中考数学复习指导：相似三角形的探索性问题

相似三角形的探索性问题探索性问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，要求学生通过自己的观察、分析、比较、概括，得出结论，形成方法和思路的数学问题，这类题是考查学生分析问题和解决问题的重要题型，它可以分为三类：A图1PCA图1PCB条件探索性问题是指所给问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的题目，这类问题大致分为两种类型：一是问题中的条件未知或不足需要探求，二是条件多余或有错，要求排除或修正.例1:如图1,已知△ABC,P是AB边上的一点,连结CP.要使△APC∽△ACB,则应添加一个条件是_______.分析:⑴∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB)时,可得到△APC∽△ACB;⑵即△APC∽△ACB方法探究:在△APC和△ACB中,已有一角对应相等,因此添加的条件应从“有两个角对应相等，两个三角形相似”和“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形形似”两个途径进行思考，本题是一个条件探究题，这类问题一般解法是把结论当作已知反溯条件.二、结论探索性问题它是指题目结论不确定,不唯一,或题目结论需要通过类比引申推广,或题目给出特例,要通过归纳总结出一般结论.BACDEF图2例2:已知:如图2,△ABC中,点D.E分别在边AB.AC上,连结DE并延长交BC的延长线于点F,连结DC.BE.若BACDEF图2(1)写出图中三对相似三角形(注意:不得加字母和线);(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对,说明他们相似的理由.分析:先由角的关系入手,由∠BDE+∠BCE=180°和图形中∠BDE+∠ADE=∠BCE+∠ECF=180°,可得∠BDE=∠ECF,∠ADE=∠BCE,易得△ADE∽△ACB(∠A为公共角)、△ECF∽△BDF(∠F为公共角),其次，由△ECF∽△BDF得可得△FDC∽△FBE(∠F为公共角).解：⑴△ADE∽△ACB，△ECF∽△BDF，△FDC∽△FBE.⑵①△ADE∽△ACB.证明如下：∵∠BDE+∠BCE=180°.又∵∠BDE+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠BCE.∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB。②△ECF∽△BDF.证明如下：∵∠BDE+∠BCE=180°，又∵∠BCE+∠ECF=180°，∴∠BDE=∠ECF.∵∠F=∠F，∴△ECF∽△BDF.③△FDC∽△FBE.证明如下：∵∠BDE+∠BCE=180°，又∵∠BCE+∠ECF=180°，∴∠BDE=∠ECF.∵∠F=∠F，∴△ECF∽△BDF.∴∵∠F=∠F，∴△FDC∽△FBE.反思:这是一道结论开放型试题,这种题型要求根据题意去探求,往往结论不唯一,具有开放性,解题时,要充分利用已知条件进行大胆而合理的猜想,发现结论,这就要求平时要注意发散性为司和所学基本知识的应用能力的培养.图3CED图3CEDBAFM存在性问题是指在一定的条件下,探索某种数学对象是否存在的问题.例3:如图3,DE是△ABC的中位线,∠B=AF∥BC,在射线AF上是否存在一点M，使△MEC与△ADE相似?若存在,请先确定M,并说明这两个三角形为何相似?若不存在,请说明理由.解析:存在,过点E作AC的垂线交AF于点M(或作∠MCA=∠AED).连接MC,∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,AE=EC.又ME⊥AC,∴AM=CM,∠MAC=∠MCA.又∵AF∥BC,∴AF∥DE,∴∠AED=∠MAC,∴∠AED=∠MCA,又∠ADE=∠MEC=∴△ADE∽△M