湖北高考真题2023-2023三年整合数学

2023年高考数学(湖北卷)

一、选择题:

1.设4=(l,-2),6=(-3,4),c=(3,2),那么(α+2b)∙C=

A.(-15,12)B.0C.-3D.-11

2.假设非空集合A,B,C满足AlJB=C,且B不是A的子集，那么

A."x∈C"是"x∈A"的充分条件但不是必要条件

B.’'x∈C"是"x∈A"的必要条件但不是充分条件

C.’'x∈C"是''χCA"的充要条件

D.’'x∈C"既不是''x∈A''的充分条件也不是"x∈A"的必要条件

3.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为“，那么球的体积为

8万8亚兀∖2π

A.—B.--------C.Sy∣2πD.——

333

函数,AX)=ɪl〃(JX2-3x+2+y∣-x2-3x+4)的定义域为

4.

X

A.(—∞,-4)U[2,+8]B.(-4,0)U(0,l)

C.[-4,0]U(0,1)D.[-4,0]U[0,1)

π

5.将函数y=3sin(χ-θ］的图象F按向量(彳，3)平移得到图象尸，假设F'的一条

TT

对称轴是直线X=—,那么N的一个可能取值是

4

551111

A.—πB.-------πC.—πD.——π

12121212

6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的

方案种数为

A.540B.300C.180D.150

7.假设f(x)=-'χ2+0In(X+2)在(T,+8)上是减函数，那么b的取值范围是

2

A.[-l,+8)B,(-1,+8)C.〔一8,-1]D.(—8,-1)

(I+∖m4-

8.m∈N*,a,b∈R,假设limʌ~x~<——a=〃,那么〃•。二

κ→0χ

A.—mB.mC.-1D.1

9.过点A(11,2)作圆/+,2+2%一4丁—164=0的弦，其中弦长为整数的共有

A.16条B.17条C.32条D.34条

10.如下图，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一

点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在

P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道∏绕月飞行，最终卫星在

P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道In绕月飞行，假设用2c∣和2C2

分别表示椭圆轨道I和∏的焦距，用2a∣和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长

轴的长，给出以下式子：

I

①a1+5=a2+c2;（2）aι-c∣=a2-C2；③5a2>a1C2;<—2-.

%a2

其中正确式子的序号是

A.①③B.②③C.①④D.②④

二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.

11.设Zl是复数，Z2=Z1-iZ,（其中Zl表示Zl的共粗复数），Z2的实部是一1,那么Z2的虚部

为.

12.在AABC中，三个角A,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,那么bccosA+cacosB+abcosC

的值为.

13.函数∕fx)=Λ2+2x+α,f(bx)-9x2—6x+2,⅛Φx∈R,a,b为常数，那么方程/(ax+S)=O的解集

为.

14.函数/0)=2',等差数列｛aχ｝的公差为2,假设f(ci2+<M+«6+«8+«1o)=4,Sβ⅞

log2[∕(a∣)∙^a2)∙χa3).........f(aιo)]=.

15.观察以下等式：

⅛22

1

-n3+-n2H---72,

i=l326

n尸1√+1√+1√,

Σ424

Z=I

W1

45+-n4-n3

Σ>=r+---1,

/=!30

11

O-65

=-+-+I-"

67-22/7

1212

nI

∑r—凡

/=1722642

〉:'=%一］〃'"2+Wa+ɪ+。2〃卜-+…+a1"+%,

Z=I

可以推测，当々22（k∈N*）时，％+1=」一,％=1，4T=__________

k+∖2

四-2二.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题总分值12分）

函数财=旧，g（x）=cosx・/（sinx）+sinx・f（cosx）”3詈］.

(I)将函数g(x)化简成Asin(3χ+0)+8(A>0,ω>0,√>∈[0,2Jt)〕的形式；

(II)求函数g(x)的值域.

17.1本小题总分值12分)

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上〃号的有力个("=1,2,3,4).现

从袋中任取一球.f表示所取球的标号.

(I)求f的分布列，期望和方差；

(II)假设1=ak-h,E〃=1,DZ=II,试求a,b的值.

18.(本小题总分值12分)

如图，在直三棱柱ABe—AIBlCl中,平面AIBC，侧面AIABBI.

(I)求证：AB±BC;

(H)假设直线AC与平面AiBC所成的角为0,二面角A1-BC-A

的大小为夕，试判断。与0的大小关系，并予以证明.

19.(本小题总分值13分)

如图，在以点O为圆心，IABl=4为直径的半圆ADB中，ODLAB,P是半圆弧上一点,

ZPOB=30o,曲线C是满足IlMAI-IMBIl为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(II)设过点D的直线/与曲线C相交于不同的两点E、E

假设AOEF的面积不少于2√2,求直线/斜率的取值范围.

20.(本小题总分值12分)

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据,

某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为

v⑺=J(T2+14-40)e7+50,0<z≤10,

4(z-10)(3r-41)+50,10<r≤12

(I)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i—l<t<i表示第i月份

(i=l,2,…,12),问一年内哪几个月份是枯水期？

(II)求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算).

21.(本小题总分值14分)

2

数列｛出｝和m｝满足：2尸入,出+1=§4+〃-4也=(一1)"(4-3〃+21),其中入为实数，n为

正整数.

(I)对任意实数入，证明数列｛的｝不是等比数列；

(II)试判断数列(仇｝是否为等比数列，并证明你的结论；

(III)设0<"V3,Sn为数列｛仇｝的前n项和。是否存在实数λ,使得对任意正整数n,

都有αVSnV〃假设存在，求人的取值范围；假设不存在，说明理由.

2023年普通高考（湖北卷）数学试题参考答案

一、选择题：.LC2.B3.B4.D5.A6.D7.C8.A9.C10.B

二、填空题：11.112.—13.014.-615.0

212

三、解答题：

/、/1-SinX./I-COSX

16.解：［I)g(x)=COSX•-~；—+smx∙----------

V1÷sinXV1+cosx

I-SinX.1-cosx

=COSX•-----------1-sin%•----------

IcosXIIsinxI

∙.∙，「•∣cosH=-CoSXjSinXl二一

/、1-sin%.I-CoSX

.∙.g［x)=cosX•---------+smx∙-----------

-COSX-sinx

=sinx+cosx-2

=>∕2sinɪ%+—1-2.

/TT、IJ,17兀5TTJTc5TU

(II)由TCVX≤----,得—VXH—≤—.

12443

Sinr在(空,空］上为减函数，在(亚,2］上为增函数,

I42JI23J

-→.5兀/.5兀.3TC..TT、.5TT,、r/，17兀、

又rSm—<sm—,Λsin一≤sm(zxd∙一)<sm—(当x∈π,----J,

34244V2J

即-1≤Sin(X+-)<-—,.-.-√2-2≤√2Sin(X+-)-2<-3,

424

故g(x)的值域为卜夜-2,—3).

17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及根本的运算能力.

解：（I）ξ的分布列为:

ξ0I234

~Γ~Γ3ɪ

P5而

Eξ=0x'+lx'+2x'+3χ3+4χL=1.5.

220IO205

Dξ=(0-1.5)2χL(l-1.5)2χ-!→(2-1.5)2χ-!→(3-L5)2X2+(4-L5)2χ,=2.75.

22010205

(∏)由外=。」。。，得∕χ2.75=ll,即α=±2.又Eη=αEξ,+A>,所以

当a=2时，由1=2X1.5+6,得b=~2∖

当”=一2时，由1=一2义1.5+6得44.

α=2,fα=-2,

\或1即为所求.

b=-2∖⅛=4

18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关

知识，同时考查空间想象能力和推理能力总分值12分）

（I）证明：如右图，过点A在平面A∕A8Bι内作

Aoj于，,那么由平面46UL侧面446A,且平面4BC侧面A∕B8ι=A∣B,

得

AD_L平面AiβC,又BCU平面AiBC,

所以ADVBC.

因为三棱柱ABC-ABG是直三棱柱,

那么底面ABC,

所以

又｛4'AO=A,从而BC_L侧面44圈,

又ABU侧面4∣ABBι,故AB_LBC

[II）解法1：连接CD,那么由（I）知NACD是直线AC与平面48C所成的角,

AABA1是二面角Ai—BC—A的平面角，即AACD=θ,NABA=R

AZ)AD

于是在RtZVLDC中，sin。=——，在RtZ∖AQB中，sinφ=——,

ACAB

TT

由A8VAC,得sinθ<sinφ,又OV。，φ<]∙,所以θ<φ,

解法2：由(I)知，以点B为坐标原点，以BC、BA.BBl所在的直线分别为X轴、y轴、

Z轴，建立如下图的空间直角坐标系，设AAl=a,AC=ZMB=G

那么B(0,0,0),A(0,c,0),C(J从一¢2,0,0),A(0,c,a),于是

BC=(√ZJ2-C2,0,0),BA=(0,c,a),

22

AC=(y∣b-c,-c,0),A4l=(0,0,«).

设平面A∖BC的一个法向量为〃=(%%Z),那么

Jz∙BA=OJcy+αz=0

[∕z∙BC=O,WO-cx=0

可取n=(0,-a,c),于是n∙AC=ac>0,AC与n的夹角β为

锐角，那么P与。互为余角.

n∙AC_ac

Sine=CoS/

∖n∖∙∖AC∖b>Ja2+c2

BAl∙BA

,,所以sinφ=.-------

阿卜网√7774arTc

于是由c<b,得一/<]•,

b>Ja2+c2y]a2+c2

TT

即sinθVsinφ,又0V0,φV-,所以ΘVφ,

19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的根底知识，考查轨迹方程的求法、

不等式的解法以及综合解题能力.(总分值13分)

(I)解法1：以。为原点，AB,。。所在直线分别为X轴、)，轴，建立平面直角坐标系,

那么A(—2,0),B(2,0),D(0,2),P(√3,1),依题意得

2222

∖MA\-∖MB∖I=I%I-IPBl=A∕(2+V3)+1--J(2-√3)+1=2√2<

IABI=4.

.∙.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设实半轴长为小虚半轴长为6,半焦距为C,

那么c=2,2a=2y[2,a1=2,b2=c1-a2=2.

22

.∙.曲线C的方程为匹一—二=L

22

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，那么依题意可得

∖∖MA\-∖MB∖∖=∖PA\-∖PB∖<∖AB\=4.

.∙.曲线C是以原点为中心，A、8为焦点的双曲线.

22

设双曲线的方程为[—4=1(。>0,⅛>0).

a^b^

(U)解法1：依题意，可设直线/的方程为y=H+2,代入双曲线C的方程并整理

得(1-K2)x2~4kx—6=0.①

Y直线/与双曲线C相交于不同的两点E、F,

「W0,「女≠±1,

LΔ=(-4Λ)2÷4×6(1-J12)>0,1-√3<⅛<√3.

.∙.z∈(—ʌ/ɜ1)U(—1,1)U(1,ʌ/ɜ).②

4Z6

设E(ɪɪ,Jl),Fa2,丁2)，那么由①式得Xl+X2=--------7,XlX)=----------,于是

∖-k∖-k

22

∖EF∖=λ∕(x1-X2)+(y1-y2)=J(1+Y)(X]—々)2

2-2

=JI+&2∙-J(x1+x2)4XIX2=Λ∕1+⅛•243J.

2

而原点O到直线/的距离d=

2√2√3-A:22√2√3-⅛2

.*.SADEF=—∙IEF∖=­∙r2..∙Jl+k2.

2112√1TF∣1-⅛2∣^MT

假设aOEF面积不小于2夜,即SAoEF≥2√2，那么有

2√IJ3-A22行0A-A-2≤0,解得-行≤Z4√I③

iI

综合②、③知，直线/的斜率的取值范围为［一四，-1JU(-1,1)U(I,√2).

解法2：依题意，可设直线/的方程为y=丘+2,代入双曲线C的方程并整理,

得(ɪ-K2)X2—4⅛χ-6=0.①

•；直线/与双曲线C相交于不同的两点E、F,

Γl-⅛2≠0,ʃk≠±l,

L-Δ=(-4^)2+4X6(1-Λ2)>0.L-√3<⅛<√3

∙,∙⅛∈(-ʌ/ɜ,—1)U(—1,1)U(1,ʌ/ɜ).②

设E(Xl,yι)∕(X2,2),那么由①式得

,.Γ----------ʒ--------√Δ2√2√3≡F

I制一&I=√U+X)-4XX=Γ~~=—r~-I—.③

l2I2ITlIlT-I

当E、尸在同一支上时(如图1所示)，

SAO£F=|SAODF-SAOD£|=-∣OD∣∙∣∣%1∣-∣%2∣∣=-∣OD∣∙∣X1-%2∣;

当E、尸在不同支上时(如图2所示).

SxOEF=SkODF+ΛODIOD

S-^∖∖∙(∣X1I+∣X2|)=ɪ|0£>|∙∣XI-X21.

综上得SAOEF=—∣OZ)∣∙∣Λ]—X2|»十是

2√2√3-⅛2

由IODl=2及③式，得SAOEF

Il-^2I

假设△(?£尸面积不小于2行,即SAOEF≥2后,则有

2甲3二F一N2θok*-H-2≤0,解得-叵≤k≤厄④

l-⅛2

综合②、④知，直线/的斜率的取值范围为［一痣，-i］u(-ɪ,1)U(1,√2).

20.本小题主要考查函数、导数和不等式等根本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知

识解决实际问题能力.(总分值12分)

ɪ

解：(I)①当0≤7≤10时，V(0=(-r2+314r-40)e4^+50<50,

化简得r2-14f+40>0,

解得rV4,或r>10,又0<r≤10,故Oer<4.

②当10<f≤12时，V⑺=4(Z-IO)(3r-41]+50<50,

化简得(LlO)(3/-41)<0,

41

解得10<f<—,又10<f≤12,故10<Z≤12.

3

综合得0<f<4,或10<r≤12,

故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月.

(H)由(I)知：V⑺的最大值只能在(4,10)内到达.

由^⑺=e4'(--t2+-t+4)=--e4'(t+2)(t-8),

424

令V'(f)=0,解得f=8(t=-2舍去).

当，变化时，V'⑺与丫⑺的变化情况如下表:

t(48)8________(_8,10)

V'⑺+________0________—

_________V(J)________/________极大值、__

由上表，丫⑺在/=8时取得最大值V(8)=8e2+50—108.32(亿立方米).

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等根底知识和分类讨论的思想，考

查综合分析问题的能力和推理认证能力，(总分值14分)

(I)证明：假设存在一个实数A,使｛斯｝是等比数列，那么有尺=0内,即

2444

(-Λ-3)2=2(—4—4)——下—44+9=—42o9=0,矛盾.

3999

所以(an｝不是等比数列.

2

(H)解：因为为+ι=(—1)"”[斯+1—3(〃+1)+21]=(—1)用(一斯一2"+14)

3

22

=--(-l)n∙(‰-3n+21)=--b,,

33

又加=一(λ+i8),所以

当λ=-i8,仇=0("∈N*),此时｛bn｝不是等比数列：

b2

当入≠-18时，¼=(λ+18)≠0,由上可知打#0,・・.*∙二一一("∈N*).

bn3

2

故当入≠-18时-，数列｛hrι｝是以一(入+18)为首项，一一为公比的等比数列.

3

(In)由(II)知，当人二一18时,为=0,S〃=0,不满足题目要求.

2

入≠—18,故知b∏=—(入+18)∙(——)n1,于是可得

3

S=--(λ18)∙1-(--)n.

n5+L3

要使a<Sn<b对任意正整数n成立，

32

即。<一一(入+18)•[1—(一一)"]<b(n∈N*)

53

得∙~^-―<--(Λ+18)<—h--("∈N*)①

l-(-∣)rt5l-(-j)rt

÷∕(n)=l-(-∣)%则

当n为正奇数时，1寸〃帽;当〃为正偶数时,|≤/(〃)<1,

••.加)的最大值为川)=I,九)的最小值为欧=I,

933

于是，由①式得一ɑ<—三(λ+i8)<-8=Tb—18<∕l<-34-18.

555

当α<⅛≤3α时，由-6—18≥=-3α-18知，不存在实数人满足题目要求；

当时，存在实数λ,使得对任意正整数〃，都有“<S,<6,且人的取值范围是

(-⅛-18,-3α-18).

2023年普通高考(湖北卷)数学(理工农医类)

一、选择题：

1、P={α∣α=(l,O)+m(O,l),meR},Q={bM=(l,l)+L(-l,l),"∈R}是两个向量集合,

那么尸IQ=

A.{(1,1)}B.{(-l,1)}C.{(1,0))D.{[0,1))

2.设a为非零实数，函数y=上竺(X∈氏且XH-工)的反函数是

l+αxa

1-OXn口1、C1+ΛX八口I

AA、y=-------(Zx∈R.HJC≠——)Bsy=-------(zXeR,ɪɪw——)x

l+αra∖-axa

C、y=1+.(x∈H,且XWI)D、y=~~~—(x∈Λ,JLx≠-1)

a(∖-x)。(1+幻

3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,那么复数(m÷ni)(n-mi)为实数的概率

为

4.函数y=cos(2x+2TT)—2的图象/按向量α平移到F,F的函数解析式为y=/(x),

6

当y=∕(x)为奇函数时，向量4可以等于

A(-y,-2)BT,2)C.(y,-2)DG⑵

6666

5.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两

名学生不能分到同一个班，那么不同分法的种数为

A18824C.30£>.36

6∙设哼+》产=4。+"+讶+…+*4+4户'那么

Iim[(%+〃)+%+…+—(4+4+05+…+〃)〃_])]=

“→□0

√2

A.-1B.OC.1D.—

2

2222

7.双曲线'-5=1的准线过椭圆?+/=1的焦点，那么直线y=自+2与椭圆至多

有一个交点的充要条件是

A.K∈-ɪ,ɪB.K∈(-8,-LIIJ,+oo)

22j12juL2J

rtzΓ√2√2lnɛ(√2l1lΓ√2)

C.K∈-------,——D.K∈-∞,--------——,÷∞

2212°2

LJ∖JL7

8.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和

8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货

车运输费用300元，可装洗衣机10台。假设每辆车至多只运一次，那么该厂所花的最少

运输费用为

A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元

9.设球的半径为时间£的函数R(∕)。假设球的体积以均匀速度C增长，那么球的外表积的

增长速度与球半径

A.成正比，比例系数为CB.成正比，比例系数为2C

C.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2C

10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比方：

他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;

类似的，称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数。以下数中既是三角形数又是正

方形数的是

A.289B.1024C.1225D.1378

二、填空题:

11.关于X的不等式竺二ɪvθ的解集是（-8,-l）l（-』,+8）.那么α=_________.

x+l2

12.样本容量为200的频率分布直方图如下图.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据

落在［6,10）内的频数为，数据落在［2,10）内的概率约为.

13.如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域,称为

这个卫星的覆盖区域.为了转播2023年北京奥运会,我国发射了“中星九号”播送电视直

播卫星，它离地球外表的距离约为36000km.地球半径约为640Okm,那么“中星九号"覆

盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为km.（结果中保存反余弦的符号）.

14.函数f（x）=∕,（∙^）cosx+sinx,那么/吁）的值为.

4L当α为偶数时，

15.数列｛风｝满足：«=m（m为正整数），α,,+l=2"假设4=1，

3an+1,当α,,为奇数时。

那么m所有可能的取值为。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题总分值10分）（注意：在试题卷上作答无效）

一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2,3,4,5；另一个盒子

也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3,4,5,6。现从一个盒子中任取一张

卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y,记随机变量

7=χ+y-求〃的分布列和数学期望。

17.（本小题总分值12分）（注意：在试题卷上作答无效）

向量a=（cosa,sina）,b=（cosβ,sinβ）,c=（-1,0）

（I）求向量b+c的长度的最大值:

TT

(∏)设。=—,且a_L(A+c),求cos，的值。

4

18.(本小题总分值12分)(注意：在试题卷上作答无效)

如图，四棱锥s—ABCD的底面是正方形，SDj_平面ABCD,SD=2a,AO=√Σα点E是

SD上的点，且DE=；Ia(O<4<2)

(1)求证：对任意的/IG(0,2],都有ACJ

[II)设二面角C-AE-D的大小为夕，直线BE与平面ABCD所成的角为°,假设

tan^gtanφ=∖,求/1的值

19、(本小题总分值13分)(注意：在试题卷上作答无效)

n

数列｛%｝的前n项和Sn=-α,,-φ^'+2(n为正整数)。

(I)令b"=2"a“,求证数列｛〃｝是等差数列，并求数列｛6,｝的通项公式；

j

(II)令q,=—%，τιl=c,+c2+........+%试比拟7；与上一的大小，并予以证

n2n+∖

明。

20、(本小题总分值14分)(注意：在试题卷上作答无效)

过抛物线ʃ2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于\1、N

两点，自M、N向直线/:x=—α作垂线，垂足分别为N-

(I)当α=K时，求证：AM.±ATV1；

211

(II)记AAMM、A4NN∣的面积分别为E、S2.Si,是否存在；I,

使得对任意的a〉0,都有S；=；IS|S2成立。假设存在，求出2的值；假设不存在，说明理

由。

21.(本小题总分值14分)(注意：在试题卷上作答无效)

在R上定义运算③：p<8>q=-g(p-c)(q-8)+4bc(b、C为实常数)。记

Z(z)=z2-2c,后(%)=力-力，力GR∙令/(%)=£(4)<§>£(%)•

(I)如果函数/(7)在％=ι处有极什-1•,试确定b、C的值；

(II)求曲线y=/(z)上斜率为C的切线与该曲线的公共点；

(Hl)记g(%)=∣∕(X)I(T≤X≤1)的最大值为M.假设M≥Z对任意的b、C恒成立,

试示Z的最大值。

2023年高考湖北理科数学卷解析

1.【答案】A【解析】因为“=(l,w)b=(l—〃,1+〃)代入选项可得PCQ={(1,1)}

2.【答案】D

3.【答案】C【解析】因为Q"+"i)("-机，)=2〃?〃+(〃2—，"2»为实数

n61

所以/=/故机=〃那么可以取1、2…6,共6种可能，所以尸=@c=W

4.【答案】B【解析】同文科7

5.【答案】C【解析】用间接法解答；四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C：,顺序有国种，而

甲乙被分在同一个班的有用种，所以种数是CX-国=30

6.【答案】B【解析】令X=O得%=(等)2"

√2

令X=I时+1)/=%+4+。2^l------^~a2n

7Σɔ

令X=_]时---1)~”=&()_&]+Cl2--------FCl2n

(4+l)2"+(*-1产

两式相加得：

⅜+α2+∙∙∙+α2,,=---------------------------

aa

两式相减得：∖+/+,•,+2n-∖

代入极限式可得，应选B

2

fl2

7.【答案】A【解析】易得准线方程是X=±丁=±%=±1

b2

22

Xy1

所以¢2="—廿=4—62=I即从=3所以方程是I+可=1

联立y=Ax+2可得3/+(41”+1610«¥+4=0由/5^0可解得A

8.【答案】B【解析】同文8

4

9.［答案］!)［解析］由题意可知球的体积为V(E)=-πR?Q),那么C=V。)=4兀N(f)R(f),

由此可得一一=4乃/?。)，而球的外表积为S(f)=4乃收⑴,

RSR⑺

所以曝=S'Q)=4乃A?。)=8乃R(f)R'(f)，

2c

即V表=8乃R(t)R(t)=2X4兀RQ)R(/)=R⑴=应选D

Rf)Ra)RQ)

10.【答案】C【解析】同文10

11.【答案】-2【解析】由不等式判断可得a#0且不等式等价于a(x+l)(x-L)<0

由解集特点可得α<0且L=-Lna=—2

a2

12.【答案】640.4【解析】同文15

O

13.【答案】1280Oarccos-

53

【解析】如下图，可得A0=42400,那么在

Q

RtΔABO中可得CoSNAOB=—

53

Q

所以/=d∙R=2ZAOBR=12800arccos-

53

TT

14.【答案】1【解析】因为f'(Λ)=-f'(—)∙sinΛ+cosX所以

4

f(-)=-f(-)∙sm-+cos-

4444

=≠>f勺)=夜-1故/(^)=/'(ɪ)CoS→sin∙^=>ʃ(ɪ)=1

15.【答案】4532【解析XI)假设4=加为偶数,那么多为偶，故生=£a3=-⅛-=^

ni/Hmm

①当一仍为偶数时，a=...........a=一故一=In根=32

448β63232

②当:■为奇数时，%=3%+1=；机+1。6

-〃2+1

故-----=1得In=4。

4

+1

12）假设4=加为奇数，那么％=3q+l=3m+l为偶数，故q=」5」必为偶数

3m+13m+1

a=--------，所以U=I可得m=5

61616

16.解析：依题意，可分别取〃=5、6、…•11取，那么有

Il23

P⑦=5)=——=-,p(η=6)=-,p(η='7)=-

4×4161616

4321

p(ŋ=8)=—,p(7=9)=—,X7=1。)=77,P(〃=1D=77

，77的分布列为

567891011

丁丁

P2432

记而丁记

123432I

Eη-5×----F6x----F7X-----b8x----1-9×I-IOx----blIx—=8.

16161616161616

17.解析：(1)解法1：I+c=(cos6—1,SinA),那么

16+CF=(COS£-1)2+sin2/?=2(1-cos/?).

∙.∙-l≤cos^<I,r.0gb+cF≤4,即0≤∣)+c∣≤2.

当cos4=-l时，有I5+cI=2,所以向量0+c的长度的最大值为2.

解法2：∖b∖=∖,∣c∣=l,∖b+c^b∖+∖c∖=2

当COS夕=-1时,有∣b+c∣=(-2,0),即∣Hc∣=2,

8+c的长度的最大值为2.

(2)解法1：由可得∕>+c=(cos尸一l,sinQ),

a∙(b+c)-cosacos/3+sinasinβ—cosa-cos(σ-β)-cosa。

al.(b+c),a∙(b+c)=0,即CoS(α-夕)=cos1。

tTC.TC八、TC-TC-TC.∖

由a=一,得rlCOsz(-----A)=CoS―,即αrlzj----=2kfπ±-{kr∈z)

44444o

■JT、

/.β=2kπ+-^β=2kπ,(k∈z),于是cos，=O或CoSβ=\。

解法2：假设a=",那么。=(¥，当)，又由。=(COS⑸Sin分)，c=(-l,O)得

√2√2√2√2

.∙.a•(。f+c)=(ɪ-,——)∙(cosβ-l,sinβ)=——cosB+——sinβ------

22222

a_L(b+c),.∙.a∙S+c)=O,即cos/3(cos/?-1)=O

/.sinβ=1-cosβ,平方后化简得COS尸(COS夕-I)=O

解得COS尸=。或CoS∕?=1,经检验，cos/?=O或CoS£=1即为所求

18.(I)证法1：如图1,连接BE、BD,由地面ABCD是正方形可得ACj_BD。

SDj_平面ABCD