河北省邯郸市2024届高三年级上册第二次调研监测数学试题（含答案）

河北省邯郸市2024届高三上学期第二次调研监测数学试题

学校:.姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.已知集合A=xy=log2x—x2,B=则Au5=()

1

A.x|x>01B.X<x<1C.Xx>一D.x\x<

2

2.若角。为第二象限角,tana=-------，贝“cosa=()

4

A.半2A/2_1

B.cD.

__3--1~3

3.设见力为两个不同的平面，c为三条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A.若al/a,bua,贝lja//bB.若alI/3、aua,bu/3,则〃/必

C.若a_L分,au%aP=c.a±c,则a_L/7D.若a工B，aua,bu(3,贝

4.已知复数z满足z2+z+l=0,贝！）目=（）

B6

A,—2C.1D.2

2

直线尸丘-3左+1被圆f+y2—4-5=0截得的弦长的最小值为（

5.)

A.4B.275C.276D.2A/7

n

6.在（2加+2\的二项展开式中，各二项式系数之和为%,各项系数之和为4,若

an+bn=1056,则〃=()

A.4B.5C.6D.7

7.已知函数/⑴=3-广2,若—2）+/（2片）＞0,则实数。的取值范围是（）

-23

A.(2,+oo)B.4C.—00,------D.(-2,+oo)

2

8.在棱长为4的正方体ABC。-AgGA中，a。分别为4瓦。6的中点，则平面A尸。

截此正方体所得的截面周长为（)

A25+2713+975口25+4713+9^

A.---------------------D.-------------------------------------------

33

C.—+6A/5D.—+675

42

二、多选题

9.已知函数〃x）=2cos12x+：］,则下列描述正确的是（）

A.函数“X）的最小正周期为无

B.x=£是函数图象的一个对称轴

6

C.是函数“X）图象的一个对称中心

D.若函数的图象向左平移5个单位长度可得函数g（x）的图象，则g（x）为奇

0

函数

10.已知实数〃涉,根满足a>Z?>0,则以下大小关系正确的是（）

A.a2>b2B.QH—>b-\—

ab

「bb+mabi—n-

C.—<-------D.—j=+—j=>V〃+，b

aa+m7b

11.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足4=1,%+%=8,现将数列｛4｝与数列

｛邑-1｝的公共项从小到大排列得到新数列也｝,则下列叙述正确的是（）

2

A.an=2n-\B.=M-1

C.仇。=399D.数列卜勺前10项和为义

12.己知椭圆。:1+产=1（4>1）的上顶点为8,左、右焦点分别为用,工，则下列叙述

a

正确的是（）

A.若椭圆C的离心率为也，则。=2

2

B.若直线8K与椭圆C的另一个交点为A,且防=2为4,则/=2

C.当4=2时，过点B的直线被椭圆C所截得的弦长的最大值为题

3

D.当a=2时，椭圆C上存在异于B的两点P,。，满足8PL3。，则直线PQ过定

点［。，一|］

三、填空题

13.现有一组数据按照从小到大的顺序排列如下：4,6,7,7,8,9,11,14,15,19,

则这组数据的上四分位数为.

14.已知非零向量a/满足2同=3忖,6，（2°-6）,则向量a,b夹角的余弦值为

试卷第2页，共4页

15.已知抛物线W=2py(p>())的焦点为尸，过点歹的直线/与该抛物线相交于两

点，若|脑V|=5|NF|,则直线/的斜率为.

16.已知函数f(x)=xlog/-gx2(a>0,且awl)存在极小值和极大值，则实数。的取

值范围是.

四、解答题

17.已知数列｛%｝的前几项和为S",且满足S"=1+1.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列b„=(-1)"«„,求数列｛a｝的前2n项和T2„.

18.在二ABC中，角A8,C的对边分别为〃八c,且生女=咽.

ccosC

⑴求角C；

⑵若c=3,角C的平分线交A3于点。，且满足3£)=-2AD，求△BCD的面积.

19.如图，已知直三棱柱ABC-A4G的体积为2石(其中底面三角形ABC为锐角三角

B

⑴求点G到平面ABC的距离；

(2)求平面\BC与平面BCC'B,夹角的余弦值.

20.已矢口函数/(x)=lnx+(a—2)尤+<7.

⑴若a=l,求曲线y=/(x)在点(e"(e))处的切线方程;

⑵讨论函数“X)的零点个数.

21.随着芯片技术的不断发展，手机的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提

升.某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适

中”“困难”三个档次，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”

或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为若上一关的

难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为35二，已知第1

632

关的难度为“容易”.

(1)求第3关的难度为“困难”的概率；

(2)用月表示第九关的难度为“困难”的概率，求匕.

2

22.已知点片,工分别为双曲线C:Y一上=1的左、右焦点，点A在双曲线C的右支上，

3

且双曲线在点A处的切线/与圆C?:(x-2>+y2=io交于N两点，设直线RM,RN的

倾斜角分别为

⑴求|a-；

⑵设直线/与x轴的交点为。，且满足山。=2上。，求△甲WN的面积.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】根据题意，由对数型函数的定义域将集合A化简，再由并集的运算，即可得到结果.

【详解】因为y=log2（%—炉），贝鼠_%2>o,解得Ovxvi,

则A=1x|O<x<l|,且5={l%>；卜

故选：A

2.B

【分析】根据同角三角函数的基本关系得到方程组，解得即可.

【详解】因为sin2a+cos%=l,tana=阿里=一变，又角a为第二象限角，

cosa4

解得cosa=-2四.

3

故选：B

3.C

【分析】根据线线、线面和面面的基本关系依次判断选项即可.

【详解】A：若a〃a,bua,则a/必或〃与A互为异面直线，故A错误；

B：若a"/3,aua,bu/3,则a//b或〃与Z?互为异面直线，故B错误；

C：若。_L，,aua,ai/3=c,a【c,则々_14，故C正确；

D：若aLf3,aua,buf3,则；_L3或a//b或。与Z?互为异面直线或。与/?相交，故D错误.

故选：C

4.C

【分析】设z=a+bi（4,b£R）,根据复数代数形式的乘法与加减运算化简z2+z+l，再根据复

数相等得到方程组，求出4、b,即可求出其模.

【详解】设z=Q+历（4,b£R）,

因为ZN+Z+IMO,所以（a+历）+a+Z?i+l=。，

BPa1—b2+2aZ?i+a+历+1=0,BP—b2+a+l+（2"+Z?）i=。，

/+Q+1=0

所以c77c，当b=0时储+〃+i=o无解，

\2ab+b=Q

答案第1页，共17页

当“=-"时解得6=±,

22

所以目=-\/a2+b2=1.

故选：C

5.D

【分析】求出直线过定点坐标，圆心坐标与半径，判断定点在圆内，从而求出弦长最小值.

【详解】直线'=辰一3左+1,即(彳_3)左+(1—y)=0,令J］_y=0，解得［=1，

所以直线、=丘-3a+1恒过定点4(3,1),

®x2+y2-4%-5=0,§P(X-2)2+/=9,则圆心为3(2,0),半径厂=3,

又|A3|=43-2)2+T=0<3,所以点A在圆内，

则当A8与直线了=履-3左+1垂直时所截得的弦长最小，最小值为2Jr2TAM'=2出.

6.B

【分析】依题意可得。“=2"，令x=l得到2=4”,从而求出”.

【详解】由12加+工］，令x=l可得各项系数之和为2=4",又各二项式系数之和为%=2”,

答案第2页，共17页

因为氏+2=1056,贝！J4〃+2〃=1056,解得2〃=32或2〃=一33(舍去)，

所以〃=5.

故选：B

7.B

【分析】令g(x)=〃x+2),即可判断g(x)为奇函数,从而得到关于(2,0)对称，则

f(x)+/(4-x)=0,再判断的单调性，由对称性将不等式化为/(2片)>“6-a),再

由单调性转化为自变量的不等式，解得即可.

11

【详解】因为〃光上了^一小?xeR,令g(x)=〃尤+2)=/-e*,xeR,

贝Ig(一司='-e-二一'-ej二­g⑺，

所以g(x)为奇函数,则g(x)关于原点对称,所以“X)关于(2,0)对称，

贝|/(尤)+/(4—x)=0,

则>=6"2在定义域R上单调递增，y=」在(0,+8)上单调递减，所以y=占在定义域R上

Xe

单调递减，

则“X)=W-广2在定义域R上单调递减，

则不等式〃”2)+八2/)>0,即〃2/)>一44一2),所以八2/)>〃6-a),

则2〃<6-a,解得-2<a<g,即实数a的取值范围是1-2,：.

故选：B

8.A

【分析】取点”为棱G2上靠近C1的四等分点，取点N为棱8c上靠近C的三等分点，连

接PN、NQ、QMy,即可得到平面A尸。截此正方体所得的截面为五边形A/WQM,

再求出其周长即可.

【详解】依题意，取点M为棱GQ上靠近C1的四等分点，取点N为棱BC上靠近C的三等

分点，

连接PN、NQ、QM,AM,取OC、AC的中点石、F,连接。乃、CF、EP,则研〃A2

答案第3页，共17页

且=

所以四边形£尸42为平行四边形，所以ER//AP，

又CE与。尸平行且相等，则四边形。/CE为平行四边形，所以RE//CP,

又MQIICF,所以加。〃4尸，同理可证PN〃AM,

所以平面A/。截此正方体所得的截面为五边形A/WQM,

又/1="2+22=2君,4M=次+32=5，MQ=yJ12+22=A/5，

所以截面周长为2国百+5+孚+g=25+2?+9斯

【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可.

【详解】函数〃x)=2cos(2x+^|的最小正周期T=g=

兀，故A正确;

71

2cos2x-+-=2cos-=0,所以"%)关于去。)对称，故B错误;

66)2

2兀71

2cos-----+—=2cos0,所以卜；,oj是函数f(x)图象的一个对称中心,

36

故C正确;

将函数/(X)的图象向左平移g个单位长度得到

0

7171

g(x)=2cos2X+-+—=2cosl2x+^l=-2sin2x,

6

贝!|g(-x)=-2sin(-2x)=2sin2x=—g(x),所以g(x)为奇函数，故D正确;

故选：ACD

答案第4页，共17页

10.AD

【分析】利用不等式的性质判断A、利用特殊值判断B、C,利用作差法判断D.

【详解】对于A：因为a>b>0,所以/>/,故A正确；

对于B：当a=l,b=一时满足a>b>0,但是oH—=2<b+—=—,故B错误；

2abl

对于C：当=0时：=,故c错误；

aa+m

对于D：因为a>右>0,所以正>扬>0,

所以&+包_«_a（&+斯）>0,所以条+/=>夜+虚，故D正确;

aG箍37a

故选：AD

11.ACD

【分析】根据等差数列公式计算S“=1得到A正确B错误，确定2=4/-1,

计算c正确，；=（［八-±］，利用裂项相消法计算得到D正确，得到答案.

bn212〃-12n+17

【详解】对选项A：4=1,4+%=2q+3"=8,d-2,故正确；

对选项B：Sn=—（1+2n—1）xn=»~,错误；

对选项C：%表示从1开始的奇数，当”为偶数时，/_1为奇数，

故a=4〃2_1,故%）=399,正确;

111\（11）

对选项D：­=-^~—^=~z—］、「|，

bn4〃—1+212〃-12n+lJ

数列小的前io项和为:卜"T++历1一端1二1正0正f确;

故选：ACD.

12.ACD

【分析】直接由离心率求出。，即可判断A,求出A点坐标代入方程，即可判断B,设点

M（W，%）在椭圆上，求出眼呼，结合二次函数的性质判断C,设点尸（4乂），。优,上）,

当尸。的斜率不为零时，设直线尸。的方程为〃、=犬+〃7,联立直线与椭圆方程，消元、列出

韦达定理，又BP1BQ,得到BP.BQ=0,即可求出加、〃的关系，从而求出直线过定点坐

答案第5页，共17页

标，再检验斜率为零时也满足.

【详解】对于A：e=£=3,b=l,c2=a2-b2,解得〃=4,所以。=2,故A正确;

a2

对于B：因为£(-c,0),又BF\=2F、A,

3c]

设则(-c,-l)=2(%o+c,%),解得不=—■,yQ,

所以《奇小

代入椭圆方程得到竺+工=1,所以所以"=解得"=],故B错误;

4/4a23a232

对于C：当。=2时椭圆为9+产=1,设点加(七,为)在椭圆上，则]+q=1，

所以阿创=%；+(%_1)=4—4y；+y；_2y3+1=_3y；_2y3+5,

因为所以当为=一；时阿2取得最大值印所以弦长最大值为手,

故C正确;

对于D：设点尸(%,%),当尸。的斜率不为零时，设直线尸。的方程为利=%+机,

ny=x+m

,可得(〃2+4)y2_2mny+m2-4=0,

由</21

——+V-1

I4,

2mnm2-4

显然A〉0,所以％+%=--，必+%=----

〃+4n+4

因为BPL3Q,可得5P50=玉9+(%—1)(%_1)=。，

n

因为町1=玉+机，y2=x2+m,代入可得("+1)%%一(机〃+1)(%+%)+m2+1=0,

答案第6页，共17页

12*

所以(〃2+1)耳一^--(mn+l)+m+1=0,

\7n2+4v乙2+4

3

整理得(5m+3〃)(m-〃)=0,所以根=几或加=一丁,

当机=〃时直线。。的方程为4=%+〃，恒过(0,1),不成立，

当根=时直线PQ的方程为=x-|〃，恒过,

若直线PQ的斜率为0且过点不妨取Q

则BPBQ=0,满足3尸，8。，

综上可得直线PQ恒过点(。，-|1,故D正确；

故选：ACD

(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一

般性证明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系

或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为

坐标的点即为所求点；

(3)求证直线过定点(%,%),常利用直线的点斜式方程5)或截距式、=丘+》

来证明.

13.7

【分析】根据百分位数的概念进行估计即可.

答案第7页，共17页

【详解】因为这组数有10个，所以10x25%=2.5

这组数据的上四分位数的为值为第3位的数7.

故答案为：7.

14.-

3

【分析】设同=3/”。），则W=2t,由6M2a-6）,得到九侬询=0,即可求出几回

再由夹角公式计算可得.

【详解】因为2同=3忖且°力为非零向量，设同=3中＞0）,则小2乙

又6_L（2a-b）,所以人（2。-6）=0,则2尻。-匕2=0，

解得。•a=2产，

八b-a2t21

设向量a涉的夹角为凡贝18$"=丽=荻五=§，

即向量a,b夹角的余弦值为；.

故答案为：—

15.±-

4

【分析】过点M作准线的垂线，垂足为过点N作准线的垂线，垂足为N',过点N作

NGLMM，垂足为G,再根据抛物线的定义求出|困、|NG|,从而求出tan/MNG,即可求

出直线的斜率.

【详解】如图，过点M作准线的垂线，垂足为过点N作准线的垂线，垂足为N',

过点N作NGL跖VT垂足为G,因为|AW|=勺NF],不妨设|NF|=小＞0）,

则|MV|=5f,\MF\=4t,根据抛物线的定义可得|酒1=加尸|=乙|%”|=|肱^=5乙

所以Mq=\MM'\-\NN'\^3t,所以|NG|=洞不丽7=书，

\MG\33

所以tanNMNG=1=：,此时直线/的斜率为一,

\NG\44

3

根据对称性，可得直线/的斜率为土二.

3

故答案为：±-

答案第8页，共17页

【分析】求出导函数，依题意可得尸(X)有两个变号零点，则J=x-10g“x,设

Ina

g(x)=x-log〃x,所以g(x)=j有两个不同实数根，利用导数说明g(x)的单调性，求出

g(x)1nin，即可得至ljlog“J->。(fl>l),从而求出a的取值范围.

Ina

00

【详解】因为〃无)=才。8/-；.一定义域为(。,+)，f'(x)=logax+^--x,

依题意可得f(x)有两个变号零点，

令尸(x)=0,则J—=.”log/,设g(x)=x-log.x,所以g(x)=J—有两个不同实数根，

maIna

又/⑴=1---—，若Ovavl,lna<0,则g[x)>0,则函数g(x)单调递增，

xinQ

所以g(x)=J至多有一个根，不符合题意，

ina

若。>1,则lna>0,显然g'(x)=l-一二单调递增，

xlna

当0<x<匕时g'(x)<0,则g(x)在(0,。)上单调递减，

当x>力时g'(x)>0,则g(x)在上单调递增，

所以g(Mmin=§[7->1=T---log”T—,

\\naJInaIna

又当％f0时g(x)f+%当尤—+8时g(x)->+孙

要使g(x)=J-有两个不同正实数根，则gfT—}=7~一一loga7—<7—，

Inaylna)InaInaIna

即loga-->0,又a>l所以->1,则。<lna<l,所以lva<e,

InaIna

所以实数。的取值范围是(Le).

故答案为：(l,e)

答案第9页，共17页

【点睛】关键点睛：依题意得到[Lux-logd，从而得到g(x)=J—有两个不同实数根.

In〃In〃

f2,n=l

17.⑴%=

\2n-\,n>2

(2)2〃—1

(S]9n=l

【分析】(1)根据%=cc、。计算可得；

—2,n=l

(2)由⑴可得2=(T)%=,…小，、，利用并项求和法计算可得.

(一1)x(2〃-

【详解】⑴因为S“="+1,

当〃=1时，％=SI=F+I=2,

当"22时，—1)+1,贝Uan=+1—(〃—1)—1=2〃—1,

⑵〃二1

当〃=1时，％=2〃一1不成立，所以为=1

[2n-l,n>2

—2,Yl—\

⑵由⑴可得—=7「(21),〃”

所以=-2+3-5+7-9+11-13++(4«-5)-(4/?-3)+(4n-1)

=-2+(3-5)+(7-9)+(11-13)++[(4«-5)-(4«-3)]+(4«-1)

=-2-2(zI-l)+(4n-l)=2n-l.

71

18.%

⑵G

【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，再根据三角形函数角度关系化简，即可得角c的大

小；

（2）由角平分线定理结合余弦定理求解的长，再求解cosB,从而得△BCD的面积.

,、*切、，，、,^,2a-b2sinA-sinBcosB

【详解】（1）由正弦定T理Cn得zs-----=----———=-

csmCcosC

所以2sinAcosC—sinBcosC=cosBsinC,

答案第10页，共17页

则2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）,

又A+3+C=7t,l^sin（i3+C）=sinA,

则2sinAcosC=sinA,因为OVAVTI,则sinAwO,

171

所以cosC=彳，由于0<C<7T,则c=:；

23

因为c=AB=3,BD=-2AD，所以|3“=2,从回=1

CACAAD1

角C的平分线交AB于点。’由角平分线定理可得而=而’则而=拓=5'即。=2CA

22222

百人口片』Tm-日CA+CB-AB1CA+4CA-91

由余弦定理可得cosZACB=----------------------一，则mtl-------------=一整理得CA=6

2CACB22CA-2CA2

所以CB=2G

上

T7,4-.rmZB+CB——CA"9+12-318

又由余弦定理得cosB=--------------

2ABCB2x3x26-12百一2

因为3€（0,兀），所以sinB=；,

故S„rn=-DB-CBsinB=-x2x2V3xl=73.

222

19.⑴

7

Q）也

7

7T

【分析】(1)由柱体的体积求出NBAC=-,即可得到ABC为等边三角形，取AC的中点。，

AC的中点E,连接。E、OA,则OEL平面ABC,建立空间直角坐标系，利用空间向量

法计算可得；

(3、

⑵取BC的中点，连接AD,即可证明AD,平面BCG耳，则AQ=|方"，于°为平面

答案第11页，共17页

的一个法向量，再由向量法计算可得.

【详解】(1)依题意匕BC-MG=M?S."c2仓42仓小sin?BAC243,

所以sin/BAC=且，又/B4c为锐角，所以ZBAC=£,

23

所以ASC为等边三角形，取AC的中点0,AG的中点E,连接0E、0A,

则。£7〃切，OBLAC,又平面ABC,所以0E_L平面ABC,

如图建立空间直角坐标，则4（0,T,2）,B（V3,0,0）,C（0,l,0）,Q（0,1,2）,

UUU/L\null

所以AB=（四,1,-2）,AC=（O,2,—2）,CG=（0,0,2）,

,、n-A.B=y/ix+y-2z=0

设平面ABC的法向量为〃=X,y,z,贝IJ7，

'n-AiC=2y-2z=0

\n-Cc\2J32J21

则点G到平面\BC的距离d==关=.

"J77

(2)取BC的中点，连接AD,则AD/3C,又CC】_L平面ABC,

加u平面ABC,所以CC］，A3,BCcCC\=C,3C,CGu平面BCC4,

所以A。，平面BCC4,又Z)乎,;,0

(hA、

所以人。=|5-6,0为平面BCG耳的一个法向量,

\7

刖臼_2如2币

设平面ABC与平面BCC4夹角为e,则cos0=

|AZ)|-|H|不义67

答案第12页，共17页

所以平面\BC与平面BCCA夹角的余弦值亚.

7

20.(l)Q-l^-y+l=0

(2)答案见解析

【分析】(1)求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；

(2)求出函数的导函数，分。-220、。-2<0两种情况讨论，结合函数的单调性与最值讨

论函数的零点个数.

【详解】(1)当a=l时/(x)=lnx-x+l,则/(e)=lne-e+l=2-e,

广(力=!一1,所以广(e)=1-1,

所以曲线＞=/⑺在点(e"(e))处的切线方程为y-(2-e)=g-1](x-e),即

-l^x-y+l=0.

(2)函数〃x)=lnx+(a-2)x+a定义域为(0,+8),

f'^x)=—+a—2,

当a-220,即2时恒成立，所以在(0,+向上单调递增，

又当x趋向于。时〃x)<0,/(l)=2a-2>0,所以函数有一个零点；

当°-2<0,即"2时令尸("=。，解得x=

所以当。<尤<J时尚勾>。，当了>4时r(x)<。，

所以/(X)在［。，占］上单调递增，在［占，+8)上单调递减，

当X趋向于0时〃x)<0,当无趋向于正无穷时/(x)<0,X/f-^Ulnf-^Vl+a,

\L-dJ12—Cl)

令=—1—1+4(〃<2),

贝1J”(Q)=4+1〉0,所以在(f,2)上单调递增，且入。)=0，

若占［=必［£］一"">()'即1<“<2时函数“X)有两个零点；

若/［占)=ln［£)T+"="即"=1时函数〃x)有一个零点；

答案第13页，共17页

若+即13<1时函数〃尤）没有零点；

综上，当a<1时函数〃x）没有零点，当。=1或。22时函数〃尤）有一个零点，当1<“<2时

函数/（x）有两个零点.

7

21.⑴一

18

【分析】（1）根据概率事件的关系分析求解即可;

（2）利用概率分布结合等比数列求解第n关的难度为“困难”的概率Pn即可.

【详解】⑴已知第1关的难度为“容易”，则第2关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分

别为！w，

623

故第3关的难度是，困难”的概率为尸=底2+葭:+卜!=［；

63233218

（2）由题意可得，匕表示第〃关的难度为“困难”的概率，尺―表示第5-1）关的难度为“困

难”的概率，

则匕=