2023年高考数学大题练习（新高考） 07 解三角形 含解析

专题7解三角形

一、解答题

1.(2022•全国•高考真题(理))记ABC的内角A8,C的对边分别为a,O,c,已知

SinCsin(A-B)=SinBsin(C-A).

222

⑴证明：2a=b+ci

25

(2)若a=5,cosA=臣，求一AeC的周长.

【答案】(1)见解析

⑵14

【解析】

【分析】

(1)利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证;

(2)根据(1)的结论结合余弦定理求出儿，从而可求得6+c,即可得解.

⑴证明：因为SinCSin(A-B)=SinBSin(C-A),

所以SinCSinACOSB-SinCsinBcosA=SinBSinCcosA—SinBSinACoSC,

b2+c2-a24+从“2

所以4c∙-2bc-=-ab∙

2ac2bc2ab

a2+c2-b2i2∖a2+b2-C2

b即π----------W2+c22-a2)=----------------,

2

所以2/=/+ci

(2)解：因为α=5,cosA=1,

ill(1)得=50,

由余弦定理可得/=b2+c2-2bccosA,

则50-岑bc=25,

所以历=3=1，

2

故(6+4=62+。2+2历=50+31=81,

所以"+c∙=9,

所以ABC的周长为4+2+c=14.

2.(2022•全国•高考真题)记；ABC的内角4B,C的对边分别为α,b,cf已知

cosA_sin23

1÷sinA1+cos2β

(1)若C=笄，求8；

（2）求J≠的最小值.

C

【答案】⑴j

O

(2)4√2-5∙

【解析】

【分析】（1）根据:倍角公式以及两角差的余弦公式可将等Ar=/吧之化成

1+sinA1+cos28

CoS（A+8）=SinB,再结合0<8<],即可求出;

2

（2）由（1）知，C-→B,A=g-28,再利用正弦定理以及二倍角公式将二"化成

22c2

2

"O"+,一5,然后利用基本不等式即可解出∙

cosΛsin282sinBcosBsinB

（1）因为,即

1+sinAl+cos2B2cos2BcosB

sinB-cosAcosB-SinAsinB-cos(A+6)=-cosC=-,

而0<83，所以83；

兀兀

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,所以万<C<兀,0<8<5,

而SinB=—COSC=Sin(C-W),

所以C=2TT+3,即有A=π2—23.

22

山/÷⅛2sin2A+sin2Bcos22B÷l-cos2B

csin~Ccos-B

(2cos2β-lV+l-cos2BC2LL

2

ɪʌ--------------4---------------=4COSB+―ʌ——5≥2λ^-5=4√2-5•

cosBcosB

当且仅当C(√B=乎时取等号，所以Tr岁的最小值为4√Σ-5∙

3.(2022•浙江•高考真题)在「ABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c.已知

3

4a=GGCOSC=-.

⑴求SinA的值；

(2)若b=ll,求，ABC的面积.

【答案】（1

(2)22.

【解析】

【分析】(1)先由平方关系求出SinC,再根据正弦定理即可解出；

(2)根据余弦定理的推论CoSC=巴2以及4α=√5c可解出。，即可由三角形面积公

Iab

式S=,HsinC求出面积.

2

24r-

(1)由于COSC=W，0<C<π,W∣JsinC=-.因为4Q=氐∙，

由正弦定理知4sinA=XSinC,则SinA=ɔ^-sinC=.

45

2.ʌ.16211a

⑵因为4α=√^c,山余弦定理，得「a2+b2-c2"+口I-Ma-11-y3,

cosC=--------------=----------------——=-------=—

2ah22a2a5

4

即/+6〃-55=0，解得々=5,而SinC=《，⅛=11,

1I4

所以ABC的面积S=-αbsinC=-χ5χllχ-=22.

225

4.(2022・北京•高考真题)在「ABC中，sin2C=gsinC∙

⑴求NC;

(2)若b=6,且一ABC的面积为6√L求ABC的周长.

【答案】(IE⑵6+6√5

O

【解析】

【分析】(1)利用：倍角的正弦公式化筒可得CoSC的值，结合角C的取值范围可求得角C的

值：

(2)利用三角形的面枳公式可求得。的值，由余弦定理可求得C的值，即可求得，43C的周

长.

⑴解：因为CE(O,4),则SinC>0,山已知可得百SinC=2sinCcosC,

可得COSC=立，因此，C=J.

26

(2)解：由三角形的面积公式可得SABC=gaθSinC=Ta=66,解得。=46.

由余弦定理可得/="2+∕-2McosC=48+36-2x4√5x6x券=12,：.c=20，

所以，45。的周长为“+/?+°=66+6.

5.(2022•全国•高考真题)记，ΛBC的内角4B,C的对边分别为°,b,c,分别以α,b,

C为边长的三个正三角形的面积依次为$，&，$3，已知S「邑+$=曰,sin8=g.

(1)求AfiC的面积；

(2)若SinASinC=也■,求b.

3

【答案】(1)电

*

【解析】

【分析】

(1)先表示出S∣,S2,S3,再由s∣-S"S3=*求得/+¢2-6=2,结合余弦定理及平方关

系求得αc,再由面积公式求解即可；

(2)由正弦定理得—4—=—竺—，即可求解.

sin^BsinAsinC

(1)由题意得当=亨。2§=¥〃,S3=#C2,则

BPa2+c2-b2=2,由余弦定理得COSB=巴上ʃ~,整理得QCCoSB=1,则CoS3>0,又

2ac

s•ιnπŋ=-1,

3

则cosB=JlJl]=巫，"C=-!—=逑，则SABC=LaCSinB=也；

Vlɜj3CoSB4的28

3√2

(2)由正弦定理得：ɪɪʌɪɪ,则名S=V■,一⅛=-=今=)，则

sinBsinΛsιnCsinBsinASinCsinAsmC√24

V

h3,3.nl

------=—,Z?=-sιnπ=-.

SinB222

6.(2022•全国•高考真题(文))记.ABC的内角4,B,C的对边分别为访b,c,已知

SinCSin(A-6)=SinBsin(C-A).

(1)若A=26,求C；

(2)证明：2a2=b2+c2

【答案】⑴浮

O

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据题意可得，SinC=Sin(C-A)1再结合三角形内角和定理即可解出；

(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得

sinC(SinAcosB-cosAsin8)=sinB(SinCcosA-cosCsinΛ),再根据正弦定理，余弦定理化

简即可证出.

(1)

由A=28,SinCSin(A-3)=SinBSin(C-A)可得,sinCsinB=sinBsin(C-A),而0<B<三,

所以sin8e(0,l),即有SinC=Sin(C-A)>0,而O<C<π,O<C-A<π,显然C≠C-A,

5兀

所以，C+C-A=π,而A=28,A+B+C=π,所以C=^-.

8

⑵

由SinCSin(A-8)=sinBSin(C-A)可得,

SinC(SinACOSB-COSASinB)=SinB(SinCCOSA-COSCSinA),再由正弦定理可得，

accosB-bccosA=becosA-abcosC,然后根据余弦定理可知，

ɪ(ɑ2+c2-feŋ-ɪ(/?2+c2-a2^=^h2+c2-a2'j-^a2+⅛2-c2),化简得：

2a2=b2+c2,故原等式成立.

7.(2022•上海•高考真题)如图，矩形ZBCD区域内，。处有一棵古树，为保护古树，以力

为圆心，D4为半径划定圆。作为保护区域，已知AB=30m,Ar)=I5m,点E为42上的

动点，点尸为C3上的动点，满足EF与圆。相切.

(1)若04。石=20",求EF的长；

(2)当点E在/8的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？

(长度精确到O∙lm,面积精确到Oom?)

【答案】(l)23.3m

(2)当AE=8.7时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为255.14

【解析】

【分析】

(1)设E厅与圆。相切于对点方，连接则JDH_L£F,DH=AD=15,在直角Z√ffiD

和直角中分别求出即,4E从而得出答案.

（2）先求出梯形AEFD的面积的最小值，从而得出梯形FEBC的面积的最大值.

(1)

设EF与圆。相切于对点H,连接QH,则。“LEF,DH=AD^∖5

则AE=四，所以直角一ADE与宜角"EE＞全等

所以ZADE=AHDE=20°

在直角"ED中，EH=DHtan20o=15tan20°

NHDF=90°-2ZADE=50°

在直角AFHD中，HF=ADtan50°=15tan50°

sin20°sin50o

EF=EH+HF=l5(tan20o+tan50o)=15H-----------

cos20°cos50o

sin20ocos50o+cos20osin50o×sin(20°÷50°)°

=15×ι5

cos200cos500cos20°cos50°

Sin70。15

=15×≈23.3

cos200cos500^cos50o

设ZADE=8///。尸=90。-26,则AE=I5tan6,

/7/=15tan(90°-2。)

,uC15

15tan^+---------

tan2θ

所以梯形AEFD的面积为S=SADE+SOEF=：(30tan6+15225C八1—tu∏^^θ

2tan0+-----------

tan202tan。

_225八皿A,1Y225ɔLz3v1_225√3

=-----3tanΘ4--------≥-------x2J3tanθ×--------=-----------

41tanJ4ytan62

当且当3tan。=—!∙κ,即tan。=立时取得等号，此时AE=I5tan6=15χ^=5GN8.7

tan6»33

即当tan。=立时，梯形AEFD的面积取得最小值空无

32

则此时梯形FEBC的面积有最大值15X30---^≈255.14

2

所以当A£=8.7时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为255.14

8.(2022・全国•模拟预测)在，/8C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,

且b(α-b+c)(sinA+sin3+sinC)=6S.

(1)求角8的大小；

(2)若α="i,c=b-2,求CoSA,COSC的值.

【答案】(1号

⑵L—

、)714

【解析】

【分析】

(1)由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;

(2)由余弦定理计算即可.

(1)

由S=-ahsinC,又b(α-b+C)(SinA+sin5+sinC)=3θ⅛sinC,

由b>0,则（〃—Z?+C）（SinA+sin8+sinC）=3αsinC.

山正弦定理得（。一）+C）（4+/2+C）=3QC,

所以/+c2-b2-ac,

->■>f2

由余弦定理得8SB=弋Lac_1

Iac2

JT

因为0v8v*所以8=9.

（2）

因为=QC,α="l,C=b-2»

所以e+if+（6—2）2_/=伍+1）0_2）,

解得Z?=7,所以，=8,。=5.

所以CoSA=万+C2-"=7、5、82=L

Ibc707

Ca1+b1-c282÷72-5211

cosC=---------=----------=—.

2ab11214

9.（2022♦全国•模拟预测）在ABC中，角AB,。的对边长分别为α,b,c,ABC的面积

为S,且----=a2cosB+abcosA.

tanB

(1)求角B的大小；

3

(2)若AB=2,BC=/,点。在边AC上，,求8。的长.

请在口A£>=OC；□NDBC=NDBA;□3。，AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横

线上，并完成解答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(I)B=∙∣

(2)答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】

(1)根据面积公式可得23OS5=OCOS5+⅛COSA,利用正弦定理以及和角关系可得CosB=；,

进而可求.(2)根据余弦定理可求出AC=坐，然后在△∙£>和在△£«C中分别用余弦定

2

理即可求.根据面积公式即可求解.

(1)

I.

4S,41×-tjesιnBn,

因为——=a1cosB+ahcosA,所以——^-=；---=tz2cosB+abcosA,

tanβSinB

COSB

所以2αccos3=Q2CosB+abcosA,即2ccosB=acosB+bcosA.

山正弦定理，得2sinCcosB=SinACoSjB+sin3cosA,

所以2sinCcosβ=Sin(A+8)=sinC.

因为C∈(0,7t),所以SinCW0,所以COSB=g.

又5∈(0,τr),所以B=1.

(2)

若选□.

法一：在，43C中，由余弦定理，得

AC2=AB2+BC2-2ABBC∙COSB=22+f口-2×2×-×cos-=—

所以AC=巫，所以AD=DC=4ɪ.

24

在z∖A8D中，由余弦定理，得+

1-J/［」

艮IJ4=BD2+---BDCOSZADB.

162

在ADBC中，由余弦定理，得BC2=BD2+DC2-2BD-DC-cosZCDB,

即2=必+上-如BDCoS/CDB.

4162

又ZADB+ZCDB=π,所以COSZAZM+cosZCDB=0.

Q13

所以4+==29+q,

所以BO=叵.

4

法二：因为AO=OC,所以。为Ae的中点，

所以3£>=；(BA+8C),

所以必=+BC2+2BA∙BC)

1(gaA37

=-4+ɪ+2×2×-cos60o=—.

4(42)16

所以BD卜与，即BO=亨.

若选.

/1ABC中，SABC=SABD+SCBD，

Iπ1Trl冗

即一3A∙3C∙sin-=—3A∙3O∙sin-+—30∙5C∙sin-,

232626

gpl×2×l×^=l×2×BD×i+i×BD×^-×i,

22222222

解得BD=限

若选.在JABC中，山余弦定理，得AC2=AB2+BC2—2A3∙BC∙COSB

=22+f--2×2×-XCOS-=—,所以Ac=^ɪ.

32342

因为SA"c=Jm∙BC∙sin8=乎，又SAg.=义8。MC=手80，

所以芈BD=季，解得BO=白画.

4413

10.(2022•全国•模拟预测)在ASC中，角48,C的对边分别为a,b,c,tanθ=8sC2°s八

SinC

a<b.

⑴求角9

⑵若α=3,6=7,。为ZC边的中点，求438的面积.

【答案】（1）8=不

z9λ15√3

⑵丁

【解析】

【分析】（1）根据同角三角函数的关系，结合两角和差的正余弦公式化简即可

（2）由余弦定理可得c=5,再根据ABCQ的面积为,ABC面积的一半，结合三角形的面积

公式求解即可

COSC—2cosA

（1）由tanB=—:-------:—,有tan5sinC=COSC-2cosA,两边同乘CoSB得

sinC

sinBsinC=cosBcosC-2cosAcosB,⅛⅛cos（B÷C）=2cosAcosB,g∣J-cosA=2cosAcosB.

因为α<Z?,所以Z为锐角，∞sA≠O,所以CoSJB=-g.

又因为Bw（0,乃），所以B=,.

⑵在&ABC中，由余弦定理COSB=a?+」―/即9+。2—49=_1,故C2+3C_40=0,

Iac26c2

解得c=5或c=-8舍）.

*⅛cc11a<.2;T156

"乂SABeO=SAABC=]X∕x3x5XSInʒ-=-^―•

11.（2022•福建•三明一中模拟预测）已知43C的内角1,B,C所对的边分别为α,b,c,

且c=2。-2αcosC.

⑴求角小

⑵若〃为BC的中点，AM=也,求，ΛBC面积的最大值.

【答案】（DA=永2）6

【解析】

【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；

解法二：利用余弦定理将CoSC用边表示再化简即可；

（2）解法一：根据基底向量的方法得AM=g（AB+AC）,两边平方化简后可得

b1+c2=n-bc,再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；

解法二：^BM=MC=m,再分别在,ABM,ZVlQW和，ABC中用余弦定理，结合

CoSZAA仍+cosZAiWC=OUJ得〃+/=12-〃c,再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即

可

（1）

解法一：因为。=2。-20cosC,

由正弦定理得：sinC=2sinB-2sinAcosC,

所以SinC=2sin(A÷C)-2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC-2sinAcosC=2cosAsinC,

因为SinC≠0,

所以2cosA=LcosA=',

2

为OVAvπ,

所以A=1.

解法二：因为c=2b-%cos。，

由余弦定理得：c=26-2α∙"一+"v,

2ab

整理得be—b2+c2—a2，

即a2=b2+c2-be

又山余弦定理得=/+/-2⅛ccosA

所以2cosA=l,cosA=g,

因为0<Avπ,

所以A=g.

(2)

解法一：因为M为BC的中点，

所以AM=I(AB+AC),

2

-21/22\

所以AM=W(A8+2AB∙AC+AC),

即3=；卜+b2+26c∙cosg),

即b2+c2=∖2-bc,

而。2+¢2N2bc，

所以12—6c≥2⅛c即6c≤4,当且仅当b=c=2时等号成立

所以ABC的面积为SiMC=IASinA≤∙^×4×乎≤ʌ/ɜ.

即AABC的面积的最大值为G.

解法二：设BM=MC=m,

在中，由余弦定理得C?=3+∕√-2xGXCOSNAMB,

在∆AGW中，由余弦定理得b2=3+,√-2×√3×cosZAMC,

因为NAΛ∕8+NAMC=π,所以8sN∕VWB+cosNAMC=O

所以□+□式得/+C2=6+2/∙

在/ABCΦ,由余弦定理得4>=b2+c2-2χbcCOSA，

而A='所以4/=⅛2+c2-be>

联立得：262+2C2-12=62+C2-⅛C,BP⅛2÷C2=12-⅛C,

IfQfe2+c2≥2⅛c,

所以12-bc≥2⅛∙,即6c≤4,当且仅当匕=c=2时等号成立.

所以ABC的面积为S5c=-bcs∖nA<-×4×≤百'即ABC的面积的最大值为6-

△A6C222

12.(2022•北京市第十二中学三模)ABC的内角A、B、C的对边分别为4、b、J已

知αcosB=GbSinA.

(1)求角8的大小；

(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC的面积.

2

条件：：。=3；条件：h=2∖∣2;条件U：cosC=—-；条件：C=2.

【答案】(I)B=J

O

(2)答案不唯一，见解析

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化简可得出tan3的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；

(2)选，利用余弦定理可判断.ABC不唯一；

选或或，利用三角形的内角和定理可判断一AfiC唯一，利用正弦定理结合三角形

的面积可判断a45C的面积；

选，直接判断，MC唯一，再利用三角形的面积公式可求得,ABC的面积；

选，利用余弦定理可判断&A3C唯一，再利用三角形的面积公式可求得,ABC的面积.

(I)W-:由GCoSB=SinA及止弦定理可得SinAcosB=GSinAsinB，

A、BW(O㈤,则SinA>0,CoSB=GSin8>0,.∙.tanB=—»故8=

36

⑵解:若选，由余弦定理可得/=余+c2-2nc8s5,BPC2-3√3C+1=O,

解得C=拽主叵，此时，ΛSC不唯一；

2

2(G1ʌ

若选，已知α=3,8=2，cosC=——∈——,

63122,

且Ce((U),则Ce咛葛)，所以，B+则ABC唯一,

sinC=JI-COS2C

由正弦定理嘉-W=嘿=*h

=%sinC43x金U=

所以,45√3+18√5.

2211322

13

若选，己知。=3,B=]πc=2,此时.A5C唯一，S=-^csinB=-；

6abc22

若选，己知〃=2a,B=T,cosC=--∈--—,

oJlZZ

2π5π,所以，B+C∈f—,Æj,贝∣J,ABC唯一,

且C∈(0,ι),则C∈

~,~6

.6π0.nVL5-2

sinC=ʌ/l-cos2C=~~~，SinA=Sin(C+3)=sinCcos—+cosCsm-=----------

666

b可得C=处£=迹

由正弦定理

sinBsinCsinB3

而I、JcI∙A20√3-8√5

所以，‰c=-bes∖nA=---------------

若选，已知6=2a,B=£,c=2,

6

由余弦定理可^b2=cr+c2-2αccosB,可得/一2。-4=0,

4>0,解得α=G+S,此时，ASC唯一，SAA二=LCSinJB="

4Δ∕1DV22

2(Ji1

若选，己知3=乡，c=2,cosC=——∈--—

且C∈(0,τ),则。所以，B+Ce则:ABC唯一,

sinC=Vl-Cos2C=~~~，sinA=sin(C+B)=sinCcosɪ+cosCsinɪ=ʌʌɪ

r½τn*'mbc-zcsinBɜʌ/ʒC1..ʒʌ/ɜ-2Λ∕5

由止弦定理一ʒ;=——;可r得ab=--------=,S=-⅛fcsmA=-------—.

smBsinCsinC5δΛAλBscC210

13.(2022∙内蒙古♦海拉尔第二中学模拟预测(文))在一ABC中，角4,B,C的对边分别为

a,b,c,且SinCCOSS=(―^-∞sC)siny.

Tr

(1)当B=-,求sinC+SinA的值

(2)求B的最大值.

【答案】⑴SinC+sin∕=l⑵7

【解析】

【分析】（1）代入B=],解得走sinC+LcosC=正，对sinC+SinA变形得到

3223

sinC+sinA=√3ɪ-sinC+ɪcosC=1,求出答案；(2)对题干条件两边同乘以2cos0,

222

变形得到SinC+SinA=毡Sin8,利用正弦定理得至∣Jα+c=捶方，利用余弦定理和基本不

33

等式求出8的最大值.

（1）

Ill题意得：sinCcosɪ=（~~~一cosC）Sinɪ,

即SinC+'cosC=^^,

223

则sinC÷sinA=sinC+sin[c+mJ=∙∣sinC+-ɪeosC=ʌ/ɜ-ɪsinC+ɪeosC=1

(2)sinCcos—=(r~——COSC)sin—,两边同乘以2cos与得：

2322

2sinCcos2y=(~~~~cosO,s^n~cos~，5PsinC(1÷cosB)=(~~~~cosQ,sɪ0，整理得:

sinC+sinA=^ɪsinB,

3

由正弦定理得：a+c=巫b,

3

由余弦定理得：cos3，—小七加上_1，

2ac2ac6ac

因为αc≤（"+c）2=」〃,当且仅当α=c时等号成立，

43

此时COSB=\—-1≥-∣,山于8«0,兀），而V=Cosx在（0,兀）上单调递减,

故8的最大值为胃2兀

14.（2022∙广东•大埔县虎山中学模拟预测）在口ABC中，角4、B、C的对边分别为。、b、

c,Sbah=a1+b2-C2.

⑴求角C；

C/o

(2)若匚ABC的面积S=吐，且c=√ΣF,求ABC的周长.

4

【答案M呜

(2)6+√21

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理求得CoSC的值，进而求得角C的值；

(2)依据题给条件得到关于a,b的方程组，求得α+b的值，进而求得ABC的周长.

⑴因为必=/+6一。2,由余弦定理，得到cosC="-+"--广

2ah2

TT

又0<C<π,所以C=§；

(2)因为:ABC的面积S=迪，且c=®,C=I

4ɔ

所以有S=-absinC=^~ab=^^~,ab=a2+b2-2∖

244

联立=26'贝U&+人=y∣(a+b)2=∖∕a2+h2+2ab=6,

所以ABC的周长为“+%+c,=6+J5T

15.(2022∙四川•宜宾市叙州区第一中学校模拟预测(理))已知ABC的内角/,B,C所对

的边分别为α,b,c,tanβ+tanC-ʌ/ɜtanBtanC+ʌ/ɜ=O.

(1)求角力的大小；

⑵若BD=2DC,AZ)=2,且/。平分NBAC,求ABC的面积.

【答案】(I)A=60。(2)地

2

【解析】

【分析】

(1)由两角和的正切公式化简后求解

(2)由/。是角平分线得到C=»，再利用面积公式求解

(1)

tan8+lanC-GtanBtanC+G=O=tan(B+Q=⑦"'+tanC_一G,

1-tanBtanC

故tanA=G,则A=60°；

(2)设BC边的高为h,

所以s∙M=gA8xAOsinN8Ar>=gBOx∕7,Sabc=^AC×ADsinZDAC=^CDxh

又AD是角平分线，所以/84。=NZMC

的”ABBD

所以就=庆即c=2⅛,

又SABC=SABD+SA8,则;6csin60°=g∙c∙2sin30°+g•6-2sin30°,

0

解得b=G,c=2√3,SΛ.ΛΓɪɪfesinðθ=-.

ZΔΛDL-22

16.（2022•全国•模拟预测）在《ABC中，角4B,C所对的边分别是mb,c,α=3,b=2,

sinA=m.

(1)若ABC唯一确定，求机的值；

⑵设/是,ABC的内切圆圆心，，•是/3C内切圆半径，证明：当c=2r+l时，IC=IA-IB.

【答案】⑴1

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)若0<帆<1，根据SinA=帆，h<a,可知4可以为锐角,也可以为钝角，^ABC

有两种情况，若，〃=1,则三角形为直角三角形，ΛBC有唯一解.

(2)山c=2r+l可推导出.ABC为直角三角形，故可计算出/。风小的值，即得证.

⑴设/8边上的高为£,则九.=。SinA=2〃?>().

当加Hl时，由勾股定理，若/为锐角，则C=亚丁+&孑；若/为钝角，则

C=J9-修-也-照,所以aABC存在两种情况，不能被唯一确定.

当机=1时，ABC为直角三角形，其中/为直角顶点，C=J=-V=石可以唯一确定,即

ABC唯一确定，故加的值为1.

(2)

+〃一623—尸一尸

当c=2r+l时，由余弦定理，COSC=°C=--',故由同角三角函数的关系可得

Iab3

sinC=71-cos2C

所以ABC的面积S=∙∣ɑbsinC=J(6-r-6)(r+∕∙2).

另一方面，S=g(α+6+c)r=(3+r)r,所以有1(6-产-产)卜+=(3+八",两边平方可

得一(r-2)(l+r)=(3+r)r,解得「=与i(负值舍去)，c=2r+l=√5,所以.ΛBC是以4

为直角顶点的直角三角形.因此有

叫铝［+［2-与［=9-36，==

次=(与［+［与］=3-石,乂=7^=中；

所以有∕C=∕A∙∕B成立.

17.(2022∙上海市光明中学模拟预测)已知在三角形.ABe中，α=2⅛,三角形的面积S=12.

⑴若b=4,求tan(A+3);

3

(2)若SinC=-,求sinA,SinB.

【答案】(I)-=S'或=不

77

(2)SmA=也，SinB=在或SinA=还叵，sin8=应

55205205

【解析】

【分析】

3

(1)根据面积公式及8=4,得到SinC=7，分C为锐角和C为钝角时，求出COSC,进而

求出tanC,求出Jan(A+3)；(2)由面积公式求出b=2百,4=4不，分C为锐角和C为钝

角，由余弦定理和正弦定理求出答案.

(1)

11ʌ3

S=—absinC=—•2厅sinC=16sinC=12=>sinC=-

224

而tan(Λ+B)=tan(π-C)=-tanC=-SinC

cosC

分情况讨论，当。为锐角时，cosC>O=>cosC=ʌ/l-sin2C=—,

tan(A+B)=——不

7

当C为钝角时，cosC<0=>cosC=-Jl-Sin2C=,

4

Ian(A+8)=3√7

7

(2)

113

S=-absinC=-2b72sinC=-⅛92=12,

225

因为。>0,所以Z?=2石nα=4√L

分情况讨论，当。为锐角时，cosC>0cosC=√1-sin2C=|

由余弦定理，c=a2+b1—2abcosC=36=>c=6

由正弦定理，一^=‘一=」一=>25=冬5=1OnSinA=々5,SinB=好

sinAsinBsinCsinAsinB55

当C为钝角时，cosC<0=>cosC=-∖∕l-sin2C二一1，

由余弦定理，c=a1+b1-2ahcosC=164=>c=2>/41

由正弦定理，4=q='n逆=辿普"TnsinA=应，SinB=应

sinAsinBsinCsin4sin83205205

18.(2022•辽宁•渤海大学附属高级中学模拟预测)ABC的内角A、B、C所对边的长分别

为a、b>c,已知百”=百0858+从山。.

⑴求C的大小；

⑵若ABC为锐角三角形且C=G,求"+6的取值范围.

【答案】(I)C=(

(2)(5,6]

【解析】

【分析】

(I)利用正弦定理边化角，再分析求解即可；

(2)a2+⅛2=4sin2A+4sin2^A+yj,再利用三角函数求值域即可.

(1)

由√‰=6ccosB+bsinC及正弦定理可得

sinBsinC+ʌ/ɜcosBsinC=ʌ/ɜsinA=ʌ/ɜsin(B+C)=ʌ/ɜsinBcosC+ʌ/ɜcosBsinC,

所以SinBSinC=GSinBCoSC,

因为8、C∈(0,∕r),则sin3>0,√3cosC=sinC>0,则tanC=G,故C=∙∣.

(2)

a_b_c_ʌ/ɜ_ɔ

依题意，一ABC为锐角三角形且c=√L由正弦定理得而X"而i=寂=近二，

T

所以α=2sinA,⅛=2sinB=2sin(A+C)=2sinA+yL

,、1_cos2AH------

2222

所以a+Z7=4sinA+4sinfA+-‰4×1一0°，2"+4×-------L---------U

I3J22

/2\(1∕ξʌ

=2-2cos2A+2-2cos2A÷-=4-2cos2A-2——cos2A-----sin2Λ

I3)122J

=4-2cos2A÷cos2A+Gsin2A=Gsin2A-cos24+4=2sin(24一看J+4,

0<A<ɪ

由于4+8="，所以G2，解得g<A<g,

32π.π62

0<------A<—

32

所以g<2Av%,f<2A-ɪ<^,所以Sin襄A・g?露，可，

36666?2J

所以2sin(2A-*)e(l,2],所以2sin(2A-^+4e(5,6].

所以/+从的取值范围是(5,6].

19.(2022•辽宁实验中学模拟预测)⅛□