2023年甘肃省高中学业水平考试数学模拟试卷及答案解析

2023年甘肃省高中学业水平考试数学模拟试卷

一、单项选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分。

1.（3分）下列函数是偶函数的是（）

A.J=X3B.y=2x1-3C.y=xD.y=x2,x∈[0,1]

2.（3分）若过点（1,2）总可以作两条直线与圆√+√+ΛX÷2>'+⅛2-15=0相切，则实数k

的取值范围是（）

A.AV-3或N>2B.-3VkV2C.k>2D.以上都不对

3.（3分）已知点M（m⅛）在圆O：Λ2+∕=1外，则直线Or+勿=1与圆O的位置关系是

（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

4.（3分）为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方

图如图,规定不低于60分为及格,不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）

80%,80D.80%,60

5.(3分)直线3x+My-I=O与4x+3y-〃=0的交点为(2,-1）,则ιn+n的值为

A.12B.10C.-8D.-6

6.(3分)下列推理错误的是()

A.AEl,A∈α,BWl,BEa=IUa

B.A∈α,A∈β,BEa,B∈β=>α∩β=zAB

C.∕⊄α,A∈∕=A0a

D.AElf∕⊂a=>Λ∈a

(2/(0≤%≤1)

7.(3分)函数/(x)=j2(l<x<2)的值域是()

1%+1(%≥2)

A.RB.(0,+8)

C.(0,2)U(2,+8)D.[O,2]U[3,+8)

11

8.(3分)设f(x)=x3+fex+c是［-1,1］上的增函数，且"T)∙∕(-)<0,则方程/(x)

=0在［-1,1］内()

A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根

C.有唯一的实数根D.没有实数根

9.(3分)如图所示，正方体ABCQ-AIBIC1。1的棱长为1,则三棱锥Ol-ACD的体积是

()

10.(3分)若函数/G)满足/(3x+2)=9x+8,则/(x)的解析式是()

A.f(X)=9x+8

B.f(x)=3x+2

C.f(x)=-3χ-4

D.f(X)=3x+2或/(X)=-3x-4

11.(3分)设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数，且/(-1)=-1,若对所有的XeL1,

1]及任意的α∈[-1,1]都满足/(x)≤r2-2at+∖,则f的取值范围是()

A.[-2,2]B.(-8,-2]U{0}U[2,+∞)

Il11

C.[-ɪ,玄D.(-∞,-∣]U{0}U[p+∞)

I2.(3分)关于空间直角坐标系O-孙Z中的一点P(I,2,3),有下列说法：

①点P到坐标原点的距离为旧；

13

②OP的中点坐标为(一，1,-)；

22

③点P关于X轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3)；

④点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,~3);

⑤点P关于坐标平面XOy对称的点的坐标为(1,2,-3).

其中正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

13.（3分）已知过点P（2,2）的直线与圆（X-I）2+√=5相切，且与直线0χ->∙+l=O

垂直，则α=（）

11

A.-ʌB.1C.2D.-

22

14.（3分）已知点A（l,-2）,B（m,2）且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-2=0,

则实数〃?的值是（）

A.1B.3C.-2D.-7

15.（3分）在四面体ABCC中，已知棱AC的长为√Σ其余各棱的长都为1,则二面角A

-CD-B的余弦值是（）

11√3√2

A.­B∙-C.—D.—

2333

16.（3分）若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半

径之差为（）

A.1B.2C.3D.4

17.（3分）某工厂12年来某产品总产量S与时间/（年）的函数关系如图所示，下列四种

说法：

①前三年总产量增长的速度越来越快；

②前三年总产量增长的速度越来越慢；

③第3年后至第8年这种产品停止生产了；

④第8年后至第12年间总产量匀速增加.

其中正确的说法的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

18.（3分）已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是（)

19.（3分）将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm,若

将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为（）

20.（3分）在平面直角坐标系XO），中，设直线/：丘->1=0与圆（7：x2+b=4相交于A、

B两点，以。4、OB为邻边作平行四边形OAMB,若点M在圆C上，则实数%等于（）

A.1B.2C.0D.-1

二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

21.（3分）如图所示，一个正方体的表面展开图的五个正方形为阴影部分，第六个正方形

在编号为1~5的适当位置，则所有可能的位置编号为.

AECF1

22.（3分）在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB,BC上的点，且=则

AC和平面DEF位置关系.

23.（3分）当Xe（1,2）时，不等式x2+∕nr+4V0恒成立，则,"的取值范围是.

24.（3分）定义在R上的函数/（x）满足/（x+l）=Z∕（x）.若当OWXWI时.F（X）=X

（I-x）,则当-IWX≤0时，f（x）=.

三、解答题（共3小题，共28分）

25.（8分）设函数/（x）=ex'm-χ,其中m∈R,当m>1时，判断函数/GO在区间（0,

小）内是否存在零点.

26.（10分）函数/（x）是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为/Q）=|-1.

(1)用定义证明/(无)在(0,+8)上是减函数；

(2)求当XVO时，函数的解析式.

27.(10分)已知对任意实数％,y都有/(x+y)-2f(y)=x1+2xy-y2+3x-3y,求函数/

(%)的解析式.

2023年甘肃省高中学业水平考试数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分。

1.(3分)下列函数是偶函数的是()

A.y=xiB.y=Zr2-3C.y=xD.y=x1,x∈[0,1]

【解答】解：对于A,满足f(-x)=-f(x),不是偶函数；

对于B,/(-x)-2X2-3—f(x),是偶函数；

对于C,满足/(-x)=-/(x),则不是偶函数；

对于。，对0,1],则不是偶函数

故选：B.

2.(3分)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆Λ2+√+fcc+2>∙+⅛2-15=0相切，则实数k

的取值范围是()

A.&<-3或k>2B.-3<⅛<2C.k>2D.以上都不对

【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：(x+3)2+(y+l)2=16-∣F,

所以16—杀?>0,解得：一与VfcV称Λ

zrɔɔ∕5∖

又点(1,2)应在已知圆的外部，

把点代入圆方程得：l+4+k+4+必-15>0,即(⅛-2)(Z+3)>0,

解得：k>2或k<-3,

则实数k的取值范围是(Y√5,-3)U(2,I√3).

ɔ3

故选：D.

3.(3分)已知点M(a,⅛)在圆。：/+y2=]外，则直线aχ+hy=1与圆O的位置关系是

()

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【解答】解：；点例(«,b)在圆O：%2+/=1外，.∙.α2+b2>i.

；♦圆0：/+b=1的圆心。(O,O)到直线cιx+by-1的距图d—.=V1.

Ja2+b2

则直线ax+by=I与圆O的位置关系是相交.

故选：A.

4.(3分)为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方

图如图，规定不低于60分为及格,不低于80分为优秀,则及格率与优秀人数分别是（

【解答】解：由频率分布直方图得，及格率为I-（0.005+0.015）×10=l-0.2=0.8=

80%

优秀的频率=（0.01+0.01）×10=0.2,优秀的人数=0.2X400=80

故选：C.

5.（3分）直线3x+∕ny-1=0与4x+3y-"=0的交点为（2,-1）,则小+〃的值为（）

A.12B.10C.-8D.-6

【解答】解：因为直线3x+my-1=0与4x+3y-"=0的交点为（2,-1）,

所以3X2-m-l=0,4X2-3-"=0,

解得比=5,n=5,

所以机+"=10.

故选：B.

6.（3分）下列推理错误的是（）

A.A&l,AEa,Bel,BeanIUa

B.A6α,A∈β,B6a,B∈β=>a∩β=ΛB

C./Ca,A∈∕=ACa

D.AEl,∕uanA∈a

【解答】解：对于A,AEa,Bel,B∈a,，由平面的基本性质得∕ua,故A正确；

对于8,∙.'A∈a,A∈β,Bea,8印，,由平面的基本性质得a∩0=A8,故B正确：

对于C,∙∕∕⊄a,AE,A有可能是/与a的交点，此时46a,故C错误：

对于£>,；A€/,∕ua,.•.由平面的基本事件得A€a,故C正确.

故选：C.

<2x2（0≤X≤1）

7.（3分）函数/（X）=<2（l<x<2）的值域是（）

Ix+l（x≥2）

A.RB.(O,+∞)

C.(O,2)U(2,+8)D.［O,2］U［3,+∞)

【解答】解：结合二次函数的性质可得，OWxWl,则2∕∈［0,2］；

l<χV2时，函数的值域为{2},

x22时，结合一次函数的性质可得：Λ÷1∈［3,+8),

综上可得：函数的值域是［0,2］U［3,+8).

故选：D

8.(3分)设∕G)=x3+bx+c是［-1,1］上的增函数，且/(—»•/(:;)<0,则方程/(元)

乙2

=0在［-1,1］内()

A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根

C.有唯一的实数根D.没有实数根

【解答】解：由/(x)在［-1,1］上是增函数，所以在［-1,1］最多一个根，

又于TmV。，知/(X)在［-1,H上有唯一实数根；

所以方程/G)=0在［-1,1］上有唯一实数根.

故选：C.

9.(3分)如图所示，正方体ABC。-Aι3ιCι。的棱长为1,则三棱锥。LACD的体积是

()

D.1

【解答】解：’I正方体ABCO-A出CIQI的棱长为1,

111

*D1-ACD=

故选：A.

10.(3分)若函数fG)满足/(3x+2)=‰+8,则F(X)的解析式是()

A.f(X)=9x+8

B.f(x)=3x+2

C.f(ɪ)=-3x-4

D.f(x)=3x+2或/(x)=-3χ-4

【解答】解：令f=3x+2,则X=号，所以/⑺=9x号+8=3f+2.

所以/(x)=3x+2.

故选：B.

11.(3分)设奇函数/G)在[-1,1]上是增函数，fi∕(-1)=-1,若对所有的x∈[-1,

1]及任意的Q∈[-1,1]都满足/(x)≤∕2-2^+l,则E的取值范围是()

A.[-2,2]B.(-8,-2]U{0}U[2,+∞)

I111

C.[-ʌ,ʌ]D.(一8,-i]U{O}U[i,+∞)

【解答】解：奇函数/(x)在[-1,1]上是增函数，

则/(x)的最大值为F(I)=-/(-1)=1,

因为对所有的xe[-1,1]都满足f(x)Wz2-2at+∖,

所以IWr2-2at+l对任意的企[-1,1]恒成立，

即Z2-2at2对任意的一[-1,1]恒成立,

函数y=-2s+P的定义域为α∈[-l,1],

所以函数的最值一定在端点上，

则£一年气，解得后2或fW-2或t=0,

所以f的取值范围是(-8,-2]U{0}U[2,+∞).

故选：B.

12.(3分)关于空间直角坐标系。-盯Z中的一点P(1,2,3),有下列说法：

①点P到坐标原点的距离为旧；

13

②OP的中点坐标为弓，1，-＞；

③点P关于X轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3)；

④点?关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3)；

⑤点P关于坐标平面Xoy对称的点的坐标为(1,2,-3).

其中正确的个数是()

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：由空间直角坐标系O-DZ中的一点尸（1，2,3）,知：

在①中，点P到坐标原点的距离为d=√1+4+9=√∏,故①错误；

13

在②中，由中点坐标公式得，OP的中点坐标为（5，1,-）,故②正确；

在③中，由对称的性质得与点P关于X轴对称的点的坐标为（1,-2,-3）,故③不正

确；

在④中，由对称的性质得与点P关于坐标原点对称的点的坐标为（-1,-2,-3）,故

④错误；

在⑤中，由对称的性质得与点P关于坐标平面Xo），对称的点的坐标为（1,2,-3）,故

⑤正确.

故选：A.

13.（3分）已知过点P（2,2）的直线与圆（x-l）2+√=5相切，且与直线aχ-y+∖=0

垂直，则α=（）

11

A.-ɪB.1C.2D.-

22

【解答】解：因为点P（2,2）满足圆（X-1）2+y2=5的方程，所以尸在圆上，

又过点P（2,2）的直线与圆（X-I）2+y2=5相切，且与直线αχ-y+l=0垂直，

所以切点与圆心连线与直线ax-y+1=O平行，

所以直线OX-y+1=O的斜率为：“=8=2.

Z-I

故选：C.

14.（3分）己知点A（1,-2）,B（m,2）且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-2=0,

则实数m的值是（）

A.1B.3C.-2D.-7

【解答】解：YA（1,-2）和BCm,2）的中点C（甘丝，0）在直线x+2y-2=0上，

l÷7∏a,E

ʌʒ--2=0,解得m=3.

故选:B.

15.（3分）在四面体ABC。中，已知棱AC的长为VL其余各棱的长都为1,则二面角A

-CD-B的余弦值是（)

11C,^√2

A.-B.-D.一

2333

【解答】解：由已知可得ACCC

又由其余各棱长都为1得正三角形BCD,取CD得中点E,连BE,则BELCD

在平面AoC中，过E作A。的平行线交AC于点尸，则/BEF为二面角A-Cn-B的平

面角

尸=3（三角形ACO的中位线），BE=李（正三角形Ba）的高），BF=孝（等腰RT

三角形ABC,尸是斜边中点）

222

•∕dc∙c∙EF+BE-BF∣+∣-2√3

..COSZBEF=IXBEX即==T

16.（3分）若两球的体积之和是12m经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半

径之差为（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：设两球的半径为R和八（R>r）:

故传腔+知3=]2

7r，解得

(2πR+2πr=6π

故R-r=1.

故选：A.

17.（3分）某工厂12年来某产品总产量S与时间年）的函数关系如图所示，下列四种

说法:

①前三年总产量增长的速度越来越快;

②前三年总产量增长的速度越来越慢;

③第3年后至第8年这种产品停止生产了;

④第8年后至第12年间总产量匀速增加.

【解答】解：根据题意，由函数图象可知

在区间[0,3]上，图象图象凸起上升的，表明年产量增长速度越来越慢；故（1）错（2）

对；

在区间（3,8]±,图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0,说明第3年

后至第8年这种产品停止生产了，（3）正确；

在区间（8,12]±,图象是直线上升的，表明第8年后至第12年间总产量匀速增加，（4）

正确；其中正确的说法有3个；

故选：C.

18.（3分）已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是（）

【解答】解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，

由图象可得，只有A满足题意，B、C、。不满足题意，

故选：A.

19.（3分）将若干毫升水倒入底面半径为的圆柱形器皿中，量得水面高度为6c∕n,若

将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为（)

A.6>∕3cmB.6cmC.2V18c∕nD.3V12c∕n

【解答】解：由圆柱体体积公式知，水的体积为V=πX2X2X6=24n（c∕）,

当水倒入圆锥形器具之后，体积不变，

设倒圆锥形器具的水面半径r,

则Vr=寺XTrXr2Xʌ/ɜr=24π,B∣Jr3=24√3,解得r=2V3>

所以水面高度为：√3r=6.

故选：B.

20.（3分）在平面直角坐标系xθy中，设直线/：AX-y+l=0与圆C：x2+y2=4相交于A、

B两点，以。A、OB为邻边作平行四边形OAMB,若点M在圆C上，则实数k等于（）

A.1B.2C.0D.-1

【解答】解：•••四边形OAMB为平行四边形，

，四边形04MB为菱形，

...△OAM为等边三角形，且边长为2,

解得弦AB的长为28，又直线过定点N（0,1）,

且过N的弦的弦长最小值为2次，

此时此弦平行X轴，即k=0.

故选：C.

二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

21.（3分）如图所示，一个正方体的表面展开图的五个正方形为阴影部分，第六个正方形

在编号为1~5的适当位置，则所有可能的位置编号为1,4,5.

【解答】解：将展开图还原为正方体，

当第六个正方形在1,4,5的位置时，满足题意.

故答案为：1,4,5.

AECF1

22.(3分)在空间四边形ABCD中，E、尸分别是AB.BC上的点，且二=—=71则

EBFB3

AC和平面OEF位置关系平行.

【解答】解：如图，连接AC,BD,

AECF1

∙.'E.F分别是A8、BC上的点，且==;,

7EB77FBz3

.∖EF∕∕AC,

又YACC平面。E凡EF⊂ψ≡DEF,

."C〃平面DEF,

故答案为：平行.

23.(3分)当Xe(1,2)时，不等式f+nu∙+4<0恒成立，则加的取值范围是m≤-5.

【解答】解：法一：根据题意，构造函数：/(x)=x⅛+4,Λ∈[1,2],由于当Xe(1,

2)时，不等式/+,nx+4<0恒成立.

则由开口向上的一元二次函数/(x)图象可知F(X)=O必有△>(),

①当图象对称轴X=-手≤*'j,/(2)为函数最大值当/⑵WO,得加解集为空集•

②同理当一夕其时，/(1)为函数最大值，当/⑴≤0可使x∈(1.2)时/(x)<0.

由/(1)<0解得mW-5.综合①②得加范围机W-5

法二：根据题意，构造函数：/(x)=∕+∕≡+4,Λ∈[1,2].由于当x∈(1,2)时，不等

式x2+mx+4<0恒成立

叫黑智解得仁二即Z