江苏省江阴一中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷

江阴市第一中学20202021学年度第一学期期中试卷高二数学2020.11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案，共40分）1．不等式的解集为A. B.C.D.2．已知等比数列的前项和为，,,则A．B.C．D．3．糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为A．B．C．D．4．已知双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为A．B．C．y＝±D．5．已知为实数，则“0＜＜2”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为A．3斤B．6斤C．9斤D．12斤7．已知，，则取得最小值时，A．B．C．1D．8．定义：在数列中，若满足，称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，则等于A．4×20162－1B．4×20172－1C．4×20182－1 D．4×20182二、多选题（本大题共4小题，每小题至少有两个正确答案，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分，共20分）9.设是等差数列，是其前项和，且，则下列结论正确的是A.B.C.D.的最大值10.给出下面四个推断其中正确的为A.若，则B.若,则C.若则D.若，则11.关于递增等比数列,下列说法不正确的是A.当B.C.D.12．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：，A1，A2，B1，B2为顶点，F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有A．|A1F1|，|F1F2|，|F2A2|为等比数列B．∠F1B1A2＝90°C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B1D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．抛物线的准线方程为________．14．“”为假命题，则实数的最大值为________．15．不等式的解集为________．16.数列满足,,则________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)的双曲线标准方程．18．（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足:，其前项和为，求的值．19．（本小题满分12分）已知等比数列满足数列是首项为1公差为1的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．20．（本小题满分12分）已知关于的不等式，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）当，试求不等式的解集.21．（本小题满分12分）2018年10月23日，习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响．港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海旅游线路增添新亮点．某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会．据市场调查，当每张门票售价定为元时，销售量可达到万张．现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万张)成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元．（每张门票的销售利润＝售价－供货价格）．（1）求出每张门票所获利润关于售价的函数关系式，并写出定义域；（2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值．22.（本小题满分12分）数列{an}的前项和，，，且成等差数列.(1)求的值；(2)证明:为等比数列，并求数列的通项公式；(3)设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.江阴市第一中学20202021学年度第一学期期中试卷高二数学参考答案及评分标准一、单项选择题题号12345678答案ACBADCBC二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ABDADBCDBD三、填空题13.14.115.16.四、解答题17.（1）由长轴长知：由焦距知：，解得：椭圆标准方程为：或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设双曲线方程为,又过点为，解得双曲线标准方程为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18．（本小题满分12分）解：（1）由得：，相减得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又，即，可得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分又，是以1为首项3为公比的等比数列，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解（1）因为数列是等比数列，故设首项为，公比因为所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分所以数列的通项公式为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分因为是首项为公差为的等差数列所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分同乘得：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分作差得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．解：（1）当时，不等式为，即，………………1分∴，即原不等式的解集为；………………3分（2）（=1\*romani）时，原不等式化为，解得：，………………4分（=2\*romanii），不等式可化为，………………5分又，………………7分∴或，即解集为．………………8分（=3\*romaniii）时，原不等式化为，………………9分又，∴，………………11分综上所述：当时，解集是；当时，解集是；当时，解集是………………12分21．解：(1)每张门票售价定为元时，销售量为＝5(万张)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分令每张门票的浮动价格．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分则每张门票供货价格为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分故旅游公司所获总利润为(元)．．．．．．．．．．．4分∴比例系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分当且仅当（元）时取得“=”号．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分∴，当且仅当（元）时取得“=”号答：每张门票售价定为140元时，所获利润最大，且每张门票最大利润为100元．．．．12分22.解:(1)在2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*中，令n＝1，得2S1＝a2－22＋1，即a2＝2a1＋3，①又2(a2＋5)＝a1＋19，②则由①②解得a1＝1.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分(2)证明当n≥2时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，③,2Sn－1＝an－2n＋1，④))③－④得2an＝an＋1－an－2n，则eq\f(an＋1,2n＋1)＋1＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)＋1))，又a2＝5，则eq\f(a2,22)＋1＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,21)＋1)).∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)＋1))是以eq\f(3,2)为首项，eq\f(3,2)为公比的等比数列，∴eq\f(an,2n)＋1＝eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n－1)，即an＝3n－2n.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分(3)由(2)可知，bn＝log3(an＋2n)＝n.当bn(1＋n)－λ