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文档简介
专题10.9统计、概率综合练
题号一二三四总分
得分
练习建议用时:120分钟满分:150分
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题绐出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.PM2.5是衡量空气质量的重要指标,下图是某地9月1日至10日的PM2.5日均值(单位:〃g/n?)的折线图,
则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法不正确的是()
-PM2.5日均值
A.众数为30
B.中位数为31.5
C.平均数小于中位数
D.后4天的方差小于前4天的方差
2.在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之和为128,则()
A.二项式系数和为32
B.各项系数和为128
C.常数项为-135
D.常数项为135
3.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球,已知第二次摸到的是红球,
则第一次摸到红球的概率为()
23
C.D.
34
4.下列说法中正确的个数为()个
①互斥事件一定是对立事件.
②在回归直线方程9=。.1元+1。中,当解释变量X每增加一个单位时,预报变量9增加0.1个单位;
③两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1;
④在回归分析模型中,若相关指数K越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越好.
A.1B.2C.3D.4
5.随机变量X服从正态分布X~N(10,4),p(x>12)=〃z,2(84X410)=〃,则—+工的最小值为()
A.3+4应B.6+2&C.6+472D.3+2忘
6.已知事件A,B满足0<P(A)<l,0<P(B)<l,则不能说明事件A,8相互独立的是()
A.P(A|5)=P(A|B)B.P(A|3)=尸(A)
C.P(B|A)=P(B)D.P(B|A)=P(B|A)
7.随机变量X的分布列如下所示•则D(bX)的最大值为()
X123
Pa2ba
1
BcD.
-I-i27
8.设A,8是一个随机试验中的两个事件,且尸(3)=g,尸配)=|,P(B|A)=|,贝U()
A.P(A)=gB.尸(A2)=gC.P(A+B)=|D.P(A|B)=1
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
9.新冠肺炎疫情期间,某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度,从本地居民中随机抽取若干居民进行评
分(满分为100分),根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图,已知评分在[80,100]内的居民有180人.则以
下说法正确的是()
B.调查的总人数为4000
C.从频率分布直方图中,可以估计本次评测分数的中位数大于平均数
D.根据以上抽样调查数据,可以认为该地居民对当地防疫工作的满意度符合“评分低于65分的居民不超过全体
居民的20%”的规定
10.下列说法正确的是()
A.在回归直线方程y=-0.85x+2.3中,V与彳具有负线性相关关系
B.两个随机变量的线性相关性成强,则相关系数的绝对值就越小
2
C.已知随机变量X服从二项分布3(",0),若E(X)=30,D(X)=20,则°
D.随机变量X服从正态分布N(4,l),若尸(XN5)=0.2,则P(3<X<5)=0.6
11.若(l-2x)5=%+%彳+%x2+4*3+°4/,则下列结论中正确的是()
A.%=1B.%=32
C.同+同+同+闻+同+|%|=3,D.%+4+2%+3%+4a4+5%=-1。
12.已知随机变量白服从两点分布,且P«=l)=0(i=l,2),若3<0<必<1,则下列判断不正确的是()
A.E催)<D&)B.E信)<E4)
C.E(4)<D©)D.D(4)<D倡)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共计20分.
25
13.(x-x+2y)的展开式中xV项的系数为.
14.某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位:dn?)与水生植物的株数y(单位:株)之间的相关关系,收集了
4组数据,用模型y=ce,c>0)去拟合x与y的关系,设z=Iny,尤与z的数据如表格所示:
15.《英雄联盟》2023Msi季中冠军赛在英国伦敦举办,中国战队“JDG”与“BLG”进入决赛,决赛采用五局三胜制,
当两队中有一队赢得三局比赛时,就由该队赢得冠军.每局比赛都要分出胜负,且每局比赛的胜负不受之前比赛结果
影响.假设“JDG”战队在任一局赢得比赛的概率为p(0Wp41),比赛局数的期望值记为于⑺,则/(P)的最大值是
16.土壤修复是使遭受污染的土壤恢复正常功能的技术措施.中国现有耕地有近g受到不同程度的污染,但随着新
发展理念深入贯彻落实,国家对环境保护工作越来越重视.2021年我国正式启动(含已招标项目,不含未招标、流
标项目)的土壤修复工程项目共510个,合同总金额为121.56亿元,覆盖全国除西藏、港、澳、台的30个省(区、
市).如图为2021年30个省区市土壤修复工程类项目数量的前十名,则这30个省(区、市)土壤修复工程类项目
数据的第80分位数是,若图中未列出的其它20个省(区、市)土壤修复工程类项目数量的方差为44.7,则
这30个省(区、市)土壤修复工程类项目数据的总体方差为.
2021年中国各省市土壤修复行业工程类项目数量前十地区(个)
四、解答题:本题共6小题,共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
2020年自主招生停止的同时,36所“双一流”试点名校的“强基计划”开启,其考核内容包括学科素质测试和体育
测试.某中学为了解高一、高二学生对“强基计戈『'的了解程度,从高一、高二两个年级的学生中随机抽取了
100名同学进行问卷调查,经统计,抽到的学生中高一与高二的人数之比为7:13
,其中高二学生了解“强基计划”50人,高
一学生有15人不了解.
(D请补充完整2x2列联表,试通过计算判断是否有95%的把握认为是否了解“强基计划”与就读年级有关;
了解不了解合计
高二50
高一15
合计100
(2)按照学生对“强基计划”的了解情况采用分层抽样的方法,从被调查的高一学生中抽取了7人,若从这7人中随机
抽取2人进行“强基计划”的政策宣讲,求抽到的2人中至少有1人对“强基计划”了解的概率.
附表及公式:黑热加面'n-a+b+c+d-
网片会。)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
18.习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制,塑造自尊自信、理性平和、亲善
友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中,心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机
构为了解市民在疫情期的心理健康状况,随机抽取〃位市民进行心理健康问卷调查,按所得评分(满分100分)从
低到高将心理健康状况分为四个等级:
调查评分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
心理等级有隐患一般良好优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[70,80)的市民为400人
(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中,按照调查评分分层抽取3人,进行心理疏导.据以往数据统计,经过心理
疏导后,调查评分在[40,50)的市民心理等级转为“良好”的概率为:,调查评分在[50,60)的市民心理等级转为“良
好”的概率为g,若经过心理疏导后的恢复情况相互独立,试问在抽取的3人中,经过心理疏导后,至少有一人心理
等级转为“良好”的概率为多少?
19.已知在的展开式中,前3项的系数分别为生,%>且满足2a2=4+%•
(1)求展开式中各项的二项式系数的和;
(2)求展开式中系数最大的项;
(3)求展开式中所有有理项.
20.为了调查居民对垃圾分类的了解程度,某社区居委会从A小区与8小区各随机抽取300名社区居民(分为18
-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名,假设两个小区中每组人数相等)参与问卷测试,分为比较了解(得分
不低于60分)和“不太了解'’(得分低于60分),并将问卷得分不低于60分的人数绘制频数分布表如下
分组A小区频数8小区频数
18-40岁人群6030
41-70岁人群8090
其他人群3050
假设用频率估计概率,所有居民的问卷测试结果互不影响.
(1)从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试,估计其对垃圾分类比较了解的概率;
(2)从A、B小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民,记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量X,求X
的分布列和数学期望;
(3)求事件E:“从A小区的三个年龄组随机抽取两组,且每个年龄组各随机抽取一名居民,这两名居民均对垃圾分
类比较了解”的概率
21.某研发小组为了解年研发资金投入量X(单位:亿元)对年销售额y(单位:亿元)的影响,结合近10年的年
研发资金投入量占和年销售额%的数据(i=l,2,…10),建立了两个函数模型:①尸a+内2,②y=其中a,
B,均为常数,e为自然对数的底数.设%=x;,v,.=lnX.(z=l,2,-,10),经过计算得如下数据.
方10(匕-可c10c10
Xy
Z=1i=li=l
206677020014
ioc方io(―)c10
UV
Z=1i=li=\
4604.2031250000.30821500
(1)设{%}和{%}的相关系数为勺卜.}和{匕}的相关系数为。请从相关系数的角度,选择一个拟合程度更好的模型.
⑵根据(1)中选择的模型及表中数据,建立y关于x的线性回归方程(系数精确到o.oi),根据线性回归方程,若
当年的销售额大致为e4亿元,则估计当年的研发资金投入量为多少亿元.
参考公式:相关系数.
£(%一元)$(》一歹)一
VZ=1Z=1
线性回归直线y=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为。=
22.根据社会人口学研究发现,一个家庭有X个孩子的概率模型为:
X1230
a
概率a研1-0a(l-
P
其中e>0,。<〃<1.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为g且相互独立,事件A表示一个家庭有i个孩子
(i=0,l,2,3),事件B表示一个家庭的男孩比女孩多(例如:一个家庭恰有一个男孩,则该家庭男孩多.)
(1)为了调控未来人口结构,其中参数P受到各种因素的影响(例如生育保险的增加,教育、医疗福利的增加等),
是否存在。的值使得E(X)=g,请说明理由.
13
(2)若p=g,求明并根据全概率公式尸")=2尸(网A,)P(AJ,求尸(8).
2i=o
专题10.9统计、概率综合练
题号一二三四总分
得分
练习建议用时:120分钟满分:150分
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题绐出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.PM2.5是衡量空气质量的重要指标,下图是某地9月1日至10日的PM2.5日均值(单位:〃g/n?)的折线图,
则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法不正确的是()
-PM2.5日均值
A.众数为30
B.中位数为31.5
C.平均数小于中位数
D.后4天的方差小于前4天的方差
【答案】C
【分析】将数据从小到大排序,根据众数的定义,可判定A正确;根据中位数的计算方法,可判定B正确;利用
平均数的计算公式,求得数据的平均数,可判定C错误;根据数据的离散程度,可判定D正确.
【详解】对于A中,将数据从小到大排序,依次为17,25,30,30,31,32,34,38,42,126,
其中30出现了2次,其他数据均出现了1次,所以数据的众数为30,所以A正确;
对于B中,根据中位数的概念,可得第5个数和第6个数的平均数为中位数,
即为卫箸
=31.5,所以B正确;
17+25+30+30+31+32+34+38+42+126
对于C中,由平均数的公式得7==40.5
10
其中40.5>31.5,所以平均数大于中位数,所以C错误;
对于D中,从图象可以看出后4天的数据更加集中,前4天的数据更加分散,
所以后4天的方差小于前4天的方差,所以D正确.
故选:C.
2.在[3尤-亍J的展开式中,各项系数和与二项式系数和之和为128,则()
A.二项式系数和为32
B.各项系数和为128
C.常数项为-135
D.常数项为135
【答案】D
【分析】令x=l,求出系数之和,再根据二项式系数的和结合已知求出",进而可判断AB;求出展开式的通项,
令x的指数等于零,即可判断CD.
【详解】令x=l,得各项系数和为2",
又二项式系数和为2",则2"+2"=128,得"=6,
即二项式系数和为64,各项系数和也为64,故A,B不正确;
卜一七]的展开式的通项为=365(一"戊》咤,
令6->0,得上=4,
因此展开式中的常数项为32*(-1)4仁=135,故C不正确,D正确.
故选:D.
3.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球,已知第二次摸到的是红球,
则第一次摸到红球的概率为()
【答案】B
【分析】设第一次摸到红球为事件4第二次摸到红球为事件B,根据古典概型结合计数原理求尸(为,尸(形),进
而根据条件概率运算求解.
【详解】设第一次摸到红球为事件4第二次摸到红球为事件B,则事件AB为第一次摸到红球且第二次摸到红球,
可得小)=里产=:总产网)耳=离,
所以尸(刎母丁
故选:B.
4.下列说法中正确的个数为()个
①互斥事件一定是对立事件.
②在回归直线方程夕=0.卜+1。中,当解释变量X每增加一个单位时,预报变量9增加0.1个单位;
③两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1;
④在回归分析模型中,若相关指数笈越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越好.
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】根据互斥事件和对立事件的关系,回归分析及相关系数判断各项即可.
【详解】互斥事件不一定对立,所以①是错误的;
根据回归直线方程中回归系数的含义,可知当回归直线方程3=0.5+1。中,当解释变量x每增加一个单位时,预报
变量y增加0.1个单位,②是正确的;
根据相关系数的计算公式可知,相关系数的绝对值越接近1,两个变量的相关性就越强,所以③是正确的;
根据回归分析的基本思想可知相关指数尺2越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越好,④是正确的.
故选:C.
5.随机变量X服从正态分布X~N(10Q2),尸(x>12)=见P(8VXW10)=%则—二+工的最小值为()
A.3+4&B.6+2夜C.6+4&D.3+2近
【答案】D
【分析】依题意,根据正态分布的性质,结合图象的对称性,整理概率等式,结合基本不等式,可得答案.
【详解】由随机变量X服从正态分布X:N(10,b),其正态分布分布曲线的对称轴为直线x=10,
则尸(X>12)=尸(X<8),P(8<X<10)=P(10<X<12),
2xP(X>12)+2xP(8WX410)=2优+2”=1,且机>0,n>0,
所以工+工=(2m+2〃)(工+工]=己+也+322夜+3,
2mn12mnJmn
当且仅当°=',即”=拒加时,取等号.
mn
故选:D.
6.已知事件A,3满足0〈尸(A)<1,0<P(B)<l,则不能说明事件A,3相互独立的是()
A.P(A|B)=P(A|B)B.P(A|B)=F(A)
C.P(S|A)=P(B)D.P(B|A)=P(B|A)
【答案】A
【分析】举反例判断A,利用条件概率公式及相互独立事件的定义判断BCD.
【详解】对于A,掷一枚质地均匀的骰子,事件A为向上的点数不超过4,事件B为向上的点数为4或5,即
A={1,2,3,4},B={4,5},A={5,6},满足尸(阂耳=尸(Z忸)=g,但尸(A8)=g,P(A)P(B)=|x|=|,所以事
件Ag不相互独立,故A错误;
对于B,因为P(A忸)=*^=P(A),所以P(AB)=P(A)尸(B),所以事件A,2相互独立,故B正确;
因为「(叫力=*母="8),所以P(AB)=P(A)P(3),所以事件A,2相互独立,故C正确;
对于C,
对于D,因为尸(叫A)=尸(却孙所以义黑二.(产),整理得尸(明=2网俨(42)+尸(丽)]=尸网尸(2),
尸⑷1-尸(A)'
所以事件AB相互独立,故D正确;
故选:A
7.随机变量X的分布列如下所示•则。(6X)的最大值为()
X123
Pa2ba
【答案】D
【分析】由分布列的性质可得。涉的关系,再由期望公式求E(X),由方差公式求O(X),利用导数求。(X)的最大
值.
【详解】由题可知2a+2匕=1,0<«<1,0<2^<1,
所以a+b=J,0<Z?<1,
E(X)=a+4b+3a=4(a+b)=2,
D(X)=«(l-2)2+(3-2)2a=2a,
则£)(比)=廿£)(乂)=2必2^_2b3+b2,
^f^b)=-2b3+b2,
则f'(b)=-6b2+2b=-2耳3人一1),
则/(6)在上单调递增,在gj]上单调递减,
所以73)max=/&)=:,
所以。0X)的最大值为上.
故选:D.
8.设A,3是一个随机试验中的两个事件,且尸⑻=:,P(B|A)=|,P(B|A)=1,则()
A.2⑷]B.P(AB)=1C.P(A+B)=|D.P(A|B)=1
【答案】C
【分析】利用全概率公式结合条件可得尸(A)=J,然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐项分析即
得.
【详解】因为P(8)=g,尸(同勾=|,P(B|A)=1,
所以P(B|A)=;,P(B|A)=|,又尸⑻=尸网网8⑶+P(牙但可,
所以g=(尸⑷+gP⑷[尸⑷+#1一尸⑷)’
所以P(A)=;,故A错误;
由尸(/同.力、=4P(A年B\=不1,可得尸(/A8、)=看1,故B错误;
1113
所以P(A+B)=尸(A)+P(B)—尸(42)=5+耳一方=7,故C正确;
所以尸(A⑻=?^=;,尸伍忸)=1-1三,故D错误.
故选:C.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
9.新冠肺炎疫情期间,某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度,从本地居民中随机抽取若干居民进行评
分(满分为100分),根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图,已知评分在[80,100]内的居民有180人.则以
B.调查的总人数为4000
C.从频率分布直方图中,可以估计本次评测分数的中位数大于平均数
D.根据以上抽样调查数据,可以认为该地居民对当地防疫工作的满意度符合“评分低于65分的居民不超过全体
居民的20%”的规定
【答案】ACD
【分析】根据给定的频率分布直方图,结合频率分布直方图的性质,概率的计算方法,以及中位数、平均数的计算
公式,逐项判定,即可求解.
【详解】由频率分布直方图的性质,可得(0.002+0.004+0.014+0.035+4)x10=1,
即10x(0.075+a)=l,解得。=0.025,所以A正确;
1on
设总共调查了“人,可得”=(0.035+0.025)xlO,
n
解得〃=300,即调查的总人数为300人,所以B错误;
中位数位于区间[80,90],设中位数为m,
则0.025x10+(90-x0.035=0.5,解得机=手,
由频率分布直方图知各段的频率分别为0。2。04,0.14,0.20,0.35,0.25,
设平均数为元,
贝^=45x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2+85x0.35+95x0.25=80.7.
con
可得〒>80.7,所以C正确;
由评分在[40,70]的居民占调查总人数的20%,所以评分低于65分的居民不超过全体居民的20%,所以D正确.
故选:ACD.
10.下列说法正确的是()
A.在回归直线方程y=-0.85x+2.3中,V与尤具有负线性相关关系
B.两个随机变量的线性相关性成强,则相关系数的绝对值就越小
2
C.已知随机变量X服从二项分布0),若E(X)=30,D(X)=20,则p=§
D.随机变量X服从正态分布N(4,l),若尸(X\5)=0.2,则尸(3<X<5)=Q6
【答案】AD
【分析】A选项,根据-0.85<0作出判断;B选项,由相关系数的定义作出判断;C选项,根据题意列出方程组,
求出P=;;D选项,根据正态分布对称性进行求解.
【详解】A选项,因为-0.85<0,故>与x具有负线性相关关系,A正确;
B选项,两个随机变量的线性相关性成强,则相关系数的绝对值就越大,越接近于1,B错误;
C选项,秋=30,〃p(l-p)=20,解得p=;,C错误;
D选项,X服从正态分布N(4,l),故〃=4,b=VT=l,
则P(X>4+1)=P(X<4-l),即P(X>5)=P(X<3)=0.2,
则尸(3<X<5)=l—P(X25)—P(XW3)=0.6,D正确.
故选:AD
11.若(1—2x)5=%+/尤2+/尤3+%X4+%*5,则下列结论中正确的是()
A.%=1B.%=32
C.I«ol+I^l+I^l+I^l+I^l+I^l=^5D.%+%+2%+3%+4a4+5%=-10
【答案】AC
【分析】令x=0,可判定A正确;求得展开式的通项(+1=(-2丫.6,,令r=5,可判定B错误;由
|〃o|+M+|生|+同+|%|+|。5]=。0-4+〃2—/+〃4—。5+。6,令X=—1'可判定C正确;两边求导数得到
4134
-10x(1-2x)=%+2a2x+3a3x+4d!4x+5a5x,令x=l,进而可判定以D错误.
2345
【详角军】由(1一2%y=%+a^x+a2x+a3x+a4x+a5x,
对于A中,令尤=0,可得4=1,所以A正确;
对于B中,由二项式(1—2x)5展开式的通项为&]=C>(—2x>=(—2)'C孑,
令〃=5,可得(=(-2)5.C*5=—32/,所以B错误;
对于C中,由展开式的通项&]=(-通'C#知:
当r=0,2,4时,可得展开式的系数为正值,当〃=1,3,5时,可得展开式的系数为负值;
以+|q|+|出|+|q|+1"/+|"51=4一%+生一生+能一%+“6,
X——1,nX%—q+〃2-〃3+〃4—〃5+〃6=3,,
即同+同+同+|〃3|+|〃4|+|〃5|=35,所以C正确;
55
对于D中,由(l-2x)=/++〃3X3+々4%4+a5x,
23
两边求导数,可得一10x(1-2x)4-6+2a2x+3a3x+4<24x+5%/,
令*光=1,pjq+2/+3a3+4%+5a5——10,
又由%=1,所以为+。1+2。2+3。3+4。4+5。5=-9,所以D错误.
故选:AC.
12.已知随机变量自服从两点分布,且尸(。=1)=口(/=1,2),若^<0<必<1,则下列判断不正确的是(
A.£值)<。c)B.E(4)<E值)
c.E©)<Dg)D.D闾<。&)
【答案】ACD
【分析】利用两点分布的期望与方差公式求解即可.
【详解】依题意,得P信=1)=外尸值=1)=0,4服从两点分布,
所以E(4)=P1,E(4)=P2,。(4)=月(1一月),。(以)=。2(1-。2),
1
因为5Vpi<02<1,贝0<1-p2<—,
所以°2>。2(1-8),P1<P2,P1>P1(1-M)>
所以£值)>。值),E㈤<E㈤,E©)>D信),
。信)-。值)=Pl(1-月)一0(1-0)=(。1一。2)(1-一。2)>0,即。⑹>。阎,
所以ACD错误,B正确.
故选:ACD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共计20分.
13.(/-x+2y)5的展开式中Vy3项的系数为.
【答案】-160
【分析】根据多项式相乘展开方法求解.
【详解】(/-x+2y)5的展开式中,构成dV项只能是一个/、一个(一)、3个(2y)相乘,
故此项为C52c(r)-C;(2y)3=—160fV.
故答案为:-160.
14.某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位:dn?)与水生植物的株数y(单位:株)之间的相关关系,收集了
z=Iny%与z的数据如表格所示:
【分析】根据已知条件,求得元=53=4,进而代入回归方程可求得&=-2,从而得出"1.2x-2,联立z=lny,
即可求得本题答案.
_3+4+6+7U_2+2.5+4.5+7,
【详解】由已知可得,x=---------=5,z=-------------=4,
44
所以,有4=12x5+6,解得G=-2,
所以,z—1.2,x—2,»
由z=lny,得lny=L2x-2,
所以,y=e3=e-2.产,则°=小.
故答案为:e一2
15.《英雄联盟》2023Msi季中冠军赛在英国伦敦举办,中国战队“JDG”与“BLG”进入决赛,决赛采用五局三胜制,
当两队中有一队赢得三局比赛时,就由该队赢得冠军.每局比赛都要分出胜负,且每局比赛的胜负不受之前比赛结果
影响.假设“JDG”战队在任一局赢得比赛的概率为P(0<p<l),比赛局数的期望值记为/(p),则“0的最大值
是.
33
【答案】v
O
【分析】设比赛局数为X,分别计算出X可能取值的概率,进而求出期望值/(初,再利用导数求得了(。)的最大值,
由此得解.
【详解】设比赛局数为X,则X的可能取值为3,4,5,
则尸(X=3)=/+(i-p)3,
尸(X=4)=C;p3(1一p)+C;p(l-犷,
尸(X=5)=C;”(1“,
贝IJ/(0=3]/+(i_p)3]+4[c;p3(i_p)+cmi_p)3]+5xGp2(i_p)2=6/T2P3+3p2+3p+3,
所以/'(p)=24p3-36p2+6°+3=3(2p—D(4p2,
因为函数y=4p2-4p-l的图象对称轴为p=:,0Vp<l,
当p=0时,y=-l<0f当p=l时,y=-l<0,所以4P2_4p_]<0,
所以当o<p<g时,/(P)>O;当时,r(p)<o,
则函数”p)在上单调递增,在U上单调递减,
所以/(。)2=/《]=苧,即/'(P)的最大值为苧.
JOO
33
故答案为:V-
O
16.土壤修复是使遭受污染的土壤恢复正常功能的技术措施.中国现有耕地有近g受到不同程度的污染,但随着新
发展理念深入贯彻落实,国家对环境保护工作越来越重视.2021年我国正式启动(含已招标项目,不含未招标、流
标项目)的土壤修复工程项目共510个,合同总金额为121.56亿元,覆盖全国除西藏、港、澳、台的30个省(区、
市).如图为2021年30个省区市土壤修复工程类项目数量的前十名,则这30个省(区、市)土壤修复工程类项目
数据的第80分位数是,若图中未列出的其它20个省(区、市)土壤修复工程类项目数量的方差为44.7,则
这30个省(区、市)土壤修复工程类项目数据的总体方差为
2021年中国各省市土壤修复行业工程类项目数量前十地区(个)
湖南
浙江
湖北
江苏
重庆
山东
广东
四川
江西
上海
【答案】30188.6
【分析】根据百分位数的定义即可求解;根据总体方差公式即可求解.
【详解】总共有30个省(区、市),第80分位数即为第24位和第25位的平均值,
第24位为广东,项目数据为28,第25位为山东,项目数据为32,故其第80分位数为30.
30个行政区域中,前10名的平均数为:
^(58+36+36+35+33+32+28+26+24+22)=33
所以前10名的方差为:
22
七[(58-33)2+(36-33『+(36_33y+(35-33)+(33-33)+
$(625+9+9+4+1+25+49+81+⑵)
=92.4
510—330
除前1。名外的2。个省的平均数为=方差为44.7
而30个省的平均数为17,
方差92.4+(33-17)2])+20X
=1-(3484+2174)
=188.6
故答案为:30;188.6
四、解答题:本题共6小题,共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.2020年自主招生停止的同时,36所“双一流”试点名校的“强基计划”开启,其考核内容包括学科素质测试和体育
测试.某中学为了解高一、高二学生对“强基计划”的了解程度,从高一、高二两个年级的学生中随机抽取了
100名同学进行问卷调查,经统计,抽到的学生中高一与高二的人数之比为7:13
,其中高二学生了解“强基计划”50人,高一学生有15人不了解.
(D请补充完整2x2列联表,试通过计算判断是否有95%的把握认为是否了解“强基计划”与就读年级有关;
了解不了解合计
高二50
高一15
合计100
(2)按照学生对“强基计划”的了解情况采用分层抽样的方法,从被调查的高一学生中抽取了7人,若从这7人中随机
抽取2人进行“强基计划”的政策宣讲,求抽到的2人中至少有1人对“强基计划”了解的概率.
n^ad-bc^
附表及公式:K2=n=a+b-st-c-\-d.
(Q+0)(c+d)(a+c)(b+d)
0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
【答案】(1)列联表见解析,有把握
【分析】(1)根据题意,分别求出对应的人数,填表,然后代入公式得到的值与3.841比较大小,即可得到本题答
案;
(2)用列举法,即可求得本题答案.
【详解】(1)因为抽到的学生中高一与高二的人数之比为7:13,
713
所以抽到的高一人数:1008卫、=35,高二人数:100x卫'=65,
又因为高二学生了解“强基计划”50人,高一学生有15人不了解,
所以高二学生不了解“强基计划”的有15人,高一新生了解的有20人,列表如下:
了解不了解合计
高二501565
高一201535
合计7030100
因为片=,=100x(50x15-20x15)2。口9>3,841,
(a+b)(c+d)(a+祖b+d)65x35x70x30
所以,有95%的把握认为是否了解“强基计划”与就读年级有关;
(2)因为高一学生中,了解的人数与不了解的人数是4:3,
从中抽取7人,则有4人了解情况,3人不了解情况,
设了解情况的4人为A,4,A,A4,不了解情况的3人为耳,鸟,以
共有情况21种:(4,4),(A,4),(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),国出乂人也卜国外),(4,与),(4,线),(4,24,
(4,4),(4,82),(4,4),(A4,B,),(A4,B2),(A4,B3),(B1B2),(B1JB3),(B2B3),
满足情况有18种:(A,『),(A,A),(A,/),(4,4),(4,4),(4,4),(4,即,(4,居),(4,4),(4,耳),(4,居),(4,83),
(怎4),(4,与),(&,四),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),
所以抽到的2人中至少有1人对“强基计划”了解的概率尸=T="|.
18.习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制,塑造自尊自信、理性平和、亲善
友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中,心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机
构为了解市民在疫情期的心理健康状况,随机抽取“位市民进行心理健康问卷调查,按所得评分(满分100分)从
低到高将心理健康状况分为四个等级:
调查评分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
心理等级有隐患一般良好优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[70,80)的市民为400人
(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中,按照调查评分分层抽取3人,进行心理疏导.据以往数据统计,经过心理
疏导后,调查评分在[40,50)的市民心理等级转为“良好,,的概率为:,调查评分在[50,60)的市民心理等级转为“良
好”的概率为:,若经过心理疏导后的恢复情况相互独立,试问在抽取的3人中,经过心理疏导后,至少有一人心理
等级转为“良好”的概率为多少?
【答案】(1)2000,r=0.002
【分析】(1)由频率分布直方图数据列式求解,
(2)由分层抽样与对立事件的概率公式求解.
【详解】(1)由已知条件可得〃=-==2000,每组的纵坐标的和乘以组距为1,
0.02x10
所以0.84+80/=1,解得二=0.002.
(2)由(1)知f=0.002,
所以调查评分在[40,50)的人数占调查评分在[50,60)人数的《,
若按分层抽样抽取3人,
则调查评分在[40,50)有1人,[50,60)有2人,
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立,
所以选出的3人经过心理疏导后,
3221
心理等级均达不到良好的概率为:、彳、彳=;,
4333
3222
所以经过心理疏导后,至少有一人心理等级转为良好的概率为=
4333
19.己知在+云]]的展开式中,前3项的系数分别为生,出,“3,且满足2a2=4+%.
(1)求展开式中各项的二项式系数的和;
(2)求展开式中系数最大的项;
(3)求展开式中所有有理项.
【答案】(1)256
73
(2)4=7x§和7;=7%5
7
⑶7;=X4和
16%
【分析】(1)由条件先求出〃=8,利用二项式定理系数的性质写出结果即可;
(2)写出展开式的通项,记第左项系数最大,则有(2(包,且由此可得展开式中系数最大的项;
(3)令x的累指数为整数,求得,•的值,即可求得展开式中的有理项.
【详解】⑴[«+壶]的展开式通项公式为加=。(6『[壶]=;C:k,r=0,1,2,n,("22),
贝14=某《=1,生=〈(2;=;〃,Oj=^-C;=n(n1),
ZZZZo
因为2〃2=。1+。3,即2XL=1+"("D,解得"=8或〃=1(舍去),
28
8
所以二项式展开式中各项的二项式系数的和为28=256;
⑵二项式的展开式通项公式为加=G(石广[壶J(0WY8且reN),
记第左项系数最大,则有(2(包,且1NT;7,
c012一左+1>2一人
L-,;L-.-解得34左<4,又左eN,所以々=3或左=4,
iC2+1C2+2
一^73
所以系数最大项为第3项n=7户和第4项4=7/;
(3)因为二项式[«+[=]的展开式通项公式为(。介<8且厂wN),
24-5r
令------GZ,0<r<8^reN,则丁=0或r=6,
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