2022-2023学年山东省青岛市高一年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市高一上册期末数学模拟试题

(含解析)

一、单选题

X—1

1.已知集合Z={x|lV2"16},3={x|——>0},则Zc08=()

x-6

A.{x|l<x<4}B.{x|0<x<6}C.{x|0<x<1}D.{x|4<x<6}

【答案】A

【分析】化简集合48,按照补集定义求出G8,再按交集定义，即可求解.

【详解】/={x|l<2,416}={x|0<x44},

Y—1

6={x[-----:20}="|x41或x>6},

x-6

CRB={x11<x<6},

4CCRB={x11<x<4}.

故选:A.

【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题.

2.下列哪个函数的定义域与函数y=的值域相同()

…11

A.y=2B.y=x+—C.-2D.y=\nx-x

xv/一人r

【答案】D

【解析】指数函数夕=(g：的值域是(0,+8),依次看选项的定义域是否在(0,+8)即可。

【详解】指数函数y=的值域是(0,+8)

A选项定义域是R；

B选项定义域是{x|xw。}；

C选项定义域是{x|x20}；

D选项定义域是{x|x>0},满足题意。

故选：D

【点睛】此题考查函数的值域和定义域，掌握基本初等函数的图像和性质，属于简单题目。

3.若a>0,b>0,则“a/>44”是“a+b44”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】取。=4,b=\,可得“"44”不能推出“a+644”；由基本不等式可知由“a+6V4”可以推

出“必44”，进而可得结果.

【详解】因为。>0,b>0,取a=4,6=1,则满足"44,但是a+6=5>4,所以“"44"不能

推出“。+644”；

反过来，因为2^4a+b,所以当a+644时，有即ab«4.

综上可知，“ab<4”是“a+Z>44”的必要不充分条件.

故选：B.

4.已知基函数y=/（x）的图象经过点（3,始），则logj/C）的值是（）

A.-B.1C.D.-1

33

【答案】A

【分析】设〃x）=x",代入点的坐标求得。，然后再计算函数值.

【详解】/（x）=x",贝由题意和/（3）=3。=将=3^，4=§，

-11

...log]/⑶=logi3?=-log,3=--.

3533s

故选：A.

【点睛】本题考查幕函数的定义，考查对数的运算，属于基础题.

TT

5.已知实数。=k）g）3,b=cos?c=log.2,则这三个数的大小关系正确的是（）

4

A.a>h>cB.b>a>c

C.b>c>aD.a>c>b

【答案】A

【分析】根据对数函数的图象和性质可得：然后再比较仇。的大小关系即可.

【详解】Slog23>log,2=1=log,3>log32,所以"1>C,

_2

又因为1>6=cos~—，

3

2

而c=log,2=log向2<log近2=§,所以l>b>c，

所以a>b>c,

故选：A.

【答案】A

【分析】令x=0,排除C、D；再令x=-l,排除B即可.

【详解】令x=0,则y=2°-sin0=l,排除C、D；

令x=-l,则y=2'-sin(-2)=5+sin2>0,排除B.

故选：A

111+COS。1-COS0

7.若9为第二象限角，且tan("町="，则|.,皿工.，)j［、g3万的值是()

1+sm(6---)

11

A.4B.-4C.-D.——

44

【答案】B

【分析】利用诱导公式化简、同角公式化筒再代入计算即可作答.

【详解】由tan(9-万)=-g得：tanO=-},而。为第二象限角，则有sin®>0,

1+COS01-COS01+COS01一cos。_I(1+cos^)I(1-COS03)

因此，1-sin(；-夕)1+sin©号)1—cos。1+COS0V1一coV0V1-co^0

=l+cosf_2-cosf=4

sin。sin。sin。tan。

故选：B

8.已知函数/(x)的定义域为火，图象恒过(1,1)点,对任意看<々,都有则不等式

X\~X2

/[10g2(2、-1)卜2-104(2，—1)的解集为()

A.(0,+s)B.(-co,log23)C.(-«>,0)U(0,log23)D.(0,log,3)

【答案】D

【解析】判断出R(x)=f(x)+x是增函数，又/(log,(2'-1))+log2(2*_1)<2=/⑴+1

，求得0<2*-1<2,从而求得x的范围。

【详解】因为对任意?<匕,都有'a'"/)>_],即[/(%)+%]-[./(X2)+X2]>0

X\~X2X[-X2

即函数R(x)=/(x)+x在R上是增函数.

r

若/[log?(2-l)]<2-log2(2、_1),即/(log2(2,-1))+log2(2、—1)<2=/(1)+1

vx

Bplog2(2-l)<l,0<2-l<2，0<x<log23

故选：D

【点睛】此题考查函数单调性，关键点是通过已知构造出新的的单调函数，属于一般性题目。

9.截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破10000000人.疫情严峻，请同学们

利用数学模型解决生活中的实际问题.

新型冠状病毒肺炎以发热、干咳、乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒

症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等.专家对某地区新冠肺炎

爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间，(单位：天)与病情爆发系数/⑺之间，

满足函数模型：f(t)=一上f当/⑺=0」时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时,约为()

(参考数据：e1J«3)

A.38B.40C.45D.47

【答案】B

【分析】当/⑺=01时，[+:22两=。」,由此能求出八

=

【详解】/0)1+e-oU-5O)>当/⑺=0」时，/(网=0」，

l+e"2(f)=io,e<22(T0)=9=e22,解得f=40.

故选：B

二、多选题

10.下列命题为真命题的是()

A.若avbcl,则

B.若。<6<0,则。2>必>62

C.若a>6,则

ab

D.lgx<0是x<l的充分不必要条件

【答案】BD

【分析】根据不等式性质可知AB正误；通过反例可知C错误；由1g工<0可得0<x<l,由推出关

系可得D正确.

【详解】对于A,'：a<b<\,:.-a>-b>-\,1-a>l-Z>>0,0<——<——,A错误；

1-al-o

对于B,Qa<b<0,a2>ah,ab>b2>a2>ab>b2,B正确;

对于C,若。=1,b=~l,则，=1,y=-l,此时C错误；

abab

对于D,由lgx<0得：0<x<l,

二.lgx<0=>x<l,x<Ulgx<0,lgx<0是x<l的充分不必要条件，D正确.

故选：BD.

11.下列说法错误的是()

A.命题“存在xeR,使得不等式x2+x+l<0成立”的否定是“任意xeR,都有不等式/+x+1>0成

立“

B.已知2<。+6<4,0<a-b<2,贝|3<3。+6<11

c.«(x-2)(x-3)<0成立”是“|^-2|+|x-3|=l成立”的充要条件

D.关于x的方程一+(加-3)X+加=0有一个正根，一个负根的充要条件是me(0,+s)

【答案】AD

【分析】A.利用存在命题的否定式全称命题，并否定结论来判断；

B.利用不等式的性质判断；

C.根据充分性和必要性的概念来判断；

D.利用判别式和韦达定理来判断.

【详解】A.命题“存在xeR,使得不等式/+x+l<0成立”的否定是“任意xeR,都有不等式

f+x+lNO成立"，A错误；

B.v2<<4,则4<2。+26<8,又0<。一6<2,根据不等式的性质，两式相力口得4<3。+6<10,

可推出3<3Q+6<11,B正确；

2x-5,x＞3

C.由(x-2)(x-3)W0得24x43,对于|x-2|+|x-3|=,l,2WxW3,有当24xW3时，

5-2x,x＜2

|x-2|+|x-3|=l,故"(x-2)(x-3)40成立”是“卜-2|+4-3|=1成立”的充要条件,C正确；

D.关于x的方程—+(加一3)x+"?=0有一个正根，一个负根，则，△=(m-3)解得机＜o,

m＜0

D错误.

故选：AD.

12.己知函数/(》)=/§皿0X+夕)(4＞0,。＞0,0＜夕＜外的部分图象如图所示，则下列正确的是()

C.函数尸|/(切为偶函数D.VxeR,/^|+^+/f|-x^=O

【答案】AD

【解析】先利用图象得到4=2,7=不，求得。=2,再结合x=-^时取得最大值求得9,得到解

析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可.

T5乃717124

【详解】由图象可知，4=2,-=—+—=即7="==,@=2,

212122(0

由x=_^■时，f(x)—2sin2x1—=2,得2乂(_方)+9=5+2左肛左£Z,

27r2吟

(p=2k7i,kGZ而0＜。＜乃，故f(x)=2sin2x+

BP-y-+TJA正确;

/(202U)=2sinf2x202U+y-j=2sin^=73,故B错误;

由V=|/W|=2sin(2x+y-知，2sinf-2x+y2+

»in(XT)|不是恒成立，故函数y=|/(x)|不

是偶函数，故C错误;

由x=?时，/O=2sin(2x?+m)=2sin乃=0,故信0)是/(x)=2sin12x+/)的对称中心,

71

--X=0,故D正确.

故选：AD.

【点睛】方法点睛：

三角函数模型/(x)=/sin(ox+s)+b求解析式时，先通过图象看最值求46,再利用特殊点(对称

点、对称轴等)得到周期，求。，最后利用五点特殊点求初相夕即可.

2'+l,xW0)

13.已知函数/X=h.,八，则方程/X-2/x+〃2_1=0的根的个数可能为()

|log2x|-l,x>0

A.2B.6C.5D.4

【答案】ACD

【分析】先画出/(x)的图象，再讨论方程r(x)-2/(x)+a2_l=0的根，求得了⑶的范围，再数形

结合，得到答案.

【详解】画出/(x)的图象如图所示:

令，=/'(x),则『-2/+/-1=0,则A=4(2-/),

当A=0,即/=2时，f=l，此时/G)=l,由图J=1与y=〃x)的图象有两个交点,

即方程产(另_2/(同+°2_1=0的根的个数为2个，A正确；

当△>()时，即/<2时，r=l±V2-a2>则0<J2-/4近

故41+五,\-y[2<\-^2-a2<b

当/=时,即/(x)=l-j2-de(T,l),则x有2解,

当”1+也—/时,若，e(l,2],贝Ijx有3解；若，e(2,l+JI],则x有2解,

故方程尸(x)-2/(x)+/_1=o的根的个数为5个或4个，CD正确;

故选：ACD

【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想,

难度较大.

三、填空题

14.方程炮（>/^出*）=也（（：05》）的解集为.

【答案】x|x=一+2左乃，左EZ

【分析】对数函数y=lgx是增函数，方程的解转化为6sinx=cosx>0求解即可。

【详解】因为对数函数N=lgx是增函数，所以方程1g（百sinx）=lg（cosx）的解，

即是6sinx=cosx>0的解，即，sinx>0,x=—+2k7C,keZ

cosx>0

故答案为:x|x=一+2%r,%eZ

【点睛】此题考查三角函数方程的解，注意正切值解的写法是加上万，属于简单题目。

15.已知x>0,y>o,满足了2+2中一2=0,则2x+y的最小值是.

【答案】V6.

【分析】由已知得》=上-；,进而2x+y=《+',利用基本不等式计算即可.

x22x

【详解】由f+2k一2=0,得y=^2L=J_—：,XG（0,V2）

所以2x+y=2x+‘一土=—+—>2=2•=y/6.

x22x\2xv2

当且仅当兰=L即工=®时等号成立，

所以2x+y的最小值是血.

故答案为：瓜.

,、[-x+6,x<2.、

16.若函数/（x）=.（“>0且"1）的值域是[4,+«））,则实数。的取值范围是

[D十10g“人,人>N

【答案】。,2]

【详解】试题分析：由于函数/(x)={''-1>0,"1)的值域是[4,+8),故当；^2时，满

J+x,x>z

足/(x)=6-xN4,当x>2时，由/(x)=3+log“x24,所以log“x21,所以k)g“221=1<a<2,

所以实数。的取值范围1<“42.

【解析】对数函数的性质及函数的值域.

【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对

数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思

想方法的应用，本题的解答中，当x>2时，由〃x)N4,得log“xNl,即log,,221,即可求解实数

«的取值范围.

17.已知函数/(幻=唾于+“，g(x)=/-2x,若内€七,2],3X2G[-1,2],使得/(k)=g(冷)，

则实数a的取值范围是.

【答案】[0,1]

【解析】当x”W，2J时，/U,)e[-H-a,2+a],当％曰一1,2]时，g(x2)e[-1,3],

由外右色,2],3x2e[-l,2],使得/⑺)=g⑴)，等价于[-1+用2+“仁,解不等式即可得

解.

【详解】当看右由2]时，f(Xl)G[-\+a,2+a],

当当0-1,2]时，g(x2)G[-l,3],

由VX|eg,2],3X2e[-l,2],使得/(x/)=g(xz),

则[-1+a,2+a]a[—1,3])

f-1<-1+a

可得：兀-

[2+a<3

解得OWE,

故答案为：0<a<l.

【点睛】本题考查了求函数值域，考查了恒成立和存在性问题以及转化思想，有一定的计算量，属

于中档题.

18.病毒的直径很小，而在0.3微米的粒径下，可以达到95%以上过滤效率的防雾霾口罩，可以防

新型冠状病毒.所以疫情防控之下，人们需要佩戴好口罩.数学应用调研小组在2019年调查到某种

口罩总产量y与时间X（年）的函数图像（如图），并做出预测.假设预测成立，以下给出了关于该

口罩生产状况的几点判断正确的是（填写序号）

①前三年的年产量逐步增加；

②前三年的年产量逐步减少；

③后两年的年产量与第三年的年产量相同；

④后两年均没有生产.

【答案】①③

【分析】结合数学应用调研小组在2019年调查到某种口罩总产量y与时间X（年）的函数图像，能

求出关于该口罩生产状况的几点判断正确的结论.

【详解】由数学应用调研小组在2019年调查到某种口罩总产

量少与时间x（年）的函数图像，可知前三年的年产量逐步增加,

故①正确，②错误；

后两年的年产量与第三年的年产量相同，

故③正确，④错误.

所以关于该口罩生产状况的几点判断正确的是①③.

故答案为：①③.

四、解答题

19.完成下列计算：

（1）已知:+x4=2，求x+r’的值

⑵求2,喻4+（+Ig20-lg2-log2-log,二的值

【答案】⑴2

（2）1

【分析】（1）利用有理数指数累的运算性质可得答案;

(2)利用对数的运算性质计算即可.

【详解】-122；

(1)A।A_—9Z.>x+x=x4-x-2=4-2=2

]烟)

(2)(16^12c131201g21g31[+[1-1i=1[

24++Ig20-lg2-log32-log23=^-+^-+lg

20.已知a£[乃],且sina-cosa=.

⑴求tana+」一的值；

tana

cos71-a-2cos(a+乃)

(2)求(2JI'的值.

-sin(-a)+cos(2乃-a)

【答案】⑴-y(2)y

【解析】(1)先求出tana,代入即可.(2)化简求值即可.

【详解】因为sina-cosa=2普，所以(sina-cosap=：

sin2a2sinacosa+cos2a_8即tan2a2tana+l_8

sin2a+cos2a5tan2a4-15

解得：tana=-3或tana=--

3

713

又aw，所以tana=-3

1,110

则nltanct4--------=-3—=------

tana33

71

cos,----a-2cos(a+7T)

(2)12

-sin(-a)+cos(24-a)

sina+2cosa_tana+2_-3+2_1

sina+cosatan«+1-3+12

【点睛】此题考查三角函数的化简求值，注意诱导公式的使用，属于简单题目.

冗

21.已知/(x)=3sin(-2x+—).

6

(1)写出/(X)的最小正周期及/(1TT)的值；

(2)求/(x)的单调递增区间及对称轴.

【答案】(1)最小正周期为万，/(y)=-|;

(2)单调增区间为［Qr+g,版■+当/eZ)；对称轴为x="-J(&eZ).

3626

【分析】(1)根据给定条件，结合正弦函数性质求出周期，再将x=］代入计算作答

(2)根据已知条件，结合正弦函数的单调性，以及对称轴的性质，求解作答.

【详解】⑴依题意,/(x)=-3sin(2x-^),

所以/(X)的最小正周期T=与=万，〃9=-3sing=

(2)由(1)Mlf(x)=-3sin(2x-—),

6

1一,TV_7T_,3TZ"._7T.57c._

由2女方+—W2x<2左4+——,k£Z得:kF^+—<x<k7r+——,kwZ,

26236

TT57r

所以函数/(X)的单调递增区间是伏万+f,就+?］/eZ)；

36

।37C.TC._kjtTC._

由2x----=kjc-----,kEZ得,x=--------，AwZ,

6226

所以函数/(X)的对称轴为x=竺-9(%eZ).

26

22.已知函数=且〃x)为奇函数.

(1)求从然后判断函数/(x)的单调性并用定义加以证明；

⑵若/小-1)+/(24-1)<0恒成立，求实数人的取值范围.

【答案】(1)6=0,增函数，证明见解析

⑵叫

【分析】(1)由奇函数的性质求解，由单调性的定义证明,

(2)由函数的单调性与奇偶性转化后求解，

【详解】(1)因为函数〃x)是定义在［-1,1］上的奇函数，所以/.(0)=0,6=0；

经检验6=0时=■是奇函数.

设VX1,x2且再<々，

X|(X；+1)-X2(X；+1)(毛一々)(占七一1)

则/(网)-/(》2)=

Xj2+1Xj+1（x；+*x；+l）+,

因为-1£玉<七£1,所以々-*>0,xxx2-1<0,（x；+1）卜；+1）>0,

所以/'(*)-/(%)<0,所以/(x)</(%),所以/(x)在卜3］上是增函数；

(2)依题意〃x)为奇函数，又由(1)知f(x)在卜1』上是增函数，由〃k-l)+/(2k-l)<0,得

-1<）1-1<104左42

2

所以{-1W2左一141,即左41,解得0W后<*.

k-\<\-2k,23

k<-

3

所以实数a的取值范围是0彳1.

23.某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x）,当年产

量不足80千件时，Ca）=:，+10x（万元）.当年产量不小于80千件时，C（X）=51X+M22_1450

3x

（万元）.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润£（力（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

—x2+40x-200,0<x<80

【答案】（1）L（x）={/、（2）100千件

1250-1x+——j,x>80

【分析】（1）根据题意，分0<x<80,xZ80两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果；

（2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.

【详解】解。）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05xl000x万元，依题意

得:

当0cx<80时，A(x)=(0.05X1000X)41i+10x)-200=-^1i+40x-20(.

3

当x280时，£(%)=(0.05x1000x)-(5lx+-1450j-200

，一(10000

=1250-卜+-----

——+40x-200,0<x<80

所以〃x)={

，…I10000

1250-1x+-----,x>80

(2)当0cx<80时，Z,(X)=-1(X-60)2+1000.

此时，当x=60时，〃x）取得最大值£（60）=1000万元.

当X280时，L(x)=1250-(x+四”,1250-2.1^

xx

1250-200=1050.

此时x=WQ竺，即X=100时，£(x)取得最大值1050万元.

x

由于1000<1050,

答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，

最大利润为1050万元

【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题,

属于常考题型.

24.若函数/(