湖北省黄冈市荆州中学校2023-2024学年高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

湖北省黄冈市荆州中学校2023-2024学年高二数学第一学期期末达标检测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知椭圆乙+乙=1,则它的短轴长为()

164

A.2B.4

C.6D.8

22

2.“0<〃<2”是“方程」-----匚=1表示双曲线”的

1+〃3-n

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数y=e-2x+%os(-尤2+%)的导数为()

A.y'=e_2x+11^2sin-x)+(2x-l)cos^x2-%)J

B.y'=-e-[2cos(%2-x)+(2x-l)sin(x2-%)]

Cy'=—e—2x+i12sin(x2-x)+(2x-l)cos(x2

D.y'=[2cos(x?-%)+(2%-1)sin(%2-x)]

4.已知数列｛aa｝为等比数列，贝!为常数列”是“6,外，4成等差数列”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知明(—1,0),Fz(1,0)是椭圆的两个焦点，过Fi的直线1交椭圆于M,N两点，若AMTzN的周长为8,则椭圆方

程为()

6.已知等差数列｛4｝的前"项和为S,,且S4=10,§8=36,则几为()

A.42B.62

C.78D.90

7.已知圆锥的表面积为12万，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）

A.4万

3

D.”

C.8兀

3

8.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,8两点，点P在圆炉+:/一4x+2=0上，则△ABP面积的取值范

围是（）

A[2,6]B.[4,8]

D.[2A/2,3>/2]

9.若离散型随机变量J的所有可能取值为1,2,3,…，n,且J取每一个值的概率相同，若P（2<《<5）=0.2,则

n的值为（）

A.4B.6

C.9D.10

10.已知直线乙：x+ay+6=0和4：（a-2）x+3y+2a=0,若乙〃/则实数。的值为（）

1

A.—B.3

2

C.-1或3D.-1

11.已知〃x）=Mnx+]x2,若对于且x产羽都有上包上巫J>4成立，则实数。的取值范围

2石一尤2

是。

A.[1,+co）B.（0,4]

C.（0,1）D.[4,-+<o）

12.“a>>”是"log?a>log,。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知空间向量“=（—2,1,5）,沙=（4,办—10）且；〃{,,贝！|m=

X.-x,

14.若a,A，巧，不，b与a,%,%，%，为，％，b均为等差数列，则----=

15.已知正方体ABC。—A4Gq的棱长为2,E为CD的中点，P为面ABC。内一点.若点P到面小＞24的距离

与到直线BB1的距离相等，则三棱锥Dx-PAE体积的最小值为

22

16.已知尸是双曲线£=1的左焦点，圆O：V+y2=4+方2与双曲线在第一象限的交点「，若p尸的中点在

双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在四棱锥P-ABC。中，协，平面ABC。，AD//BC,ADLCD,且AO=C0=1,BC=2,PA=1

(1)求证：AB±PC；

(2)点M在线段上，二面角M-AC-O的余弦值为走，求三棱锥M-ACP体积

3

18.(12分)某企业2021年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%.每年年

底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产.设从2021年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后

的剩余资金依次为4,出，。3，…

(1)写出为,。2，。3,并证明数列｛%—3｝是等比数列；

(2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？

(Ig2^0.3010,1^3-0.4771)

19.(12分)如图，在AABC中，内角A、8、C的对边分别为a、b、c.已知》=3,c=6,sin2C=sin5,且AZ)为

8c边上的中线，AE为N5AC的角平分线

BDEC

(1)求cos。及线段8C的长;

(2)求A4OE的面积

20.(12分)已知双曲线°：三—±=1,>0力〉0)的左、右焦点分别为耳卜，市,0),^(A/10,0),动点M满足

\MF^-\MF^2

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点尸，Q,点N(4,0),且/ONP=/ONQ,直线

N0与双曲线C交于另一点反证明：动直线P5经过定点

21.(12分)已知直线/过点P(l,2),与两坐标轴的正半轴分别交于4,B两点,。为坐标原点

25

(1)若。钻的面积为:，求直线/的方程；

4

(2)求Q钻的面积的最小值

22.(10分)已知ABC。为直角梯形，ZZMB=ZABC=90°,上4,平面ABC。，PA=AB=BC=2,AD=1.

P

(1)求证：BC,平面上4B；

(2)求平面P45与平面PC。所成锐二面角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】根据椭圆短轴长的定义进行求解即可.

【详解】由椭圆的标准方程可知：b=2,所以该椭圆的短轴长为2x2=4,

故选：B

2、A

22

【解析】方程」-----匚=1表示双曲线则a+〃)・(3—力>0,解得,

1+〃3—n

22

0<〃<2是“方程」-----匚=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A

1+n3—n

3、B

【解析】由导数运算法则可求出.

【详解】-y=e-2x+1cos(-x2+x),

y'=(0-2"+1)COS(―+x)+e-2*+[cOS(―%2+%)]

=-2/x+icos(-尤2+x)-e~2x+lsin(-x?+尤卜(-2x+l)

=一2AI[2cos(-f+x)+(-2x+l)sin(-x2+x)]

=-e^+i12cos(J一%)+(2x-1)sin^x2-x)].

故选:B.

4、C

【解析】先考虑充分性，再考虑必要性即得解.

【详解】解：如果｛/｝为常数列，则%,外,生成等差数列，所以“｛。"｝为常数列''是"4，/，%成等差数列”的充分条件;

%,a?,%等差数列，所以2a2=q+%，•,2a1q=%+.q=1,所以数列为%,q,，

所以数列是常数列，所以“｛4｝为常数列”是“6,外，生成等差数列”的必要条件.

所以“｛«„｝为常数列”是“6,出，。3成等差数列”的充要条件.

故选：C

5、A

【解析】由题得c=l,再根据AMFaN的周长=4a=8得。=2,进而求出b的值得解.

【详解】•••£(-1,0),4(1,0)是椭圆的两个焦点，••・c=l,又根据椭圆的定义，△咽”的周长=4a=8,得a=2,进

22

而得b=币,所以椭圆方程为L+匕=1.

43

故答案为A

【点睛】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

6、C

【解析】直接由等差数列求和公式结合=10,Sg=36求出q,d,再由求和公式求出42即可.

S4=4a,+—~~—xd=1Q

412解得则…+曾=

【详解】由题意知:78.

8x7

58=8qH---xd=36

故选：C.

7、D

【解析】设圆锥的半径为广，母线长/,根据已知条件求出厂、/的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求

得结果.

【详解】设圆锥的半径为广，母线长/,因为侧面展开图是一个半圆，则㈤=2%r，即/=2厂，

又圆锥的表面积为12万，则;+万〃=]2%，解得r=2,1=4,

则圆锥的高/z=犷=7=2百，所以圆锥的体积V==W万，

故选：D.

8、A

【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.

【详解】x+y+2=0与x,y轴的交点，分别为4（—2,0）,B（0,-2）,点P（x,y）在圆炉+V一©+2=0,

即（x-2y+y2=2上，

所以|AB|=2夜，圆心（2,0）到直线距离为d=£^=20,

所以△ABP面积的最小值为兀°=gx2也义（20-血）=2,

最大值为Sa=1X2A/2X（2A/2+V2）=6.

故选：A

【解析】根据分布列即可求出

【详解】因为P(2<J<5)=P(J=3)+P(J=4)=：+：=0.2,所以“=10

故选：D

10、D

【解析】利用两直线平行列式求出。值，再验证即可判断作答.

【详解】因'〃3贝!2)=1X3,解得“=3或。=-1,

当a=3时，4与4重合，不符合题意，当。=-1时，//k,符合题意，

所以实数。的值为-1.

故选：D

11、D

【解析】根据题意转化为对于且王时，都有/(%)—4%</(%2)-恒成立，构造函数

g(%)=/(x)-4x,转化为xe(O,4w)时，g'(x)之。恒成立，求得g(x)的导数，转化为a2—f+4%在(0,+。)上

恒成立，即可求解.

【详解】由题意，对于内,田e(0,+<句且x,都有"、)—'(々)>4成立,

再-x2

不妨设玉<%，可得/(%)一/(%2)<4%一4%恒成立，

即对于€(。,*»)且占<%时，都有/(%)-4方</(%2)-4X2恒成立，

构造函数g(x)=/(x)-4x=alnx+^x2-4x,

可转化为xe(O,+8),函数g(x)为单调递增函数，

所以当xe（O,+a））时,g'（x）之。恒成立，

又由g'（x）=@+x—4,所以0+x—420在（0,+“）上恒成立，

JCX

即a2—x2+4x在（。,+°°）上恒成立，

又由—V+4x=—（x—2f+4<4,所以a»4,

即实数。取值范围为［4,+8）.

故选：D

12、B

【解析】求出Iog2a〉log2〃的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】log2a>log26oa>>>。，因“”声“a>Z?>0"且ua>bn<=aa>b>0>>,

因此，“a>6”是“log?a>log2b”的必要不充分条件.

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-2

【解析】根据空间向量共线的坐标表示可得出关于冽的等式，求出〃7的值即可.

4m—10

【详解】由已知可得：=T==，解得加=—2.

-215

故答案为：-2.

3

14、-##1.5

2

【解析】由题意利用等差数列的定义和通项公式，求得要求式子的值

【详解】设等差数列a,A,巧，£，b的公差为机，

等差数列a,%,%，%，%，%，6的公差为“，

贝!1有Z?=a+4加，且/?=a+6〃，

所以4m=6〃，

X,-x,2mm3

则-....=—=—=彳，

%-%2nn2

3

故答案为：-

2

15、—##0.5

2

【解析】由题意可知，点P在平面ABC。内的轨迹是以3为焦点，直线A。为准线的抛物线，如图在底面ABC。建

立平面直角坐标系，求出抛物线方程，直线AE的方程，将直线AE向抛物线平移，恰好与抛物线相切时，切点为点P,

此时△AEP的面积最小，则三棱锥D「PAE体积的最小

【详解】因为P为面ABCD内一点，且点P到面AD24的距离与到直线8月的距离相等，

所以点P在平面ABCD内的轨迹是以B为焦点,直线为准线的抛物线，

如图在底面ABC。，以A3所在的直线为x轴，以A3的中垂线为V轴建立平面直角坐标系，则

A(-1,0),3(1,0),玫0,2),

设抛物线方程为>2=2px,则々=1,得，=2,所以抛物线方程为V=4x,0<%<1,

直线AE的方程为二+2=1,即y=2x+2,

-12

设与直线AE平行且与抛物线相切的直线方程为y^2x+m,

y2-4%

由《，Wy2-2y+2m=0,

y=2x+m

由A=4—8帆=0,得加=g,所以与抛物线相切的直线为y=2x+g,

此时切点为P,且△AEP的面积最小，

I2--I2

因为点P到直线AE的距离为|2|_2，

〃二寸飞

3

所以△AEP的面积的最小值为34回4=工*君*2=2，

211-2加一工

1131

所以三棱锥，—PAE体积的最小值为

3342

故答案为：—

Di

16、45

【解析】计算点F(-c,0)渐近线y=-的距离，从而得忙同，由勾股定理计算户户|,由双曲线定义列式，从而

b

计算得一，即可计算出离心率.

a

b

【详解】设双曲线右焦点为尸'，因为PF的中点加在双曲线的渐近线y=—-x上，由炉+丁2=/+尸=02可知，

a

NFPF'=9。，因为。为尸产'中点，所以OM//PF',所以尸尸，即垂直平分线段PP,所以尸(―c,0)

b

到渐近线丁=—-X的距离为，可得忸同=2"所以

a

I--------------------------------------------U

[pv[=—|P耳2=，4。2—4k=2a，由双曲线定义可知，|?盟—|/*'|=2。，即％—2a=2a,所以7=2,

所以=6

故答案为：7?

【点睛】双曲线的离心率是椭圆最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于心仇。的齐次式，结合/=02一/转化为。工的齐次式，然后等式（不等式）两边分别

除以。或/转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析

⑵—

12

【解析】（1）将问题转化为证明45_L平面协C,然后结合已知可证；

（2）建立空间直角坐标系，用向量法结合已知先确定点”位置，然后转化法求体积可得.

【小问1详解】

由题意得四边形AOC3是直角梯形,AZ>=CZ>=1,故NACZ>=45。，ZACB=45°,AC=72-X5c=2,所以0=生=走，

ACBC2

所以△CZMs^CAB,所以又取，平面A8CZ）,Abu平面ABC。，所以HILAR而扬u平面MC,ACu

平面JR4C,PAAC=A,所以A5_L平面P4C.又PCu平面PAC,所以4BJ_PC

【小问2详解】

过点A作AEL3c于E,易知E为3C中点，以A为原点，AE,AD,AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐

标系，则C(1/,O),A(0,0,0),D(O,1,O),尸(0,0,1).

则AC=(1,1,0),AP=(0,0,1),PD=(0,l,-l)

设AM=AP+2PD=(0,0,1)+X(0,1,—1)=(0,%1—X),0<Zv1.显然，AP是平面^CD的一个法向量,

设平面MAC的一个法向量为n=(x,y,z).则有

n-AC=x+y=0

取％=—1,解得〃=

n-AM=Ay+(1-2)z=0A—1

2

APnJZi

由二面角M-AC-D的余弦值为昱,解得2=3，所以”为9中点.

有n————二

3

所以％—AC尸二^M-ACD~不VP-ACD二不义^\AD\\CD\\AP\=^-

乙乙J乙X.乙

18、(1)q=6,a2=7.5,%=9.75,证明见解析

(2)至少到2026年的年底,企业的剩余资金会超过21千万元

【解析】(1)由题意可知，q=6,%=7.5,«3=9.75,再结合等比数列的性质，即可求解

(2)由⑴知，。“—3=3X1.5"T,则。"=3+3X1.5"T,令3+3X1.5"T>21，再结合对数函数运算，即可求解

【小问1详解】

依题意知，q=5xL5-1.5=6,

%—6x1.5—1.5=7.5,

a3=7.5x1.5-1.5=9.75,

L

。八+i=1•S%—1.5,

所以4+i-3=L5（a“一3）,

又q_3=3,

所以｛4-3｝是首项为3,公比为1.5的等比数歹U.

【小问2详解】

由（1）知，3=3xl.5"T,所以a“=3+3xl.5"i

解得“-］〉7^二Ig3+lg2

令3+3X1.5"T>21，a4.42,

lgl.5Ig3-lg2

所以〃>5.42,

所以至少到2026年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元

19、（1）cosC=—,BC=6

4

⑵巫

8

【解析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化简已知条件，求得cos。，结合余弦定理求得。，也即BC.

（2）求得三角形ABC的面积，结合角平分线、中线的性质求得三角形ADE的面积.

小问1详解】

；sinZCusinB,2sinCeosC=sinB»/.2ccosC=£>,cosC=—

4

a2+9-361

由余弦定理得cosC='J°=±na=6（负值舍去），即BC=6.

6a4

【小问2详解】

VcosC=->0,Ce|0,^-1,AsinC=，•>.S=-CACB-sinC=,

4k2j4的24

VAE平分NBAC,sinZBAE=sinZ.CAE,

BEA5CEAC

由正弦定理得:

sin/BAEsinZAEB'sinZCAE~sinZAEC

其中sinZAEB二sinZAEC,

9

ACCEAA£C3'△'ABC

•.•4。为3（7边的中线，...54比=35

•c_c_c_J_c3V15

••^ADE-0ADC口AAEC一右^ABC

O8

20、(1)x2-^-=l(x<-l)

(2)证明见解析

【解析】(1)根据双曲线的定义求得。涉的值得双曲线方程；

(2)确定PQ垂直于％轴，设直线5P的方程为》=冲+力，设P(0另)，5(%,%)，则。(七,一%)，直线方程代

入双曲线方程，由相交求得加范围，由韦达定理%+%,%%，利用N、B、。三点共线，且NQ斜率存在，由斜率相

等得出％,%的关系，代入韦达定理的结论可求得〃的值，从而得直线3尸所过定点

【小问1详解】

因为|叫卜M耳|=2<|耳闾=2丽，

所以，动点M的轨迹是以点片、B为左、右焦点的双曲线的左支，

_________2

则2。=2,可得。=1,3=J10—片=3,所以，点M的轨迹方程为\~=l(xV—1)；

【小问2详解】

证明：•.•NONP=NONQ,.•.直线尸。垂直于x轴，

易知，直线3尸的斜率存在且不为0,设直线3尸的方程为％=〃9+〃，

设P(4K),B(x2,y2),则Q(%,—%),

联立<922gQ9化简得：(9加2-I)、？+18加〃y+9〃2-9=0,

11—18/zzzz_Q

直线与双曲线左支、右支各有一个交点，需满足机〉—或加<-一，.•.%+%=「一，

33-9m2-1129m2-1

X△=182m2n2-36(9m2-1)(n2-1)=9m2+n2-1>0,又N、B、。三点共线，且N。斜率存在，

一%%

/.kNQ=kNB,即一=—：.-yl(my2+n-4)=y2(myl+n-4),

万一4%—4

•••27叫%+(〃—4)(%+%)=o，•••2m-咒―：+(n-4)-=0,

9m-19m-1

化简得：18m(^n2-l)+(n-4)(-18mn)=0,:.n2-l-(n-4)n=0,

n——x—rayH-I"T'u|

—1=0,即4,满足判别式大于0,即直线3P方程为-4,所以直线BP过定点14)

21、(1)/:x+2y—5=0或8x+y—10—0

(2)4

【解析】(1)设直线方程为2+2=1("/>0),根据所过的点及面积可得关于的方程组，求出解后可得直线方

程，我们也可以设直线/：y-2=左(％-1),利用面积求出左后可得直线方程.

(2)结合(1)中直线方程的形式利用基本不等式可求面积的最小值.

【小问1详解】

=1

法一：(1)设直线/>0),贝卜

ab

124

a—55

d——

解得75或<4,所以直线/:x+2y-5=0或8x+y-10=0

b=—