2023-2024学年江苏省常州市洛阳中学高一年级上册数学理期末试卷含解析

2023年江苏省常州市洛阳中学高一数学理期末试卷含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知集合/:二'」/"已J'l,则集合/L/B二

A.{2jB.MC,{2,3,5)D.2323,5}

参考答案：

C

x2,x<0

f(x)="

X

2.设2,x>0则f[f(-1)]=()

A.1B.2C.4D.8

参考答案：

B

【考点】函数的值.

【分析】根据题意，可先求f(-1)=1,然后即可求解f[f(-1)]

【解答】解：由题意可得，f(-1)=(-1):I

Af[f(-1)]=f(1)=2'2

故选B

、、、尸二'I'吃若关于x的方程f2

3.定义域为R的函数f(x)x-2(x)+bf(x)

+c=0恰有5个不同的实数解xi,x2,X3,X4,X5,则f(X1+X2+X2+X4+X5)等于()

A.0B.21g2C.31g2D.1

参考答案：

C

【考点】根的存在性及根的个数判断.

【分析】分情况讨论，当x=2时，f(x)=1,则由F(x)+bf(x)+c=0得l+b+c=O,求

出XFI；当x>2时，f(x)=lg(x-2),由P(x)+bf(x)+c=0得[lg(x-2)]2+blg

(x-2)-b-1=0,解得1g(x-2)-1,或1g(x-2)=b,从而求出X2和x3；当x<2

时，f(x)=lg(2-x),由f2(x)+bf(x)+c=0得[1g(2-x)]2+blg(2-x)-b-

1=0),解得1g(2-x)=1,或1g(2-x)=b,从而求出X4和X5,5个不同的实数解X1、

X2、X3、X4、X5都求出来后，就能求出f(X1+X2+X3+X4+X5)的值.

【解答】解：当x=2时，f(x)=1,贝！J由F(x)+bf(x)+c=0得l+b+c=0./.XF2,c=-

b-1.

当x>2时，f(x)=lg(x-2),由f?(x)+bf(x)+c=0得[1g(x-2)]2+blg(x-2)

b

-b-1=0,解得1g(x-2)=1,X2=12或1g(x-2)=b,x3=2+10.

当xV2时，f(x)=lg(2-x),由f2(x)+bf(x)+c=0得[1g(2-x)]2+blg(2-x)

b

-b-1=0),解得1g(2-x)-1,XL-8或1g(2-x)=b,x5=2-10.

bb

：.f(X1+X2+X3+X4+X5)=f(2+12+2+10-8+2-10)=f(10)=lg|10-2|=lg8=31g2.

故选C.

4.《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样

1

的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的疗

是较小的两份之和，问最大一份为（）

A.30B.20C.15D.10

参考答案：

A

5.已知点《&期，网一学一2）,则直线的斜率是（）

A.1B.-1C.5D.-5

参考答案：

A

【分析】

.-2-3

由4-3-2,即可得出结果.

—1

【详解】直线ZA的斜率-3-2.

【点睛】本题主要考查直线的斜率，属于基础题型.

6.已知等比数列｛。“｝满足的+。2=3,。+。3=6,则。7等于（）

A.64B.81C.128D.243

参考答案：

A

7.（3分）为了了解某地区10000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄

为17〜18岁的高三男生体重（kg）,得到频率分布直方图如图.根据图示，请你估计该

地区高三男生中体重在kg的学生人数是（）

A.40B.400C.4000D.4400

参考答案：

C

考点：频率分布直方图.

分析：由频率分布图得该地区高三男生中体重在kg的学生的频率为

（0.03+0.05+0.05+0.07）X2=0.4,由此能求出该地区高三男生中体重在kg的学生人

数.

解答：该地区高三男生中体重在kg的学生的频率为：

（0.03+0.05+0.05+0.07）X2=0.4,

,该地区高三男生中体重在kg的学生人数为：

0.4X10000=4000（人）.

故选：c.

点评：本题考查频率分布直方图的应用，解题时要认真审题，是基础题.

8.已知集合，&-卜卜>3,则能使A匚B成立的实数a的取值范围是

()

A.aclB.c.£>1D.

a>l

参考答案：

A

9.设瓦43。的内角A瓦仃所对的边分别为qb,c,若三边的长为连续的三个正整数，且

则。为(

A>B>Cf3b-2QacosAfsinB0!1)

A.4：3：2B.5：6：7C.5：4：3D.6：5：4

参考答案:

D

11

10.若tan(a8)=2,tan(a+B)=3,则tan28等于(

1111

A.7B.3C.-7D.-?

参考答案:

C

【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值.

【分析】由条件利用两角差的正切公式，求得要求式子的值.

11

【解答]解："."tan(a-0)=2,tan(a+0)=3,则tan2B=tan[(a+0)-(a

百~2

tan(a+B)-tan(a-B)~j-।

-6)]=l+tan(a+B)tan(a-1)J?"5=-Y,

故选：c.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知三棱柱ABC—45G,底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该

三棱柱的外接球的体积为，则该三棱柱的体积为.

参考答案：

12.如图所示，矩形A3C。由两个正方形拼成，则/C4E的正切值为.

参考答案：

1

3

【分析】

由题意首先设出正方形的边长，然后结合两角和的正切公式解方程即可求得/C4E的正切

值.

【详解】因为矩形A8CD由两个正方形拼成，设正方形的边长为1,

,tanACAD-=!._/RAD=—

则在RrzXCAO中，AD4,

XtmZC4£^tan—

ZC4S1-1=---------------------^=2

(^)1fanZdZf

tanZCAE-]

解得3.

1

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查两角和的正切公式及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.

13.计算：lg4+lg5?lg20+(lg5)J.

参考答案：

【考点】对数的运算性质.

【分析】根据对数的运算性质化简计算即可.

2

【解答】解：lg4+lg5?lg20+(lg5)=21g2+lg5?(Ig4+lg5)+(lg5)=21g2+lg5

(21g2+21g5)=21g2+21g5=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了对数的运算性质，关键是掌握Ig2+lg5=l,属于基础题.

14.函数的图象必经过点.

参考答案：

(2,-1)

15.若数列值」的前n项和名=31+，且9.｝是等比数列，则m=.

参考答案：

-9

16.在AASC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知&=2.)=斯.若。=3,则

sinB=；若该三角形有两个解，则。的取值范围为.

参考答案：

T(喇

17.函数/⑴=-1-助+3在区间(co.L上是增函数，则实数a的取值范围

为,

参考答案：

3,2]

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.一份印刷品的排版面积(矩形)为3200平方厘米，它的两边都留有宽为4厘米

的空白，顶部和底部都留有宽为8厘米的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使纸的

用量最少？

参考答案：

3200

设长为工，则宽为X,...................................2

S=（X+16）乃竺+8）=3328+16x3200+gx

所以纸张的面积xx

23328+278x16x3200=4608.................

........6

16x3200。

当且仅当X,即x=80cm时取等号。....................8

故纸张的尺寸为长96cm,宽48cm。..................................10

19.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ad«ZGa8+bcos'/=•五a.

b

(1)求a；

(2)若c'=b'+、®，，求£

参考答案：

解：(1)由正弦定理得，in'/+&«Acos'Z=拄成/,即

sinJt(9n3jf-Fcas1J)=>/2mA

GnA=所以士=®_

故a............6分

cfg.得皿月=吆丞.

(2)由余弦定理和2c

由⑴知.,故J=Q♦&

cos’B=—.又cosR>。.故cosA=—周以R=45"

可得22.............12分

【分析】

(1)根据条件中恒等式的特点，利用正弦定理的变形。皿屈-。一/将式子转化，再利用

b

同角三角函数的平方关系消去角，从而得到a.

—=a.c'=&'♦、行a5

(2)利用式子a,分别用a表示瓦c,结合余弦定理求出cosb.

【详解】解：(1)由正弦定理，得WnJJ一必nd,

所以必n'd+bcn^A-x'2a,

上点

所以a

厂3=

(2)由余弦定理及c'=b'+j3不，可得2c.

由⑴知炉故。=("、))"

“I府点

COSD=­cosi»=-------

所以2.又8S2J>0,故2.

又0<A<jr,..8=45二

【点睛】本题主要考查了含有边角恒等式的解三角形问题，属于中档题.解决这类型问题主

要有两条途径：(1)化角为边，利用正弦定理或余弦定理的变形化角为边，走代数变形

之路；(2)化边为角，主要利用正弦定理化边为角，走三角变形之路，常常需要运用到

三角恒等变换的公式.

20.（本小题满分14分）电视台应某企业之约播放两套连续剧.其中，连续剧甲

每次播放时间为80min,其中广告时间为Imin,收视观众为60万；连续剧乙每次

播放时间为40min,其中广告时间为Imin,收视观众为20万.已知此企业与电视台

达成协议，要求电视台每周至少播放6min广告，而电视台每周只能为该企业提供

不多于320min的节目时间（此时间不包含广告）.如果你是电视台的制片人，电视

台每周播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率？

参考答案：

（本小题满分14分）解：设电视台播放连续剧甲x次，播放连续剧乙次，广告

收视率为z（min*万人）,则Z=60x+40）,.....2分

且满足以下条件：

J80x+40y□320j+y□8

Iy□6Iy□6

|x，y，o即o......6分

=_3

作直线/即,仁一］”,平移直线，至4,

当4经过点3（0.历时，可使z达到最大值。（图）

..................11分

此时z=60x0+40x8=320,.....13分

答：电视台播放连续剧甲0次，播放连续剧乙8次，广告收视率最大z=320（min*

万人）。14分

略

〃x）=stn|0x+0）|a>>0.|^?|<—

21.函数’<21在它的某一个周期内的单调减区间是

・5氧11/

12-17

（1）求的解析式;

n

（2）将尸=/（耳的图象先向右平移百个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原

1

来的二倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为E