2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下图中不是中心对称图形的是（）

A-3b@。ad@

2.方程3/-8x-10=0的二次项系数和一次项系数分别为（）

A.3和8B.3和—8C.3和—10D.3和10

3.抛物线y=-向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为（）

1111

A.y=一,（%+1）2B.y=--（%—I）2C.y=--x2+1D.y=—

4.已知点4（—1,%），B（2,y2）,。（3,乃）在反比例函数y=-g（k是常数）的图象上，则下列关系正确的是

()

为<%为<

A.当<y2Vy3B.y2<yi<y3C.%<D.%<y2

5.如图，在。。中，相等的弦力8、AC互相垂直，。£114。于已OD1AB于。，则四边

形。胡。为（）

A.正方形

B.菱形

C.矩形

D.平行四边形

6.已知点4（a,l）与点B（5,6）关于原点对称，则a、b的值分别是（）

A.a=1,—5B.a=5,b=1

C.a=-5,b=1D.a=-5,b=-1

7.RtAABC^P,ZC=90°,AC=3BC=4,以点C为圆心，r为半径作OC,则正确的是（）

A.当r=2时，直线力B与OC相交B.当r=3时，直线A8与OC相离

C.当r=2.4时，直线AB与OC相切D.当r=4时，直线48与OC相切

8.用配方法解方程式2+6久-4=0,下列变形正确的是()

A.(x+3)2=5B.Q+3)2=13C.(x-3)2=-13D.(x+3)2=-5

9.如图，在口48CD中，E是4B延长线上的一点，DE交BC于F,则下列等式不成立的是（）

c

生="

BAB=DFBF=BEDC^DE

■BEBF-BEEF'ADAE'AEDF

10.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的图象，则下列结

论：①abc〉0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为(4,0)；④a+

c>b,其中正确的结论有()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.已知函数y=—2(%+1)2+2,当%〉时，y随x的增大而减小.

12.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总

数是91.设每个支干长出x个小分支，根据题意列方程为

13.如图，圆锥形的烟囱冒的底面直径是80czn,母线长是50czn,制作一个这样的烟囱

冒至少需要cmZ的铁皮.

14.如图，在△ABC中，M是4C边中点，E是4B上一点，且力E=连结EM并延长,

4

交BC的延长线于。，此时BC：CD为I.

15.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8爪，宽是2m,抛物线的最高点到路面的距离

为6m,该抛物线的函数表达式为.

16.如图，在Rt△力BC中，AACB=90°,AC=1,BC=2,。是边力B上一

点.连接CD,将A4CD沿直线CD折叠，点4落在E处，当点E在△ABC的内部（不

含边界）时，AD长度的取值范围是.

三、计算题：本大题共1小题，共7分。

17.如图，在平行四边形力BCD中，过点4作AE1BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且N4FE=

乙B.

(1)求证：AADFfDEC；

(2)若力B=8,AD=AF=求4E的长.

四、解答题：本题共8小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.（本小题6分）

若关于久的一元二次方程/+6刀-3=0有一个根是尤=1,求6的值及方程的另一个根.

19.（本小题6分）

如图，将绕点C逆时针旋转90。得到△DEC,点E落在48上，若BC=2口，DE=7,求4E的长.

B

C

D

20.(本小题6分)

如图，要设计一幅宽20cm、长30on的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2,如果

要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)？

21.(本小题7分)

有这样一个问题：探究函数丫=占的图象与性质，并解决问题：小聪根据学习函数的经验，对问题进行

\x川

了探究.下面是小聪的探究过程，请补充完整：

函数=目的自变量％的取值范围是；

(1)y\x川7

(2)取几组y与比的对应值，填写在下表中，其中小的值为；

1135

X-2-1034

~2222

33

y12366m1

22

(3)如图，根据(2)中表里各组对应值(久,y),在平面直角坐标系中描出了各点，画出了部分图象，请你把图

象补充完整；

(4)获得性质，解决问题:

①通过观察、分析、证明，可知函数丫=高的图象是轴对称图形，它的对称轴是;

I%一川

②若点MQ1，为）、N（X2，V2）在函数y=­H的图象上，且1<叼</，则为_____%（填“<”或“>"）•

lx川

22.（本小题8分）

如图，在AABC中，AB=AC,以ZB为直径的。。分别交BC、4C于。、E两点，过点。作DF1AC,垂足

为

点工

（1）求证：DF是。。的切线；

（2）若翁1=DE<DF=2,求助的长.

23.（本小题10分）

网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售

板栗.为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者.已知该

板栗的成本价格为6元/kg,每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y=-100%+5000,经销售

发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/的.当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1

元.设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）.

（1）请求出日获利勿与销售单价%之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？

24.（本小题10分）

如图①，在正方形力BCD中，AB=6,M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM,过点M作

MN1CM,交线段AB于点N.

（1）求证：MN=MC；

（2）若。M：DB=2：5,求证：AN=4BN；

（3）如图②，连接NC交于点G.若BG：MG=3：5,求NG•CG的值.

DD

ANB

图①

25.(本小题12分)

如图，直线丫=久+2与抛物线丫=32+板+6相交于2弓,|)和8(4,机)，直线力B交工轴于点E,点P是线段

上异于4、B的动点，过点P作轴于点0,交抛物线于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连结AC、BC,是否存在一点P,使△4BC的面积等于14?若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，

请说明理由.

(3)若AP4C与APDE相似，求点P的坐标.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4是中心对称图形，故此选项不合题意；

8、是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、是中心对称图形，故此选项不合题意；

D,不是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心

对称图形可得答案.

此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义.

2.【答案】B

【解析】解：3/—8%-10=0的二次项系数和一次项系数分别为3,-8,

故选：B.

一元二次方程口久2+法+。=0(£1,61是常数且。力0)的口、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数

项.

本题考查了一元二次方程的一般形式：a/+bx+c=0(a,b,c是常数且a丰0)特别要注意a*0的条

件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中a/叫二次项，人叫一次项，c是常数项.其中

a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

3.【答案】A

【解析】解：抛物线y=-3/向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为：y=-j(x+i)2.

故选：A.

直接根据“左加右减”的法则进行解答即可.

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：一网＜0,

此函数图象在二、四象限，且在每一象限内，y随工的增大而增大，

•••点力(一1,%)，B(2,%)，C(3,%)在反比例函数y=—g(k是常数)的图象上，

.・•点4(—1/1)在第二象限，月〉0,B(2,y2),。(3,乃)在第四象限，。＜光＜为，

y2<y3<%，

故选：c.

首先判断-冏<0,可得在每一象限内，y随X的增大而增大，再根据点所在的象限判断函数值的大小.

本题考查了反比例函数的增减性，比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.

5.【答案】4

【解析】【分析】

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了正方形的判定.

先根据垂径定理，由。。14B,0E14C得至以。=/AB,AE=^AC,且乙4D。=乙4E。=90。，加上

/.DAE=90°,则可判断四边形4D0E是矩形，由于4B=4C,所以4于是可判断四边形4D0E是

正方形.

【解答】

证明：vODLAB^D,OEVAC^E,

■■■AD=1AB,AE=^AC,^ADO=^AEO=90°,

AB1AC,

・•・^DAE=90°,

・•・四边形4DOE是矩形，

•・•AB=ACf

AD=AE,

四边形4D0E是正方形；

故选：A.

6.【答案】D

【解析】解：由题意，得

a=—5,b=—1,

故选：D.

关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于久轴对称的点，

横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的

点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

7.【答案】C

D

【解析】

-------

解：过C作CD1AB于。，

在RtAACB中，由勾股定理得：?15=V32+42=5.

由三角形面积公式得：|x3x4=1x5xCD,

CD=2.4,

即C到AB的距离等于。C的半径长，

.■.OC和AB的位置关系是相切，

故选：C.

过C作CD128于D,根据勾股定理求出48,根据三角形面积公式求出CD,和OC的半径比较即可.

本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键.

将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半的平方可得.

【解答】

解：x2+6x=4,

.•./+6x+9=4+9,即（x+3）2=13,

故选：B.

9.【答案】D

【解析】解：•••四边形48CD是平行四边形，

AD//BC,AB=CD,CD//AB,

■：CD11AB,

CD//BE,

CFD~XBFE,

..考=黑=黑，故选项A正确，不符合题意；

BEBFEF

•・•AB=CD,

:.绘=器,故选项B正确，不符合题意；

•••AD//BC,

BFE~公ADE,

；.察=第,故选项C正确，不符合题意；

ADAE

•••四边形4BCD是平行四边形，

CD//AB,Z-A=",

・•・乙CDF=Z.AED,

，△CDF〜二AEDy

..考=黑不能故选项。不正确，符合题意.

AEDEDF

故选：D.

根据平行四边形的性质得到AD〃BC,AB=CD,根据相似三角形的性质即可得到结论.

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：•••抛物线开口向上，

a>0,

•••抛物线的对称轴为直线x=-；=1，

•*-b=-2a<0,所以②正确；

•••抛物线与y轴的交点在%轴下方，

•••c<0,

abc>0,所以①正确；

•・•点(一2,0)关于直线1=1的对称点的坐标为(4,0),

・•・抛物线与％轴的另一个交点坐标为(4,0),所以③正确；

x=-1时，y<0,

即a—b+c<0,

・•・a+c<b,所以④错误.

故选：C.

利用抛物线开口方向得到。>0,利用抛物线的对称轴方程得到b=-2aV0,则可对②进行判断；利用抛

物线与y轴的交点位置得到cV0,则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对③进行判断；利用％=

-1时，y<0可对④进行判断.

本题考查了抛物线与汽轴的交点：把求二次函数y=a/+6工+cQ,hc是常数，aH0)与％轴的交点坐标问

题转化为解关于X的一元二次方程，且两交点为抛物线上的对称点.熟练掌握二次函数图象与系数的关

系.

11.【答案】1

【解析】解:

y=-2（久++2,

抛物线开口向下，且对称轴为x=-1,

.•.当x>1时，y随X的增大而减小，

故答案为：-1.

由函数解析式可确定出其开口方向及对称轴，再利用函数的增减性可求得答案.

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴

为x=h,顶点坐标为（九/c）.

12.【答案】J+x+i=91

【解析】解：根据题意列方程得：/+x+l=91.

故答案为：x2+x+1=91.

由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出久个（同样数目）支干，则又长出/个小分支，则共有/+

X+1个分支，即可列方程.

此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键

描述语，找到等量关系是解决问题的关键.

13.【答案】2000TT

【解析】解:圆锥形的烟囱冒的侧面积=/80兀♦50=2000兀（CM2）.

故答案为2000元.

利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和

扇形的面积公式进行计算.

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径

等于圆锥的母线长.

14.【答案】2：1

【解析】解：过C点作C/7/ZB,交DE于P,如图,

.PC_CM

・‘AE=府’

而AM=CM,

・•.PC=AE,

1

•••AE=yAB,

4

1

・•.CP=

4

・•・CP=^1BE,

•・•CP//BE,

.CP_CD_1

••丽―丽―

.・.BD=3CD,

：.BC=2CD,即BC：CD为2：1,

故答案为：2：1.

过C点作CP//4B,交DE于P,由「。//4石知隹=雪，S.AM=CM,得PC=AE,根据力E=得CP=

/IZJ/1/W4

〃B、CP匚BE,由。7/BE知益=累=可得BD=3CD,继而得出答案.

43BEBD3

本题考查了平行线分线段成比例，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键.

15.【答案】y=—。(％-4)2+6

4

【解析】解:由题意可得，抛物线的顶点坐标是(4,6),函数图象过点(0,2),

设抛物线的解析式为y=a(x—4)2+6,

则2=a(0—4/+6,

解得，a=—J,

即抛物线的解析式为y=—[(%—4)2+6,

故答案为：y=-|(x-4)2+6.

根据题意可以得到抛物线的顶点坐标，可以设出抛物线的顶点式，然后根据抛物线过点(0,2),从而可以解

答本题.

本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解

答.

16.【答案】g<4D<?

【解析】解：•••N4C8=90。，AC=1,BC=2,

•••AB=yjAC2+BC2=<5.

当点E落在AB上时，如图，

•.•将△ACD沿直线CD折叠，点力落在E处，

.­./.ADC=乙EDC=90°,

“ADAC

・•,COSA=E=通'

AD_1

,•丁=7T

•••AD=g;

当点E落在BC上时，如图，过点。作D”LAC于”,

A

•・・将沿直线CD折叠，点/落在E处,

・•.Z.ACD=乙ECD=45°,

•・•DH1ACf

・•・乙HDC=乙HCD=45°,

・•.CH=DH,

...七即人="=些=2,

AHAC

・•.HD=2AH=CH,

vAC=AH+CH=AH+2AH=1,

17

/.AH=CH=^=DH,

AD=<AH2+DH2=J(|)2+(|)2=g

・•・当点E在△ABC的内部(不含边界)时，力。长度的取值范围是AD<苧.

故答案为：得<AD<g

由勾股定理可而且AC的长，分别求出当点E落在4B上时和当点E落在BC上时，4。的长，即可求解.

本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点4落在4C和BC上时4D的值是本题的关

键.

17.【答案】(1)证明：•••四边形力BCD是平行四边形，

AD//BC,AB//CD,

：.^ADF=乙CED,NB+NC=180°；

•・•Z-AFE+Z.AFD=180°,Z-AFE=乙B,

Z.AFD=Z.C,

ADF^ADEC；

(2)解：•••四边形4BCD是平行四边形，

DC=AB=8.

ADF^ADEC,

tAD__AF_

•''DE=~DC"

即变I=史z,

DE8

・•・DE=12.

vAD//BC,AE1BC,

・•・AEVAD.

在ZOE中，"40=90。，DE=12,AD=6气DE2=AE2+AD2,

・•.AE=yjDE2-AD2

=I122-(6/^)2

=6A/-2-

【解析】(1)根据四边形2BCD为平行四边形，得出乙4DF=NCED,+NC=180。，证得乙4FD=NC,

从而推知：AADFMDEC；

(2)由△ADFSADEC,得出比例式，求出DE的长.利用勾股定理求出4E的长.

此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性

质是解本题的关键.

18.【答案】解：方法1：把久=1代入方程/—bx—3=0得：1+b—3=0,

解得b—2,

•••原方程为一+2久一3=0,

解得：X1=1,x2——3.

的值为b=2,方程的另一个根为x=-3.

方法2：设方程的一个根为无】=1,另一个根为不，

由根与系数的关系，得：+x2=~b,久i久2=-3，

即1+*2=—6>%2=—3,

解得b=2.

.•.6的值为b=2,方程的另一个根为x=-3.

【解析】方法1：根据一元二次方程的解的定义把尤=1代入原方程中求出b的值，再解原方程求出另一个

根即可；

方法2：利用根与系数的关系求出方程另一个根，进而求出b的值即可.

本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次

方程的相关知识是解题的关键.

19.【答案】解：由旋转得AB=DE=7,乙BCE=90°,CE=BC=2^2.

BE=y/CE2+BC2=J(22)2+(22)2=4>

AE=AB-BE=7-4=3.

【解析】由旋转的性质得到AB=DE=7,ABCE=90°,CE=BC=26,再利用勾股定理求出BE的长

即可求出2E的长.

本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，熟知旋转前后对应边相等，对应角相等是解题的关键.

20.【答案】解:

方法一：

设竖条的宽度是横条的宽度是3%c?n,则

1

2•30•3%+2-20•2x—4•2%-3x=7x20x30

4

180%+80%—24/=150

12%2-130X+75=0

解得%1X0.61或％2x10.2(舍去).

3x0.61x1.8cm,2x0.61«1.2cm.

横条宽1.8cm,竖条宽1.2czn.

方法二：

设竖条的宽度是2%czn,横条的宽度是3%CM,则

(20-6%)(30-4%)=1X20X30

解得%1X0.61或%2X10.2(舍去).

3X0.61x1.8cm,2X0.61«1.2cm.

横条宽L8CTH,竖条宽1.2on.

【解析】设竖条的宽度是2x,横条的宽度是3x,根据要设计一幅宽20CM、长30cm的图案，其中有两横两

竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2,如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，可列方程求解.

本题考查理解题意的能力，设出横竖条的宽，以面积做为等量关系列方程求解.

21.【答案】无力12直线x=1<

【解析】解：(1)函数y=高的自变量》的取值范围是久力1,

\x川

故答案为：%W1;

3

(2)由题意％=|时，，=百=2,

m=2,

故答案为2.

(3)函数图象如图所示:

■2

②若点M(/,yi)、N(久2，y2)在函数'=e的图象上，且1<%2<%1，则为<%(填"<"或">").

\x川

故答案为：直线久=1;<.

(1)根据分式有意义的条件即可得到结论；

(2)把久=?代入函数解析式求出函数值即可.

(3)利用描点法画出函数图象即可.

⑷①根据图象即可得到函数的性质；②根据图象即可得到答案.

本题考查反比例函数的性质，解题的关键是学会用描点法画出函数图象，属于中考常考题型.

22.【答案】(1)证明：连接0D.£

AB=AC,Z-C=Z-B.

OD=OB,:.Z.B=zl.

Z.C=z.1,

OD//AC,Z2=Z.FDO.

DF1AC,Z.2=90°,•,.Z.FDO=90°,

即F。1OD.

・•.FD是圆。的切线.

(2)解：•••AB是。。的直径,・•・乙ADB=90°.

AC—AB,••・Z.3=z4.

.・.EQ=DB，­.•AE=DE，DE=DB=AE.

・•・乙B=2/4,・•・乙B=60°,z5=120°,

・•.△ABC是等边三角形,ZC=60°.

在RtACED中，si"C=黑，=^^=呼=步,

•••DB=三同AB=BC=|/3>20=三代

,miR8^-3

【解析】(1)连接。。.根据切线的判定定理，只需证。尸，。。即可；

(2)根据弧长公式，应先求半径和圆心角的度数.根据等弧所对的圆心角相等可得45=120。；43=30。.根

据三角函数可求半径的长，再计算求解.

此题考查了切线的判定，弧长公式的运用等知识点.证明经过圆上一点的直线是圆的切线，常作的辅助线

是连接圆心和该点，证明直线和该半径垂直.

23.【答案】解：(1)当yZ4000,BP-100%+5000>4000,

・•・x<10,

.♦.当6<%<10时，〃=Q-6+l)(-100x+5000)-2000=-100x2+5500%一27000,

当10<x£30时，W=(x-6)(-100x+5000)-2000=-100x2+5600x-32000,

由法(—100x2+5500%—27000(6<x<10)

年所':=[-100x2+5600%-32000(10<%<30)；

(2)当6<%<10时，W=—100/+5500%-27000=-100(%-y)2+48625,

a=-100<0,对称轴为尤=y,

・••当6WxW10时，y随比的增大而增大，即当x=10时，卬表尢f=18000元，

当10<x<30时，W=-100%2+5600%-32000=-100(%-28)2+46400,

•••a=-100<0,对称轴为x=28,

.•.当x=28时，W有最大值为46400元，

•••46400>18000,

.••当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元.

【解析】(1)分两种情况讨论，由日获利=销售单价X数量，可求解；

(2)分两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出6WxW10和10<xW30时的最大利润，即可求解.

本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

24.【答案】解：⑴如图①，过M分别作ME〃/B交BC于E,MF//BC^AB^Ff

国①

则四边形BEM尸是平行四边形，

•••四边形ZBCD是正方形，

/./.ABC=90°,乙ABD=Z.CBD=乙BME=45°,

ME=BE,

・•・平行四边形BEMF是正方形，

・•.ME=MF,

•••CM1MN,

・•.Z,CMN=90°,

•・•^FME=90°,

•••乙CME=乙FMN,

•••△MFNwZkMEC(ZSZ),

・•.MN=MC；

(2)由(1)得FM〃/D,EM//CD,

.AF_CE_DM_2

••丽—丽—丽一『

・•.AF=2.4,CE=2.4,

•••△MFN三八MEC,

・•.FN=EC=2.4,

AN=4.8,BN=6-4.8=1.2,

・•.AN=4BN；

(3)如图②，把ADMC绕点C逆时针旋转90。得到△BHC,连接G”,

•••△DMC=LBHC,乙BCD=90°,

/.MC=HC,DM=BH,^CDM=^CBH=45°,乙DCM=^BCH,

・•・乙MBH=90°,乙MCH=90°,

•・•MC=MN,MC1MN,

・•.△MNC是等腰直角三角形，

・•・乙MNC=45°,

・•・乙NCH=45°,

••.△MCG"”CG(S4S),

MG=HG,

•••BG：MG=3：5,

设BG=3a,则MG=GH=5a,

在中，BH=4a,则MD=4a,

・・•正方形ABC。的边长为6,

...BD=6V~2，

DM+MG+BG=12a=6<2,

•・•^MGC=乙NGB,乙MCG=^ABG=45°,

MGCANGB,

GC_MG

''~GB~~NG"

15

・•・CG•NG=BG•MG=y.

【解析】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定

与性质及相似三角形的判定与性质等知识点.

(1)作ME〃4B、MF“BC,证四边形BEMF是正方形得ME=MF,再证NCME=NFMN,从而得△

MFN=^MEC,据此可得证；

(2)由FM〃4D,EM〃CD知空=段=黑=2，据此得2尸=2.4,CE=2.4,由△MFN三△MEC知FN=

ADDCDU5

EC=2.4,AN=4.8,BN=6-4.8=1.2,从而得出答案；

(3)把ADMC绕点C逆时针旋转90。得到△BHC,连接G”，先证△MCG三△"CG得MG="G,由BG：MG=

3：5可设BG=3a,则MG=G”=5a,继而知=4a,MD=4a,由OM+MG+BG=12a=671得

a=¥，知BG=