2022-2023学年辽宁省部分学校九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

2022-2023学年辽宁省部分学校九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.抛物线y=—/—2x一定不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知京，各均为单位向量，那么下列说法正确的是（）

A.+e2=2erB.西〃/C.e±=e2D.|^|—|e2|=0

3.在AaBC中，点。，E分别在边AB,AC上，那么在下列条件中，一定能够判定DE〃BC的选项是（）

.AD_AC„DE_AD„DE_AD口AD_BD

A'AE=AB°'BC=ACC'^C~AB^~~AE~'CE

4.小英在用“描点法”探究二次函数性质时，画出了以下表格，不幸的是，部分数据已经遗忘（如表所示

），小英只记得遗忘的三个数中（如加，R,A所示），有两个数相同.根据以上信息，小英探究的二次函数解

A.y=x2—3%—2B.y=7X2+7^—?

Jz442

C.V=2%2—5%—1D.y=i%2一?%—3

/J22

5.在AABC中，AB=10,tanB=如果△ABC的形状和大小都被确定，那么线段AC的长度不可能为

4

（）

A.6B.8C.10D.12

6.一个篮球从一定高度自由下落到水平地面上，弹起后会到达一个低于初始高度的最高点位置，又落回地

面，接着继续弹起，整个过程中篮球的轨迹都在同一直线上，且篮球每次弹起达到最高点时，其具有的重

力势能都大于该篮球前一次弹起达到最高点时的一半.小英将该篮球从距离水平地面10米处的点A处扔

下，使之自由下落，落到水平地面上的点8处后弹起，第一次弹起后到达最高点时，篮球位于点C处，第

二次位于点。处，且C,。分别为AB,BC的黄金分割点，以此类推.同时，小英发现对于实数m",若

0<a<1,当〃越大，a”越接近0,则整个运动过程中，篮球的总路程最接近（）

A.15+575B.15+10<5C.20+10<5D.30+10<5

二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

7-给定关于X的一元二次方程/+2X-3=。，则宙=一.

8.一次函数y=kx+k过定点(zn,n),则点(m,m+几)到原点距离为

9.已知点4(2,2),5(5,6),C(4,8),那么S—BC=

10.函数为=3x2+kx+3k与函数%=2kx+2k交于一点，则k=

11.如图所示，给定△ABC,将AB绕点A旋转，使得点8与线段8C中点。重

合，若4D=CD,那么AC：CD=.

12.函数y-x2-4x+c和无轴的两个交点与顶点组成直角三角形，贝!|c=.

13.在菱形ABC。中，£为线段CD中点，联结8E,当线段BE的中垂线与线段AO相交时，假设mW

sinD<n,当机取最小值，〃取最大值时，：=.

14.已知四边形ABC。为矩形，AB=3,BC=4.对于线段AO上的点E,做出这样三个规定：

(1)点E为线段上向点。运动的点，将这个点运动的时间为每秒记录一次；

(2)点E每一秒运动的路程恰好为上一次记录当中点A到线段BE的距离；

(3)当每一次记录的线段AE长之和恰好与矩形A8CZ)的面积一半相同时，点E停止运动.

若线段AE的值总共记录了10次，那么线段AE的初始值为.

15.《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载的“赵爽弦图”巧妙地证明

了勾股定理，彰显了我国古代数学家的智慧.如图所示，“赵爽弦图”由四个全等的

矩形与两个正方形拼接而成，已知大正方形的面积是小正方形面积的25倍，设

AB=a，AD=b，那么4尸=.(用市b表示)

16.如图所示，在△ABC中，4B=90°,AB=BC,点。在边8c上，且BD=

2CD,联结AD,如果点E在线段上，使得线段8C是线段AD,AE的比例

中项，联结CE,那么tan/BCE的值为.

AC

17.定义：经过三角形重心且平分这个三角形周长的直线叫“重分线”.如果一个等腰三角形的“重分线”

能经过其两腰，那么这个等腰三角形底角余弦值k的取值范围是.

18.在△力BC中(线段AB,AC,BC为定长)，尸为线段BC上一动点，作48,ZC,乙4PB的平分线a,b,

c,直线a,c交于点人，点/2为直线6上一点，且//止/2=90°,当点尸移动到线段8c中点时，BP=3,

AC=5,tan^BAP=ShABC=9,则当点尸从点C向点B的运动过程中，5的通取最小值时，

CP=.

三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题10分）

计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）：si:60。+尊°22”一

cos30-sinz30|tan60-cot60|

、sin215°—2cosl5°sinl5°+sin2750

N-------——市-------------sin600.

sin15—cosl5

20.（本小题10分）

求二次函数y=x2+ax+3顶点运动轨迹的函数解析式.

21.（本小题10分）

“愚公移山”是我国著名寓言故事，它告诉了我们坚持不懈的道理.某日，小张穿越至愚公的年代，碰到了

移山的众人.

图2

（1）在运输山石等杂物时，有两条路可行，已知A,8间的直线距离为50里（如图1所示）.

线路1：折线已知点C在点A东北方向，点2在点。东偏南53。方向，CD//AB,且C,。间的距

离为30里;

线路2：以42为直径的半圆.如果仅从远近考虑，小张应该告知愚公选取哪一条线路使得路程更短？请你

通过计算说明理由.

（2）愚公为了能够更精确地了解所移之山MN的高度，请求小张帮其测量.如图2所示，已知在山的后

方有一座高140米的小山尸°,小张站在线段QN上的点E处，EQ=480米，此时小张测得点/的仰角为

60。，随后小张到达小山山顶点尸处测得点/的仰角为21。，请你帮小张求出山高的值.（结果保留3位

有效数字，以下为参考三角比与数值）sin37。鹿；sinl6。=晟sin39。=0.63；V2-1.41；/3~1.73

22.（本小题10分）

在菱形A3C。中，E,尸为线段3C上的点，且CD=2BE=4BF,连接AE,。尸交于点G.

(1)如图(1)所示，^BAE=^ADF,求cosB的值；

(2)连接CG,在图(2)上求作品在瓦?与前方向上的分向量.

23.(本小题12分)

如图，在RtzkABC中，^ABC=90°,点。，E分别在边BC,AC上，联结A。，BE交于点G,且AD=

CD.

(1)如果BE=4B,求证：BE-AG=BC•EG；

(2)如果射线CG交AB于点P,S.AD-AE=BD-CE,求证：点P是AB中点.

函数一直都是初中数学所研究的关键，其种类繁多数不胜数，我们所熟知的函数就有“一次函数”、“二

次函数”和“反比例函数”.

现在给出分段函数的定义：对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数，这个函数的整体我们

称为/'(%).

例如：/(x)=1这个函数在。<久<1是y=/,在工>1时是2x,这两个不同区域的函数组合

形成了函数

接下来为绝对值方程：在平面直角坐标系xOy中，若给出方程|x|+|y|=1,那么其图象可以看作是两个

八r%(-X+1,0<x<1f%-1,0<%<1

rx2—2x—k,—2<x<3

一10

在平面直角坐标系xOy中，已知分段函数/(%)=《一"，％工一2Q与x轴交于点A,8(点A在点8

—(k+1),x>3

左侧)，与>轴交于点c,直线y=警乂—(k+1)与函数/(%)交于点。，-表

(1)求分段函数/(%)的最小值；

(2)设f(x)最小值所在点为。，点E在/(©上，且SUBE=S四边形ABDC-1,直接写出点E的坐标；

(3)i.在第(2)间的条件下，求证：AACOSRDBC；

ii.在方程|2x|+|y|+比=3上取一点P,点M,N分别在/(久)与直线BC上，若△PMN为等腰直角三角形，

且点尸关于MN的对称点恰好落在直线8C上，试问：是否存在这样的APMN,若存在求其周长；若不存

在，请说明理由.

25.(本小题14分)

在梯形A8CZ)中，AD//BC,48=30,DC=25,BC=AB+CD,8。平分Z71BC,NABD的余切值为2,

E为线段BC上的动点.若NB4E+4乙4DB=180°,求线段AE的长度.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•••a=-1,抛物线开口向下，对称轴为％=-1,与y轴交于(0,0),

••.抛物线经过二、三、四象限，不经过第一象限.

故选：A.

由函数解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为力=-1,与y轴交于(0,0),判断不经过的象限.

本题主要考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限

是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：根据单位向量的定义可知：江和石都是单位向量，但是这两个向量并没有明确方向，

A,B,错误，。正确，

故选：D.

根据单位向量的定义逐一判断即可.

本题考查了平面向量中的单位向量知识，熟练掌握单位向量的定义是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：4由筹=言，不能判断DE〃BC；

民由您=窘，不能判断。E〃BC；

C•由*=令，不能判断DE〃BC；

八ADBD

D.,：—

AE~CE9

AD_4D+BD

AE~AE+EC

•••△AEDs△ABC,

•••Z.ADE=Z-ABC,

・•.DE//BC.

故选：D.

A

B乙---------------------

先画出图形，根据相似三角形的性质与判定逐项分析判断即可求解.

本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：A、y=/一3%-2的对称轴为直线％=

B、y=+六％一羡的对称轴为直线式=一，

C、y=2x2—5x—1的对称轴为直线％="

D、y=|x2--3的对称轴为直线x=|,

若M与R相同，则抛物线的对称轴为直线x=-(只有8选项符合，

将点(1,-4),(2,-3)代入解析式，均符合；

若M与A相同，则抛物线的对称轴为直线x=1,没有选项符合；

若R与A相同，则抛物线的对称轴为直线x=|,选项A、。符合，

但将点(1,-4),(2,-3)代入解析式，却不符合；

M与R相同，8选项符合，

故选：B.

分别求出各选项抛物线的对称轴，根据每两个数相同，分别判断即可得到答案.

此题考查了二次函数的图象与性质，抛物线关于对称轴的对称性，正确理解二次函数的图象与性质是解题

的关键.

5.【答案】B

【解析】解：如图，当NC=90。时，

.,.设AC=3x,BC=4x,

AC2+BC2=AB2,

■-9x2+16x2=100,

x=2或x=—2舍去，

AC-6,BC-8,

".'AABC的形状和大小都被确定，

AC=6或AC>10,

••・线段AC的长度不可能为8.

故选：B.

当NC=90。时，根据tanB=黑=',可设力C=3x,BC=4x,根据勾股定理得x=2,所以AC=6,根据

△48C的形状和大小都被确定，可得4C=6或2C210,即可解决问题.

本题考查解直角三角形，解题的关键是理解题意，判断出三角形唯一确定的AC的范围，属于中考常考题

型.

6.【答案】A

【解析】解：篮球的总路程为：10+10X受+10X（要）2+10X（受）3+……+10X（受）n<

1015+5V-5，

故选：A.

先求出每次弹跳的路程，再求和.

本题考查了黄金分割的应用，掌握等比数列的求和公式是解题的关键.

7.【答案】崂

【解析】解：%2+2%-3=0,

•••/+2%=3,

%2+2x+1=3+1,

+I）2=4,

.2022_2022_1011

J（%+1）2=丁=丁，

故答案为：等.

根据完全平方公式可得（久+1）2=4,然后代入式子中进行计算即可解答.

本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键.

8.【答案】72

【解析】解：,•,y=kx+k=k(x+l),

.•.一次函数y=kx+k过定点(-1,0),

m=—1,n=0,

(jn,m+71)即点(—1,—1)到原点距离为VI?+12=y/~2,

故答案为：V-2-

根据一次函数y=kx+k过定点(-1,0),求得m=-1,n=0,再根据勾股定理即可求解.

本题考查了一次函数的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

9.【答案】5

111

X3X4X1X2X

【解析】解：S&ABC2--2--2-

2x6=5.

故答案为：5.

把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形的

面积即可.

本题考查三角形的面积，坐标与图形的关系等知识，解题

的关键是利用数形结合.

10.【答案】12

【解析】解：,函数为=3x2+kx+3k与函数%=2kx+

2/c交于一点,

3K2+kx+3k=2kx+2k有两个相等的实数根,

即3/—kx+k=0,

：.A=b2-4ac=k2-12k=0,

解得：七=0(舍去)，k2=12,

故答案为：12.

依题意得出3/—"+k=。有两个相等的实数根，计算/=0,解方程即可求解.

本题考查了二次函数图象与一次函数交点问题，掌握一元二次方程根的判别式，将函数图象交点问题转化

为方程的解的情况是解题的关键.

11.【答案】V3

【解析】解：由旋转的性质得=力。，

Z-B=Z.ADB,

•••AD=CD,

AB=AD=CD,

・•,点2与线段8C中点。重合，

AB=AD=CD=BD,

Z_B=Z-ADB——60°,Z.CAD=zC,

1

.­./.CAD=ZC=^ADB=30°,

.­.ABAC=180°-60°-30°=90°,

BC=2AB=2CD,

在RtAABC中，

AB2+AC2=BC2,

CD2+AC2=(2CD)2,

AC2=3CD2,

AC=y/~3CD，

■■AC：CD=<3.

由旋转的性质结合已知条件证得△ABD是等边三角形，△2CD是等腰三角形，继而得到==

60。，ZC=30%得到A/IBC是直角三角形，根据勾股定理即可得到答案.

本题主要考查了旋转的性质，等边三角形和等腰三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转的性质结合已知

条件证得ZB=AD=CD=BD是解决问题的关键.

12.【答案】3

【解析】解：・函数y=/-4x+c和x轴有两个交点，

・••方程——4%+c=0有两个不等实根，

.../=(-4)2-4c=16-4c>0,

即c<4,

由求根公式得：久=坦第生=2±门=7，

・,・方程%2—4x+c=。的根为第1=2—V4—c,&=2+V4—c,

...函数丫=%2一4%+c和1轴的两个交点为(2-7,0),(2+"^7,0),

yy=x2—4x+c=(x—2)2+c—4,

・•・顶点坐标为(2,c-4),

•.・函数y=X2-4X+c和％轴的两个交点与顶点组成的直角三角形为等腰直角三角形，

•••V4—c=4—c,

解得c=4（舍去）或c=3,

故答案为：3.

先求出抛物线与x轴的交点坐标，顶点坐标，再根据抛物线与x轴的两个交点与顶点组成的直角三角形是

等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质解答即可.

本题考查抛物线与x轴交点，二次函数的性质，关键是判定抛物线与x轴的两个交点与顶点组成的直角三

角形是等腰直角三角形.

13.【答案】十

【解析】解：设菱形的边长为。，

•••E为线段中点，

•••DE=1a,

当BE的垂直平分线经过点。时，sin。取得最小值，如图，连接AC、BD交于点、O,过点。作DF148于

点F,

则BD=DE=沙,

•••四边形A8C。是菱形,

11

/.ACLBD,OB=OD=：BD=：a,OA=OC,

24

在RtZkAB。中，AO=y/AB2-OB2=J口2_(3)2=苧。,

•・•DF•AB=BD,A0,

CL1

•**DFxa=7ax---a，

L4

•*«DF——--a，

o

/15r―

..sin血。=%

a8

•••^ADC=180°

•••sin^ADC=sin(180°-Z5A0)=sin^BAD=邙

o

•・"苧

当4。=90。时，sin。取得最大值1,即n=l；

m

,n~8'

设菱形的边长为。，当5E的垂直平分线经过点。时，sin。取得最小值，如图，连接AC、5。交于点O,

过点。作DF14B于点凡利用勾股定理和三角函数定义即可求得sin/BAD="=受=成，得出

ADa8

sinNADC=sin（180。一NB4D）=sinNBAD=孚，即m=孚；当4。=90。时，sin。取得最大值1,即

OO

71=1;即可求得答案.

本题考查了三角函数定义，菱形性质，三角形面积，勾股定理，利用面积法求出。产的值是解题关键.

14.【答案】0.03

设第n次记录的AE的长为厮,

ABxAE^_3al

+a2H---l-a10=gx3x4=6,"i-

BE132+af

设A到BE的距离分别喝,

=%.+d],3=22=%.+di+C？2，a=9di+2H-----

贝。。+壮10。+嘉=%.+弓\-d9,

10。1+9dl+8d2+，,，+d9=6,

E点友动的总路程为由+di++…+dg=@10,

如图，AFLEF,

设第10次记录时，AE=a10,则ZF=四，

..9dl+d】_dg

10(Z|9

即dg=10di，

同理可得dg=9d1，d7=8di，.....,d2=2d0

•，•104+9dl+8d2+…+四

=10。1+9dl+8x3dl+，,，+2x9dl+lOd1

=10。1+9dl+24dl+…+18di+lOd1

=10^+(9+24+28+30+30+28+24+18+10)^

=10%+201心=6,

...M=3al

Jai+32,

lOa^+201xji==6

解得：a~0.0284372359108~0.03,

故答案为：0.03.

1,_ABxAE^_3al

设第〃次记录的AE的长为a九，则-+a=-x3x4=6,电―BE1一ry~^，然后求得

10ZJ3十

dg—10d],c/g—9d1,dy—8d1，，d2=2dr代入进行计算即可求解.

本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，理解题意解题的关键.

15.【答案】|a：-|K

B

【解析】解:连接AD、AF,

•••四边形A3CD、四边形EPG8都是正方形,

：.HF、8。共线，

=方，^AD=3，

.・.DB=AB-AD=五一b，

・・•大正方形的面积是小正方形面积的25倍，

1

FH=-BD,

由图可得=DF,

142

・•・DF=±X^DB=^BD,

•••~AF=AD+DF=b+|(a—b)=|五一|b,

故答案为：|a-|K

连接A。、AF贝UH/、8。共线，先求出丽=方—方，由已知可知FH="BD,由图可得BH=DF,再求

DF=^BD,则存=而+而=|五一萩

本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的定义，正方形的性质是解题的关键.

16.【答案】:

【解析】解：过E作EF1BC于R如图：

设CD=比，贝IjBD=2x,BC=3x=AB,

AD=y]AB2+BD2=(3x)2+(2x)2=713x,

•••线段2C是线段A。，AE的比例中项，

••・线段AB是线段相＞,AE的比例中项，谡=唬=兽＞=四型

AD/13x13

ABAE/V「97134713

砺=漉'DE=AD-AE=/13x--^x=.久，

•••4BAD=乙EAB,

ABDs^AEB,

•••乙ABD=乙AEB=90°,

•••乙DEB=90°,

•・•EFIBC,

,DFDE

.•,cozsZz?£ncDF=-=-

DP2（用）28

X

''DF』2x=13

EF=7DE?-DF2=J(察x)2—2=l|x,CF=CD+DF=X+^X^X,

12

EFTo^4

・•・tanz^CE=-=^-=-

CF±±7

13xr

故答案为：三

过E作EF1BC于F,设CD=久，贝UBD=2x,BC=3x=AB,由线段8c是线段AD,AE的比例中项,

可得==比，DE=AD-AE=证明△ABDSAAEB,可得NABD=NAEB=90。=

乙DEB,从而cos/EDF=鳌=黑，可得。尸=匹！=色％,即可求得EF=7DE?_DF2=栗,CF=

?i,,pp4

CD+DF=-x,故taMBCE=^V.

本题考查直角三角形的综合应用，涉及相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理及应用等知识,

解题的关键是用含x的代数式表示相关线段的长度.

11

<f<

17.【答案】3--c-2-

【解析】解：如图1,当“重分线”经过等腰三角形底角的顶点时,

A

此时，△ABC是等边二角形,

i

•••k=cos60°=-；

如图2,当“重分线”平行于等腰三角形的底边时,

BD=DC=b,

2

由题意得，AE=AF=^a.

vEF平分△48C的周长,

AE+AF=a+b,即ga=a+b,

-1a=b,,

BDb1

■■■k=cosB--ATTBT=—a=K3

11

<f<

综上所述,3--c-2-

故答案为：太人品.

根据题意，分别得出“重分线”的两种特殊情况，进而求解即可.

本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1,等腰三角形的性

质，余弦函数的定义，求得“重分线”的特殊位置对应的余弦值是解题的关键.

18.【答案】4

【解析】解：如图：过点A作力于点”，

•・•点P移动到线段BC中点时，BP=3,

BC=2BP=6,

••・S^ABC=9,

...4“=Z^£=3,

DC

VAC=5,

・•.CH=AC2-AH2=4,

・・,直线〃，c交于点A，

・•・人是△ARP的内心，

1

.・.^PA="PB,

•・•4尸/2=90°,即乙4P，2=90°一乙4P/1=^(180°-/.APB｝乙4PC,

・•.P%是的平分线，

k为丛ZPC的内心，

如图所示，过点//2分别作8C的垂线，垂足分别为区F,设/2/=厂2,AP与〃2交于点/，

SA4"2=；八（勺+「2），〃为三角形的铅垂高，水平宽乘以铅锤高的一半），

当A/与q+o最小时,SAA/透取得最小值，

乙=90°,

观察图形，当点尸从点C向点2的运动过程中，当/BP。=NOP/?=45。时，勺+上最小，

止匕时4/1BC,即AP1BC,

如图所示，

PC=HC=4,

故答案为：4.

过点A作AH1BC于点X,根据当点P移动到线段BC中点时，BP=3,AC=5,SAABC=9,得出BC,

AH的长，根据题意，作出图形，得出透取得最小值，点P与点H重合，即可求解.

本题考查了解直角三角形，三角形内心的相关问题，根据题意作出图形是解题的关键.

19.［答案］解：sin60°tan2°2245°_Jsin215°-2c°sl5°sinl5°+sin27sz_

cos30°-sin230°|tan60°-cot60°|sinl5°-cosl5°°'

苧l2022J（sinl5°-cosl5°）273

+

y/~3A.21I-TJ1sinl5°-cosl5°2

2x（2）|V3-^-|

7373

4H——I-1—2-

=4+1

=5.

【解析】根据同角三角函数的关系先化简代数式，再代入特殊角的三角函数值计算即可.

本题考查了同角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，解题的关键是要熟记特殊角的三角函数值，一

是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特

殊值规律去记.

2

20.【答案】解：y=%2+ax+3=(%+^)2+3—?

顶点坐标为(―,3—当，

•••3-9-(-犷+3，

.,.二次函数y=x2+ax+3顶点运动轨迹的函数解析式为y=-x2+3.

【解析】根据题意，将抛物线解析式化为顶点式，进而即可求解.

本题考查了二次函数的性质，把函数解析式化为顶点式是解题的关键.

21.【答案】(1)解：如图，过点C,。分别作的垂线，垂足分别为G,F,

•••CD//AB,CG1AB,DFVAB,

：.CG=DF,

依题意，2LCAG=45°,/.DBF=53°,则NBDF=37。，AG=CG=DF,

3

•・•sin37°x

4

•••sin53°=cos37°=

在RtAACG中，AC=42CG=V2AG,

..,DFDF53353

在RtDBDn=-^^—=-DF,BF^DBXsin37"«(DS=|X^DF=7DF,

•・•CD=30里，AB=50里，

37

・•・AB-CD=AG^BF=AG+yAG=^-AG=20,

44

解得：AG=y,

AC=y/~2AG=8°^^x16，DB=JX当右14，

74/

AC+CD+DB=16+30+14=60里,

•••AB=50里，

路线2,半圆的路程为兀Xy=257T«78.54里，

所以线路1：折线ACD2的路程更短；

(2)如图，设PH1MN于点连接PE,过点£作ET1MP于点T,

M

则PQNH是矩形，

NH=PQ=140,PH=QN,HP//NQ,

依题意，AMEN=60°,4MPH=21。,

则A/VMP=90°-21°=69°,

在RtAPQE中，PQ=140,EQ=480,

EP=JPQ2+收2=7JO?+4802=500m,

7

•••sinZ.PEQ=—,

7

sinl6°x—,

・•・乙PEQ=16°,

•・•HP//NQ,

・•・乙HPE=乙PEQ=16°,

・•・乙EPT=乙EPH+乙HPT=16°+21°=37°,

在Rt△PTE中，TE=PExsin37°=500x|=300m,

在Rt△NME中，乙MEN=60°,

・•・乙NME=30°,

・•・乙EMT=乙NMP-乙NME=69°-30°=39°,

在Rt△MET中，ME=———=«476,

1sinzFMTsin390.63

在RtAMNE中，MN=MExcos30°=476x容〜412（米），

山高MN为412米.

【解析】（1）过点C,。分别作AB的垂线，垂足分别为G,F,分别解RtAACG,Rt^DBF,计算4C+

CD+DB,以及半圆，即可求解；

（2）设PH1MN于点H,连接PE,过点E作ETLMP于点T,根据已知条件得出NPEQ=16。，解Rt△

PTE,RtAMET,RtAMNE,即可求解.

本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.

22.【答案】（1）解：•.•四边形42。是菱形，

CD=BC=AB,AD〃BC,

•••CD=2BE=4BF,

设BF=a,贝UBE=2a,BC=AD=AB=4a,EF=a,

•••AD“BC,

ADGs工EFG,

.EG__FG__EF__1

''AG~GD~AD~4f

tEG_1

•••~EA=S9

•・•AD“BC,

Z.ADF=Z.GFE,

•・•乙BAE=Z.ADF,

•••Z-BAE=Z.GFE,

又•・•乙GEF=乙BEA,

EFGSEAB,

，备篇,KB=4EGF="GD'

即羲吟喑

••・5EG2=2a2,GF=2EG,

东汉珥zr厂do2To

用半,：EG=—^―a，Fr?Gr=2ETG?r——--a，

“，厂厂4/10”厂「8VT0

•••AG=4EG=---a，GD=4FG=---a.

如图，过点A作AHIEO于点〃,

设GH=%,则HD=GD-GH=-x,

在RtAAHG,RtANHD中，AG2-GH2-AD2-HD2=AH2,

，4710、27/d、2x8V10、7

••・(―^—a)2-%2=(4a)2-

/To

解得:X=~~~CL.

/I0

GH^-a5

cosB=cos乙AGH=.=—.-=刀.

AG47108

—5—0

(2)解：如图所示,

取A。的中点。，连接C。，过点。作PD〃CG交C。的延长线于点P,连接GP,则碍，正，即为所求,

理由如下，如图，设G。交PC于点T,

•••Q是A。的中点，E是8C的中点,

AQ=EC,

又ADIIBC,

・•.AECQ是平行四边形,

PC//AE,

.”=也

*'GTAQ'

・•.GT=DT,

vPD//CG,

・•・乙PDT=乙CGT,

在△PTD与△CTG中，

2PTD=Z.CTG

GT=DT,

/PDT=乙CGT

,MPTD山CTG(ASA),

・•.PD=CG,

・•・四边形PDCG是平行四边形，

・•.PD=CG,

・•.GP//AB.

・・・次在瓦?与前方向上的分向量是而，刀.

【解析】(1)根据菱形的性质得出CD==AB,AD//BC,根据已知条件设=则BE=2a,BC=

AD=AB=Aa,EF=a,证明△ZDGs^EFG,AEFG^EAB,根据相似三角形的性质得出EG=?。，

FG=2EG=^-a，过点A作/"1ED于点H,进而根据余弦的定义即可求解；

(2)取A。的中点Q,连接C。，过点。作尸。〃CG交CQ的延长线于点P,连接GP,则方，正，即为所

求.

本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平面向量，求余弦，掌握

以上知识是解题的关键.

23.【答案】证明：(1)如图1,vAD=CD,J4

・•.Z,EAG=乙ACB,攵/

.・.BE=AB,

•••Z-AEG=Z-CAB,C^~~--------------------乙------r

D

CAB,图1

AG__EG_

~BC~~AB

AG_EG_

~BC~~BE

・•.BE,AG=BC,EG.

(2)如图2,联结OE,交CP于点H,

•••AD-AE=BD-CE,且ZD=CD,

.AE_BD_BD

•・而一而一而‘

.-E+CE_BD+CD

••CE-CD'

tCE__CD_

^CA~~CB9

乙ECD=Z-ACB,

•••△EDCs工ABC,

图2

•••Z-CED=乙CAB,

・•.ED//AB,

•・•EH//AP,

DEHs2CAP,

EH_CH

•t•~,

APCP

同理曳=0,

BPCP

.EH_DH

••，

APBP

AP_EH

''~BP~丽’

•••EH//BP,

EGHs^BGP,

.EH_GH

BPGP

同理空=些，

APGP

.EH_DH

BPAP

.BP_EH

••，

APDH

tAP__BP_

••丽—丽‘

...Ap2=BP?,

・•.AP=BP,

・•・点尸是AB的中点.

【解析】(1)由4。=CD,得NR4G=4ACB,由BE=AB,得乙4EG=乙CAB,即可根据“两角分别相等的

两个三角形相似"证明△AEGSASB,所以黑=黑=黑，则BE-4G=BC-EG；

BCABBE

(2)联结。E,交CP于点H,由ADME=BD-CE,MXD=CD,得臂=黑=需推导出当=累，可证

明△EDCSA4BC,n^CED=ACAB,所以ED〃4B,根据相似三角形的性质可证明瞿=黑=胃，黑=

ArDrCrDr

%=粤，可推导出需=整，从而证明力p=BP,则点P为AB的中点.

ArurDrAr

此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明△AEGSA&IB

以及蔡=翳是解题的关键.

24.【答案】解：⑴•.・直线y=警乂—(k+1)与函数/(X)交于点冷一的，且一2<§<3,

32k+11〃

・一豆=丁'[(上+1),

解得k=3,

%2—2%—3(—2<%<3)

-TQW—2),

{9-4(%>3)

当—2<%<3时，y=x2—2x—3=(x—I)2—4,

.,・％=1_时，y有最小值-4,

当久时，

4—2Jy=——x>0,

当》23时，y=|x-4>0,

综上，/(%)的最小值为-4.

答：/(%)的最小值为-4.

(2)••・分段函数与x轴交于点A,8(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,

当y=0时,-1)2—