3.卡诺图化简法(一)

主要要求：

掌握最小项的概念与编号方法，了解其主要性质。掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。理解卡诺图的意义和构成原则。掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。2.5逻辑函数的卡诺图化简法代数化简法

优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断结果是否最简。

卡诺图化简法优点：简单、直观，有一定的步骤和方法易判断结果是否最简。

缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于四变量以下函数的化简。

一、代数化简法与卡诺图化简法的特点卡诺图(Karnaughmaps)是最小项按一定规则排列成的方格图

。

1.

最小项的定义和编号

n个变量有2n种组合，可对应写出2n个乘积项，这些乘积项均具有下列特点：包含全部变量，且每个变量在该乘积项中（以原变量或反变量）只出现一次。这样的乘积项称为这n个变量的最小项，也称为n变量逻辑函数的最小项。（一）最小项的概念与性质

二、最小项与卡诺图例如

3变量逻辑函数的最小项有23=8个将输入变量取值为1的代以原变量，取值为0的代以反变量，则得相应最小项。

简记符号例如

1015m5m44100ABC111110101100011010001000最小项ABC如何根据输入变量组合写出相应最小项？如何编号？m7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应的十进制数765432102.

最小项的基本性质

(1)

对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使其值为0。三变量最小项表110000000111101000000110100100000101100010000100100001000011100000100010100000010001100000001000ABCm7m6m5m4m3m2m1m0ABC(2)不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。(3)对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。(4)对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。

3.

相邻最小项

利用它便于进行卡诺图化简两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。例如

三变量最小项ABC和ABC

相邻最小项重要特点:两个相邻最小项相加可合并为一项，消去互反变量，化简为相同变量相与。将n变量的2n个最小项用2n个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称卡诺图。

例如ABC+ABC=AB（二）用卡诺图表示最小项AB二变量卡诺图

0101000110110001AB0101m0m1m2m30123ABAAB

BABABABAB变量取0的代以反变量取1的代以原变量以循环码排列以保证相邻性三变量卡诺图ABC01000111

10

m6m7m4m2m3000m0m5001m16

7

5

4

2

3

1

0以循环码排列以保证相邻性以循环码排列以保证相邻性四变量卡诺图ABCD00011110000111

1001

3

245

7

61213

15

14891110变量取0的代以反变量；取1的代以原变量。以循环码排列以保证相邻性以循环码排列以保证相邻性ABCD相邻项在几何位置上也相邻卡诺图特点：循环相邻性同一列最上与最下方格相邻同一行最左与最右方格相邻

卡诺图：将n变量的2n个最小项用2n个小方格表示，并且使

相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻。

如何写出卡诺图方格对应的最小项？

已知最小项如何找相应小方格？

例如

原变量取1，反变量取01001？ABCD0001111000011110

任何形式的逻辑式都可以转化为标准与或式，而且逻辑函数的标准与或式是唯一的。

在用卡诺图表示逻辑函数时，通常需要先得到真值表或标准与或式或与或式。

（一）逻辑函数的标准与或式三、逻辑函数的卡诺图表示

每一个与项都是最小项的与或逻辑式称为标准与或式，又称最小项表达式。

解：(1)利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。

[例]

将逻辑式化为标准与或式。AB+(2)利用配项法化为标准与或式。(3)利用A+A=A，合并掉相同的最小项。0000m00001m11100m121101m131111m15Y=m0+m1+m12+m13+m15=∑m(0,1,12,13,15)普通与或式，非标准与或式最小项之和的形式（二）逻辑函数的卡诺图表示(1)求得逻辑函数的真值表或标准与或式或与或式。(2)根据变量数n画出变量卡诺图。(3)根据真值表或标准与或式或与或式填图。用卡诺图表示逻辑函数举例

已知标准与或式画函数卡诺图

[例]

试画出函数Y=∑m(0,1,12,13,15)的卡诺图解：

(1)画出四变量卡诺图(2)填图逻辑式中的最小项m0、m1、m12、m13、m15对应的方格填1，其余不填。ABCD0001111000011110

0

1324576

12

13

151489

11

10

1

1

1

11

基本步骤已知真值表画函数卡诺图[例]

已知逻辑函数Y的真值表如下，试画出Y的卡诺图。解：(1)画3变量卡诺图。找出真值表中Y=1

对应的最小项，在卡诺图相应方格中填1，其余不填。ABCY00010010010101101001101011011110ABC0100011110

6

7

5

4

2

3

1

0m0m2m4m6

1

1

1

1已知一般表达式画函数卡诺图解：(1)将逻辑式转化为与或式(2)作变量卡诺图找出各与项所对应的最小项方格填1，其余不填。

[例]

已知，试画出Y的卡诺图。AB+ABCD0001111000011110(3)根据与或式填图先找出与项AD对应的方格

1111再找AB对应方格1111最后找BCD对应方格

1

1AB对应最小项为同时满足A=1,B=1的方格AD对应最小项为同时满足A=0,D=1的方格BCD对应最小项为同时满足B=1,C=0,D=1的方格[练习]

用卡诺图判别函数Y

和Z

的关系。（1）解：

①画函数Y

的卡诺图ABC0100011110

1

1③结论：Y和Z互为反函数。

②画函数Z

的卡诺图

1

1ABC0100011110

1

1

1

1[练习]

用卡诺图判别函数Y

和Z

的关系。（2）解：