SAS).

MN=NE,

又,：NE=NC+CE=NC+BM,

：.BM+NC=MN.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与

判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键.

【例3].如图，在四边形ABeD中，ZB=ZD=90。，E,F分别是BC,CD上的点，连接AE,AF,EF.

(1)如图①，AB^AD,ZBAD=UOo,NEAF=60°.求证：EF=BE+DF；

图①图②图③

(2)如图②，ZBAD=120°,当一.A£F周长最小时，求NAEF+ZAFE的度数；

(3)如图③，若四边形ABCn为正方形，点E、尸分别在边BC、CDk,且NE4F=45。，若BE=3,DF=2,

请求出线段EF的长度.

【答案】(1)见解析；(2)ZAEF+ZAFE=↑20o;(3)EF=5.

【分析】

(1)延长ED到点G,使DG=8E,连接AG,首先证明.A8Eg,.AE>G,则有AE=4G,NBAE=NDAG,

然后利用角度之间的关系得出/E4尸=∕E4G=60°,进而可证明AE4/丝AGAF,则EF=FG=DG+DF,

则结论可证；

(2)分别作点A关于Be和CO的对称点4",连接AA",交BC于点、E,交CD于点F,根据轴对称

的性质有AE=A£，A"F=AF',当点A，、E、F、A"在同一条直线上时，AA"即为EF周长的最小值，

然后利用ZAEF+ZAFE=ZEAA+ZEAA+ZFAD+NA〃求解即可；

(3)旋转ZSABE至ZW)P的位置，首先证明尸之则有EF=",最后利用

防=PF=P£>+=8E+OE求解即可.

【详解】

(1)证明：如解图①，延长Fo到点G,使DG=BE,连接AG,

在AABE和αADG中，

AB=AD,

"ZABE=ZADG,

BE=DG,

：.ABE空ADG(SAS).

.∙.AE=AG,ΛBAE=ΛDAG,

ZBAD=UOo,ZE4F=60o,

.∙.ZBAE+ZFAD=ZDAG+ZFAD=60°.

:.ZEAF=ZFAG=60°,

在了和，G4F中，

AE=AG,

NEAF=ZGAF,

AF=AF,

.∙.E4F^.GAF(SAS).

：.EF=FG=DG+DF,:.EF=BE+DF；

(2)解：如解图，分别作点A关于BC和CO的时称点A,A",连接AA〃，交SC于点E,交C。于点尸.

由对称的性质可得AE=A£，A"F=AF,

此时一AEF的周长为AE+EF+A尸=A'E+EF+AN=AA".

••・当点4、E、F、A"在同一条直线上时，AA"即为4心周长的最小值.

ZZMB=120°,

.∙.ZAME+NA"=180°-120°=60°.

ZEA'A=ZEAA',ZFAD=ZA",ZEA'A+Nw=ZAEF,ZFAD+ZΛ"=ZAFE,

.∙.ZAEF+ΛAFE=ZE4,Λ+ZEAA'+ZFAD+ZAff=2(ZAA'E+ZAff)=2×60°=120°；

(3)解：如解图，旋转A43E1至∙Δ47P的位置，

.∙.NPAE=NDAE+NPAD=ZDAE+NEAB=90°,

AP=AE,ZPAF=/PAE-/FAF=90o-45o=45o=AEAF.

在Z∖R4尸和尸中，

AP=AE,

-ZPAF=ZEAF,

AF=AF,

.∖ΛPAF^ΛEAF(SAS).

.-.EF=FP.

.-.EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.

【例4】.(1)如图1,在四边形ABCC中，AB=AD,ZBAD=IOOo,N8=/AZ)C=90。.E,F分别是BC,

CO上的点.且/EAF=50。.探究图中线段ERBE,尸。之间的数量关系.

小明同学探究的方法是：延长尸。到点G,使。G=BE,连接AG,先证明AABE咨Z∖AOG,再证明AAEF冬

△AGR可得出结论，他的结论是(直接写结论，不需证明)；

(2)如图2,若在四边形48Cz)中，AB=AD,ZB+ZD=180o,E,尸分别是8C,CD上的点，JlIAEAF

=NBAD,上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

(3)如图3,四边形ABCO是边长为7的正方形，NEBF=45。，直接写出AOEF的周长.

【分析】

(1)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,由“SA歹可证AABEgZVlOG,可得AE=AG,NBAE=ZDAG,

再由“SAS”可证AAEP丝ZVlGF,可得EF=FG,即可解题；

(2)延长E8到G,使BG=DF,连接AG,即可证明AA8G∙Z∖AOF,可得AF=AG,再证明AAEF-AiAEG,

可得EF=EG,即可解题；

(3)延长EA到，，使A∕∕=CF,连接84,由"SAT可证丝Z∖C8R可得BH=BF,NABH=NCBF,

由“SAS”可证AEBHgZ∖EB凡可得EF=EH,可得M=E"=AE+C凡即可求解.

【详解】

证明：(1)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,

在AABE和AAOG中，

AB=AD

<ZABE=ZADG=90,

BE=DG

：.(SAS),

：.AE=AG,NBAE=NDAG,

VZBAD=IOOO,NEAF=50。，

o

ΛNBAE+NFAD=ZDAG^-ZFAD=50f

ΛZfAF=ZMG=50o,

⅛∆EΛF>fΠ∆GAFφ,

AE=AG

VZEAF=ZGAF,

AF=AF

ΛΔEΛF^ΔGΛF(SAS)9

.∙.EF=FG=DF+DG,

：,EF=BE+DF,

故答案为：EF=BE+DF;

(2)结论仍然成立，

理由如下：如图2,延长所到G,使BG=OR连接AG,

・・・NABG=ND,

Vffi∆AβG⅛∆ΛDFφ,

AB=AD

,ZABG=ZD,

BG=DF

ΛΔAβG^ΔADF(SAS)f

：.AG=AFiNBAG=NDAF,

∖*2ZEAF=ZBAD9

：.ZDAF+ZBAE=NBAG+NBAE=ɪZBAD=NEAF,

LNGAE=NEAF,

又AE=AE9

：.ΛAEG^∕∖AEF(SAS),

.∖EG=EF.

*：EG=BE+BG.

.∖EF=BE+FD;

(3)如图，延长E4到，，使A"=b,连接8H,

：.AB=BC=I=AD=CDfNBAD=NBCD=90。,

o

：.ZBAH=ZBCF=90f

又YAH=CF,AB=BC9

ΛΛABH^ΔCBF(SAS),

：.BH=BF9NABH=NCBF,

YNEB尸=45°,

・・・ZCBF+ZABE=450=ZHBA+ZABE=ZEBF9

・♦./EBH=NEBF,

又YBH=BF,BE=BEf

.♦.△EBH/AEBF(SAS),

：.EF=EHf

.∖EF=EH=AE+CFf

.,.∕∖DEF的周长=Z)E+Z>F+EF=OE+DF+AE+CF=AZ)+CD=14.

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角

形是本题的关键.

【例5]]如图1,在菱形ABC。中，AC=2,BD=2√3,AC,BO相交于点0.

(1)求边AB的长；

(2)求NBAC的度数；

(3)如图2,将一个足够大的直角三角板60。角的顶点放在菱形ABCO的顶点4处，绕点A左右旋转，其中三

角板60。角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接£凡判断△入《尸是哪一种特殊三角形，并说明理

由.

【答案】(1)2；(2)60°；(3)见详解

【分析】

(1)由菱形的性质得出OA=I,OB=⑺，根据勾股定理可得出答案；

(2)得出AABC是等边三角形即可；

(3)由AABC和AACD是等边三角形，利用ASA可证得ZiABE妥Z∖ACF;可得AE=AF,根据有•个角是

60。的等腰三角形是等边三角形推出即可.

【详解】

解：(1)；四边形ABCD是菱形，

ΛAC1BD,

二Z∖AOB为直角三角形，且OA=LAC=1,OB=LBD=6.

22

222

•*-AB=y∣OA+OB-=Λ∕1+(√3)=2;

(2)∙.∙四边形ABCD是菱形,

ΛAB=BC1

由(1)得：AB=AC=BC=2,

•••△ABC为等边三角形，

NBAC=60°；

(3)4AEF是等边三角形，

Y由(1)知，菱形ABCD的边长是2,AC=2,

ΛΔABC和AACD是等边三角形，

ZBAC=ZBAE+ZCAE=60o,

,.∙ZEAF=ZCAF+ZCAE=60o,

.∙.NBAE=NCAF,

在AABE和AACF中，

NBAE=ZCAF

<AB=AC

NEBA=NFCA

二ZXABEgZXACF(ASA),

二AE=AF,

∙.,ZEAF=60o,

ΛΔAEF是等边三角形.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质以及图形的旋转.解题的关键是熟

练掌握菱形的性质.

优训练

X____________________________Z

1.(1)如图①，在四边形ABa)中，AB=AD,ZS=ZD=90。，E,尸分别是边8C,Co上的点，且

NE4F=gZBAD.请直接写出线段EF,BE,EO之间的数量关系：;

(2)如图②，在四边形ABCr)中，AB=AD,ZS+ZD=180o,E,F分别是边8C,Co上的点，且

NEAF=gNBA。,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

(3)在四边形A8C。中，AB=AD,ZB+ZD=180o,E,尸分别是边BC,CO所在直线上的点，且

NEAYNBAD.请画出图形(除图②外)，并直接写出线段EF,BE,KD之间的数量关系.

【答案】(1)EF=BE+FD;(2)成立，理由见解析；(3)图形见解析，EF=BE-FD

【分析】

(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.证明"GE⅛∆AEF全等，则EF=GE,则EF=BE+DF,证明△”后

和AAE尸中全等，那么AG=A/，/1=/2,∕l+∕3=∕2+∕3=∕H4f=g∕84λ从而得出EF=GE；

(2)思路和作辅助线的方法同(1)；

(3)根据(1)的证法，我们可得出CF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.

【详解】

(1)延长E8至G,使BG=O/，连接AG,

VZABG=ZABC=ZD=90o,AB=AD,

：._ABG^ADF,

：.AG=AF,4=N2,

/.N1+N3=N2+N3=NE4F」ZBA£>,

2

/.NGAE=NEAF,

在」G4£和一中，

AG=AF

•：∖ZGAE=ZEAF,

AE=AE

：.^GAEFAE(SAS)9

：.EG=EF,

•：EG=BE+BG,

，EF=BE+FD∙

故答案为：EF=BE+FD

(2)(1)中的结论仍成立，

证明：延长CB至加，使BM=D/7,

β.∙ZABC+ZD=180%Zl+ZABC=180。，

，Zl=ZDf

在，ΛBΛ∕和αAOE中，

AB=AD

<NI=NO,

BM=DF

Λ..ABM^ADF(SAS)f

：.AF=AM>/2=/3,

・.,ZEAF=-ZBAD,

2

・・・Z2+Λ4=-ZBAD=ZEAF,

2

.,.Z3+Z4=ZEAF即ZMAE=ZEAF.

在4MΛE和/XAFE中，

AM=AF

"NMAE=NEAF,

AB=AE

：.∕∖AME四々A尸E(SAS),

：.EF=ME,即EF=BE+BM.

(3)EF=BE-FD,

证明：在BE匕截取BG使BG=DE,

连接AG,

VZB+ZADC=180o,ZADF+ZADC=ISOo,

,AB=ZADF,

在ABGfIIAZ)F中，

AB=AD

-ZABG=AADF,

BG=DF

：._ABG^>ADF(SAS),

ΛABAG=ADAF,AG=AF,

：.NBAG+ZEAD=NDAF+NEAD=NEAF=-ZBAD,

2

.".NGAE=NEAF,

在AAEG和4A£尸中,

AG=4尸

-NGAE=NEAF,

AE=AE

∕∖AEG^ΛAEF(SAS),

：.EG=EF,

'：EG=BE-BG,

，EF=BE-FD.

【点睛】

此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确的全

等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形.

2.如图，在等边三角形A8C中，点E是边AC上一定点，点。是直线BC上一动点，以DE为一边作等边

三角形DEF,连接CF.

（1）如图1,若点。在边BC上，直接写出CE,CF与CO之间的数量关系；

（2）如图2,若点。在边BC的延长线上，请探究线段CE,CF与CC之间存在怎样的数量关系？并说明

理由；

（3）如图3,若点。在边CB的延长线上，请直接写出CE,CE与CC之间的数量关系.

【答案】（1）CE+CF=CD；（2）CF=CE+CD,理由见解析；（3）CD=CE+CF

【分析】

（1）在CQ上截取CH=CE,易证.CEH是等边三角形，得EH=EC=CH,证明—DEHmʌFEC,得DH=CF,

即可得出结论；

(2)先证-GCE为等边三角形，再证-EGOT-ECF,得至IJGZ)=C凡又因为GQ=CG+CD,得CF=CG

+CD,则CF=CE+CD；

(3)先证aGCE为等边三角形，再证CG=CE=EG,∕GEC=6(Γ,ED=EF,NDEG=NFEC,得AEGD

里ECF,则GD=CF,即可得到CE+CF=CD.

【详解】

(1)证明：CE+CF=CD,

理由如下：在CD上截取CH=CE,连接EH,如图1所示：

图1

：-ABC是等边三角形，

二ZECH=GOo,

.∙.-CEH是等边三角形，

JEH=EC=CH,NCEH=60°,

：。EF是等边三角形，

：.DE=FE,ZDEF=60o,

.,.ZDEH+ZHEF=ZFEC+ZHEF=Wo,

：.NDEH=NFEC,

DE=FE

在ΛDEH和aFEC中，■NDEH=ZFEC,

EH=EC

：...DEH^..FEC(SAS),

JDH=CF,

：.CD=CH+DH=CE+CF,

：.CE+CF=CD;

(2)解：CF=CE+CO

理由如下：

—48C是等边三角形,

.・・/A=NB=NACB=60。，

忤EGHAB,交BC于点G,如图2所示

：.ZEGC=ZB=60o,NGEC=N4=60。,

，ZEGC=ZGEC=NAC8=60。，

：・AGCE为等边三角形,

：.CG=CE=EG,

EDF为等边三角形,

.∖ED=EF1NDE尸=60。，

：,/DEG=NFEC

・♦”EGD出二ECF(SAS),

：•GD=CF,

又GD=CG+CD

：.CF=CE+CD.

(3)•・,二ABC是等边三角形，

・・・ZA=ZABC=NACB=60。，

悍EGHAB、交BC于点G,如图所示

oo

.∖ZEGC=ZABC=60fZGEC=ZA=60f

・・・NEGC=NGEC=/ACB=60。,

・♦•二GCE为等边三角形，

Z.CG=CE=EG,ZGEC=GOo

NGEC=NGEF+NFEC=60o

∙.∙,ED尸为等边三角形，

IED=EF,∕OEK=60°,

二ZDEF=ZGEF+ADEG=-GQo

：.NDEG=NFEC,

：.ʌEGD^-ECF(SAS),

：.GD=CF,

又YGD=CD-CG,CG=CE

：.CE+CF=CD

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等

边三角形是解题的关键，属于中考常考题型.

3.如图，CA=CB,CAVCB,NECF=45°,CD=CF,ZACD=NBCF.

(1)求NACE+NBb的度数；

(2)以E为圆心，以AE长为半径作弧：以F为圆心，以BF长为半径作弧，两弧交于点G,试探索EFG

的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由.

【答案】(1)45°；(2)见详解

【分析】

(I)由C4LCB,可得NACB=90。，再根据NECF=45。，即可得出答案；

(2)如图，连接OE,先证明AECF丝ZXECQ(SAS),可得DE=EF,再证明△(?"＞丝ACBF(SAS),可得

AD=-BF,ZCAD=ZB,即可得出ND4E=90。，再利用SSS证明AEFGZZXED4,即可得出答案.

【详解】

解：(1)VCAlCB,

・♦・NACB=90。，

/.ZACE+ZECF+ZBCF=90°f

∙/ZECF=45o,

・・・ZACE+ZβCF=90o-ZECF=45o;

(2)AEFG是直角三角形，理由如下:

如图，连接

由(1)知，ZACE+ZBCF=45o,

•：/ACD=NBCF,

：.ZACE+ZACD=450,即NQCE=45。,

YNECF=45。,

：.ZECF=ZECDf

在AECF和AECQ中，

CF=CD

<ZECF=ZECDf

CE=CE

：./\ECF^/\ECD(SAS),

：.DE=EF,

⅛∆CAD和中，

CD=CF

</ACD=NBCF,

CA=CB

ΛΔCΛD^ΔCBF(SAS),

：.AD=BF,ZCAD=ZB1

YFG=BF,

：.FG=AD,

VZACB=90o,CA=CB,

.∙.ΛABC是等腰直角三角形，

，NCAB=/8=45。，

/.NDAE=ZCAB+/8=90。,

在AEFG和AEZM中，

EG=EA

FG=AD,

EF=ED

：.ΛEFG^ΔEDA(SSS),

：.ZEGF=ZEAD=90o,

二ZXEFG是直角三角形.

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质等

知识，解题关键是添加辅助线构造全等三角形，熟练运用全等三角形判定和性质解决问题.

4.(1)阅读理解

如图1,在正方形A8C。中，若E,F分别是S,8C边上的点，ZEAF=45o,则我们常常会想到：把ADE

绕点A顺时针旋转90。，得到.A8G.易证.AEZW,得出线段8凡DE,EF之间的关系为；

(2)类比探究

如图2,在等边，ABC中，D,E为BC边上的点，ZDA£=30o,BD=I,EC=I.求线段OE的长；

(3)拓展应用

如图3,在，ABC中，AB=AC=/BAC=150。，点D,E在BC边上，NDAE=75°,若DE是等

腰，AQE的腰，请直接写出线段8。的长.

图1图2图3

【答案】(1)AGF,EF=DE+BF;(2)DE=√7；(3)BD=2或26

【分析】

(1)证明AAG尸名Z∖4EF(S4S),5∣∣JGF=EF,BPGF=BG+BF=DE+BF=EF,即可求解；

(2)ilEBJJ∆ΛFD^Δ.AED(SAS),则FD=DE,在RtNBH中,NFBH=6Q°,则BH=ɪBF=1,FH=BFsmWo

/7__________

=2×-=y[i,则==√7=ED,即可求解；

(3)①当OE=A。时，AAOΔ⅛Z∖ADF(SAS),在AABC中，AB=AC=√6+√21NHAC=30°,由BG

=(.AB+AH)2+HC2得:BC2=(X+也x)2+(WX)2,求出BC=4+2>Λ；在AADE中，AD=DE=a,Z

22

AOE=30。，同理可得：AE=#a,由AB2+Af2=Bf2,求出α=2,即可求解；②当。£=A£时，BD

2

对应①中的CE,即可求解.

【详解】

解：(1)由图象的旋转知，AG=AE,ZDAE^ZGAB,

VZBAF+ZDAE^ZBAD-NEAF=45。,

ΛZGAF=ZGAB+ZBAF=ZDAE+ZBAF=Wo-ZEAF=45°=ZEAF,

5L'：AG=AE,AF=AF,

：./^AGF^∆AEF(SAS),

IGF=EF,

即GF=BG+BF=DE+BF=EF,

即EF=DE+BF,

故答案为：-AGF,EF=DE+BF;

(2)将AAEC围绕点4旋转到AAFB的位置，连接FD,

由(1)知，△?!/•方丝Z∖AEC(SAS),则AF=AE,FB=EC=2,

VZFAD=ZFAB+ZBAD=ZEAC+ZBAD=ZBAC-Nz)AE=60。-30°=ZDAE,

'：AD=AD,AF=AE,

：.ΛAFD^∕∖AED(SAS),

.∖FD=DE,ZABF=ZC=60o,

在尸中，BD=∖,BF=2,ZFBD=ZABF+ZABC=60o+60o=120°,

过点F作FHLBD交DB的延长线于点H,则NF8，=60。，

在RtAFBH中,ZFBH60°,则尸=1,FH=BFsin600=2×-=√3.

22

则FD=x∣FH2+HD2=√7=ED

故DE=√7；

(3)①当f>E=4O时，则NZME=NOEA=75。，贝IJNADE=I80°-2x75°=30°,

在等腰中，NBAC=150。，则/ABC=NACB=15。，

将“EC围绕点A旋转到"FB所在的位置(点F对应点£),连接DF,

由(2)同理可得：A4OE丝ZvtDF(SAS),

IDF=DE,

•：ZADE=ZABC+ZBAD=∖5o+ZBAD=30o,故NBA。=15°=ZABD,

.,.AD=BD=ED,

设8∑>=",则AO=8O=EO=4,则8E=2”,

过点C作CHLBA交BA的延长线于点H,则/HAC=2/A2C=30。，

⅛∆ABCφ,AB=AC=√6+√2,ZHAC=30°,

设AC=x,则CH=!X,AH=BX,

22

由BG=(AB+AH)2+HC2得：BC1=Cx+-x)2+(ɪɪ)2,

22

将x=a+近代入上式并解得：BC=4+2√3；

在ZkADE中，AD=DE=a,ZADE=30°,

同理可得：AE=G&a,

2

'：ZABE=]5a,AAEB=I5°,故NBAE=90°,

在∕⅛A4M中，AB2+AE2=BE2,即(指+应)2+(直二^a)2=(2α)2,

2

解得α=±2(舍去负值)，故a=2,

则BC=2,

CE=BC-2a=4+2√3-4=2√3；

②当C)E=AE时，

8。对应①中的CE,

故BD=2B

综上，8。=2或26.

BDEC

图2

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的

性质，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

5.已知四边形ABC。中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=UOo,NMBN=60°,NMBN绕B点、旋

转，它的两边分别交4。，DC（或它们的延长线）于E、F.

（1）当NMBN绕8点旋转到AE=CF时（如图1）,试猜想AE,CF,EF之间存在怎样的数量关系？请将

三条线段分别填入后面横线中：—+—=—.（不需证明）

（2）当/MBN绕8点旋转到AE，CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由.

（3）当NMBN绕8点旋转到A母CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE,CF,

【答案】（I）AE；CF;EF；（2）成立，见解析；（3）不成立，新的关系为AE=EF+C凡

【分析】

（1）根据题意易得AA8EgZ∖C8凡然后根据全等三角形的性质可得乙48E=NCBf∙=3（Γ,进而根据30。角的

直角三角形及等边三角形的性质可求解；

（2）如图2,延长FC到“，使C4=AE,连接8”，根据题意可得ABCH丝Z∖BAE,则有B"=BE,NCBH=

NABE,进而可证AH5FgaE8F,推出HF=ER最后根据线段的等量关系可求解；

（3）如图3,在AE上截取AQ=C凡连接BQ,根据题意易得CF丝Z∖BAQ,推出BF=BQ,ZCBF=ZABQ,

进而可证ZkPBEgZXQBE,推出EF=QE即可.

【详解】

解：(1)如图1,AE+CF=EF,理由如下：

VAB±ΛD,BClCD,

・・・ZΛ=ZC=90o,

YAB=BC,AE=CF,

：・AABEmACBF(SAS),

ΛZABE=ZCBFtBE=BF,

VZAβC=120o,NMBN=60°,

：.NABE=NCBF=3。。,

AE=LBE,CF=LBF,

22

:NMBN=60°,BE=BF,

...△8E厂是等边三角形，

.∙.AE+CF=-BE+-BF=BE=EF,

22

故答案为：AE+CF=EF;

(图1)

(2)如图2,(1)中结论成立；理由如下:

延长FC到凡使CH=AE,连接

•・・ABLAD,BClCD1

o

：.ZA=ZBCH=90t

ΛΔBCW^ΔBAE(SAS),

：.BH=BE,NCBH=NABE,

VZABC=120o,NMBN=6。。,

：.NABE+ZCBF=120o-60o=60o,

.∖ZHBC+ZCBF=60o,

/./HBF=/MBN=60°,

：.ZHBF=ZEBF9

:.AHBFtAEBF(SAS),

：.HF=EF,

∙.∙HF=HC+CF=AE+CF,

：.EF=AE+CF；

(图2)

(3)如图3,(1)中的结论不成立，关系为AE=EF+CF,理由如下:

在4£上截取AQ=CK连接BQ,

u

∖ABLAD1BCLCD,

・・・NA=NBCF=90。，

YAB=BC,

.∖∕∖BCF^ΛBAQ(SAS),

：.BF=BQtNCBF=NABQ,

∙/NMBN=60°=NCBF+∕CBE,

・・・ZCβE+ZΛB0=6Oo,

∖∙ZAfiC=120o,

.∖ZQBE=120o-60o=60°=ZMBN,

：.NFBE=NQBE,

ΛΔFBE^ΔQBE(SAS),

：.EF=QE,

∖"AE=QE+AQ=EF+CE,

J.AE=EF+CF.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质与判定、含30。角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等

三角形的性质与判定、含30。角的直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键.

6.如图，在正方形ABCQ中，点尸在直线BC上，作射线AP,将射线AP绕点A逆时针旋转45。，得到射

线AQ,交直线CD于点Q,过点8作BEJ_AP于点E,交AQ于点凡连接。F.

（1）依题意补全图形;

（2）用等式表示线段BE,EF,OF之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF,证明见解析.

【分析】

(1)根据题意补全图形即可.

(2)延长/E到”,使EH=E-根据题意证明AA8H∕ZV1OF,然后根据全等三角形的性质即可证明.

【详解】

(1)补全图形

(2)BE+DF=EF.

证明：延长FE至Ij”,使EH=E/

9

JBELAP9

：.AH=AF,

,NHAP=NFAP=45°,

Y四边形A8CD为正方形,

.∖AB=ADf

ZBAD=90o

ΛZBΛP+Z2=45o,

VZl+ZBAP=45o

ΛZ1=Z2,

：,AABH经4ADF,

：.DF=BH,

,：BE+BH=EH=EF,

.∙.BE+DF=EF.

【点睛】

此题考杳了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.

7.(1)如图，在正方形中，E、F分别是BC,Ce)上的点，且NE4F=45。.直接写出BE、DF、EF

之间的数量关系；

A

B

(2)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZS=ZD=90。，E、尸分别是BC,C。上的点，且NE4F=gNB4),

求证：EF=BE+DF；

(3)如图，在四边形ABCZ)中，AB=AD,"+/3=180。，延长8C到点E,延长Cf)到点F,使得

NEAFWNBAD,则结论EF=BE+D尸是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系

并证明.

【答案】(I)EF=8E+OF,理由见详解；(2)见详解：(3)结论EF=BE+Fn不成立，应当是EF=BE-FD.理

由见详解.

【分析】

(1)在CD的延长线上截取。M=M,连接AM,证出“BE岭ZXAQM,根据全等三角形的性质得出BE=

DM,再证明AAEF丝ZXAMF,得EF=FM,进而即可得出答案；

(2)在Co的延长线上截取。G=8E,连接AG,证出AABEgZSADG,根据全等三角形的性质得出BE=

OG,再证明AAEFGZ∖AGF,得EF=FG,即可得出答案；

(3)按照(2)的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换.就应该在BE上截取BG,使BG

=DF,连接AG.根据(2)的证法，我们可得出。尸=8G,GE=EF,那么EF=GE=8E-8G=8E-DF.所

以(1)的结论在(3)的条件下是不成立的.

【详解】

(1)解：EF=BE+DF,理由如下:

延长CQ,使。M=BE,连接AM,

M

一.T

o

•・・在正方形ABCD中，AB=ADfZB=ZADM=W9

：・dABE∖ADM,

：.ZBAE=ZDAMfAE=AM1

∙/ZE4F=45o,

・・・ZBΛE÷ZDΛF=ZDΛΛ∕+ZDAF=90o-45o=45o,

ΛZEAF=ZMAF=450,

XVAF=AF,AE=AM1

LAEF缘AMF,

：.EF=MF=MD+DF=BE+DF;

(2)在Co的延长线上截取OG=BE连接AG,如图,

VZADF=90o,ZADF+ZADG=[S0o,

：./ADG=90。，

VZB=90o,

・♦・ZB=ZADG=90o,

♦：BE=DG,AB=ADi

：.AABE^ΛADG(SAS),

ΛZBAf=ZDAG,AG=AEf

・・・NEAG=ZEAD+ZDAG=ZEAD+ZABE=ZBAD,

∙/NEAF=LNBAD,

2

.∙.ZEAF=-ZEAG,

2

：.ZEAF=ZFAGf

XVΛF=AF,AE=AG,

ΛΔAEF^ΔAGF(SAS),

：・EF=FG=DF+DG=EB+DF;

(3)结论M=BE+尸D不成立，应当是EF=BE-FD.理由如下:

如图，在BE上截取3G,使BG=OE连接AG.

VZB+ZADC=180o,ZADF+ZADC=180°,

・・・ZB=ZADF.

V⅛∆ABG⅛∆ΛDFφ,

AB=AD

<ZABG=ZADF9

BG=DF

ΛΛABG^ΔADF(SAS).

：.ZBAG=ZDAFfAG=AF,

：.Z8AG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=ɪZBAD=-^GAF.

22

：.ZGAE=ɪZBAD=ZEAF.

'：AE=AE,AG=AF.

：.ΛAEG^∕∖AEF.

J.EG=EF,

∖,EG=BE-BG

IEF=BE-FD.

【点睛】

本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加

辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似

的，属于中考压轴题.

8.(1)思维探究：

如图1,点E,尸分别在正方形ABC。的边8C,CDl.,且/E4F=45。，连接EF,则三条线段ERBE,

。F满足的等量关系式是;小明的思路是：将F绕点A顺时针方向旋转90。至MBG的位置，并说

明点G,B,E在同一条直线上，然后证明AAEF堂—即可得证结论；(只需填空，无需证明)

(2)思维延伸：

如图2,在AABC中，ZBΛC≈90o,AB=AC,点。，E均在边BC上，点。在点E的左侧，且/D4E=45。，

猜想三条线段BZλDE,EC应满足的等量关系，并说明理由；

(3)思维拓广:

如图3,在AABC中，NBAC=60。，AB=AC=5,点£>,E均在直线BC上，点。在点E的左侧，S.ZDAE

=30。，当20=1时，请直接写出线段CE的长.

355

222

【答案】（I）BE+OF=EF,∆AEGi（2）BD+CE=DE,理由见解析；（3）五或］

【分析】

（1）由旋转的性质得AG=AF,ZGAB=ZFAD,NABG=NO=90。，则有NGAE=NE4F=45。，进而证得AAEG

^ΛAEF,根据全等三角形的性质证得GE=EF即可解答；

（2）将“8。绕点A逆时针旋转90o≡∆ΛCG,连接EG,可证得AG=AD,ZGAE=ZDAE=45o,NGCE=90。，

进而可证得AGAE丝AZME,根据全等三角形的性质证得GE=OE,再根据勾股定理即可得出结论；

（3）当点£＞在点B右侧时,将MBO绕点A逆时针旋转60。至AACG,可证得NG4E=NOAE=30。，NGCE=I20。,

进而可证得AGAE丝ZVME,根据全等三角形的性质证得GE=DE,过G作G∕ΛLEC,交Ee延长线于”，

设CE=X,易求得GE=0E=4-x,EH=X+"GW=-,在AG//E中，由勾股定理可求得CE的值：当点。

在点B左侧时，同样的方法可求得CE的长.

【详解】

解：（1）：四边形ABCD是正方形，

：.AB^AD,ZBAD^ZD^ZABC^90o,

：将尸绕点A顺时针方向旋转90。至M8G,

：.AG=AF,BG=DF,ZGAB=ZFAD,NABG=ZD=90°,

NA8G+∕48C=90°+90°=180°,

二点G、B、E共线，

∙/NEAF=45°,

：.ZBAE+ZFAD^45o,

：.ZBAE+z≤GAB=45°,即ZGAE=45°

ΛZGAE=ZFAE,XAG=AF,AE=AE,

：.∕∖AEG^∕∖AEF(SAS),

GE=EF,

∖∙GE=BE+BG=BE+DF,

LBE+DF=EF,

故答案为：BE+DF=EF,AAEG;

(2)猜想：BD2+CE2=DE2,理由为：

VZBAC=90o,AB=AC,

ΛZABC=ZACB=45o,

如图2,将“8。绕点A逆时针方向旋转90。至AACG,连接EG,

.'.AG^AD,CG=BD,ZGAC^ZDAB,NACG=NA8CE5°,

.∙.NACG+∕AC2=45°+45°=90°,

.∖GE2^CG2++CE2,

•：ZDAE=450,

：.ZDAB+ZEAC=45o,

：.ZGAC+^EAC=45o,即NGAE=45°

ΛZGAE=ZDAE,又AG=AO,AE^AE,

：.XGAE空MDAE(SAS),

.,.GE=DE,

∖∙GE2^CG2++CE2^BD2+CE2,

.∖BD2+CE2=DE2↑

图2

(3)∙.∙Z∖A8C中，ZBAC=60o,AB=AC=5,

ΛΔABC为等边三角形，

二NA8C=/Ae8=60°,

由题意，点。，E均在直线BC上，点。在点E的左侧，且ND4E=30。,

.∙.①当点。在点B右侧时,BD=X,如图3,

将D绕点A逆时针旋转60。至AACG,连接EG,

：.AG=AD,CG=BD=I,ZGAC=ZDAB,ZACG=ZABC=60O,

VZDAE=30o,ZθAC=60o,

.∙.ZDAB÷ZEAC=30o,

ΛZGAC+∠^AC=30o,BPZGAE=30°

：.ZGAE=ZDAE,XAG=AD,AE=AE,

ΛΔGΛE^ΔDΛE（SAS）,

：•GE=DEt

过G作G”，EC,交EC延长线于从

∙/NECG=NACG+NACB=600+60°=120。，

JNGCH=60。，

在RtAGCH中，CH=CG∙cos6（Γ=;,GH=CGSin60。=立，

22

设CE=x,易求得GE=DE=4-x1EH-x+y,

在AGHE中，由勾股定理得：（4-x）2=（"；）2+（立）2,

22

解得：，即CE=g；

同理，将AABO绕点A逆时针旋转60。至AACG,连接EG,

易证ZiGAE岭ADAE,得GE=DE,

过G作G”,EC,交CE于”，

∙/NACG=ZADB=120°,/4CB=60°,

NGCH=60°,

在RtAGC"中，CH=CGCOS60°=[,G”=CG∙sin60°=也,

22

设CE=x,易求得GE=DE=6-x,EH=x-

在AGEE赢由勾股定理