2023届高三物理一轮复习71旋转圆模型 放缩圆模型 平移圆模型（解析版）

专题71旋转圆模型放缩圆模型平移圆模型

考点一旋转圆模型（1-9T）

考点二放缩圆模型（10-16T）

考点三平移圆模型（17-22T）

考点一旋转圆模型

L旋转圆：如下图所示，粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁

场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为期则圆周运动半径为Q粤.分析这类问题时将一半径

为A=零的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索临界条件的方法称为“旋转圆”法.

QD

2.结合具体情境，可以通过分析圆心角、速度偏向角、弦切角、弧长、弦长的大小来分析带电粒子的

运动时间.

3.常见的三种情景

1）如上图所示，粒子源从直线磁场边界上的P点发射速度大小一定、方向不同的带电粒子垂直进入匀

强磁场区域，所有从直线边界射出的粒子，其出射点与P点的连线都是轨迹圆的圆弧所对的弦，其中入射

的速度方向垂直于直线边界的粒子，在磁场中运动半个周期从M点射出，因为PM是圆的直径，所以M点是

粒子打到直线边界上的最远点（所有的弦长中直径最长）.

2）粒子源从圆形磁场边界上的某一点发射速度大小一定、方向不同的带电粒子垂直进入匀强磁场区域

时，因为所有的弦长中直径最长,则当粒子的轨迹圆和磁场边界圆的公共弦为小圆直径时，粒子打到边界

圆上的点距入射点最远。分两种情况分析如下：

如图甲，若轨迹圆半径大于磁场边界圆半径，当入射点P和出射点M为边界圆直径的两个端点时，粒

子打到边界圆上的点M距入射点P最远（所有的弦长中直径最长）,此时轨迹所对的弦长最长弧长最长，时

间也就最长。

如图乙，若轨迹圆半径小于磁场边界圆半径，当入射点P和出射点M为轨迹圆直径的两个端点时，粒

子打到边界圆上的点M距入射点P最远（所有的弦长中直径最长）,此时粒子在磁场中运动的时间为半个周

期。但是由于轨迹圆半径小于边界圆半径，因而粒子在磁场中可以做完整的圆周运动，所以粒子从M点射

出磁场的时间并不是粒子在磁场中运动的最长时间.

枕边网¥径大「边界网半•径仇迹IWl半彳仝小卜边界IMrlMf

乙

3）粒子在磁场中运动的弧长最短、弦长最短时运动时间最短.（弧长最短时运动时间最短普遍适用，弦

长最短时运动时间最短仅限于粒子在磁场中的轨迹为劣弧）

如下图，尸点的粒子源发射出速度大小一定、方向不同的带电粒子，当M点为出射点时弧长最短弦长最

短，粒子在磁场中运动时最短.

单边界磁场平行边界磁场

1.（2022•宁波•模拟预测）如图所示，在屏鹿V的上方有磁感应强度为6的匀强磁场，磁场方向垂直纸

面向里。尸为屏上的一小孔，性与也V垂直.一群质量为加、带电荷量为P的粒子（不计重力），以相同的

速率匕从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。粒子入射方向在与磁场8垂直的平面内，且散开在与

"1夹角为。的范围内。则在屏助V上被粒子打中的区域的长度为（）

2mv2mvcosθ2mv(l-sin0)2τnυ(l-cos0)

A.B.C.D.

qBqBqB

【答案】D

【解析】任取一粒子分析，作出圆周运动的轨迹，则可得出粒子打在屏上的位置与粒子与夹角的关系,

则可得出粒子打在屏上的最远点及最近点，即可得出打中的长度。

粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得=小1

解得粒子的轨迹半径为R=W

粒子沿着右侧边界射入，轨迹如下面左图，此时出射点最近，边界交点与夕间距为：2RcosO:

粒子沿着左侧边界射入，轨迹如下面右图，此时出射点最近，边界交点与。间距为：2Rcos。；

粒子垂直边界物，射入，轨迹如下面中间图，此时出射点最远，边界交点与一间距为：2R；

故范围在荧光屏上尸点右侧，将出现一条形亮线，其长度为2R-2Rcos8=2m以1;CoSe）

qB

故选D。

【点睛】带电粒子在磁场运动区域的判断时，要注意寻找•般表达式，通过分析再找出可能的边界：另外

本题中关于W两边对称的粒子方向均可适合L=2Rcosa°

2.（2022•山东•模拟预测）如图所示，在一挡板MN的上方，有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向

垂直纸面向里∙P为MN上的一个粒子发射源，它能连续垂直磁场方向发射速率为V、质量为m、带电量为q

的粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收.则在垂直于磁场的平面

内，有粒子经过的区域面积是（）

×××××X

×××××X

××XX×X

-X--X----X-X•-----×--X

MPN

22222222

Aπmvr2πmv∩3πmv∩πmv

b,t22LL22

A，q2β2q2β2∙2qF4qB

【答案】C

【解析】由题意可知粒子在磁场中的运动半径R=W，所有粒子在磁场中半径相同,

由图可知，由。点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界：随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹

圆可认为是以。点为圆心以27?为半径转动.如图所示:

由几何图形可知,带电粒子可能经过的区域的面积为：S="R2+/（2R）2=察1,故C正确，ABD

242qzFz

错误.

3.（2017•全国卷）如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，尸为磁场边界上的一点，大

量相同的带电粒子以相同的速率经过夕点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为必，这些

粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为玲，相应的出射点分布在三分之一圆

周上.不计重力及带电粒子之间的相互作用，则皈：匕为（）

一一一〜

4\:/

、/

、、

、一一一

A.√3：2B.√2：1

C.√3：1D.3：√2

【答案】C

【解析】根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距a点最远，则

当粒子射入的速率为轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为此由儿何知识可知，粒子运动的轨道半径为

r.=½os60o=；任若粒子射入的速率为性，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为

夏=Zfcos30°根据轨道半径公式片别知，0：HiF=G1,故选项C正确.

甲乙

4.（2022•全国•高三专题练习）（多选）如图所示，在边长为C的等边三角形区域46。内存在着垂直纸

面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B=噌也，大量质量为以带电荷量为Q的粒子从比'边中

点。沿不同的方向垂直于磁场以速率勿射入该磁场区域，不计粒子重力，则下列说法正确的是（）

Λ.所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为苧

B.所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为酗

%

C.对于从/8和｛。边射出的粒子，在磁场中运动的最长时间为警

6v0

D.对于从/6和4C边射出的粒子，在磁场中运动的最短时间为粤

12V0

【答案】BC

【解析】A.所有粒子的初速度大小相等，它们在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r=蜉=今心故A

qB2

错误；

B.粒子做圆周运动的周期为T=卫=酗故B正确；

V0V0

C.当粒子运动轨迹对应的弦最长时，圆心角最大，粒子运动时间最长，当粒子运动轨迹对应的弦长最短时，

对应的圆心角最小，粒子运动时间最短。对于从46和4C边射出的粒子在磁场中的运动，可知最长的弦为

04=学，恰好等于轨迹半径，对应的圆心角为60°,因此最长运动时间t=：7=等故C正确；

D.过。点作/C边的垂线，垂足为〃，可知OC=尊为最短的弦之一，由几何知识可知，对应的圆心角小于

4

30°,因此粒子最短运动时间小于5=等故D错误。

1212V0

故选BCo

5.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，在OWXWb、OWyWa的长方形区域中有一磁感应强度大小6

的匀强磁场，磁场的方向垂直于x伽平面向外。。处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为外电荷量为

<7的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在XOy平面内的第一象限内。己知粒子在磁场中做圆周

运动的周期为7,最先从磁场上边界中飞出的粒子经历的时间为卷，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为

9不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（）

4

a.........................:

o......

A.粒子圆周运动的半径r=α

B.长方形区域的边长满足关系a=2

a

C∙长方形区域的边长满足关系2=b+1

α

D.粒子射入磁场的速度大小V=幽

m

【答案】C

【解析】AD.最先从磁场上边界中飞出的粒子在磁场中的偏转角最小，对应的圆弧最短，可以判断出是沿y

轴方向入射的粒子；其运动的轨迹如图甲，则由题意偏转角6>=^×360°=^X360°=30°

由几何关系得R=.:=Za

sιn30

带电粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得Bqv=孚所以V=陋AD错误；

BC.当R<b时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为「的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如

图乙所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t,依题意，t=1回旋角度为∕0C4=%设最后离开磁场的粒

子的发射方向与y轴正方向的夹角为a,由几何关系得Rs∖na=a解得Sina=T则a=30o

由图可得h=/?sina+/?cosa=a+V3a

解得^=l+√3B错误，C正确。

故选c。

6.（2021•海南）（多选）如图，在平面直角坐标系OD的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁

感应强度大小为8。大量质量为以电量为g的相同粒子从y轴上的P（0,GL）点，以相同的速率在纸面内沿

不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α（0≤a≤18（Γ）.当α=150°时，粒子垂直

X轴离开磁场。不计粒子的重力。则（）

B.当α=45。时，粒子也垂直X轴离开磁场

C.粒子入射速率为2岛BL

m

D.粒子离开磁场的位置到。点的最大距离为

【答案】ACD

【解析】A.根据题意可知粒子垂直X轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确;

BC.当a=150°时，粒子垂直X轴离开磁场，运动轨迹如图

粒子运动的半径为r=^¾=2√3L

cos60

洛伦兹力提供向心力qvB=m—

解得粒子入射速率v=2^qBL

m

若α=45°,粒子运动轨迹如图

根据几何关系可知粒子离开磁场时与X轴不垂直，B错误，C正确；

D.粒子离开磁场距离。点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图

2

根据几何关系可知(2r)2=(√3L)+jςn

解得xm=3√5LD正确。

故选ACD。

7.如图所示，在真空中板间r=3.0X10-2m的圆形区域内，有磁感应强度B=0.2T,方向如图的匀强磁场，

一批带正电的粒子以初速度V。=LoXloI⅛∕s,从磁场边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初

速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为"=LoXlO'C∕Ag,不计粒子重力.求：

m

(1)粒子的轨迹半径；

(2)粒子在磁场中运动的最长时间;

(3)若射入磁场的速度改为％'=3.0χl()5,w∕s,其他条件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现

的区域.(Sin37°=0.6,cos37o=0.8)

【答案】(1)5.OX102m(2)6.5Xl(Γs(3)如图;

b

【解析】(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv0B=m^,

R

解得：R=1=5.0x10-2/«.

qB

(2)由于R>r,要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弧长最长，从图

2

甲中可以看出，以直径ab为弦、R为半径所作的圆周，粒子运动时间最长,粒子做圆周运动的周期T=r",

qB

粒子的最长运动时间%=畀XT=缪，

图甲图乙

(3)速度改为%'=3.0χl0∙'w∕s时，粒子的轨道半径R'=吗=l∙5xlθ-2∕π<r,粒子在磁场中可能出现的区

qB

域：如图中以Oa为直径的半圆及以a为圆心、Oa为半径的圆与磁场相交的部分，如图所示.

点睛：解决带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动问题时，应首先确定圆心的位置，找出半径，做好草图，

利用数学几何并结合运动规律进行求解.

8.如图所示，在矩形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为8=5.OXKT?T,矩形区

域长为LOm,宽为0.2m.在｛〃边中点。处有一放射源，某时刻，放射源沿纸面向磁场中各方向均匀地

辐射出速率均为^=2×IO6m/s的某种带正电粒子.已知带电粒子的质量R=I.6X10Hkg,所带电荷量为

7=3.2XlO-'9C(不计粒子重力).

BE

ALJ~O~⅛

(1)求粒子在磁场中做圆周运动的半径为多大？

(2)求从8C边界射出的粒子，在磁场中运动的最短时间为多少？

-JT

【答案】(1)0.2m.(2)-×10^7s.

3

【解析】(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB=m-,

解得：R=0.2m；

(2)因为所有粒子的轨迹半径相同，所以弦最短的圆所对应的圆心角最小，运动时间最短，作EOLAD,EO

弦最短，如图所不：

因为E0=0.2m,且R=0.2m,

TT

所以对应的圆心角为()=彳，

由牛顿第二定律得：qvB=m(2牛笈)2R,

工,T2πm

解得：τ=~Γ

qB

QQlYl

最短时间为：f=丁T=f,

2πqB

解得：t=—×10S；

9.(2022•河北石家庄•模拟预测)如图所示，在平面直角坐标系Xoy内，以P(0,α)点为圆心、半径为a

的圆形区域和III、IV象限内均存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为8的匀强磁场，沿X轴负半轴固定

一足够长的水平挡板。一宽度为a的电子束，中心正对P点平行X轴以一定的速度射入圆形磁场，偏转后

所有电子都经过。点进入X轴下方磁场。已知电子质量为0、带电荷量为-e,忽略电子重力及电子间的相

互作用，电子打在挡板上立即被挡板吸收。求：

(1)电子射入磁场时的动能E]＜；

(2)挡板上被电子打中区域的长度&

V、

X

-

-

*

-X

-XX

，

、•

♦

×XXXX××X

×XXXXXXX

××××××××

【答案】(I)Ek=望■；(2)(2-√3)α

【解析】(1)根据题意，电子束运动轨迹如图，。为最上面电子在圆磁场做匀速圆周运动的圆心，0为入

射点、。为出射点，由几何关系知，QOQP是菱形,故电子束在原点。的正上方半径为a的磁场中做圆周运

动的半径为R=a。设电子进入圆形磁场时的速度为心根据牛顿第二定律有euB=Tnl

R

廿

电子的动能Ek=Tnw2

联立解得Ek=等出

K2m

(2)由电子束运动轨迹图，经分析可知从正中心射入的电子在圆磁场运动;个圆弧垂直X轴射入III、IV

象限的磁场，运动半个圆周垂直打中挡板，距。点最远。从最上面射入的电子在圆磁场中运动:个圆弧与“

轴负方向成60°角射入HI、IV象限的磁场，运动1个圆弧打在挡板上，而最下面射入的电子在圆磁场中运

动;个圆弧与X釉正方向成60°角射入III、IV象限的磁场，运动!个圆弧打在挡板上，最上面和最下面电

63

子打中挡板的位置相同，距。点最近，根据几何关系可得LmaX=2αLmin=2αcos30°=√30

挡板上被电子打中区域的长度d=Lmax-Lmin=（2-√3）α

考点二放缩圆模型

如下图，产点的粒子源发射速度方向一定,速度大小不同的带电粒子垂直进入匀强磁场时,带电粒子在

磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化,这些轨迹圆均以入射点P为定点，圆心位于

力'直线上,将半径放缩作轨迹圆,从而探索临界条件的方法称为“放缩圆”法.

××××XX

Pf<L,

×AX×X

X/'χ∖')"~8父、\X

XiX/。"X"R：,X

V

×∖×∖×X

×-z'z××X

×X

10.（2023・全国•高三专题练习）如图所示，横截面为正方形MCd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。

一束电子以大小不同、方向垂直次/边界的速度飞入该磁场。对于从不同边界射出的电子，下列判断错误的

是（）

a×^×"×"'×b

"■,,ιA

××××

××××

××××

dc

A.从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等

B.从C点离开的电子在磁场中运动时间最长

C.电子在磁场中运动的速度偏转角最大为TI

D.从儿边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度

【答案】B

【详解】ABC.电子的速率不同，运动轨迹半径不同，如图，由周期公式T="

qB

可知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，根据

可得电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所

对应的圆心角。越大，故从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等且运动时间最长，AC正确，B错误；

D.从加边射出的轨道半径大于从ad边射出的电子的轨道半径，由半径公式r=与

可得轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，故从历边射出的电子的

速度一定大于从ad边射出的电子的速度，D正确。

本题选错误的，故选B。

IL（2022•北京•海淀模拟预测）（多选）如图，有一截面为矩形的有界匀强磁场区域4腼，AB=3L,BC

=2L,在边界43的中点上有一个粒子源，沿与边界48平行并指向4点方向发射各种不同速率的同种正粒

子，不计粒子重力，当粒子速率为的时，粒子轨迹恰好与4。边界相切，则（）

D

A.速率小于的的粒子全部从必边界射出

B.当粒子速度满足竽时•，从缪边界射出

C.在G9边界上只有上半部分有粒子通过

D.当粒子速度小于孕时，粒子从比'边界射出

【答案】BC

【解析】如图，由几何知识可知，与力〃边界相切的轨迹半径为L5Z,与修边界相切的轨迹半径为由

半径公式"=”可知轨迹与"边界相切的粒子速度为浮，由此可知，仅满足与VrV%的粒子从切边界的

OD33

2⅛

A〃间射出，选项A错误，B、C正确；由上述分析可知，速度小于w⅛勺粒子不能射出磁场，故选项D错误。

ɔ

12.（2020•全国卷I）一匀强磁场的磁感应强度大小为反方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示,

F为半圆，ac、相与直径a6共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为g（g>0）的粒子，

在纸面内从C点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时

间最长的粒子，其运动时间为（）

勿冗

A-7-ɪ-ɪ-C5m

GqBΒ∙^4QB

4♦加-3兀加

d

BqB∙^2qB

【答案】C

I/mv

【解析】带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB=町J解得r=~f

运动时间t=—=F，为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对

VqB

圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零

开始逐渐放大。当？WO.5U为丁的半径）和rNl.5不时，粒子从ac、6d区域射出磁场，运动时间等于

半个周期。当0.5底XI.5#时，粒子从弧a6上射出，轨迹半径从0.5夕逐渐增大，粒子射出位置从a点

沿弧向右移动，轨迹所对圆心角从ɪɪ逐渐增大。当轨迹半径等于小时，轨迹所对圆心角最大，再增大轨迹

半径，轨迹所对圆心角减小。因此轨迹半径等于万时，所对圆心角最大，为，”“、=n+2=等，粒子最长

MO

运动时间为器。综上，选项C正确。

'd

13.（2022•山西•运城模拟预测）（多选）如图，一长度为a的竖直薄挡板助V处在垂直纸面向里的匀强磁

场（未画出）中，磁感应强度为8.。点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为+°、质量为面的带电

粒子，所有粒子的初速度〃（未知）大小相同.已知初速度与下夹角为60°发射的粒子恰好经过N点（不被

挡板吸收），粒子与挡板碰撞则会被吸收，^ftV=√3a,"ftV±,½¼不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用,

则（）

M

O1一N

∖60o

V

ʌ/ɜ

ʌ.粒子在磁场中做圆周运动的半径为5-a

B.挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a

C.能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的《

O

I）.若调节初速度y大小使挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a,则y的最小值为皇

【答案】CD

【解析】粒子恰好经过/V点，如图甲中轨迹1,设半径为此由几何关系可知2∕fein60°=木a,解得仁a,

选项A错误；当轨迹刚好与越V'相切时，粒子刚好能打到板上，如图甲中轨迹2,

设速度方向与QV夹角为〃，由几何关系得Λ⅛in。+R=∖βa,解得Sin。=镉-1,由此可得TfcOSO—

Hl—sir/夕=a√2√^-3,所以，挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为心仁三，选项B错误；要使粒

子打到右侧，则有两个临界条件，如图甲轨迹1、3,初速度方向的夹角为60°,则比例为黑==（，选项

C正确；由C选项可知使挡板的右侧被击中的竖直长度为a,粒子轨迹如图乙，速度方向与QV夹角为60°,

由洛伦兹力提供向心力得g出=?，解得『=等，选项D正确.

14.（2023•全国•高三专题练习）（多选）如图所示,在边长Z=IOcm的正方形4比。的切边上方空间有垂

直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度8R∙2T,在正方形的/〃边中点处有一粒子源S,能够不断向纸面内

各个方向发射速率不同的同种带正电粒子，粒子的比荷为IXloSC∕kg,不计粒子重力和粒子间的相互作用。

下列说法中正确的是（）

XXXXXX

XXXXX

B

X××XX

×X×XX

XXXXXX

×[XXX×.×

DjC

A.经过8点的粒子速度不小于5√5X10m∕s

B.水平向右射出的速率大于5%10¾∕s的粒子都能从4?所在直线穿过

C.水平向右发射的粒子从15边射出正方形区域的最短时间为:X10-7s

D.速率为1X106m∕s的粒子可到达切边上区域的长度为5cm

【答案】ABD

【解析】A.根据洛伦兹力提供向心力Bqv=/得

rm

则经过B点的粒子，当轨迹刚好以因为直径时，对应轨迹圆半径最小，速度也最小八,=^cm

代入金

m

此时速度为κ∕-5√5X10m∕sA正确；

B.沿水平方向射出的粒子半径r,'=2.5cm时，恰好能射出48,将r,'=2.5cm代入4

m

得最小速度为5XlOm/s,B正确；

C.根据t=?T

2TT

可知，轨迹对应的圆心角。越小，时间越短。当粒子刚好从4点射出时，时间最短，根据几何关系

X

,

∕5×

x

XLXX××l×

D"C

可求出r2=0.125m

则由SinO=O.8，圆心角的9=53。，故最短时间tniin=搔X智=爱xIO^s故C错误:

360Bq36

D.将V=IXlo"m/s代入公式X也

如图

XX×XX×

x

x

-

X'X5

x×

x

X

×

C

当速度方向沿s。方向时，轨迹与切边的交点记为M此种情况是速率为1XlO6m/s的粒子到达切边上旦

距离〃点最远的位置。由几何关系可知OAf=r3=0.05m=5cm

当速度方向沿与S〃方向成30。角斜向左下方时，如图所示

××××××

X×××××

×!×××X他

tI

iI

×'×X××∙×

就、、、

,JΛ∣×X,X×1×

x

×∖pχX×XXJX

D—...........C

由几何关系可知，此时粒子恰好运动到〃点。速率为1Xiot'm/s的粒子可到达切边上区域的长度为5cm。

D正确。

故选ABD。

15.（2022•广东•模拟预测）（多选）如图所示，在一等腰直角三角形/1切区域内有垂直纸面向外的匀强磁

场，磁场的磁感应强度大小为6,一质量为久电荷量为g的带正电的粒子（重力不计）从IC边的中点。垂

直于4C边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2/,则下列关于粒子运动的说法中正确的是

（）

A.若该粒子的入射速度为P=也，则粒子一定从切边射出磁场，且距点C的距离为/

∏l

B.若要使粒子从切边射出，则该粒子从2点入射的最大速度应为P=小+1CIBl

m

C.若要使粒子从切边射出，则该粒子从。点入射的最大速度应为迦

m

D.当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为W

1

藤、

'D

【答案】ABD

【解析】若粒子射入磁场时速度为『=也，则由。S=J可得r=/,由几何关系可知，粒子一定从切边

mr

上距C点为，的位置离开磁场，选项A正确；因为所以『=半，因此，粒子在磁场中运动的轨迹

半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动轨迹与三角形的4〃边相切时，能从CD

边射出的轨迹半径最大，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r=（√2+l）7,故其最大速度为F=

M,选项B正确，C错误；粒子在磁场中的运动周期为7=号，故当粒子从三角形的4C边射

mqB

出时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于此时粒子做圆周运动的圆心角为180。，故其最长时间应为t=

—选项D正确。

Λ

16.如图所示，一足够长的矩形区域a6cd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为8的匀强磁场，在ad

边中点0,射入一个与ad边夹角0=30°、大小为玲(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为例电量为(7,

ad边长为。a6边足够长，粒子重力不计，求：

(1)求粒子从ad边射出的速度范围。

(2)求粒子从劭边射出的速度范围。

(3)若带电粒子的速度。大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。

α;....................Ii

；X××X•

0、XXXX：

；VOXXXX;

fir

班BqL<BqL5≡

【答案】(1)3,”；(2)m.(3)3β9

【解析】(1)和(2)两种临界情况的运动轨迹如图所示

若粒子速度为％，则qv0B=加工解得V0=畔

设圆心在。I处对应圆弧与Cd边相切，相应速度为

由几何关系得：R'-RM*解得：R=L则有：%,=幽=幽

Zmm

设圆心在。2处对应圆弧与ab边相切，相应速度为V02

R

由几何关系得：R2+R2sinθ=^解得：2=J则有："e='^^=粤

故粒子从ad边射出的速度范围：Q≤v<啜粒子从ab边射出的速度范围；警WVS班;

3ιn3〃Zm

(3)粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角。越大，在磁场中运动的时间也越长，则圆弧所对圆心角为

a=(2π-2θ)=^-

5π

ae32πm5πm

t=—T=-=2-×-----=------

所以最长时间为2"2兀qB3qB

考点三平移圆模型

如下图，粒子源发射速度大小、方向一定,入射点不同但在同一直线的带电粒子垂直进入匀强磁场时，

它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为电则半径嘴,将半径为嘴的圆进行平移,从而探

索临界条件的方法叫“平移圆”法.

17.（2022•安徽合肥•模拟预测）如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD,带电粒子从A点沿

/8方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从业?的中点一垂直/〃射入磁场，从加

边的M点飞出磁场（材点未画出）.设粒子从4点运动到，点所用的时间为t„由。点运动到M点所用时间为

仅带电粒子重力不计），则力：上为（）

AB

I

IXXXX'

II

II

X××ɪ

∖×I

-----------AlI

I

P：XXX×I

II

I×XXXI

DΓ

A.2：1B.2：3

C.3：2D.√3：√2

【答案】C

【解析】画出粒子从｛点射入磁场到从。点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半

T

径为仁从。点射出的粒子运动时间为右=彳；由〃点运动到"点所用时间为上，圆心角为6,CoSJ=

RT

2ɪT力43

7=5，则，=60°,故£2=号所以C正确.

/rZOt2/Z

6

18.（2022•全国•高三课时练习）如图所示，在X如平面的第I、IV象限内有一圆心为0、半径为"的

半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于X轴正方向不断射出质量为以、电荷量为q、速度大小为北的

带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为舞、方向垂直平面X行向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子

2qR

受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为（）

y↑

πRπR

L.-----B.—C.—D.

4v

6v003v02V0

【答案】C

【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，有q%B=m"解得r=2R

如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于Sina=y

要使圆心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的。'点射入、从“轴上的E'点射出磁场时，粒

子在磁场中运动的时间最长，有Sinam=季解得αnι=1

Jt

从D'点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间t=≠-∙-解得t,=户

mιnπ

2∏V03V0

故选Co

19.（2022•全国•高三课时练习）（多选）如图所示，在直角三角形/玄内充满垂直纸面向外的匀强磁场

（图中未画出），/16边长度为d,/B=，现垂直的边射入一束质量均为必、电荷量均为小速度大小均

6

为/的带正电粒子。已知垂直力，边射出的粒子在磁场中运动的时间为%,而运动时间最长的粒子在磁场中

的运动时间为ItO（不计重力），则下列说法中正确的是（）

B

A

AC

A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4%

B.该匀强磁场的磁感应强度大小为黑

C.粒子在磁场中运动的轨道半径为Id

D.粒子进入磁场时速度大小为等

ɔɛo

【答案】ABC

【解析】A.根据题意垂直AB边进入，垂直4C边飞出，经过四分之一个周期，即∖τ=t

40

解得T=4t0A正确;

B.洛伦兹力提供向心力qvB=m^-

R

解得R嗤

2πR2πm

粒子运动的周期T=~=75^

解得磁感应强度8=鼠B正确;

C.粒子与BC边相切，运动时间最长，满足“o=1r,在磁场中转过圆心角120,如图

解得R=IdC正确；

D.根据7=%可知D=与=学=含D错误。

VT4t0St0

故选ABC0

20.（多选）如图所示，a〃、£为以。为圆心、半径为"的圆周上的三点，NCo吟,4为切的中点，在OCEDO

内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为民一群质量为以电荷量为9的带

正电粒子以速率疗器从检部分垂直于然射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，则粒子

在一次进出磁场中运动的时间可能是（)

ʌ.πτn2πm6πm