2023年江苏省南通市中考数学真题卷（含答案与解析）

南通市2023年初中毕业、升学考试试卷

数学

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项：

1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答

题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及

答题卡上指定的位置.

3.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有

一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

I.计算（-3）x2,正确的结果是（）

A.6B.5C.-5D.-6

2.2023年5月21日，以“聚力新南通、奋进新时代”为主题的第五届通商大会暨全市民营经济发展大会召

开，40个重大项目集中签约，计划总投资约41800000000元.将41800000000用科学记数法表示为

（）

A.4.18x10"B.4.18x10'0C.0.418x10"D.418x10s

3.如图所示的四个几何体中,

4.如图，数轴上A,B,C,D,E五个点分别表示数1,2,3,4,5,则表示数厢的点应在（）

ABCDE

IIIII1A

012345

A.线段A3上B.线段3c上C.线段CO上D.线段。E上

5.如图，ABC中，ZACB=90°,顶点A,C分别在直线比，〃上.若加〃〃，Nl=5（）°,则N2的

度数为（）

B

-----AA------------0

A.140°B.130°C.1；>0°D.110°

6.若/一4。-12=0，则2。2一8。一8的值为（）

A.24B.20C.18D.16

7.如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部8的仰角。为30。看这栋楼底部C的俯角£为60。，无人机与

楼的水平距离为120m,则这栋楼的高度为（）

B

C

A.140KmB.1608mC.If2百根D.20073m

8.如图，四边形ABC。是矩形，分别以点8,。为圆心，线段BC,QC长为半径画弧，两弧相交于点

E,连接BE,DE,BD.若AB=4,BC=S,则NA6E的正切值为（）

E

3

4

9.如图，JRC中，ZC=90°,AC=15,BC=20.点。从点A出发沿折线A—C—3运动到点8停

止，过点。作。E1AB，垂足为E.设点。运动的路径长为x,△班应的面积为九若y与x的对应关

系如图所示，则。一/7的值为（）

AEBO2535x

10.若实数X,y,，"满足x+y+m=6,3x-y+m=4,则代数式-2xy+l值可以是（）

二、填空题（本大题共8小题，第11〜12题每小题3分，第13〜18题每小题4分，共30

分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11.计算：3逝-20=.

12.分解因式：a2-ab=-

13.在aABC中（如图），点。、E分别为AB、AC的中点，则S^AOE：SAXBC=.

14.某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力尸（单位：N）是反比例函数关

系，其图象如图所示.若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s,则所受阻力/为.

。在。上.若NZMB=66°,则NACD=.度.

16.勾股数是指能成为直角三角形三条边长三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数

1,11,1

学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中“，。均小于c,a=c=一加？+—,山是大

2222

于1的奇数，则6=（用含团的式子表示）.

17.已知一次函数〉="一人，若对于x<3范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于"，贝必

的取值范围是.

18.如图，四边形ABCQ两条对角线AC,8。互相垂直，AC=4,BD=6,则4D+BC的最小值

是.

三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤）

2x+y=3①

19.（1）解方程组：＜

3x+y=5②

，…、'…优a—11

(2)计算：—--------------------

CL~一2a+1ciu~\

20.某校开展以"筑梦天宫、探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的

竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表.

抽取的学生竞赛成绩统计图抽取的学生竞赛成绩统计图

人

年级平均数中位数众数方差

口

年

七

级

七年级82838752.6

口

年

I级

八年级82849165.6

注:设竞赛成绩为x（分），规定：

909000为优秀；75玄＜90为良好；

60与＜75为合格；x＜60为不合格

\J

合格良好优秀等次

（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有人；

（2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些?请从两个方面说明理由.

21.如图，点。，E分别在AB，AC上，ZADC=ZAEB=90°,BE,CD相交于点O,

OB=OC.

求证：N1=N2.

小虎同学证明过程如下：

证明：VZADC=ZAEB=90°,

/.ZDOB+ZB=ZEOC+ZC=90°.

,/ZDOB=NEOC,

：.ZB=ZC.第一步

又。4=04,0B=0C,

：.△ABOgaACO第二步

N1=N2第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第步出现错误；

(2)请写出正确的证明过程.

22.有同型号的A,8两把锁和同型号的“，b,。三把钥匙，其中。钥匙只能打开A锁，钥匙只能打

开8锁，。钥匙不能打开这两把锁.

(1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出C钥匙的概率等于;

(2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁

的概率.

23.如图，等腰三角形QW的顶角4408=120。，和底边AB相切于点C,并与两腰。4,0B分别

(1)求证：四边形ODCE是菱形；

(2)若。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

24.为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工,

具体信息如下：

信息一

工程队2每天施工费用（单位：元）

每天施工面积（单位：m）

甲x+3003600

乙X2200

信息；

甲工程队施工1800m）所需天数与乙工程队施工12000?所需天数相等.

（1）求x的值;

（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成

的施工面积不少于1500m2.该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?

25.正方形ABC。中，点E在边5C,CD上运动（不与正方形顶点重合）.作射线AE,将射线AE绕

点A逆时针旋转45。，交射线CO于点F.

图1

(1)如图，点E在边BC上，BE=DF，则图中与线段AE相等的线段是

(2)过点E作EGAAP,垂足为G,连接。G,求NGOC的度数;

在（2）的条件下，当点尸在边CO延长线上且£>F=QG时，求生的值.

(3)

AG

26.定义：平面直角坐标系xOy中，点尸（。力），点Q（c,4）,若，=依，d=-kh,其中女为常数，且

左。0,则称点。是点尸的"级变换点”.例如，点（T,6）是点（2,3）的“—2级变换点”.

（1）函数）=图象上是否存在点（1,2）的“左级变换点”？若存在，求出左的值；若不存在，说明理

由;

⑵点-2）与其“七级变换点”8分别在直线小，2上，在4，4上分别取点（加2，x），

（"/，％）•若ZW-2,求证：-y2>2；

（3）关于x的二次函数5=疚2-4Hx-5〃（x20）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在

直线y=-x+5上，求"的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有

一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.计算（—3）x2,正确的结果是（）

A.6B.5C.-5D.-6

【答案】D

【解析】

【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解.

【详解】解：（-3）x2=-6，

故选：D.

【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键.

2.2023年5月21日，以“聚力新南通、奋进新时代'’为主题的第五届通商大会暨全市民营经济发展大会召

开，40个重大项目集中签约，计划总投资约41800000000元.将41800000000用科学记数法表示为

（）

A.4.18X10'1B.4.18x101°C.0.418x10"D.418x10'

【答案】B

【解析】

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为axlO",其中〃为整数.

【详解】解：41800000000=4.18x1010.

故选：B.

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中10。|<10,〃为整数.确

定〃的值时，要看把原来的数，变成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数，确定a与〃的值是解题的关键.

3.如图所示的四个几何体中，俯视图是三角形的是（）

【答案】A

【解析】

［分析］根据俯视图是从上边看到的图形即可得到答案.

【详解】三棱柱的俯视图是三角形，故选项A符合题意；

圆柱的俯视图是圆，故选项B不符合题意；

四棱锥的俯视图四边形中间有一个点，故选项C不符合题意；

圆锥的俯视图是圆中间有一点，故选项D不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题的关键.

4.如图，数轴上A,B,C,D,E五个点分别表示数1,2,3,4,5,则表示数加的点应在（）

ABCDE

।।।।।।

012345

A.线段AB上B.线段上C.线段CO上D.线段DE上

【答案】C

【解析】

【分析】根据4＜加＜判断即可.

【详解】V9<Vio<V16.

3<Vio<4»

由于数轴上A,B,C,D,E五个点分别表示数1,2,3,4,5,

J石的点应在线段CD上，

故选：C.

【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算的方法是解题的关键.

5.如图，A8C中，ZACB=90°,顶点A,C分别在直线〃7,〃上.若加〃〃，Nl=50°，则N2的

度数为（）

A.140°B.130°C.120°D.110°

【答案】A

【解析】

【分析】先根据平行线的性质求出N3的度数，再由448=90。得出N4的度数，根据补角的定义即可得出

结论.

【详解】解：如图，

m//n,N1=50°,

.•.Z3=Zl=50°,

,ZACB=90°,

...N4=ZACB-Z3=90°-50°=40°,

Z2=180°-Z4=l80°-40°=140°,

故选A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等.

6.若a2_4q_12=0,贝1J2/一8“一8值为()

A.24B.20C.18D.16

【答案】D

【解析】

【分析】根据/-4“-12=0得到a?-44=12,再将整体代入2a2一8a-8中求值.

【详解】解：/一4々—12=0，

得/—4a=12,

2〃_8。—8变形为2(〃-4a)-8,

原式=2x12—8=16.

故选：D.

【点睛】本题考查代数式求值，将2/一变形为2(/-4a)-8是解题的关键.

7.如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角a为30。，看这栋楼底部C的俯角£为60。，无人机与

楼的水平距离为120m,则这栋楼的高度为()

A.140V3mB.160百mC.180由加D.200扇

【答案】B

【解析】

【分析】过点A作垂足为。，根据题意可得AO=120m,然后分别在RtZVL5D和RtaACD

中，利用锐角三角函数的定义求出8D8的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答.

【详解】解：过点A作垂足为Q,

根据题意可得A£>=120m,

在Rt4ABD中，NB4T>=30°,

BD=ADtan30°=120x3=40Gm，

3

在Rt^ACD中，ZC4D=60°,

CD=AD-tan6Q0=120&m，

;.BC=BD+CD=160Gm.

故则这栋楼的高度为1600m.

故选:B.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的己

知条件作出正确的辅助线是解题的关键.

8.如图，四边形A3CD是矩形，分别以点B,。为圆心，线段BC,0c长为半径画弧，两弧相交于点

E，连接BE,DE，BD.若A5=4,BC=8,则的正切值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】设3E,AO交于点尸，根据矩形的性质以及以点8,。为圆心，线段BC,QC长为半径画弧得

到5DE咨二BDC(SSS),FB=FD，设EF=X,故BF=DF=BE-EF=8-X,在RtEED中求出

x的值，从而得到一二EOF(SSS),从而得到NA5E=Z4Z)£，即可求得答案.

【详解】解：设BE,A£>交于点F，

由题意得3E=BC=8,OE=r)C=AB=4,

.•二BDEgBDC(SSS),

ZEBD^ZCBD,

四边形A3CO是矩形，

.-.AD//BC,

：.ZADB=ZCBD,

:.ZADB=ZEBD，

:.FB=FD,

设EF=x,

故BF=DF=BE-EF=8-x,

在RtEFD中,ED2+EF2=FD2>

即16+f=(8-X)2,

解得x=3,

：.EF=3,DF=BF=5,

AF=AD—Z)E=8—5=3,

：...ABF=^EDF,

：.ZABE=ZADE,

EF3

tanNABE=tanZADE=—=-.

ED4

E

AD

BC

故选：c.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题中得到

=NADE是解题的关键.

9.如图，中，NC=90。，AC=15,BC=20.点。从点A出发沿折线A—C—5运动到点B停

止，过点。作DESAB,垂足为E.设点。运动的路径长为x,的面积为九若V与*的对应关

系如图所示，则。一人的值为()

A.54B.52C.50D.48

【答案】B

【解析】

【分析】根据点。运动的路径长为x,在图中表示出来，设A£=z,6£=25-z,在直角三角形中，找到

等量关系，求出未知数的值，得到的值.

【详解】解：当x=l()时，由题意可知，

4。=10,。。=5,

在RtACDB中，由勾股定理得BD2=CD2+BC2=52+202=425，

设AE-z,BE-25—z,

BE2=(z-25)2=z2-50z+625,

在RtAADE中，由勾股定理得DE2=AD2-AE2=100-z2.

在RtAD£B中，由勾股定理得BD2=DE2+BE2，

W425=100-z2+z2-50z+625，

解得z=6,

:.DE=6,BE=19,

：.a-SBDE=—xl9xS-76,

当x=25时，由题意可知，CD=BD=10,

设BE=q、AE=25—qf

AE2=(25-q)2=625_50q+/,

在RtACfM中，由勾股定理得AD2=AC2+CD2=152+102=325，

在RtABDE中由勾股定理得DB1=BD2-BE2=i00-q2,

RtVDEA中，由勾股定理得AD2=DE2+AE2，

即325=100-<72+625-509+q2,

解得4=8,

:.DE=6,

.'.b=SBDE=gx6x8=24,

.•.a—0=76-24=52.

故选：B.

【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题.

10.若实数x,y,加满足x+y+m=6,3x-y+m=4,则代数式一2肛+1的值可以是（）

A.3B.-C.2D.-

22

【答案】D

【解析】

5-m

x-------

【分析】联立方程组，解得＜；设卬=-2肛+1,然后根据二次函数的性质，即可求解.

7-m

x+y+m-6

【详解】解：依题意,

3x-y+m-4

5-m

x-

2

解得：<

1-m

y=

2

设w=-2xy+\

w=-2xXj+l="+6根-史

2222

--<0

2

w有最大值，最大值为

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

二、填空题（本大题共8小题，第11〜12题每小题3分，第13〜18题每小题4分，共30

分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11.计•算：372-25/2=____.

【答案】＞/2

【解析】

【分析】直接进行同类二次根式的合并即可.

【详解】解：372-272=72.

故答案为：y/2

12.分解因式：a2-ab=•

【答案】a(a-b).

【解析】

【详解】解：cT-ab=^(a-b).

故答案为a(a-b).

【点睛】本题考查因式分解-提公因式法.

13.在△ABC中(如图)，点。、E分别为A3、4c的中点，则S揖DE：SM«C=

【答案】1：4##-##0.25

4

【解析】

【分析】根据题意得出OE是AABC的中位线，根据三角形中位线的性质得出。EBC,OE=gBC,证出

△ADESXABC,相似比为1：2,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到答案.

【详解】•••点。、E分别为A8、AC的中点

.♦.OE是的中位线

：.DEBC,DE=^BC

:.RADESMABC,相似比为：DE：BC=\：2

**.Si^ADE:S^ABC=12:22=1:4

故答案为：1：4

【点睛】本题的解题关键在于利用三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半这一性质，证出三

角形相似，以及相似比为1：2,在利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，解出

本题.

14.某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v(单位：m/s)与所受阻力尸(单位：N)是反比例函数关

系，其图象如图所示.若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s,则所受阻力尸为

Av/(m/s)

3750F/N

【答案】2500

【解析】

【分析】根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将u=30m/s代入

求的值.

【详解】解：设功率为P,由题可知尸=FV,即丫=£,将/=3750N,丫=20nVs代入解得

F

P=75000,

即反比例函数为：丫=空地，

F

将u=30m/s代入，

得尸=2500,

故答案为：250().

【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键.

15.如图，A8是的直径，点C，。在。。上.若NZMB=66°,则NACD=度.

【答案】24

【解析】

【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得/48=90。,

ZDCB=ZDAB=66°,进而即可求解.

详解】解：如图所示，连接8C,

•••A3是直径，

ZACB=90°,

BD=BD，/DAB=66°,

/DCB=NDAB=66°,

：.ZACD=ZACB-ZDCB=90。—66°=24°,

故答案:24.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解

题的关键.

16.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数

1,11,1

学著作《九章算术》.现有勾股数小b,c,其中“，方均小于c,a=-m2一一,c=-m2+~,m是大

2222

于1的奇数，则6=（用含团的式子表示）.

【答案】m

【解析】

【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到。，匕为直角边，C为斜边，根据勾股定理即可得到

的值.

【详解】解：由于现有勾股数a,b,c,其中a,b均小于。，

...a,b为直角边,C为斜边，

a2+b2=c2，

一;）？+/=（；病+；）。

得到--m2+—+Z72=—m4+—m2+-,

424424

h2=m2,

：.b-+m,

m是大于1的奇数，

:.b=m.

故答案为：加.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚〃，人为直角边，。为斜边是解题的关键.

17.已知一次函数y=x-k，若对于x<3范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于2%,则攵

的取值范围是.

【答案】k>\

【解析】

【分析】根据题意和一次函数的性质可得到3-左<2左，然后求解即可.

【详解】解：一次函数丁=》一人，

y随x的增大而增大，

对于％<3范围内任意自变量工的值，其对应的函数值y都小于2k,

3-k<2k,

解得kNL

故答案为：k>\.

【点睛】本题主要考查一次函数的性质，明确题意，列出正确的不等式是解题的关键.

18.如图，四边形ABCD两条对角线AC,80互相垂直，AC=4,BD=6,则4D+BC的最小值

【答案】25/r^

【解析】

【分析】设AC,BD的交点为0,AB,BC,CD,DA的中点分别是P,Q,R,S,连接

PQ,QR,RS,SP,OQ,OS,QS,先证AO+8C=2(OS+OQ),由此得当0S+0Q最小时，AD+BC最

小，再根据“两点之间线段最短”得0Q+OS2QS,再证四边形PQRS是矩形，且PQ=2,SP=3,根据勾

股定理的OS=JI5,进而求得AD+3C的最小值.

【详解】解：设AC8D的交点为。，48,8(7,。,94的中点分别是2,。,/?,5,连接

PQ,QR,RS,SP,OQ,OS,QS,

QAC,8。互相垂直，

.•一AOD和BOC为直角三角形,且分别为斜边，

AD=2OS,BC=2OQ,

AD+BC=2(OS+OQ),

・•・当。S+OQ最小时，AO+8C最小，再根据“两点之间线段最短"得0Q+0S2QS,

••・当点0在线段QS上时，OQ+OS最小，最小值为线段QS的长，

P,Q分别为的中点，

.•・P。是648c的中位线，

PQ^^AC^2,PQ//AC,

同理QR=：8r)=3,QR〃8。，

RS^-AC^2,RS//AC,

2

SP=；BD=3,SP〃BD,

PQ//AC//RS,QR//BD//SP,

••・四边形PQRS是平行四边形，

AC1BD,PQ//AC,SP//BD,

:.PQ±SP,

四边形PQRS是矩形,

在RtqPQS中，PQ=2,SP=3,

QS=个PQ?+SP?=V13，

..・。。+。5的最小值为旧，

AO+5C的最小值为2.

故答案为：2屈.

【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定

理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半，两点之间线段最短是解答此题的关键.

三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤）

2x+y=3①

19.（1）解方程组:

3x+y=5②

a"d—\1

（2）计算:

—2〃+1aci—\

x=2

【答案】（1）〈：（2）1

[y=-l

【解析】

【分析】（1）运用加消元法解二元一次方程；

（2）先进行分式的乘法运算，再计算减法得到结果.

【详解】（1）解：②一①，得x=2

把!x=2代入①，得丁=一1

x=2,

这个方程组的解为《।

y=—L

a2a—11a1

⑵解：原式=际.丁一=1二=1一11

【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键.

20.某校开展以“筑梦天宫、探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的

竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表.

抽取的学生竞赛成绩统计图抽取的学生竞赛成绩统计图

人

年级平均数中位数众数方差

七年级82838752.6

八年级82849165.6

注:设竞赛成绩为x（分），规定：

909900为优秀；759<90为良好；

60sxy75为合格；x<60为不合格

\________________________________________7

（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有人；

（2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些?请从两个方面说明理由.

【答案】（1）90（2）答案不唯一，见解析

【解析】

【分析】（1）求出优秀等次的频率，再求出总人数，用样本估计总体；

（2）根据平均数，中位数，众数，方差进行评价.

【小问1详解】

解：9x300=90,

20

故答案为：90；

【小问2详解】

解：答案不唯一，如：七年级学生的竞赛成绩更好些.

理由：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而七年级学生成绩的方差小，成绩更稳定;

七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而七年级学生成绩的优秀及良好占比更高.

八年级学生的竞赛成绩更好些.

理由：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而八年级学生成绩的中位数高于七年级；

七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而八年级学生成绩的众数高于七年级.

【点睛】本题考查方差、中位数、众数、条形图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数

形结合的思想解答.

21.如图，点。，E分别在AB,AC上，NAZ）C=NAEB=90°,BE,相交于点O,

OB=OC.

求证：N1=N2.

小虎同学的证明过程如下：

证明：•：ZADC^ZAEB^90°,

/DOB+ZB=AEOC+ZC=90°.

4D0B=/E0C,

ZB=NC.第一步

又Q4=Q4,OB=OC,

△ABO也△ACO第二步

，N1=N2第三步

（1）小虎同学的证明过程中，第步出现错误;

（2）请写出正确的证明过程.

【答案】（1）二（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据证明过程即可求解.

（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论.

【小问1详解】

解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，

故答案为：二.

【小问2详解】

证明：VZADC=ZAEB=9Q°,

:.NBDC=NCEB=%。,

在二DOB和△EOC中，

ZBDO=/CEO

<ZDOB=ZEOC,

OB=OC

：.DOB三,EOC(AAS),

OD=OE,

在府一450和用AEO中，

OA=OA

OD=OE'

：.RtADO=RtAEO(HL),

•­-N1=N2.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键.

22.有同型号的A,B两把锁和同型号的“，b,。三把钥匙，其中。钥匙只能打开A锁，人钥匙只能打

开B锁，。钥匙不能打开这两把锁.

(1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出。钥匙的概率等于；

(2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁

的概率.

【答案】(1)-

3

(2)P(M)=g

【解析】

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图求概率即可求解.

【小问1详解】

解：共有三把钥匙，取出C钥匙的概率等于;；

故答案为：—

【小问2详解】

解：据题意，可以画出如下的树状图:

开始

由树状图知，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可能性相等.

其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁（记为事件M）的结果有2种.

OJ

【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点

为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.如图，等腰三角形。钻的顶角408=120。，O和底边AB相切于点C，并与两腰Q4，0B分别

相交于E两点，连接CO,CE.

（1）求证：四边形ODCE是菱形；

（2）若。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析（2）5阴影=今一2百

【解析】

【分析】（1）连接。C,根据切线的性质可得然后利用等腰三角形的三线合一性质可得

ZAOC=N8OC=60。，从而可得cOOC和△OCE都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得

OD=CD=CE=OE,即可解答；

（2）连接OE交OC于点尸，利用菱形的性质可得OE=1,DE=2DF，NO&）=90°,然后在RtZ\ODF

中，利用勾股定理求出。E的长，从而求出£＞七的长，最后根据图中阴影部分的面积=扇形。DE的面积一

菱形QDCE的面积，进行计算即可解答.

【小问1详解】

证明：连接0C,

0。和底边AB相切于点C，

:.OC±AB,

OA=OB,ZAOB=\20°,

ZAOC=NBOC=-NAOB=60°,

2

OD=OC,OC=OE,

ODC和△OCE都是等边三角形，

\OD=OC=DC,OC=OE=CE,

:.OD=CD=CE=OE,

四边形ODCE是菱形；

【小问2详解】

四边形OOCE是菱形，

OF=-OC=\,DE=2DF，ZOFD=90°,

2

在Rt_ODb中，OD=2,

DF=^OD1-OF2=>/22-l2=6，

:.DE=2DF=26，

..・图中阴影部分的面积=扇形ODE的面积一菱形ODCE的面积

120TTX22

--OCDE

3602

网

-

3--x2x2^

2

竺

-

3—2\/3,

.•图中阴影部分的面积为把-.

3

【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已

知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

24.为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工,

具体信息如下:

信息一

工程队每天施工面积(单位：m2)每天施工费用(单位：元)

甲x+3003600

乙X2200

信息二

甲工程队施工1800m?所需天数与乙工程队施工12000?所需天数相等.

(1)求x的值；

(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成

的施工面积不少于15()()m2.该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？

【答案】(1)x的值为600

(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元

【解析】

【分析】(1)根据题意甲工程队施工18000?所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等列出分式方程

解方程即可；

(2)设甲工程队先单独施工。天，体育中心共支付施工费用w元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再

由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于1500m?列出不等式即可得到答案.

【小问1详解】

18001200

解：由题意列方程，得

x+300x

方程两边乘x(x+300),得1800x=1200x(x+300).

解得x=6(X).

检验：当尤=600时，x(%+300)w0.

所以，原分式方程的解为x=6(X).

答：x的值为600.

【小问2详解】

解：设甲工程队先单独施工。天，体育中心共支付施工费用卬元.

贝ij卬=3600a+2200(22-a)=14004+48400.

(6(X)+300)a+6(X)(22—a)215(X),

a>6.

1400>0,

卬随。的增大而增大.

・・・当a=6时，卬取得最小值，最小值为56800.

答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点

是解题的关键.

25.正方形ABC。中，点E在边8C,CD上运动(不与正方形顶点重合).作射线AE,将射线AE绕

点A逆时针旋转45。，交射线CO于点F.

图1

(1)如图，点E在边8c上,此=。/，则图中与线段AE相等的线段是

(2)过点E作国3人AF,垂足为G,连接。G,求NGOC的度数;

（3）在（2）的条件下，当点尸在边C£＞延长线上且时，求r的值.

AG

【答案】（1）■

（2）NG0C的度数为45。或135°

⑶V2-1

【解析】

【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到即可得到答案；

（2）当点£在边8C上时，过点G作QW_LA。，垂足为M,延长MG交8c于点N,证明

△AMG^AGTVE,得到AM=GN,推出一MDG为等腰直角三角形，得到答案；

当点E在边C£＞上时，过点G作GN，。尸，垂足为N,延长NG交BA延长线于点M,则四边形ADNM

是矩形，同理得到△4WG四△GNE,得到二NOG为等腰直角三角形得到答案；

（3）由平行的性质得到分线段成比例线=空=夜-1.

AGND

【小问1详解】

AF-

正方形ABCO,

:.AB=AD,ZB=ZD=9Q°,

BE=DF，

:.AABE^ADF,

：.AE^AF.

【小问2详解】

解：①当点E在边BC上时（如图），

过点G作GM_LAO,垂足为M,延长MG交6c于点N.

■＜.ZAMG=ZDMG=ZGNE=90°,

四边形CDWN是矩形.

N2+N3=90。.

EGAAF,ZEAF=45°,

Z2+Zl=90°,

△AEG为等腰直角三角形，AG=EG.

N1=N3.

△AMG94GNE.

■<.AM=GN.

AM+MD=GN+MG,

MD=MG.

.LMDG为等腰直角三角形，N4=45°.

•••ZG£)C=45°.

AMD

二

B