备考2024年高考数学一轮复习-统计、概率综合练

专题10.9统计、概率综合练

题号一二三四总分

得分

练习建议用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地9月1日至10日的PM2.5日均值（单位：〃g/n?）的折线图,

则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法不正确的是（）

-PM2.5日均值

A.众数为30

B.中位数为31.5

C.平均数小于中位数

D.后4天的方差小于前4天的方差

2.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128,则（）

A.二项式系数和为32

B.各项系数和为128

C.常数项为-135

D.常数项为135

3.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球,

则第一次摸到红球的概率为（）

23

C.D.

34

4.下列说法中正确的个数为（）个

①互斥事件一定是对立事件.

②在回归直线方程9=。.1元+1。中，当解释变量X每增加一个单位时，预报变量9增加0.1个单位；

③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1;

④在回归分析模型中，若相关指数K越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好.

A.1B.2C.3D.4

5.随机变量X服从正态分布X~N（10,4）,p（x>12）=〃z,2（84X410）=〃，则—+工的最小值为（）

A.3+4应B.6+2&C.6+472D.3+2忘

6.已知事件A,B满足0<P（A）<l,0<P（B）<l,则不能说明事件A,8相互独立的是（）

A.P（A|5）=P（A|B）B.P（A|3）=尸（A）

C.P（B|A）=P（B）D.P（B|A）=P（B|A）

7.随机变量X的分布列如下所示•则D（bX）的最大值为（）

X123

Pa2ba

1

BcD.

-I-i27

8.设A,8是一个随机试验中的两个事件，且尸（3）=g,尸配）=|,P（B|A）=|,贝U（）

A.P（A）=gB.尸（A2）=gC.P（A+B）=|D.P（A|B）=1

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评

分（满分为100分），根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在［80,100］内的居民有180人.则以

下说法正确的是（）

B.调查的总人数为4000

C.从频率分布直方图中，可以估计本次评测分数的中位数大于平均数

D.根据以上抽样调查数据，可以认为该地居民对当地防疫工作的满意度符合“评分低于65分的居民不超过全体

居民的20%”的规定

10.下列说法正确的是（）

A.在回归直线方程y=-0.85x+2.3中，V与彳具有负线性相关关系

B.两个随机变量的线性相关性成强，则相关系数的绝对值就越小

2

C.已知随机变量X服从二项分布3（",0）,若E（X）=30,D（X）=20,则°

D.随机变量X服从正态分布N（4,l）,若尸（XN5）=0.2,则P（3＜X＜5）=0.6

11.若（l-2x）5=%+%彳+%x2+4*3+°4/，则下列结论中正确的是（）

A.%=1B.%=32

C.同+同+同+闻+同+|%|=3，D.%+4+2%+3%+4a4+5%=-1。

12.已知随机变量白服从两点分布，且P«=l）=0（i=l,2）,若3＜0＜必＜1,则下列判断不正确的是（）

A.E催）＜D&）B.E信）＜E4）

C.E（4）＜D©）D.D（4）＜D倡）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

25

13.（x-x+2y）的展开式中xV项的系数为.

14.某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：dn?）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了

4组数据，用模型y=ce，c>0）去拟合x与y的关系，设z=Iny,尤与z的数据如表格所示：

15.《英雄联盟》2023Msi季中冠军赛在英国伦敦举办，中国战队“JDG”与“BLG”进入决赛，决赛采用五局三胜制，

当两队中有一队赢得三局比赛时，就由该队赢得冠军.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果

影响.假设“JDG”战队在任一局赢得比赛的概率为p（0Wp41）,比赛局数的期望值记为于⑺,则/（P）的最大值是

16.土壤修复是使遭受污染的土壤恢复正常功能的技术措施.中国现有耕地有近g受到不同程度的污染，但随着新

发展理念深入贯彻落实，国家对环境保护工作越来越重视.2021年我国正式启动（含已招标项目，不含未招标、流

标项目）的土壤修复工程项目共510个，合同总金额为121.56亿元，覆盖全国除西藏、港、澳、台的30个省（区、

市）.如图为2021年30个省区市土壤修复工程类项目数量的前十名，则这30个省（区、市）土壤修复工程类项目

数据的第80分位数是,若图中未列出的其它20个省（区、市）土壤修复工程类项目数量的方差为44.7,则

这30个省（区、市）土壤修复工程类项目数据的总体方差为.

2021年中国各省市土壤修复行业工程类项目数量前十地区（个）

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.

2020年自主招生停止的同时，36所“双一流”试点名校的“强基计划”开启，其考核内容包括学科素质测试和体育

测试.某中学为了解高一、高二学生对“强基计戈『'的了解程度，从高一、高二两个年级的学生中随机抽取了

100名同学进行问卷调查，经统计，抽到的学生中高一与高二的人数之比为7:13

,其中高二学生了解“强基计划”50人，高

一学生有15人不了解.

(D请补充完整2x2列联表，试通过计算判断是否有95%的把握认为是否了解“强基计划”与就读年级有关;

了解不了解合计

高二50

高一15

合计100

(2)按照学生对“强基计划”的了解情况采用分层抽样的方法，从被调查的高一学生中抽取了7人，若从这7人中随机

抽取2人进行“强基计划”的政策宣讲，求抽到的2人中至少有1人对“强基计划”了解的概率.

附表及公式：黑热加面'n-a+b+c+d-

网片会。)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善

友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机

构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取〃位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分(满分100分)从

低到高将心理健康状况分为四个等级：

调查评分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

心理等级有隐患一般良好优秀

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在［70,80)的市民为400人

(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理

疏导后，调查评分在［40,50)的市民心理等级转为“良好”的概率为:，调查评分在［50,60)的市民心理等级转为“良

好”的概率为g,若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3人中，经过心理疏导后，至少有一人心理

等级转为“良好”的概率为多少？

19.已知在的展开式中，前3项的系数分别为生,%>且满足2a2=4+%•

(1)求展开式中各项的二项式系数的和;

(2)求展开式中系数最大的项；

(3)求展开式中所有有理项.

20.为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与8小区各随机抽取300名社区居民(分为18

-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名，假设两个小区中每组人数相等)参与问卷测试，分为比较了解(得分

不低于60分)和“不太了解'’(得分低于60分)，并将问卷得分不低于60分的人数绘制频数分布表如下

分组A小区频数8小区频数

18-40岁人群6030

41-70岁人群8090

其他人群3050

假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响.

(1)从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；

(2)从A、B小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量X,求X

的分布列和数学期望；

(3)求事件E：“从A小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，这两名居民均对垃圾分

类比较了解”的概率

21.某研发小组为了解年研发资金投入量X(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响，结合近10年的年

研发资金投入量占和年销售额%的数据(i=l,2,…10),建立了两个函数模型：①尸a+内2,②y=其中a,

B，均为常数，e为自然对数的底数.设%=x；,v,.=lnX.(z=l,2,-,10),经过计算得如下数据.

方10（匕-可c10c10

Xy

Z=1i=li=l

206677020014

ioc方io(―)c10

UV

Z=1i=li=\

4604.2031250000.30821500

（1）设｛%｝和｛%｝的相关系数为勺卜.｝和｛匕｝的相关系数为。请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型.

⑵根据（1）中选择的模型及表中数据，建立y关于x的线性回归方程（系数精确到o.oi）,根据线性回归方程，若

当年的销售额大致为e4亿元，则估计当年的研发资金投入量为多少亿元.

参考公式:相关系数.

£（%一元）$（》一歹）一

VZ=1Z=1

线性回归直线y=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为。=

22.根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为:

X1230

a

概率a研1-0a(l-

P

其中e>0,。<〃<1.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为g且相互独立,事件A表示一个家庭有i个孩子

（i=0,l,2,3）,事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.）

（1）为了调控未来人口结构，其中参数P受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等）,

是否存在。的值使得E（X）=g,请说明理由.

13

（2）若p=g,求明并根据全概率公式尸"）=2尸（网A,）P（AJ,求尸（8）.

2i=o

专题10.9统计、概率综合练

题号一二三四总分

得分

练习建议用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地9月1日至10日的PM2.5日均值（单位：〃g/n?）的折线图,

则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法不正确的是（）

-PM2.5日均值

A.众数为30

B.中位数为31.5

C.平均数小于中位数

D.后4天的方差小于前4天的方差

【答案】C

【分析】将数据从小到大排序，根据众数的定义，可判定A正确；根据中位数的计算方法，可判定B正确；利用

平均数的计算公式，求得数据的平均数，可判定C错误；根据数据的离散程度，可判定D正确.

【详解】对于A中，将数据从小到大排序，依次为17,25,30,30,31,32,34,38,42,126,

其中30出现了2次，其他数据均出现了1次，所以数据的众数为30,所以A正确；

对于B中，根据中位数的概念，可得第5个数和第6个数的平均数为中位数,

即为卫箸

=31.5,所以B正确;

17+25+30+30+31+32+34+38+42+126

对于C中，由平均数的公式得7==40.5

10

其中40.5>31.5,所以平均数大于中位数，所以C错误;

对于D中，从图象可以看出后4天的数据更加集中，前4天的数据更加分散,

所以后4天的方差小于前4天的方差，所以D正确.

故选：C.

2.在［3尤-亍J的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128,则（）

A.二项式系数和为32

B.各项系数和为128

C.常数项为-135

D.常数项为135

【答案】D

【分析】令x=l,求出系数之和，再根据二项式系数的和结合已知求出"，进而可判断AB；求出展开式的通项，

令x的指数等于零，即可判断CD.

【详解】令x=l,得各项系数和为2"，

又二项式系数和为2"，则2"+2"=128,得"=6,

即二项式系数和为64,各项系数和也为64,故A,B不正确；

卜一七］的展开式的通项为=365（一"戊》咤，

令6->0,得上=4,

因此展开式中的常数项为32*（-1）4仁=135,故C不正确，D正确.

故选：D.

3.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球,

则第一次摸到红球的概率为（）

【答案】B

【分析】设第一次摸到红球为事件4第二次摸到红球为事件B，根据古典概型结合计数原理求尸（为,尸（形），进

而根据条件概率运算求解.

【详解】设第一次摸到红球为事件4第二次摸到红球为事件B,则事件AB为第一次摸到红球且第二次摸到红球，

可得小）=里产=：总产网）耳=离,

所以尸（刎母丁

故选：B.

4.下列说法中正确的个数为（）个

①互斥事件一定是对立事件.

②在回归直线方程夕=0.卜+1。中，当解释变量X每增加一个单位时，预报变量9增加0.1个单位；

③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1;

④在回归分析模型中，若相关指数笈越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据互斥事件和对立事件的关系，回归分析及相关系数判断各项即可.

【详解】互斥事件不一定对立，所以①是错误的；

根据回归直线方程中回归系数的含义，可知当回归直线方程3=0.5+1。中，当解释变量x每增加一个单位时，预报

变量y增加0.1个单位，②是正确的；

根据相关系数的计算公式可知，相关系数的绝对值越接近1,两个变量的相关性就越强，所以③是正确的；

根据回归分析的基本思想可知相关指数尺2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，④是正确的.

故选：C.

5.随机变量X服从正态分布X~N（10Q2）,尸（x>12）=见P（8VXW10）=%则—二+工的最小值为（）

A.3+4&B.6+2夜C.6+4&D.3+2近

【答案】D

【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案.

【详解】由随机变量X服从正态分布X:N（10,b）,其正态分布分布曲线的对称轴为直线x=10,

则尸（X>12）=尸（X<8）,P（8<X<10）=P（10<X<12）,

2xP（X>12）+2xP（8WX410）=2优+2”=1,且机>0,n>0,

所以工+工=（2m+2〃）（工+工］=己+也+322夜+3,

2mn12mnJmn

当且仅当°='，即”=拒加时，取等号.

mn

故选：D.

6.已知事件A,3满足0〈尸（A）<1,0<P（B）<l,则不能说明事件A,3相互独立的是（）

A.P（A|B）=P（A|B）B.P（A|B）=F（A）

C.P（S|A）=P（B）D.P（B|A）=P（B|A）

【答案】A

【分析】举反例判断A,利用条件概率公式及相互独立事件的定义判断BCD.

【详解】对于A,掷一枚质地均匀的骰子，事件A为向上的点数不超过4,事件B为向上的点数为4或5,即

A={1,2,3,4},B={4,5},A={5,6},满足尸（阂耳=尸（Z忸）=g,但尸（A8）=g,P（A）P（B）=|x|=|,所以事

件Ag不相互独立，故A错误;

对于B,因为P（A忸）=*^=P（A），所以P（AB）=P（A）尸（B）,所以事件A,2相互独立，故B正确;

因为「（叫力=*母="8），所以P（AB）=P（A）P（3）,所以事件A,2相互独立，故C正确;

对于C,

对于D,因为尸（叫A）=尸（却孙所以义黑二.（产）,整理得尸（明=2网俨（42）+尸（丽）］=尸网尸（2）,

尸⑷1-尸（A）'

所以事件AB相互独立，故D正确;

故选：A

7.随机变量X的分布列如下所示•则。（6X）的最大值为（）

X123

Pa2ba

【答案】D

【分析】由分布列的性质可得。涉的关系，再由期望公式求E（X）,由方差公式求O（X）,利用导数求。（X）的最大

值.

【详解】由题可知2a+2匕=1,0<«<1,0<2^<1,

所以a+b=J,0<Z?<1,

E（X）=a+4b+3a=4（a+b）=2,

D(X)=«(l-2)2+(3-2)2a=2a,

则£）（比）=廿£）（乂）=2必2^_2b3+b2,

^f^b）=-2b3+b2,

则f'（b）=-6b2+2b=-2耳3人一1）,

则/（6）在上单调递增，在gj］上单调递减,

所以73）max=/&）=:，

所以。0X）的最大值为上.

故选：D.

8.设A,3是一个随机试验中的两个事件，且尸⑻=：,P（B|A）=|,P（B|A）=1,则（）

A.2⑷］B.P（AB）=1C.P（A+B）=|D.P（A|B）=1

【答案】C

【分析】利用全概率公式结合条件可得尸（A）=J,然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐项分析即

得.

【详解】因为P（8）=g,尸（同勾=|,P（B|A）=1,

所以P（B|A）=；,P（B|A）=|,又尸⑻=尸网网8⑶+P（牙但可，

所以g=（尸⑷+gP⑷［尸⑷+#1一尸⑷）’

所以P（A）=；,故A错误；

由尸（/同.力、=4P（A年B\=不1，可得尸（/A8、）=看1，故B错误；

1113

所以P（A+B）=尸（A）+P（B）—尸（42）=5+耳一方=7,故C正确；

所以尸（A⑻=?^=；，尸伍忸）=1-1三，故D错误.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评

分（满分为100分），根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在［80,100］内的居民有180人.则以

B.调查的总人数为4000

C.从频率分布直方图中，可以估计本次评测分数的中位数大于平均数

D.根据以上抽样调查数据，可以认为该地居民对当地防疫工作的满意度符合“评分低于65分的居民不超过全体

居民的20%”的规定

【答案】ACD

【分析】根据给定的频率分布直方图，结合频率分布直方图的性质，概率的计算方法，以及中位数、平均数的计算

公式，逐项判定，即可求解.

【详解】由频率分布直方图的性质，可得(0.002+0.004+0.014+0.035+4)x10=1,

即10x(0.075+a)=l,解得。=0.025,所以A正确；

1on

设总共调查了“人，可得”=(0.035+0.025)xlO,

n

解得〃=300,即调查的总人数为300人，所以B错误；

中位数位于区间［80,90］,设中位数为m,

则0.025x10+(90-x0.035=0.5,解得机=手，

由频率分布直方图知各段的频率分别为0。2。04,0.14,0.20,0.35,0.25,

设平均数为元，

贝^=45x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2+85x0.35+95x0.25=80.7.

con

可得〒>80.7,所以C正确；

由评分在［40,70］的居民占调查总人数的20%,所以评分低于65分的居民不超过全体居民的20%,所以D正确.

故选：ACD.

10.下列说法正确的是()

A.在回归直线方程y=-0.85x+2.3中，V与尤具有负线性相关关系

B.两个随机变量的线性相关性成强，则相关系数的绝对值就越小

2

C.已知随机变量X服从二项分布0),若E(X)=30,D(X)=20,则p=§

D.随机变量X服从正态分布N(4,l),若尸(X\5)=0.2,则尸(3<X<5)=Q6

【答案】AD

【分析】A选项，根据-0.85<0作出判断；B选项，由相关系数的定义作出判断；C选项，根据题意列出方程组,

求出P=；；D选项，根据正态分布对称性进行求解.

【详解】A选项，因为-0.85<0,故>与x具有负线性相关关系，A正确；

B选项，两个随机变量的线性相关性成强，则相关系数的绝对值就越大，越接近于1,B错误；

C选项，秋=30,〃p(l-p)=20,解得p=；,C错误；

D选项，X服从正态分布N(4,l),故〃=4,b=VT=l,

则P(X>4+1)=P(X<4-l),即P(X>5)=P(X<3)=0.2,

则尸(3<X<5)=l—P(X25)—P(XW3)=0.6,D正确.

故选：AD

11.若(1—2x)5=%+/尤2+/尤3+%X4+%*5,则下列结论中正确的是()

A.%=1B.%=32

C.I«ol+I^l+I^l+I^l+I^l+I^l=^5D.%+%+2%+3%+4a4+5%=-10

【答案】AC

【分析】令x=0,可判定A正确；求得展开式的通项(+1=(-2丫.6，，令r=5,可判定B错误；由

|〃o|+M+|生|+同+|%|+|。5]=。0-4+〃2—/+〃4—。5+。6,令X=—1'可判定C正确；两边求导数得到

4134

-10x(1-2x)=%+2a2x+3a3x+4d!4x+5a5x,令x=l,进而可判定以D错误.

2345

【详角军】由(1一2%y=%+a^x+a2x+a3x+a4x+a5x,

对于A中，令尤=0,可得4=1,所以A正确；

对于B中，由二项式(1—2x)5展开式的通项为&]=C>(—2x>=(—2)'C孑，

令〃=5,可得(=(-2)5.C*5=—32/,所以B错误；

对于C中，由展开式的通项&]=(-通'C#知:

当r=0,2,4时，可得展开式的系数为正值，当〃=1,3,5时，可得展开式的系数为负值；

以+|q|+|出|+|q|+1"/+|"51=4一%+生一生+能一%+“6,

X——1,nX%—q+〃2-〃3+〃4—〃5+〃6=3,,

即同+同+同+|〃3|+|〃4|+|〃5|=35,所以C正确；

55

对于D中，由(l-2x)=/++〃3X3+々4%4+a5x,

23

两边求导数，可得一10x(1-2x)4-6+2a2x+3a3x+4<24x+5%/,

令*光=1,pjq+2/+3a3+4%+5a5——10,

又由%=1，所以为+。1+2。2+3。3+4。4+5。5=-9,所以D错误.

故选：AC.

12.已知随机变量自服从两点分布，且尸(。=1)=口(/=1,2),若^<0<必<1,则下列判断不正确的是(

A.£值)<。c)B.E(4)<E值)

c.E©)<Dg)D.D闾<。&)

【答案】ACD

【分析】利用两点分布的期望与方差公式求解即可.

【详解】依题意，得P信=1）=外尸值=1）=0，4服从两点分布，

所以E（4）=P1，E（4）=P2,。（4）=月（1一月），。（以）=。2（1-。2），

1

因为5Vpi<02<1，贝0<1-p2<—,

所以°2>。2（1-8），P1<P2，P1>P1（1-M）>

所以£值）>。值），E㈤<E㈤,E©）>D信），

。信）-。值）=Pl（1-月）一0（1-0）=（。1一。2）（1-一。2）>0，即。⑹>。阎，

所以ACD错误，B正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.（/-x+2y）5的展开式中Vy3项的系数为.

【答案】-160

【分析】根据多项式相乘展开方法求解.

【详解】（/-x+2y）5的展开式中，构成dV项只能是一个/、一个（一）、3个（2y）相乘,

故此项为C52c（r）-C；（2y）3=—160fV.

故答案为：-160.

14.某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：dn?）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了

z=Iny%与z的数据如表格所示:

【分析】根据已知条件，求得元=53=4,进而代入回归方程可求得&=-2,从而得出"1.2x-2,联立z=lny,

即可求得本题答案.

_3+4+6+7U_2+2.5+4.5+7,

【详解】由已知可得,x=---------=5,z=-------------=4,

44

所以，有4=12x5+6,解得G=-2,

所以，z—1.2,x—2,»

由z=lny,得lny=L2x-2,

所以，y=e3=e-2.产,则°=小.

故答案为：e一2

15.《英雄联盟》2023Msi季中冠军赛在英国伦敦举办，中国战队“JDG”与“BLG”进入决赛，决赛采用五局三胜制，

当两队中有一队赢得三局比赛时，就由该队赢得冠军.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果

影响.假设“JDG”战队在任一局赢得比赛的概率为P（0<p<l）,比赛局数的期望值记为/（p）,则“0的最大值

是.

33

【答案】v

O

【分析】设比赛局数为X,分别计算出X可能取值的概率，进而求出期望值/（初，再利用导数求得了（。）的最大值，

由此得解.

【详解】设比赛局数为X,则X的可能取值为3,4,5,

则尸（X=3）=/+（i-p）3,

尸（X=4）=C；p3（1一p）+C；p（l-犷，

尸（X=5）=C；”（1“，

贝IJ/（0=3]/+（i_p）3]+4[c；p3（i_p）+cmi_p）3]+5xGp2（i_p）2=6/T2P3+3p2+3p+3,

所以/'（p）=24p3-36p2+6°+3=3（2p—D（4p2,

因为函数y=4p2-4p-l的图象对称轴为p=：,0Vp<l,

当p=0时，y=-l<0f当p=l时，y=-l<0,所以4P2_4p_]<0,

所以当o<p<g时，/（P）>O；当时，r（p）<o,

则函数”p）在上单调递增,在U上单调递减，

所以/（。）2=/《]=苧，即/'（P）的最大值为苧.

JOO

33

故答案为：V-

O

16.土壤修复是使遭受污染的土壤恢复正常功能的技术措施.中国现有耕地有近g受到不同程度的污染，但随着新

发展理念深入贯彻落实，国家对环境保护工作越来越重视.2021年我国正式启动（含已招标项目，不含未招标、流

标项目）的土壤修复工程项目共510个，合同总金额为121.56亿元，覆盖全国除西藏、港、澳、台的30个省（区、

市）.如图为2021年30个省区市土壤修复工程类项目数量的前十名，则这30个省（区、市）土壤修复工程类项目

数据的第80分位数是，若图中未列出的其它20个省（区、市）土壤修复工程类项目数量的方差为44.7,则

这30个省（区、市）土壤修复工程类项目数据的总体方差为

2021年中国各省市土壤修复行业工程类项目数量前十地区（个）

湖南

浙江

湖北

江苏

重庆

山东

广东

四川

江西

上海

【答案】30188.6

【分析】根据百分位数的定义即可求解；根据总体方差公式即可求解.

【详解】总共有30个省（区、市），第80分位数即为第24位和第25位的平均值，

第24位为广东，项目数据为28,第25位为山东，项目数据为32,故其第80分位数为30.

30个行政区域中，前10名的平均数为:

^(58+36+36+35+33+32+28+26+24+22)=33

所以前10名的方差为:

22

七[(58-33)2+(36-33『+(36_33y+(35-33)+(33-33)+

$(625+9+9+4+1+25+49+81+⑵)

=92.4

510—330

除前1。名外的2。个省的平均数为=方差为44.7

而30个省的平均数为17,

方差92.4+(33-17)2])+20X

=1-(3484+2174)

=188.6

故答案为：30；188.6

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.2020年自主招生停止的同时，36所“双一流”试点名校的“强基计划”开启，其考核内容包括学科素质测试和体育

测试.某中学为了解高一、高二学生对“强基计划”的了解程度，从高一、高二两个年级的学生中随机抽取了

100名同学进行问卷调查，经统计，抽到的学生中高一与高二的人数之比为7:13

,其中高二学生了解“强基计划”50人，高一学生有15人不了解.

（D请补充完整2x2列联表，试通过计算判断是否有95%的把握认为是否了解“强基计划”与就读年级有关；

了解不了解合计

高二50

高一15

合计100

（2）按照学生对“强基计划”的了解情况采用分层抽样的方法，从被调查的高一学生中抽取了7人，若从这7人中随机

抽取2人进行“强基计划”的政策宣讲，求抽到的2人中至少有1人对“强基计划”了解的概率.

n^ad-bc^

附表及公式：K2=n=a+b-st-c-\-d.

(Q+0)(c+d)(a+c)(b+d)

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）列联表见解析，有把握

【分析】（1）根据题意，分别求出对应的人数，填表，然后代入公式得到的值与3.841比较大小，即可得到本题答

案;

（2）用列举法，即可求得本题答案.

【详解】（1）因为抽到的学生中高一与高二的人数之比为7:13,

713

所以抽到的高一人数：1008卫、=35,高二人数：100x卫'=65,

又因为高二学生了解“强基计划”50人，高一学生有15人不了解，

所以高二学生不了解“强基计划”的有15人，高一新生了解的有20人，列表如下:

了解不了解合计

高二501565

高一201535

合计7030100

因为片=,=100x（50x15-20x15）2。口9>3,841,

（a+b）（c+d）（a+祖b+d）65x35x70x30

所以，有95%的把握认为是否了解“强基计划”与就读年级有关；

（2）因为高一学生中，了解的人数与不了解的人数是4:3,

从中抽取7人，则有4人了解情况，3人不了解情况，

设了解情况的4人为A，4，A，A4,不了解情况的3人为耳，鸟,以

共有情况21种：（4,4）,（A，4）,（4,4）,（4,4）,（4,4）,（4,4），国出乂人也卜国外）,（4，与）,（4，线）,（4,24,

（4,4）,（4,82）,（4，4）,（A4,B,）,（A4,B2）,（A4,B3）,（B1B2）,（B1JB3）,（B2B3）,

满足情况有18种：（A，『）,（A，A），（A，/），（4,4），（4，4），（4,4），（4，即,（4，居），（4，4），（4，耳），（4，居），（4,83），

（怎4）,（4，与）,（&,四）,（A4,B1）,（A4,B2）,（A4,B3）,

所以抽到的2人中至少有1人对“强基计划”了解的概率尸=T="|.

18.习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善

友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机

构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取“位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从

低到高将心理健康状况分为四个等级：

调查评分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

心理等级有隐患一般良好优秀

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在［70,80）的市民为400人

（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理

疏导后，调查评分在［40,50）的市民心理等级转为“良好，，的概率为:，调查评分在［50,60）的市民心理等级转为“良

好”的概率为:，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3人中，经过心理疏导后，至少有一人心理

等级转为“良好”的概率为多少?

【答案】(1)2000,r=0.002

【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解，

（2）由分层抽样与对立事件的概率公式求解.

【详解】（1）由已知条件可得〃=-==2000，每组的纵坐标的和乘以组距为1,

0.02x10

所以0.84+80/=1,解得二=0.002.

（2）由（1）知f=0.002,

所以调查评分在［40,50）的人数占调查评分在［50,60）人数的《，

若按分层抽样抽取3人，

则调查评分在［40,50）有1人，［50,60）有2人，

因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，

所以选出的3人经过心理疏导后，

3221

心理等级均达不到良好的概率为:、彳、彳=；,

4333

3222

所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为=

4333

19.己知在+云］］的展开式中，前3项的系数分别为生,出,“3，且满足2a2=4+%.

（1）求展开式中各项的二项式系数的和；

（2）求展开式中系数最大的项；

（3）求展开式中所有有理项.

【答案】（1）256

73

（2）4=7x§和7；=7%5

7

⑶7；=X4和

16%

【分析】（1）由条件先求出〃=8,利用二项式定理系数的性质写出结果即可；

（2）写出展开式的通项，记第左项系数最大，则有（2（包，且由此可得展开式中系数最大的项;

（3）令x的累指数为整数，求得，•的值，即可求得展开式中的有理项.

【详解】⑴［«+壶］的展开式通项公式为加=。（6『［壶］=；C：k,r=0,1,2,n,("22),

贝14=某《=1,生=〈（2；=；〃，Oj=^-C；=n（n1）,

ZZZZo

因为2〃2=。1+。3，即2XL=1+"（"D,解得"=8或〃=1（舍去），

28

8

所以二项式展开式中各项的二项式系数的和为28=256；

⑵二项式的展开式通项公式为加=G（石广［壶J（0WY8且reN）,

记第左项系数最大，则有（2（包，且1NT；7,

c012一左+1>2一人

L-,；L-.-解得34左<4,又左eN,所以々=3或左=4,

iC2+1C2+2

一^73

所以系数最大项为第3项n=7户和第4项4=7/；

（3）因为二项式［«+［=］的展开式通项公式为（。介<8且厂wN）,

24-5r

令------GZ,0<r<8^reN,则丁=0或r=6,