北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题01同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方(原卷版+解析)

专题01同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一同底数幂相乘】 1【考点二同底数幂乘法的逆用】 2【考点三已知代数式的值，求式子的值】 3【考点四新定义关于同底数幂的运算】 3【考点五幂的乘方运算】 6【考点六幂的乘方的逆用】 6【考点七积的乘方运算】 7【考点八积的乘方的逆用】 8【过关检测】 10【典型例题】【考点一同底数幂相乘】例题：（2022·江苏南京·七年级期末）计算的结果是___________．【变式训练】1．（2022·湖南郴州·七年级期末）计算：______．2．（2022·全国·八年级课时练习）计算：（1）；（2）；（3）．【考点二同底数幂乘法的逆用】例题：（2022·山西太原·八年级阶段练习）已知，，则的值为______．【变式训练】1．（2022·福建泉州·八年级期中）若，，则＝________．2．（2022·上海市闵行区梅陇中学七年级期中）已知，求_____．【考点三已知代数式的值，求式子的值】例题：（2022·四川雅安·七年级期中）已知，则的值是__________．【变式训练】1．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期末）若，则m的值是________.2．（2022·湖南·郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）若a+b+c=3，求的值．【考点四新定义关于同底数幂的运算】例题：（2021·福建·泉州市第六中学八年级期中）如果，那么我们规定，例如：因为，所以．(1)根据上述规定，填空：____________，____________．(2)记，，．求证：．【变式训练】1．（2022·福建·厦门市杏南中学八年级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．(1)根据上述规定，填空：______，______，______；(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明：设，则，即∴，即，∴．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．．2．（2022秋·河南周口·八年级校考阶段练习）规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．(1)根据上述规定，填空：（5，125）＝，（﹣2，4）＝，（﹣2，﹣8）＝；(2)记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，试说明：a+b＝c．【考点五幂的乘方运算】例题：（2022秋·江西赣州·八年级校考阶段练习）计算的结果是（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·上海市天山第二中学七年级期中）计算：．2．（2022·上海市民办立达中学七年级期中）计算：【考点六幂的乘方的逆用】例题：（2022·福建省福州第十六中学八年级期中）若，，则______．【变式训练】1．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中八年级期中）若，，则___________2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）若，，则___________．【考点七积的乘方运算】例题：（2022·吉林长春·八年级期中）计算：．【变式训练】1．（2022·上海杨浦·七年级期中）计算：．2．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期中）计算(1)；(2)；【考点八积的乘方的逆用】例题：（2022·河北·邯郸市邯山区扬帆初中学校八年级期中）计算：(1)已知，求n的值；(2)已知n是正整数，且，求的值．【变式训练】1．（2022·广西贵港·七年级期中）（1）算一算，再选“<、>或=”填空：①_________；②_________．（2）想一想：____________．（3）利用上述结论，求．2．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）若都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，求的值；(2)如果，求的值；(3)若，用含的代数式表示．【过关检测】一、选择题1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）计算的结果是（）A． B． C． D．2．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·西藏拉萨·八年级西藏拉萨市第一中学校考期末）若，，则的值为（

）A．3 B．11 C．28 D．无法计算4．（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）计算的结果是（

）A．1 B． C． D．5．（2022秋·山东滨州·八年级滨州市滨城区第三中学校考阶段练习）已知，则a，b，c的关系为①②③④，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题6．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算：_______；_______；_______7．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）已知，，则______．8．（2022秋·辽宁大连·八年级校考期末）已知，且，则______．9．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）已知：，，则用，可以表示为________.10．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）已知，．（1）的值为______；（2）若，则的值为______．三、解答题11．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学统考期中）计算：．12．（2022秋·全国·八年级专题练习）13．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）计算：(1)(2)14．（2022秋·辽宁营口·八年级校联考期中）（1）已知，试求的值．（2）已知，，求24m+2n的值．15．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知n为正整数，且，，求：(1)_________，_________；(2)的值．16．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！(1)如果2×8x×16x＝222，求x的值；(2)已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．17．（2022春·江苏南京·七年级南京市百家湖中学校考阶段练习）算一算：(1)(2)(3)(4)已知，求的值．(5)已知，求x的值．18．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．(1)根据上述规定，填空：①（5，125）＝，（﹣2，﹣32）＝；②若（x，）＝﹣3，则x＝．(2)若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系(3)若（m，8）＋（m，3）＝（m，t），求t的值．专题01同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一同底数幂相乘】 1【考点二同底数幂乘法的逆用】 2【考点三已知代数式的值，求式子的值】 3【考点四新定义关于同底数幂的运算】 3【考点五幂的乘方运算】 6【考点六幂的乘方的逆用】 6【考点七积的乘方运算】 7【考点八积的乘方的逆用】 8【过关检测】 10【典型例题】【考点一同底数幂相乘】例题：（2022·江苏南京·七年级期末）计算的结果是___________．【答案】【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．【详解】解：原式＝故答案为：【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖南郴州·七年级期末）计算：______．【答案】【分析】根据同底数幂相乘法则计算，即可求解．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，熟练掌握同底数幂相乘法则是解题的关键．2．（2022·全国·八年级课时练习）计算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；（2）先根据同底数幂的乘法法则计算出各数，再合并同类项即可；（3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键．【考点二同底数幂乘法的逆用】例题：（2022·山西太原·八年级阶段练习）已知，，则的值为______．【答案】45【分析】利用同底数幂的相乘法则的逆运算计算即可．【详解】解：∵，，∴．故答案为：45【点睛】本题考查同底数的幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握同底数幂的相乘法则的逆运算．【变式训练】1．（2022·福建泉州·八年级期中）若，，则＝________．【答案】【分析】根据同底数幂的逆运算可进行求解．【详解】解：∵，，∴；故答案为12．【点睛】本题主要考查同底数幂的逆运算，熟练掌握同底数幂的运算是解题的关键．2．（2022·上海市闵行区梅陇中学七年级期中）已知，求_____．【答案】6【分析】根据同底数幂乘法的逆运用，即可求解．【详解】解：∵，∴．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运用，熟练掌握同底数幂乘法的逆运用法则是解题的关键．【考点三已知代数式的值，求式子的值】例题：（2022·四川雅安·七年级期中）已知，则的值是__________．【答案】【分析】由可得；然后根据同底数幂的乘法法则代入计算即可【详解】解：由可得：∴故答案为：【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、代数式的值；熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期末）若，则m的值是________.【答案】4【分析】根据同底数幂乘法法则进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴1+2m+3m＝21解得m＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决此题的关键．2．（2022·湖南·郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）若a+b+c=3，求的值．【答案】1024【分析】首先利用同底数幂的乘法法则进行计算，然后计算指数部分，最后将a+b+c=3代入进行计算即可．【详解】解：，∵a+b+c=3，∴原式=1024．【点睛】本题主要考查的是同底数的乘法，将a+b+c=3整体代入是解题的关键．【考点四新定义关于同底数幂的运算】例题：（2021·福建·泉州市第六中学八年级期中）如果，那么我们规定，例如：因为，所以．(1)根据上述规定，填空：____________，____________．(2)记，，．求证：．【答案】(1)3；4(2)见解析【分析】（1）根据示例要求，直接可求解；（2）根据同底数幂相乘的逆用可求解．（1）解：∵=27，，∴，．故答案为：3；4．（2）解：因为，，，∴，，；∵又∵，∴．【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆应用，解答本题的关键是正确的找到题目给出的规律．【变式训练】1．（2022·福建·厦门市杏南中学八年级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．(1)根据上述规定，填空：______，______，______；(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明：设，则，即∴，即，∴．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．．【答案】(1)2，2，4；(2)见解析．【分析】（1）根据题中规定的新运算结合有理数的乘方求解即可；（2）设，，根据同底数幂的乘法可得，然后结合题中规定的新运算即可证明．【详解】（1）解：∵，，，∴，，，故答案为：2，2，4；（2）解：设，，则，∴，，，∴．【点睛】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．2．（2022秋·河南周口·八年级校考阶段练习）规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．(1)根据上述规定，填空：（5，125）＝，（﹣2，4）＝，（﹣2，﹣8）＝；(2)记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，试说明：a+b＝c．【答案】(1)3，2，3(2)a+b＝c【分析】（1）根据有理数的乘方及新定义计算．（2）根据题意得：根据列出等式即可得出答案．【详解】（1）∵53＝125，∴（5，125）＝3，∵（﹣2）2＝4，∴（﹣2，4）＝2，∵（﹣2）3＝﹣8，∴（﹣2，﹣8）＝3，故答案为：3，2，3．（2）∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∵5×6＝30，∴3a×3b＝3c，∴3a+b＝3c，∴a+b＝c．【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘法，第（2）问根据得到是解题的关键．【考点五幂的乘方运算】例题：（2022秋·江西赣州·八年级校考阶段练习）计算的结果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据幂的乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则，准确计算．【变式训练】1．（2022·上海市天山第二中学七年级期中）计算：．【答案】【分析】先算同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可．【详解】解：【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解题关键是对相应的运算法则的掌握．2．（2022·上海市民办立达中学七年级期中）计算：【答案】【分析】先计算同底数幂的乘法与幂的乘方运算，再合并同类项即可．【详解】解：．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，合并同类项，掌握“幂的乘方运算与同底数幂的乘法运算的运算法则”是解本题的关键．【考点六幂的乘方的逆用】例题：（2022·福建省福州第十六中学八年级期中）若，，则______．【答案】45【分析】利用同底数幂乘法和幂的乘方公式对进行变形成含和的形式，再代入计算即可．【详解】∵，，∴．故答案为：45．【点睛】考查了同底数幂乘法和幂的乘方，解题关键是利用同底数幂乘法和幂的乘方公式对进行变形成含和的形式．【变式训练】1．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中八年级期中）若，，则___________【答案】135【分析】根据幂的运算法则把变形为，然后把，代入计算即可．【详解】解：，，，故答案为：135．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方运算的的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）若，，则___________．【答案】36【分析】根据逆用同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算即可求解．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方是解题的关键．【考点七积的乘方运算】例题：（2022·吉林长春·八年级期中）计算：．【答案】【分析】根据幂的乘方法则和积的乘方法则以及合并同类项法则解答即可．【详解】解：【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，关键是根据幂的乘方和同底数幂的乘法的法则计算．【变式训练】1．（2022·上海杨浦·七年级期中）计算：．【答案】【分析】先算积的乘方，同底数幂的乘法，再算加减法即可求解．【详解】解：原式===．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握积的乘方，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则是关键．2．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期中）计算(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）由积的乘方进行化简，然后合并同类项，即可求出答案；（2）由同底数幂乘法，幂的乘方进行化简，然后合并同类项，即可求出答案．【详解】（1）解：；（2）解：；【点睛】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行化简．【考点八积的乘方的逆用】例题：（2022·河北·邯郸市邯山区扬帆初中学校八年级期中）计算：(1)已知，求n的值；(2)已知n是正整数，且，求的值．【答案】(1)3；(2)4．【分析】（1）由，得到一元一次方程，即可求解；（2）把变形为，再把代入计算即可．【详解】（1）解：，，解得.（2）解：，当时，原式．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广西贵港·七年级期中）（1）算一算，再选“<、>或=”填空：①_________；②_________．（2）想一想：____________．（3）利用上述结论，求．【答案】（1）①=，②=；（2）；（3）8【分析】先计算（1）找到计算规律，然后按照计算规律计算（2）（3）即可【详解】解：（1）①②故答案为：①=，②=（2），故答案为：（3）．【点睛】本题考查规律探究、积的乘方等于乘方的积，根据初步计算积的乘方发现计算规律是解题关键．2．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）若都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，求的值；(2)如果，求的值；(3)若，用含的代数式表示．【答案】(1)2(2)3(3)y【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则进行计算，得出关于x的等式，进而即可得出结果；（2）利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出结果；（3）由，可得，把变形为y，代入即可．（1）∴x+3=5，∴x=2；（2）∴∴x+1=4，∴x=3；（3）．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）计算的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即解答．【详解】解：．故选：C【点睛】此题考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方可进行求解．【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方是解题的关键．3．（2022秋·西藏拉萨·八年级西藏拉萨市第一中学校考期末）若，，则的值为（

）A．3 B．11 C．28 D．无法计算【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解．【详解】解：∵，，∴．故选：C【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法的逆用是解题的关键．4．（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）计算的结果是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算法则求解即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方、有理数的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算并正确求解是解答的关键．5．（2022秋·山东滨州·八年级滨州市滨城区第三中学校考阶段练习）已知，则a，b，c的关系为①②③④，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据根据同底数幂的乘法，利用等式的性质将进行适当的变形可得答案．【详解】解：，，，，故①正确；，则，故②正确；，则，故③正确；，，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，利用等式的性质等知识，根据同底数幂的乘法和等式的性质将原式进行适当的变形是得出答案的前提．二、填空题6．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算：_______；_______；_______【答案】

【分析】运用同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方法则进行计算即可得出答案．【详解】解：；；；故答案为：；；．【点睛】本题考查了幂的相关运算，解决本题的关键是熟练掌握幂的相关运算法则．7．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）已知，，则______．【答案】1【分析】先将转化为以2为底数的幂的形式，然后求出，，最后代入计算即可．【详解】∵，，，，，∴，，∴，，∴原式，故答案为1．【点睛】本题考查了幂的转换，正确将转化为以2为底数的幂的形式是解题的关键．8．（2022秋·辽宁大连·八年级校考期末）已知，且，则______．【答案】36【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算计算即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：36．【点睛】此题考查了整式的乘法公式：同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟记计算法则是解题的关键．9．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）已知：，，则用，可以表示为________.【答案】【分析】将已知等式代入可得答案．【详解】解：∵，，∴故答案为：【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键10．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）已知，．（1）的值为______；（2）若，则的值为______．【答案】

【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果；利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果．【详解】解：，，，故答案为：；，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．三、解答题11．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学统考期中）计算：．【答案】【分析】先根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，然后再合并同类项即可．【详解】解：【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则，是解题的关键．12．（2022秋·全国·八年级专题练习）【答案】【分析】先计算积的乘方运算，幂的乘法运算，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可．【详解】解：【点睛】本题考查的是积的乘法运算，幂的乘方运算，同底数幂的乘法，合并同类项，掌握“幂的乘方与积的乘方运算法则”是解本题的关键．13．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）先算积的乘方，再算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，积的乘方和合并同类项法则是解题的关键．14．（2022秋·辽宁营口·八年级校联考期中）（1）已知，试求的值．（2）已知，，求24m+2n的值．【答案】（1）8；（2）2025【分析】（1）根据已知式子求得，然后根据逆用同底数幂的乘法，以及幂的乘方运算进行计算；（2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方进行计算即可求解．【详解】（1）∵∴∴；（2）∵，，∴．【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，解题的关键是熟练运用幂的乘方运算法则．15．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知n为正整数，且，，求：(1)_________，_________；(2)的值．【答案】(1)64；25(2)13【分析】（1）根据幂的乘方的逆运算，即可求解；（2）根据幂的乘方及其逆运算，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴；∵，∴；故答案为：64；25（2）【点睛】本题主要考查了幂的乘方及其逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算法则是解题的关键．16．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！(1)如果2×8x×16x＝222，求x的值；(2)已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据同底数幂的运算法则将