中考数学压轴大题经典题型教案-二次函数与圆压轴问题

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题31二次函数与圆压轴问题

经典例题

------------

【例1】.(2022•江苏常州•校考二模)已知二次函数图象的顶点坐标为4(2,0),且与y轴交于点(0,1),8点坐

标为(2,2),点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交X轴于M,N两点(M在N的左侧).

(2)当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN

的长；

(3)当44BM与4ABN相似时，求出M点的坐标.

【答案】(l)y=*x-2)2

(2)不变,4

(3)M(0,0),(2√2,0),(-2√2,0)

【分析】(1)设抛物线的表达式为y=α(x-2)2,然后将(0,1)代入可求得”的值，从而可求得二次函数的

表达式；

(2)过点C作CHJ.X轴，垂足为连接BC、CN,由勾股定理可知-CH?=一0H2,依

据两点间的距离公式可求得HN=2,结合垂径定理可求得MN的长；

(3)分为点C与点A重合，点C在点A的左侧，点C在点A的右侧三种情况画出图形，然后依据相似三

角形的对应边成比例可求得AM的距离，从而可求得点M的坐标.

【详解】(1)设抛物线的表达式为y=α(x-2)2,

将(0,1)代入得：4α=l,解得：a=：

，抛物线的表达式为：y=i(x-2)2

(2)MN的长不发生变化.

理由：如图1所示，过点C作CHIX轴，垂足为，，连接BC、CN.

设点C的坐标为(α*(α-2)2)

VCH1MN,

；.MH=HN,

"JHN2=CN2-CH2=CB2-CH2,

.,.HN2=[2-i(α-2)2]2+(a-2)2-[ɪ(ɑ-2)2]2=4.

：.HN=2,

；.MN=4,

.∙.MN不发生变化.

(3)如图2所示：

图2

①当点C与点A重合时.

fMN经过点C,

.∙.MN为圆C的直径，

：.MC=2,

点C(2,0),

ΛM(0,0).

②如图3所示：

•；4ABMS4ANB,

即・

AMABAB?=AMAN,

设AM=a,则4=α(α+4),

解得：a1=-2+2√2,α2=-2-2√2(⅛⅛),

又；点4(2,0),

Λ2+(-2+2√2)=2√2,

二点M的坐标为(2企,0).

如图4所示：

图4

V∆AF∕V-∆ΛMB,

：.AB2=AM∙AN,

设AM=α,贝!∣4=α(α+4),

解得：的=-2+2√Σ,α2=-2-2或(舍去)，

又：点4(2,0),

Λ2-(-2+2√2)=-2√2,

二点M的坐标为(-2√Σ,0).

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数函数的解析

式、垂径定理、两点间的距离公式、勾股定理、相似三角形的性质，分为点C与点A重合，点C在点A的

左侧，点C在点A的右侧三种情况画出图形，并由相似三角形的性质求得AM的长是解题的关键.

【例2】(2022•湖南岳阳•模拟预测)已知：二次函数y=αr2+fcc+c的图象与X轴交于A、3两点，其中点A

为(-1,0),与y轴负半轴交于点C(0,-2),其对称轴是直线x=∣.

⑴求二次函数y=0x2+⅛x+c的解析式；

(2)圆0,经过点AABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，/3CE的平分线Cz)交圆0,于点。，连接A。、

BD,求AACO的面积；

⑶在(2)的条件下，二次函数y=0x2+bx+c的图象上是否存在点P,使得NPDB=NCAD?如果存在，请

求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=*-∣χ-2

就

(3)存在，点P的坐标为(W或6+亨，I÷V21)

24222

【分析】(1)根据抛物线具有对称性，可以求出点8的坐标，再用待定系数法求解析式即可.

(2)根据AAOCs^COB以及圆的相关性质，可知AABD为等腰直角三角形，从而得出。'。与AB的数量

关系，列式求解即可.

(3)使得NPDB=NCA。的点P存在两种情况，利用相似导出线段之间的比值，再用直线和抛物线解析式

联立求得相关点的坐标.

(1)

解：(-1,0),对称轴为直线x=∣,

：.B(4,0),

把点A(-1,0),B(4,0),C(0,-2),代入得：

C=-2(a=2

Q—b+c=0,解得＜b=-'

16α+4b+c=0(2

Vc=-2

・♦.抛物线的解析式为y=∣χ2-Ir-2.

(2)

解：VA(-I,0),B(4,0),C(0,-2),

ΛOA=1,。8=4,OC=2,

.・•—OC=—OB，

OAOC

o

又,.・ZAOC=ZCOB=90f

：.LAOCsdCOB,

/.ZBAC=ZBCO9

:.NAC8=90。,

."B为圆。，的直径，。，点坐标为（|,0）,

.∙./408=90。，

又,；CD平分NBCE,

：.NBCD=NECo=45。，

二/840=45。，

...△4C8为等腰直角三角形，

连接0。，则。0，=148,DO'YAB,

ΛD0,=∣,O的坐标为（|,-|）,

设4。与y轴交于点F,

"：NoAB=45。，

OF=OA=1,

.∙.CF=1,过。作OH垂直于y轴，

VD（-,

22

35

：・DH=JOH=J

22

1135

.∙.SziACD=SΔACF+SΔDCF=⅛l×l+j×l

解：抛物线上存在点P,使得NPDB=NC40,分两种情况讨论:

①过。作MN〃BC交y轴于点

•：MN〃BC,

：./BDN=NCBD,/OCB=NHMD,

又,：NCBD=NCAD,

：・/BDN=/CAD,

・,・直线MN与抛物线在0点右侧的交点即为点P9

*；/OCB=/HMD,NCOB=NMHD=90。,

.∙.∕∖HDMs^θCB,

.MHOC2

,.-----=——=

DHOB4

3

•：DHf

二叫，W(0,-≡).

∣m÷n=-5

2

设直线的解析式为y="?x+〃，则有

MD13

n=-----

4

7n=Ξ

解得《

13

n=-----

4

・・・直线MD的解析式为y=∣x-ɪ,

T23ɔ

y=-xz——X—2

联立得：22

113

'=-X-------

y24

解得（舍去）＞

.∙∙p(竽牛).

②过点。作/07）G=NOBC,交X轴于点G点,

'：A0'DB=AO'BD=ASo,

，NGDB=NCBD=ZCAD,即直线DG与抛物线在点D右侧的交点即为P点,

又,：NDOG=NCOB,

.,.ΔO'GD^∕∖OCB,

・OBOC

-

••0,,D~0~,~G.,

.4_2

—

•∙^-e^-0~,~G.~"，

2

Λ0'G=-,

4

.∙.G⅛0),

设直线DG的解析式为y^kx+b,

0=-k+b

4k=2

则有53^-解得b=_U

----=-fc+D

22

直线DG的解析式为y=2x-y

ɔ11

y=2%-------

联立得：/2

123ɔ

V=-Xz——X-L

z22

7√21_7√21

Xi=------------Xo=1­I-------

解得《:2(舍去),422

∣

y1=-√21=I+√21

.∙.pg+?,∣+√2i)

综上所述，点P的坐标为（W匹，9）或（：+当ɪ,~+Λ∕21）.

24222

【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，以及几何图形和二次函数相结合的应用，利用相似找到线

段之间的比例关系，从而求出点坐标是解题关键.

[例3]（2022•江苏徐州・统考二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+C的图像与X轴交于4（一Lo）,8（2,0）

两点，与y轴交于点（0,2）.

(1)求此二次函数的表达式；

⑵点Q在以BC为直径的圆上(点Q与点。，点B,点C均不重合)，试探究QO,QB、QC的数量关系，并说明

理由.

(3)E点为该图像在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交X轴于点尸.若点E从点C出发，沿着

抛物线运动到点B,则点尸经过的路程为.

【答案】(l)y=-∕+χ+2

(2)当。在第一象限内的圆弧上时，QC+QB=√5θQ,当Q在况上时QB-QC=√∑0Q当Q在州上时，QC-

QB=五OQ理由见解析

(3)2

【分析】(1)把过点的坐标代入解析式，确定。、氏C值即可.

(2)分点。在第一象限内的弧上、弧况和弧州匕三种情况求解.

(3)设直线BC的解析式为产丘+b,确定其解析式，根据直线与抛物线相切时，点F运动最远，确定水平值,

结合题意确定距离即可.

【详解】(1)设y=α(x+I)(X-2)将(0,2)代入得α=-1

.'.y=-X2+X+2.

(2)如图1,当Q在余下第一象限半圆上时，QC+Q8=√∑0Q.

∙.∙点C(0,2),点风2,0),

：.OB=OC=2,BC=>JOC2+OB2=2√2,

设Qo与BC交于点

•：NBOD=NQOB,NoCB=NoBD=NOQB=45°,

：.△()BDSAOQB,

>.∙OB∙=_--O—D-_---B-D,

OQOBQB

BaoQ_BDOQ

:∙0Q=%=杀QB=OB2

同理可证，XOCDSχoQc,

.OC_CD

►∙=,

OQQC

OQeD_OQCD

：・QC=

OC2

BDoQ+CDoQ(BD+CD)OQ_CBOQ_2\/2xOQ

.,.QB+QC=-√20Q;

22222

如图2,当Q在况上时QB-QC=√∑0Q.

在。B上截取QQQC,连接CP,并延长，交圆于点M连接8N,

∙.∙8C是圆的直径,

NCQp=NPNB=90°,

：.NQCP=NQPC=NBPN=NPBN=45°,

：.PN=BN,PB=y∕2PN,

•：OB=OC,

：.NOQB=NOCB=NoBC=45。,

：.ZOQB=ZBPNf

：.QO//PN,

ΛQC=ON,NoQC+NQCP=18()o,NQCN=NONC,

VZOβC=135o,

：.NQCN=NoNC=45。,

：.NBPN=NONC=45：

：.QP//ON,

・・・四边形PQoN是平行四边形，

/.PN=QO,

；・PBsQ0,

.∖QB-QP=>∕2Q0f

：.QB-QC=y∕2Q0.

如图3,当Q在笏上时，QC-QB=aOQ.

在QC上截取CN=Q8,连接OM

・・・武?是圆的直径，

，NCO5=90。，

o

JZCON+ZNOB=Wt

VOB=OC9ZOCN=ZOBQfCN=BQ,

：・AOCNmoBQ,

：.ON=OQfZO=CON=ZBOQf

：.ZBOQ+NNO8=90°,

:.NQ5QO,

.∙.QC-CNSQO,

：,QC-QB=y∕2QO.

（3）如图4,设直线BC的解析式为广依+O,

根据题意，得f]↑与°，

解得仁，

J解析式为γ=-x+2,

设E的坐标为（小-n2÷n÷2）,

EF//BCf

・♦・设直线EF的解析式为kx+p,

**.-Ti2+n÷2=-Zi+/?,

Λp=-n2+2几+2,

・・・设直线EF的解析式为）=-x-∏2÷2n+2,

当直线E尸与抛物线相切时∙，尸到达最远位置，止匕时,

故工2—2χ—n2+2τι=O的判别式为0,

Λ(-2)2-4(-n2+2n)=0,

解得〃=1，

.∙.EF的解析式为y=-x+3,

令y=0,得-x+3=0,解得k3,

此时点尸水平运动的最大距离为3,

实际运动距离为3-2=1：

当E经过这个位置后，点厂向左运动，回到B位置，此时运动距离也是1,

故F运动的距离为1+1=2.

【点睛】本题考查了抛物线的解析式，圆的基本性质，判别式的应用，三角形的相似和性质，熟练掌握待

定系数法，三角形相似和根的判别式是解题的关键.

【例4】(2022•云南德宏•统考一模)二次函数、=：%2+/)刀+©的图象经过点4(-1,0)和点C(0,-3)

与X轴的另一交点为点2.

(2)定义:在平面直角坐标系xθy中，经过该二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆.问：

在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点Q,以点。为圆心，J√TU为半径作。Q,使。。是二次函数y=

：/+bx+c的坐标圆？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶如图所示，点M是线段BC上一点，过点M作MP∕∕y轴，交二次函数的图象于点P,以M为圆心，MP

为半径作。M,当。M与坐标轴相切时，求出黑的值.

【答案】(l)b=-J,c=-3

(2)存在，圆心Q的坐标为C，一》

(3浅值是2%

【分析】(1)把点坐标代入解析式求解即可；

(2)先求出二次函数与坐标轴的交点坐标，在通过△ABC两边中垂线的交点确定圆心Q,在计算半径即可；

(3)分两种情况设出点坐标，利用坐标表示出线段，再分别计算出结果即可.

【详解】(1)解：把点A(—1,0)和点C(0,—3)代入y=:M+bχ+c

4

得：F=Ab+c,

Ic=—3

解方程组得：?=一七

(C=-3

b=-c=-3；

∙∙4

(2)存在，理由如下：

如图所示,

由(1)可知二次函数的解析式为：y=^x2-^x-3,

44

令12——3=0,

解得：Xι=-1,X2=4,

所以点4(-1,0),点8(4,0)

：点C(0,-3)

：.AB=BC=5

：.Z∖ABC是等腰三角形

根据坐标圆的定义，。。经过点A、B、C,

.∙.圆心Q为AB的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点.

的垂直平分线即为二次函数的对称轴X=|,可求得AC的中点F的坐标为(一，一|),

所以AC垂直平分线B尸的解析式为y=—求得点Q坐标为⅛-f)

33Z6

在RmQNB中，根据勾股定理求得QB=岸.

所以存在符合题意的坐标圆，其圆心0的坐标为(|,-|).

(3)设BC直线的解析式为：y^kx+b,

把8(4,0)、C(0,3)的坐标代入产质+b得：｛°片”。

解得：［I,

Ib=-3

.∙.8C直线的解析式为：y=^x-3,

OM与坐标轴相切，有两种情况，

①当。M与y轴相切时，如图所示：

过点Af作MoLy轴，垂足为点C,

则点D为。M与)，轴的切点，即PM=DM=X,

393

设2

-X-XX-X

443)43)

ηc29

XJXX

3)⅛J-

∙4

o9

ɑ2

XɑX-XX

3).43)

解得：Xi=-,%2=0,

当X=O时，点M与点C重合，不合题意舍去；

.∙.ΘM的半径为OM=|,

：.MC-,1)

3

•：ACDMsRCOB,根据相似三角形的性质，解得CM=热

MB=S-

33

点七为。”与X轴的切点，所以PM=ME

设PO^X2-^X-3),Λ∕(X,∣X-3),

则PM=(三%—3)—(-X2--%—3),PE=--x+3

4444

Λ(-x-3)—(-X2--%—3)=-~x+3,

4444

解得：x∣=LX2=4

当x=4时，点M与点3重合，所以不合题意舍去，

.∙.OM的半径为：PM=ME=-→3=-∙,：.M(1,-)

444

AMEBS∕∖COB,根据相似三角形的性质，解得CM=J

4

ΛΛ∕β=5--=-

44

.CM_1

••~~~一一

MB3

综上所述，器值是2或(

【点睛】本题考查二次函数综合，圆切线的性质，确定圆的条件，理清知识点，求出点坐标，转化为线段,

结合函数表达式进行求解是解题的关键.

培优训练

\______________________________Z

1.(2023秋・湖北武汉•九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习)如图，己知抛物线经过点/1(-1,0),B(3,0),

C(0,3)三点，点O是直线BC绕点8逆时针旋转90。后与y轴的交点，点M是线段AB上的一个动点，设点M

的坐标为(m,0),过点M作X轴的垂线交抛物线于点E,交直线BD于点F.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；

(2)在点M运动过程中，若存在以EF为直径的圆恰好与y轴相切，求,〃的值；

(3)连接AC,将AAOC绕平面内某点G旋转180。后，得到4436,点4、0、C的对应点分别是点①、。1、

C1,是否存在点G使得AAOC旋转后得到的△力IolCl的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在，直接写出G

点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-X2+2x+3；

(2)τn=2；

(3)点G的坐标为§或(土,4).

【分析】(1)抛物线的表达式为：y=α(x+l)(x-3),将C(0,3)代入求出α的值，即可求解；

(2)以EF为直径的圆与y轴相切，则EF=20M,即可求解；

(3)分点①、Cl在抛物线上、01、Cl在抛物线上、。“公在抛物线上三种情况，分别求解即可.

【详解】(1)解：设抛物线的表达式为：y=α(x+1)0—3),

将C(0,3)代入得-3α=3,

解得：α=-1,

故抛物线的表达式为：y=-∕+2x+3;

(2)解:■点C(0,3),

由题意得点D(O,-3),

由B、D的坐标得：直线Bo的表达式为：y=x-3,

；设点M的坐标为(科0),

则点E(Tn,-r∏2+2m+3),点尸(τn,m-3),

以EF为直径的圆与y轴相切，

则EF=20M,

即：EF=(-m2+2m+3)—(m—3)=-m2+m+6,

.∙.-m2+m+6=2m,

解得：m=2或一3(舍去)；

综上，m=2；

(3)VΛ(-1,O),B(3,0),C(0,3),

/.OA=1,OC—3,

设点4的坐标为：(X,y),

则点Ol(X-1,y),点CI(X-Ly-3),

①当点儿、Cl在抛物线上时，

将这两个点的坐标代入抛物线表达式得:

(y-—X2+2%+3

Iy—3=—(x—I)2+2(x-1)+3'

解得：｛;二，

故点4(0,3),

二点4、2的中点坐标为：(一夕―|)，

∙,∙G点的坐标为—|)：

②当点。1、Cl在抛物线上时,

将这两个点的坐标代入抛物线表达式得:

,y--(x—I)2+2(x-1)+3

方程无解,

.y-3=-(x-I)2+2(x-1)+3

故此种情况不存在;

③当点0八公在抛物线上时,

将这两个点的坐标代入抛物线表达式得:

(y=-X2+2x+3

Iy=-(x-I)2+2(x-1)+3'

解得：r=3

(y=τ

故点4(∣*γ)∙

.∙.点4、4的中点坐标为：G，葛)，

∙,∙G点的坐标为(1,£)；

综上，点G的坐标为或

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了诙函数的性质、二次函数的性质、圆的基本知识、图形的旋转

等，解题的关键是掌握二次函数的性质，其中(3),要注意分类求解，避免遗漏.

2.(2022春•全国•九年级专题练习)如图，一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-X2+3尤图象的对称轴

交于点8.

(2)将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交无轴于点C、交y轴于点。，点4是该抛物线与该动直线的一个公共

点，试求当AAOB的面积取最大值时，点C的坐标；

(3)已知点P是二次函数y=-%2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，若4PCD的外接圆直径为PC,试问：

以P、C、。为顶点的三角形与ACOD能否相似？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

【答案】⑴3)

(2)点C的坐标为(g,θ)

(3)相似，点P的坐标为(2,2)或Ct)

【分析】(I)山抛物线解析式求出对称轴，再代入y=-2久即可求出点B的坐标：

(2)如图1,由题意可设直线DC的解析式为y=-2x+b,要是A40B的面积最大，只需直线DC与抛物线

相切，由此可求出b的值，即可求得点C的坐标；

(3)过点P作PH1y轴，如图2,由题意可设直线的解析式为y=-2x+b,从而可得OC=∣,OD=b,DC=

号,由APCD的外接圆直径为PC可得NPDC=90。，易证APHCsADOC,根据相似三角形的性质可得霁=

瑞=*,然后分两种情况讨论：①APDCsADOC,②APDOACOD,用含b的代数式表示点P的坐标，

然后代入抛物线的解析式，求出b,即可得到点P的坐标.

【详解】(1)解：抛物线y=-/+3χ的对称轴为X=一丁J=：,

Z×(,-IJ2

当X=In寸，y=-2x=-2×I=-3,

则点8的坐标为(|,一3).

故答案为：(a—3)；

设直线DC的解析式为y=-2x+b,

消去y并整理得，

X2—5x+b=0,

当直线y=-2x+b与抛物线y=-x2+3%相切时,

Δ=(-5)2-4×l×h=25-4h=0,

解得6=3，

此时直线DC的解析式为y=-2x+≡,

令y=0,可得X=

.•・△4。B的面积最大时，点C的坐标为(m，0)；

(3)解：过点P作P”Ly轴，如图2.

图2

设直线的解析式为y=-2x+b,

则有C6,°)，0(0/)，

从而可得OC=OD=b,DC=与.

∙∙∙∆PCD的外接圆直径为PC,

•••乙PDC=90°,

乙PDH+乙ODC=90°.

•••乙DoC=90°,

.∙.∆OCD+WDC=90°,

乙PDH=/.OCD.

•••乙PHD=4DoC=90°,

PHDSʌDOC,

PHDHPD

Λ一=—=一.

DOCODC

①若APDCsADOC,则有差=案=2.

PHDHC

ʌ—=—=2,

DOCO

・・・PH=2D0=2b,DH=2C0=b,

ʌOH=&÷b=2bf

•••点P的坐标为(2b,2b).

；点P在抛物线y=-X2+3x±.

.∙.2h=-(2fe)2+3×(2fa),

解得：b1=O(舍去),b2=1)

•••点「的坐标为(2,2)；

②若APDCSACOD,则有器=为=1.

Λ——PH=——DH=一1,

DOCO2

.∙.PH=-D0=-b,DH=-C0=-b,

2224

.∙.OH=b+-b=-b,

44

・••点P的坐标为Ghqb).

・・,点P在抛物线y=-X2+3%上，

...N=-Cb)2+3XCb),

解得：b1=O(舍去)，历=1，

二点P的坐标为G，；).

综上所述：点P的坐标为(2,2)或&,g.

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了抛物线的对称轴，抛物线与直线的交点的坐标特征，相似

三角形的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程，运用分类讨论和构造K型相似是解题的关键.

3.⑵23春•福建泉州•九年级泉州七中校考期末)如图⑴所示,y关于X的二次函数y=-今(x+τn)Q-3m)

(m>0)图象的顶点为M,图象交X轴于4B两点,交y轴正半轴于。点.以AB为直径作圆，圆心为C.定点

E的坐标为(一3,0),连接ED.

(2)当Tn为何值时M点在直线E。上?判定此时直线与圆的位置关系；

(3)当m变化时，用Tn表示A4ED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于nɪ的函数图象的示意图.

【答案】(I)A(-τn,O),B(3m,0),D(0,√3τn)

(2)m=l时，直线EC与。C相切相切，理由见解析

--m2+—m(0<m<3),

(3)5=2瓜2,图像见解析

.rn2一苧-(Jn>3).

【分析】(1)根据X轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出2、B、D三点的坐标；

(2)待定系数法先求出直线EC的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系;

(3)分当0<m<3时，当m>3时两种情况讨论求得关于nt的函数.

【详解】(1)解：令y=0,则一流(X+m)(x-3Tn)=0,解得XI=—m,x2=3m；

令％=0,则y=—^(0+m)(0—3m)=V3zn.

故4(一犯0),B(3m,0),D(0,∖[3m).

(2)解：设直线ED的解析式为y=依+b,将E(-3,0),D(O,√^n)代入得：

(-3fc÷h=0

Ib=y∕3m

解得，k=F∏ι,b=√3m.

二直线的解析式为y=ɪmz+√3m.

将y=-(x+m)(x-3m)化为顶点式：y=-(%-τn)2+ɪm.

顶点M的坐标为(m,竽力).代入y=^γmχ+得：TH2=τn

V7∏>0,

.∙.τn=l.所以，当m=l时，M点在直线DE上.

连接CD,C为4B中点，C点坐标为C(m,O),

.∙.CD=2,。点在圆上

又∙∙∙OE=3,DE2=OD2+OE2=12,

EC2=16,CD2=4,

.∙.CD2+DE2=EC2.

乙EDC=90°

•••直线EC与。C相切；

(3)解:当0<m<3时，SΛAED=^AE∙0D=ym(3-m)

√32.ɜ^ɜ

Sc=-----mH------m.

22

当m≥3时，SAAED—^AE∙OD—ɪm(m—3).

即FlrlSc,=——ZnN2-----m.

22

S关于Tn的函数图象的示意图如右：

【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有X轴，y轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确

定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.注意分析题意分情况讨论结果.

4.(2022•江苏•九年级专题练习)如图，已知二次函数)/=以2+.+。的图象与％轴交于/(一1,0),8(2,0)两

点，与y轴交于点(0,2).

y

ɪ

/。|B^FX

(1)求此二次函数的表达式；

(2)点Q在以BC为直径的圆上(点Q与点。，点8,点C均不重合)，试探究Q。，QB,QC的数量关系，并说明理

由.

(3*点为该图象在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交X轴于点尸.若点E从点C出发，沿着

抛物线运动到点B,则点尸经过的路程为.

【答案】(l)y=-∕+χ+2.

(2)QB+QC=&Q0或QC-QB=√∑Q。或QB-QC=五QO,理由见解析.

(3)2.

【分析】(1)利用待定系数法即可得：次函数的解析式；

(2)证明ABoC为等腰直角三角形，再分三种情况：

①当点Q在半圆BoC相对的半圆上时,如图,连接QC,BQ,0Q,把AoBQ绕点。逆时针旋转90。,得到4。“，，

可证得ZOQQ'是等腰直角三角形，故QB+QC=√∑Q0;

r∖

②当点Q在劣弧OB上时，如图，连接QB、QC,在CQ上截取CQ，=QB,连接OQ',可证AoCQ'≤ΔOBQ(SAS),

得出ZOQQ'是等腰直角三角形，故QC-QB=√∑QO;

③当点Q在劣弧OC上时,如图,连接QB、QC,在BQ上截取8Q，=QC,连接0Q，，同理可得QB-QC=√2Q0;

(3)先求出直线BC的解析式，设E的坐标E(九,一层+〃+2),设直线EF的解析式为y=-x+打，将E的坐

标代入EF解析式中，联立两个解析式判定△,当直线EF与抛物线只有一个交点时,可求出直线EF的解析式，

计算出F的横坐标即可求出经过的路程.

【详解】(1)解：(1)将A(T,0),B(2,0),C(0,2)代入y=ɑ/+"+C,

O=Q—b+c

得:0=4Q+2b+c,

2=c

a=-1

解得：b=1,

c=2

二二次函数的表达式为：y=-X2+X+2：

(2)QB+QC=√∑Q0或QC-QB=遮Q。或QB-QC=√2Q0,理由如下：

：Q在以BC为直径圆上，

J.ΛBOC=乙BQC=90°,

Vβ(2,0),C(0,2),

：.OB=OC=2,4BoC=90°,

.∙.ABOC为等腰直角三角形，

J./.OCB=乙OBC=45°,

①当点Q在半圆BoC相对的半圆上时，如图，连接QC,BQ,OQ,把AOBQ绕点。逆时针旋转90。,得到△OCQ',

•••四边形。BQC是圆内接四边形，

：.乙OBQ+乙OCQ=180°,

由旋转知：NQOQ'=90。，乙OCQ'=乙OBQ,CQ'=BQ,0Q'=OQ,

.∖∆OCQ'+∆OCQ=180°,

：.Q、C,Q，三点在同一条直线上，CQ'+CQ=QQ',

：.QB+QC=QQ',

∙.∙Z10QQ'是等腰直角三角形，

：.QQ'=y∕2QO,

：.QB+QC=y∕2Q0;

②当点Q在劣弧OB上时，如图，连接QB、QC,在CQ上截取CQ'=QB,连接OQ',

∙.'0Q=OQ9

/.∆OCQ=∆OBQf

在和AoBQ中，

OC=OB

乙OCQ，=乙OBQ,

CQ,=BQ

・・・4。“'三/OBQ(SAS),

：•乙CoQ'=(BOQ,0Q,=OQ,

VzCOQz+ZBOQz=90°,

：.乙BOQ+乙BOQ'=90。,即NQoQ'=90。,

∙∙"OQQ'是等腰直角三角形，

.∖QQ,=y∕2Q0,

,,

∖'QQ=QC-CQ=QC-QBf

：・Qe-QB=&Q0；

③当点Q在劣弧OC上时，如图，连接QB、QCf在BQ上截取BQ'=QC,连接。Q',

与②同理可得：QB-QC=&Q0,

综上所述，QB+QC=&Q0或QC-QB=&Q0或QB-QC=&Q。；

(3)设直线BC:y=kx+巾

把点B、点C代入得『k：0,

解得：k=-1,m=2,

.*.y=-%+2,

又YEF〃BC,点E在抛物线上，

设E(n,—M+几+2),

设直线EF解析式为y=-x+&i，

把E代入得：一，+H+2=—n+fo1,

∙*∙b]=—九？+2n+2,

Λy=—%—n2÷2n÷2,

挣入Jy=-%-n2+2n+2

Iy=-X2+%+2

-X—n2+2n+2=-x2÷x÷2,

Wx2—2x-n2+2n=O

VΔ=4—4(一九2+2n)=4+4n2-Sn=4(n—I)2=0,

・・・抛物线与直线E尸只有一个交点，此时点厂是所能运动的最远位置，

∙"∙n=1>b]=-1+2+2=3,

∙,.y——X+3,

当y=0时X=3>

二F横坐标最大为3,

.∙.F经过路程为：(3—2)X2=2,

故答案为：2.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，圆的基本性质，根的判别式的应用，

等腰直角三角形的判定和性质，旋转变换的应用，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，添加

辅助线构造全等三角形是解题的关键.

5.(2022秋•湖南长沙•九年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习)已知二次函数y=。/+以+，的图

象与X轴交于A,B两点，其中点A为(-1,0),与y轴负半轴交于点C(0,-2),其对称轴是直线x=∣.

(1)求二次函数y=ax2+hx+C的解析式;

⑵圆。'为△4"的外接圆，点E是4C延长线上一点，4BCE的平分线CD交圆。'于点。，连接4KBD,求

△ZCC的面积；

(3)在(2)的条件下，y轴上是否存在点P,使得以P,C,B为顶点的三角形与ABCD相似？如果存在，请

求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=(χ2-∣χ-2

就

(3)(0,-4)或(0,-12)

【分析】(1)根据抛物线具有对称性，可以求出点B的坐标，再用待定系数法求解析式即可.

(2)根据A40CSACOB以及圆的相关性质，可知A48。为等腰直角三角形，从而得出。'。与AB的数量关

系，列式求解即可.

(3)分4种情况画出图形，利用相似三角形的判定与性质求解即可.

【详解】(D解：∙.∙4(-l,0),对称轴为直线X=|,

ΛB(4,0),

(C=-2

由题意可知，］

a-h+c=0

(16Q+4b+c=0

(α=4

解得b=一|，

Vc=-2

.∙.抛物线的解析式为y=∣X2-∣X-2.

(2)解：VΛ(-1,,0),B(4,0),C(0,-2),

ΛOA=1,OB=4,OC=2,

OC_OB

"OA~'OC'

XVzΛOC=ZCOF=90°,

Λ∆TlOCCOB,

.∖∆BAC=乙BCO,

・・・乙4C8=90°,

.∙∙4B为圆。的直径，。'点坐标为(|,0),

.∖∆ADB=90°,

又YC。平分NBCE,

：.乙BCD=4ECD=45°,

,'.∆BAD=45o,△力DB为等腰直角三角形,

连接04，^∖DO'=^ABlDO'IAB,

：.DO'=1，D的坐标为©,-1),

如图1,设AC与y轴交于点凡

,：z.DAB=45°,

：.OF=OA=I,

：.CF=1,

过。作。“垂直于y轴，

Y呜

35

：.DH=-OH=-

2t29

∙∙SAACD=SXACF+SADCF=WXlXl+5*1工3=不

图1

(3)解：V>1(-1,0),B(4,0),C(0,-2),D(∣,-∣),

∙"D=粤，BD=喙BC=2回

由(2)知，NBCD=45°,NBDC>90°,Z.CBD<45°.

如图2,当点P在点C的上方时，若乙CBP>90。,

'：0B<OC,

"PCB>45°,

显然，APCB和ABCD中不存在两个相等的角，即不可能相似;

如图3,APCB中不存在45。的角，所以aPCB和ABCD中不存在两个相等的角，即不可能相似;

如图4,当点P在点C下方，4CP8=45。时∙，ACPBsZkDCB,

.CPCB

.•----=------,

CDBD

.OP-2_2√5

・・^~=亘’

：.0P=4,

.∙.P(0,-4)；

如图5,当点P在点C下方，NCBP=45。时∙，ACPBfDBC,

.CPCB

.∙''"'',

BDCD

・OP-2_2√5

*'^√2—√10'

~2~~~2~

：.OP=12,

."(O,-12)；

综上可知，尸点坐标为（0,-4）或（0,-12）.

【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，以及几何图形和二次函数相结合的应用，数形结合是解题

关键.

6.（2022春.九年级课时练习）如图，二次函数丫=一22+陵+与*轴的一个交点4的坐标为（_3,0）,以

O（;

点月为圆心作圆A,与该二次函数的图象相交于点8,C,点8,C的横坐标分别为-2,-5,连接4B,AC,

并且满足4B14C.过点8作BMJ.X轴于点过点C作CNI无轴于点M

(1)求该二次函数的关系式；

(2)经过点B作直线BD,在4点右侧与X轴交于点£>,与二次函数的图象交于点E,使得乙4DB=NTlBM,

连接AE,求证：AE=AD;

(3)若直线y=kx+l与圆A相切，请求出k的值.

【答案】(l)y=一U

66

(2)见解析

⑶-煞2

【分析】(1)证明△4CN三△BAM(AAS),求出CN=4M=-2—(—3)=1,BM=AN=-3—(-5)=2,

得到点8,C的坐标，然后利用待定系数法求解即可；

(2)证明AABMsABDM,求出。M=4,可得出点。坐标，进而求出直线BD的解析式，联立一次函数和

二次函数解析式求出点E坐标，利用勾股定理求出AE即可得出结论：

(3)分两种情况：①当直线y=k无+1与。4的切点在X轴上方时，记切点为G,贝必G=AB=√5,证明

四边形PoQG是矩形，△4QG三AFPG(AAS),得到4Q=PF,GQ=PG,设点G(Tn,km+1),表示出AQ=

m+3,PF=km,PG=-m,GQ=km+l,得出关于匕机的方程组，解方程组可得答案；②当切点在

X轴下方时，同①的方法求解即可.

【详解】(1)解：YBMJ.X轴于M,CNl.x轴于M

：&NC=Z.BMA=90°,

二Z√WM+NBAM=90°,

'：AC1AB,

.∖∆CAN+ZiBAM=90°,

."ABM=LCAN,

过点8,C,

.".AC=AB,

Λ∆τ4C∕V≤Δ^M(AAS),

ΛCN=AM=-2-(-3)=1,BM=AN=-3—(-5)=2,

∙*∙B(—2,—2)♦C(—5,-1),

一二X4—2b+c=-2

将点B,。代入y=+加；+c得:

6—X25—Sb+c=-1

解得:

.∙.抛物线的解析式为y=-^x2-γx-11；

(2)解：∙.∙8MJ.x轴于点何，

o

J.∆AMB=∆BMD=90f

∖u∆ADB=∆ABM,

：.△ABM^△BDM,

，%=型，即工=三，

BMDM2DM

.∖DM=4,

ΛD(2Λ0),

：.AD=5,

设直线BD的解析式为y=fcx+b(k≠0),

代入8(-2,-2),°(2,0)得「公:

解得：［I,

b=-1

.∙.直线BD的解析式为y=∣x-l,

∙*∙E(—6,-4),

：.AE=J(-6+3)2+(—4-0)2=5,

.∖AE=AD↑

(3)解：♦.•点8(-2,-2)在CM上，

・・・。4的半径为：AB=√(-3+2)2+22=√5,

如图2,记直线y=kx+1与y轴相交于凡令％=0,则y=l,

ΛF(O,1).

：.OF=1,

①当直线y=∕cx+l与。4的切点在X轴上方时，记切点为G,则4G=4B