北师大版年八年级数学下册《同步考点解读专题训练》专题1.3直角三角形(专项训练)(原卷版+解析)

专题1.3直角三角形（专项训练）1．（2020秋•宝安区期末）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（）A．10 B． C．10或 D．142．（2021春•祁阳县期末）如图，∠C＝90°，AD＝13，BC＝3，CD＝4．若∠ABD＝90°，则AB的长为（）A．10 B．13 C．8 D．123．（2020春•东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（）A．6 B．36 C．64 D．84．下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．（2021秋•深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（）A．14 B．13 C．14 D．146．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为．7．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．8．（2021秋•皇姑区期末）下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（）A．3、4、5 B．5、12、13 C．4、5、6 D．1、、9．（2021秋•龙口市期末）在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a＝4，b＝5，c＝6 C．a＝9，b＝12，c＝15 D．a：b：c＝1：1：210．（2021秋•滨江区校级期中）点A，B，C，在平面直角坐标系的位置如图所示．（1）分别写出点A，B，C的坐标．（2）连接AB，BC，CA，判断△ABC的形状并说明理由．11.（2021秋•福田区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．（1）连接AC，求AC的长．（2）求四边形ABCD的面积．12．（2021秋•八步区期末）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC＝AD，则判定Rt△ABC≌Rt△ABD的依据是（）A．AAS B．SAS C．HL D．SSS13．（2022秋•齐河县校级月考）如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD交于O，OB＝OC，则图中全等的直角三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对14．（2021秋•龙岩校级期中）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．15．（2021春•平远县期末）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．16．（2021春•威宁县校级期末）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．17．（2022春•榆次区期中）在证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时先假设每一个内角都大于60°，然后，…，这种证明方法是（）A．综合法 B．举反例法 C．数学归纳法 D．反证法18．（2022春•府谷县期末）用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（）A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．AB≠AC D．AB≠AC且∠B≥90°19．（2022春•文登区期末）用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是（）A．假设三角形中至少有两个钝角 B．假设三角形中最多有两个钝角 C．假设三角形中最少有一个钝角 D．假设三角形中没有钝角20．（2020春•渭南期中）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．求证：∠1＝∠A+∠B．专题1.3直角三角形（专项训练）1．（2020秋•宝安区期末）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（）A．10 B． C．10或 D．14【答案】C【解答】解：设第三边为x，①当8是斜边，则62+x2＝82，②当8是直角边，则62+82＝x2解得x＝10，解得x＝2．∴第三边长为10或2．故选：C．2．（2021春•祁阳县期末）如图，∠C＝90°，AD＝13，BC＝3，CD＝4．若∠ABD＝90°，则AB的长为（）A．10 B．13 C．8 D．12【答案】D【解答】解：在Rt△BCD中，BC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得BD＝＝5．在Rt△ABD中，AD＝13，BD＝5根据勾股定理，得AD＝＝12．故选：D．3．（2020春•东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（）A．6 B．36 C．64 D．8【答案】B【解答】解：面积为100的正方形的边长为10，面积为64的正方形的边长为8，由勾股定理得，正方形A的边长＝＝6，∴正方形A的面积为36，故选：B．4．下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b﹣）（a+）＝ab+cc，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，∴能够验证勾股定理的有4个．故选：A．5．（2021秋•深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（）A．14 B．13 C．14 D．14【答案】D【解答】解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF＝＝14．故选：D．6．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为．【答案】79【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝5，4×ab＝42﹣5＝37，∴2ab＝37，（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．故答案为79．7．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2），利用分割法，梯形的面积为S＝△ABC+S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2，∴ab+（a2+b2）＝ab+c2，∴a2+b2＝c2；【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．8．（2021秋•皇姑区期末）下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（）A．3、4、5 B．5、12、13 C．4、5、6 D．1、、【答案】C【解答】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故本选项不符合题意；B、52+122＝132，故是直角三角形，故本选项不符合题意；C、42+52≠62，故不是直角三角形，故本选项符合题意；D、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C9．（2021秋•龙口市期末）在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a＝4，b＝5，c＝6 C．a＝9，b＝12，c＝15 D．a：b：c＝1：1：2【答案】C【解答】解：A．因为（32）2+（42）2≠（52）2，所以不能组成直角三角形，不合题意；B．因为42+52≠62，所以不能组成直角三角形，不合题意；C．因为92+122＝152，所以能组成直角三角形，符合题意；D．因为12+12≠22，所以不能组成直角三角形，不合题意；故选：C．10．（2021秋•滨江区校级期中）点A，B，C，在平面直角坐标系的位置如图所示．（1）分别写出点A，B，C的坐标．（2）连接AB，BC，CA，判断△ABC的形状并说明理由．【答案】（1）A（3，2），B（2，﹣3），C（﹣3，﹣2）（2）△ABC是直角三角形【解答】解：（1）A（3，2），B（2，﹣3），C（﹣3，﹣2）；（2）由勾股定理得：AB＝，BC＝，，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．11.（2021秋•福田区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．（1）连接AC，求AC的长．（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）AC=5（2）36【解答】解：（1）连接AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴；（2），在△ACD中，∵AD＝12，AC＝5，CD＝13，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴，∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36，答：四边形ABCD的面积为36．12．（2021秋•八步区期末）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC＝AD，则判定Rt△ABC≌Rt△ABD的依据是（）A．AAS B．SAS C．HL D．SSS【答案】C【解答】解：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC与Rt△ABD中，，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故选：C．13．（2022秋•齐河县校级月考）如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD交于O，OB＝OC，则图中全等的直角三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】C【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，OB＝OC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∠DOB＝∠EOC，在△DOB和△EOC中，，∴△DOB≌△EOC（AAS）；∴OD＝OE，BD＝CE；在Rt△ADO和Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）；∴AD＝AE，∠DAO＝∠EAO；在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（SAS）．在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS）．所以共有四对全等三角形．故选：C．14．（2021秋•龙岩校级期中）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．【解答】证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△BFD和Rt△ACD中，∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）．15．（2021春•平远县期末）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△ABD和Rt△CBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴AD＝CD，∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，∴∠E＝∠F＝90°，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．16．（2021春•威宁县校级期末）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．【解答】解：如图，在Rt△ADC与Rt△CBA中，，∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），∴DC＝BA．又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在Rt△ABE与Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）17．（2022春•榆次区期中）在证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时先假设每一个内角都大于60°，然后，…，这种证明方法是（）A．综合法 B．举反例法