湖北省随州市2023年中考数学试卷（含答案）

湖北省随州市2023年中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是

正确的）

1.实数-2023的绝对值是（）

11

A.2023B.-2023C,方容D--2023

2.如图，直线All%，直线1与已相交，若图中乙1=60。，则乙2为（）

3.如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是（）

A.主视图和俯视图B.左视图和俯视图C.主视图和左视图D.三个视图均相同

4.某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3,7,5,6,5,4

（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（）

A.5和5B.5和4C.5和6D.6和5

5.甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米.已知乙工

程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月.若设甲工程队每个月修x千米，

则可列出方程为（）

.912_1D129_1„912_1^129_1

A-X-FHL=2FH-X=2C-FKL-V=2D-VFH=2

6.甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关

系如图所示，关于下列结论：①A,B两城相距300km；②甲车的平均速度是60km",乙车的平均速度

是100km"；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9；30追上乙车.正确的有（）

A.①②B.①③C.②④D.①④

y/kmM

第6题图第7题图

7.如图，在平行四边形ABCD中，分别以B,D为圆心，大于*8。的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,

过M,N两点作直线交8。于点O,交AD,BC于点E,F,下列结论不正确的是（）

A.AE=CFB.DE=BFC.OE=OFD.DE=DC

1

8.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流1（单位:A）与电阻R（单位：C）是反比例函数关系，它

的图象如图所示，则当电阻为6。时,电流为（）

C.6AD.8A

b

ABC

第9题图

9.设有边长分别为a和b（a>b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张.如图所

示要拼一个边长为a+b的正方形,需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为3a+b、

宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（）

A.6B.7C.8D.9

10.如图，已知开口向下的抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于点（6,0）»对称轴为直线x=2.则下列结

论正确的有（）

=—

①abc<0；（2）a—b+c>0；③方程c/+力久+a=0的两个根为打=*,x2

④抛物线上有两点PQi，%）和Q（%2，及），若％1<2<牝且％1+%2>4,则yi<y2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.只需要将结果直接填写在答题卡对应题

号处的横线上）

计算：（-2）2+（-2）x2=

12.如图，在。。中，04_1,BC,乙4。8=60。，贝”AOC的度数为.

13.已知一元二次方程x2-3x+1=0有两个实数根XI,X2,则XI+X2-XIX2的值等于.

14.如图，在ABC中，“=90。，AC=8,BC=6,D为AC上一点，若是乙4BC的角平分线,

则AD

2

15.某天老师给同学们出了一道趣味数学题：

设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每

按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮现有100个人，第1个人把所有

编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号

是3的整数倍的开关按一次，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次.问最终状态为“亮”

的灯共有多少盏？

几位同学对该问题展开了讨论：

甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：

乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和

第3个人共按了2次.....

丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态.

根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮''的灯共有盏.

16.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=4,M是边上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM

对折，得到△NDM.当射线CN交线段于点P时，连接DP,则ACDP的面积为；DP的最大

值为.

三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程)

17.先化简，再求值：号+^，其中x=l.

18.如图，矩形力BCD的对角线4C,BD相交于点O,DE||AC,CE||BD.

(1)求证：四边形OCEC是菱形；

(2)若BC=3,DC=2,求四边形OCEC的面积.

19.中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了

解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图.

条形统计图

根据图中信息回答下列问题:

(1)接受问卷调查的学生共有人，条形统计图中m的值为,扇形统计图中“非常了解”

部分所对应扇形的圆心角的度数为

(2)若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人

数为人；

(3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康

知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率.

20.某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度力B,在建筑物附近有一斜坡，坡长CO=10米，坡

角a=30。，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60。，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30。.(已知

点A,B,C,D在同一平面内，B,C在同一水平线上)

(1)求点D到地面BC的距离；

(2)求该建筑物的高度4B.

4

21.如图，4B是。0的直径，点E,C在。。上，点C是曲的中点，4E垂直于过C点的直线0C,垂足

为D,的延长线交直线0C于点F.

（1）求证：0C是。。的切线；

（2）若4E=2,sin乙4尸。=/①求。。的半径；②求线段DE的长.

22.为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天

中，第x天（1WXW30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p=（m30（20<%<^0^（且

x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为q=x+10,已知第5天售价为50元/千克，第10天售价

为40元/千克，设第x天的销售额为W元

（Dm=,n=；

（2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式;

（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？

5

23.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求

平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该

点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营''问题.

（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填

空，②处从“两点之间线段最短”和"三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写

该三角形的某个顶点）

当△ABC的三个内角均小于120。时，如图1,将△4PC绕，点C顺时针旋转60。得到△4'P'C,连接PP',

由PC=P,C,Z.PCP=60°,可知△PCP'为__________三角形，故PP=PC,又P'd=P4故PA+PB+PC=

PA+PB+PP>AB,

由_______________可知，当B,P,P',A在同一条直线上时，P4+PB+PC取最小值，如图2,最小值为4'B,

此时的P点为该三角形的“费马点”，且有乙4PC=Z.BPC=乙APB=；

已知当△NBC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若ZB4CN120。,

则该三角形的“费马点”为点.

（2）如图4,在AABC中，三个内角均小于120。，且AC=3,BC=4,乙4cB=30。，已知点P为△ABC

的“费马点”，求P4+PB+PC的值；

（3）如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km,BC=2®m,乙4cB=60。.现

欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别

为a元/km,a元/km,&a元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.（结果

用含a的式子表示）

图5

6

24.如图1,平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a/+bx+c过点4(一1,0),6(2,0)和C(0,2),连

(2)如图2,连接OM,当AOCM为等腰三角形时，求m的值;

(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q,使得以0,P,Q为顶点的三角形与以B,C,N为顶

点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理

由.

7

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，

所以，-2023的绝对值等于2023.

故答案为：A.

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数求解即可。

2.【答案】C

【解析】【解答】解：Zl=60°,

二N2+N1=180°,

.*.Z2=120°.

故答案为：C.

【分析】两直线平行，同旁内角互补，据此计算.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为圆，故主视图和左视图完全相同.

故答案为：C.

【分析】根据三视图的概念分别确定出圆柱的主视图、左视图、俯视图，然后进行判断.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：将数据按照由小到大的顺序排列为：3、4、5、5、6、7,

.•.中位数为(5+5)+2=5,众数为5.

故答案为：A.

【分析】将数据按照由小到大的顺序进行排列，求出中间两个数据的平均数即为中位数，找出出现次数最

多的数据即为众数.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修(x+1)千米，甲所用的时间为小乙

所用的时间为黑.

久+1

•.•乙最终用的时间比甲工程队少半个月，

.912_1

**xx+12-

故答案为：A.

【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修(x+1)千米，根据修的路程+速度=时间表示出

甲、乙所用的时间，结合题意就可列出方程.

6.【答案】D

8

【解析】【解答】解：由图象可得：A、B两城相距300km,乙车先出发，甲车先到达B城，故①正确，③

错误；

甲车的速度为300+3=100km/h,乙车的速度为300+5=60km/h,故②错误；

设甲车出发后xh,追上乙车,则100x=60(x+l),

解得x=1.5,

...甲车出发1.5h追上乙车.

♦.•甲车8：00出发，

二甲车在9：30追上乙车，故④正确.

故答案为：D.

【分析】由图象可得：A、B两城相距300km,乙车先出发，甲车先到达B城，据此判断①③；由图象

可得甲车3小时行驶了300km,乙车5h行驶了300km,利用路程;时间=速度求出甲、乙的速度，据此判断

②；设甲车出发后xh,追上乙车，根据甲车xh的路程=乙车(x+l)h的路程可得x的值，然后结合出发的时

间即可判断④.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：由作图可得：EF垂直平分BD,

.,.BO=DO.

•••四边形ABCD为平行四边形，

，AD=BC,AD〃BC,

/.ZEDO=ZFBO.

ZBOF=ZDOE,

.,.△BOF^ADOE(ASA),

.\BF=DE,OE=OF,

/.AD-DE=BC-BF,即AE=CF.

故答案为：D.

【分析】由作图可得：EF垂直平分BD,则BO=DO,根据平行四边形的性质可得AD=BC,AD〃BC,由

平行线的性质可得/EDO=/FBO,利用ASA证明△BOFgZ\DOE,得至BF=DE,OE=OF,据此判断.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：•••电流1(单位：A)与电阻R(单位：。)是反比例函数关系，

可设I哈

将(8,3)代入可得k=24,

.T24

令R=6,得1=4.

9

故答案为：B.

【分析】由题意可设1=/,将(8,3)代入求出k的值，得到对应的函数关系式，然后令R=6,求出I的

值即可.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：V(3a+b)(2a+2b)=6a2+8ab+2b2,

二需要C类纸片的张数为8.

故答案为：C.

【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(3a+b)(2a+2b)=6a2+8ab+2b2,据此可得需要C类纸片的张数.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：•.•抛物线图象开口向下，对称轴为直线x=-方2,与y轴的交点在正半轴，

a<0,b=-4a>0,c>0,

Aabc<0,故①正确；

•・,对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为(6,0),

・••与x轴的另一个交点为(-2,0),

・••当x=・l时，y>0,

/.a-b+c>0,故②正确；

由cx2+bx+a=0可得xi+x2=—,x1x2=7.

CC

方程ax2+bx+c=0的两个根分别为-2、6,

・b-1--1

若方程Cx2+bx+a=0的两根为X]JX2=-贝|JXl+X2=3=4，X1X2=^=事，故③错误；

z6c3ciz

若xiv2VX2且XI+X2>4,则P(xi,yi)到对称轴的距离小于Q(X2,yi)到对称轴的距离，

・・・yi>y2,故也)错误.

故答案为：B.

【分析】由图象可得：抛物线开口向下，对称轴为直线x=-a=2,与y轴的交点在正半轴，据此可得a、

b、c的符号，进而判断①；由对称性可得与x轴的另一个交点为(-2,0),则当x=-l时，y>0,据此判断

②；根据抛物线与x轴的交点可得方程ax2+bx+c=0的两个根分别为-2、6,则44,-12,对于cx2+bx+a=0,

由根与系数的关系可得Xl+X2=2-XlX2=^,据此判断③；根据距离对称轴越近的点对应的函数值越

大可判断④.

11.【答案】0

10

【解析】【解答】解：原式=44=0.

故答案为：0.

【分析】根据有理数的乘方法则以及乘法法则可得原式=4-4,然后由有理数的减法法则进行计算.

12.【答案】30°

【解析】【解答】解：•••OA_LBC,

.,.弧AC=MAB,

二ZADC=JZAOB=1x60°=30°.

故答案为：30°.

【分析】由垂径定理结合弦、弧的关系可得弧AC=弧AB,根据圆周角定理可得NADC=1/AOB,据此计

算.

13.【答案】2

【解析】【解答】解：•.•一元二次方程x2-3x+l=0有两个实数根XI,X2,

/.X|+X2=3JX1X2=1,

/.X1+X2-X1X2=3-1=2.

故答案为：2.

【分析】根据根与系数的关系可得Xl+X2=-@3,XIX2备1,然后代入计算即可.

aQ

14.【答案】5

【解析】【解答】解：过D作DEJ_AB于点E,

•・・BD平分NABC,ZC=90°,DE1AB,

・・・CD=DE.

VCD=DE,BD=BD,

ARtABCD^RtABED(HL),

・・・BC=BE=6.

VZC=90°,AC=8,BC=6,

AAB=10,

AAE=AB-BE=10-6=4.

设CD=DE=x,贝AD=8・x,

VAD2=DE2+AE2,

11

/.(8-x)2=x2+42,

解得x=3,

，AD=AC-CD=8-3=5.

故答案为：5.

【分析】过D作DE±AB于点E,由角平分线的性质可得CD=DE,利用HL证明RtABCD^RtABED,

得至l」BC=BE=6,由勾股定理可得AB=10,贝！jAE=AB-BE=4,设CD=DE=x,则AD=8-x,然后在Rt^ADE

中，由勾股定理可得x的值，进而可得AD的值.

15.【答案】10

【解析】【解答】解：•.1号开关被按了1次，2号开关被按了2次，3号开关被按了3次，4号开关被按了

3次，5号开关被按了2次，6号开关被按了4次，7号开关被按了2次，8号开关被按了4次，9号开关被

按了3次.....

，n号开关被按的次数等于n的约数的个数，

...约数个数是奇数，则n一定是平方数.

：100=102,

.*.100以内共有10个平方数，

•••最终状态为“亮”的灯共有10盏.

故答案为：10.

【分析】由题意可得：n号开关被按的次数等于n的约数的个数，则约数个数是奇数，n一定是平方数，

据此解答.

16.【答案】10；2V5

【解析】【解答】解：•••四边形ABCD为矩形，

.•.AB=CD=5,

SACDP=^-X5*4=10.

当点P和点M重合时，DP的值最大，

设AP=x,则PB=5-x,

由折叠可得AD=DN=4,ZA=ZDNC=90°,AP=PN=x.

VDN2+CN2=CD2,

.\42+CN2=52,

；.CN=3,

12

/.PC=3+x.

VPB2+BC2=PC2,

.\(5-x)2+42=(x+3)2,

解得x=2,

DP=yJAP2+AD2-722+42=2V5.

故答案为：10、2V5.

【分析】由矩形的性质可得AB=CD=5,然后根据三角形的面积公式可得SACDP,当点P和点M重合时，

DP的值最大，设AP=x,贝iJPB=5-x,由折叠可得AD=DN=4,ZA=ZDNC=90°,AP=PN=x,在RtZ\CDN

中，由勾股定理可得CN的值，然后表示出PC,再在RtAPBC中，由勾股定理求出x的值，接下来在RtAADP

中，由勾股定理就可求出DP的值.

17•【答案】解：^4^7=2

4%—2

一(%+2)(%—2)2

_2

=x+2'

当x=1时，原式=备=全

【解析】【分析】对第一个分式的分母利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式

进行化简，接下来将x=l代入进行计算.

18.【答案】(1)证明：'.,DEIiaC,CE||BD,

二四边形OCED是平行四边形，

又•.•矩形ABC。中，OC=OD,

•••平行四边形。CEO是菱形；

(2)解：矩形ABCD的面积为BC•DC=3X2=6,

△OCD的面积为"X6=/

二菱形OCED的面积为2x|=3.

【解析】【分析】(1)由题意可得四边形OCED为平行四边形，根据矩形的性质可得OC=OD,然后利用菱

形的判定定理进行证明；

(2)首先求出矩形ABCD的面积，然后求出4BCD的面积，结合点O为BD的中点可得aCOD的面积,

进而可得菱形OCED的面积.

19.【答案】(1)80；16；90°

(2)40

13

（3）解：由题意列树状图：

开始

男男女女

小小/T\/N

男女女男女女男男女男男女

由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种，

.••恰好抽到2名女生的概率为与=

1Zo

【解析】【解答】解：⑴40+50%=80,m=80-20-40-4=16,20-80x100%x360°=90°.

故答案为：80、16、90°.

（2）4-80x800=40.

故答案为：40.

【分析】（1）利用基本了解的人数除以所占的比例可得总人数，进而可求出m的值，利用非常了解的人数

除以总人数，然后乘以360。可得所占扇形圆心角的度数；

（2）利用不了解的人数除以总人数，然后乘以800即可；

（3）画出树状图，找出总情况数以及恰好抽到2名女生的情况数，然后利用概率公式进行计算.

20.【答案】（1）解：过点D作。E1BC,

由题意可得NDCE=30。，

・••在R3CDE中，OE=5CD=*xlO=5,

即点D到地面BC的距离为5米；

（2）解：如图，

由题意可得乙DCE=30°,乙4cB=60°,

・"AC0=9O。,

又,：MN||BE,

，乙MDC=za=30°,

：.^ADC=60°

•e•在RtAACD中，舞=tanZ-ADC=V3,即告=V3,

解得AC=10V3,

在RtAABC中，器=smZ-ACB=苧，即„=字，

14

解得AB=15,

答：该建筑物的高度为15米.

【解析】【分析】（1）过D作DELBC,由题意可得/DCE=30。，根据含30。角的直角三角形的性质就可求

出DE的值，即为点D到BC的距离；

（2）由题意可得NDCE=30。，NACB=60。，则NACD=90。，由平行线的性质可得NMDC=Na=30。，则

NADC=60。，利用三角函数的概念可得AC、AB的值，据此解答.

21.【答案】（1）证明：如图，连接OC,

•••点C是曲的中点，

•1•CE=CB,

:.Z-CAE=乙CAB,

•・・OA=OC,

:.乙CAB=乙4C。，

・♦・乙CAE=Z-ACO,

--AD||OC,

vAD1DC,

・••OC1DC,

•・•。。是。。的半径，

・・・DC是。。的切线；

（2）解：①如图，连接BE,

・・・^AEB=90°,

・••BE1AD,

vAD1DF,

15

.・.BE||DF,

:.Z-AFD=z.ABE9

1

vsin/.AFD=9，

.4cL力

：•sinZ-ABE=E—g1-,

vAE=2,

:.AB=6,

.・・。。的半径为3；

②由(1)可知，0C上DF,

sinZ-AFD=-Qp—可，

v0C=3,OF=OB+BF=3+BF,

3_1

**3+BF-T

:.BF=6,

・・.AF=AB+BF=6+6=12,

•・,AD1OF,

.“nADAD1

"sm"FD=而=谑=3

・•・AD=4,

・・・4E=2,

・・・DE=AD-4E=4-2=2.

【解析】【分析】(1)连接OC,由中点的概念以及圆周角定理可得/CAE=NCAB,由等腰三角形的性质可

得NCAB=/ACO,则/CAE=/ACO,推出AD〃OC,结合ADLDC可得OC_LDC,据此证明；

(2)①连接BE,由圆周角定理可得NAEB=90。，进而推出BE〃DF,由平行线的性质可得NAFD=NABE,

结合三角函数的概念可得AB的值，进而可得半径；

②由(1)可知OCLDF,结合三角函数的概念可得BF,然后求出AF,利用/AFD正弦函数的概念可得

AD的值，接下来根据DE=AD-AE进行计算.

22.【答案】(1)-2；60

(2)解：由题意当1S久<20E1寸，W=「“=(-2%+60)(X+10)=—2/+40%+600,

当20WXW30时，W=30q=30(%+10)=30%+300,

(3)解：由题意当lWx<20时，W=-2x2+40%+6002(x-10)2+800,

'：-2<0,

.,.当％=10时,W最大为800,

当204％W30时，W=30x4-300,

16

由30x+300>1000时，解得%>23}

又..女为整数，且30>0,

...当20〈％W30时，〃随％的增大而增大，

.•.第24至30天，销售额超过1000元，共7天.

【解析】【解答】解：⑴将x=5、p=50；x=10、p=40代入p=mx+n中可得邸二落

故答案为：-2、60.

【分析】(1)将x=5、p=50；x=10、p=40代入p=mx+n中可得关于m、n的方程组，求解可得tn、n的值;

(2)根据售价x销售量=销售额可得W与x的关系式；

(3)分13<20、20WXW30,根据W与x的关系式结合二次函数、一次函数的性质进行解答.

23.【答案】(1)等边；两点之间线段最短；120°；A

(2)解:将点C顺时针旋转60。得到△力'P'C,连接PP',

由(1)可知当B,P,P,A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A,B,

•.ZCP="CP',

：.^ACP+乙BCP=/.ACP4-乙BCP=Z.ACB=30°.

又'."PCP'=60°

：./.BCA=Z.ACP'+乙BCP+乙PCP'=90。，

由旋转性质可知：AC^AC=3,

"'•AB=VBC2+AC2=J42+32=5>

.*.P4+PB+PC最小值为5,

（3）2V13a

【解析】【解答］解：（1）VPC=P,C,/PCP'=60。，

.••△PCP，为等边三角形，

，PP，=PC,ZP,PC=ZPP,C=60°,

APA+PB+PC=PA-+PB+PP>A,B,故当B、P、P\A共线时，取得最小值AB,此时的P点为该三角形的“费

马点”，

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，ZBPC4-ZPTC=180°,NA'P'C+NPP'C=180°,

ZBPC=120°,NA'P'C=120°,

二ZAPC=ZAP'C=120°,

二ZAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120°,

ZAPC=ZBPC=ZAPB=120°.

VZBAC>120°,

ABOAC,BOAB,

,BC+AB>AC+AB,BC+AOAB+AC,

二三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小，

二该三角形的“费马点''为点A.

(3)由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a元/km,a元/km,夜a元/km,

总成本=a(PA+PB+&PC).

将AAPC绕点C顺时针旋转90。得到△APC,连接PP:AB则PC=PC,NPCP，=NACA，=90。，P7V=PA,

A'C=AC=4,

PP，=&C,

PA+PB+V2PC=P,A,+PB+PP,,故当B、P、P\A共线时，取得最小值，为A，B,

过£作AH_LBC,则NACH=30。，

A,H=^A,C=2,HC=H4c2—24H2=2\/5>

二BH=BC+CH=4V5,

•*-AB=JAH2+BH2=2,13,

.,.PA+PB+V2PC的最小值为2后，

.•.总的成本=a(PA+PB+&PC)=2ga(元).

故答案为：2ga.

【分析】(1)由旋转的性质可得PC=PC,/PCP，=60。，推出aPCP，为等边三角形，得到PP，=PC,结合P'A=PA

可得PA+PB+PC=PA，+PB+PP2AB根据两点之间，线段最短的性质可得当P、B、P，共线时，PA+PB+PC

取最小值AB,此时的P点为该三角形的“费马点”，有NAPC=NBPC=NAPB=120。；

(2)将AAPC绕点C顺时针旋转60。得到△APC,连接PP',由⑴可得PA+PB+PC的最小值为AB,

由旋转的性质可得AC=AC=3,ZACP=ZA,CP,,则NACP+NBCP=/ACB=30。，/BCA，=90。，然后利用

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勾股定理进行计算；

(3)由题意可得总成本=a(PA+PB+鱼PC),将AAPC绕点C顺时针旋转90。得到△APC,连接PP'、A，B,

则P，C=PC,NPCP'=NACA'=90°,P，A'=PA,A'C=AC=4,PPZ=V2PC,PA+PB+夜PC=P'A'+PB+PP',故当B、

P、P\A共线时，取得最小值，为AB,过A作AHLBC,则NA，CH=30。，易得AH、HC、BH、AB的

值，据此解答.

24.【答案】(1)解：•.•抛物线过点4(一1,0).8(2,0),

••・抛物线的表达式为y=a(x+l)(x-2),

将点C(0,2)代入上式，得2=-2a,

:.a=—1.

二抛物线的表达式为y=—(%+1)(%-2),即y=-x24-%4-2.

设直线BC的表达式为y=kx+tf

将点8(2,0)，C(0,2)代入上式，

得｛。受产

解得心•

・・・直线BC的表达式为y=-％+2.

(2)解：・・,点M在直线BC上，且P(m,n),

，点M的坐标为(TH,—771+2).

・・・OC=2,CM2=(m—0)2+(—m+2—