教师资格《初中数学》必背基本公式汇总

2021年教师资格证考试初中数学

教资必背基本公式整理汇总

【全】

常用的公式汇总

1.平方差公式：(a+6)(a-6)=a2-b2o

222

2.完全平方公式：(a±b)=a±2ah+bo

2233

3.立方和公式：(〃+6)(a-ah+b)=a+bo

4.立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3c

5.完全立方公式：(a±b)3=Q3±3a2b+3〃b2±b3。

6.如果一元二次方程"2+bx+c=0(X为未知数,4。0)的两个实数根是为,工2,那么Xl+X2=-2,

a

X]X2=^o若Xl+X2=〃?，X\X2=n,则以X],X2为根的一元二次方程是/・〃a+〃=0。

a

7.指数公式

(l)a°=l(a>0)

(2)ar•炉="+'&,sGR,a>0)

(3)=a-s(r,sWR,a>0)

(4)(ab)r=arb'\rdR,a,b>0)

(5)(4T=〃'(厂,56氐a>0)

(6)a"=*GR,a>0)

(7)£=府(厂61<,0>0,sWN*,J>1)

8.对数公式

特殊：log“l=0,k>g“a=l,log*=-1(a>0且aWl)

和式：bg“(A/・AO=log“A/+lo&N(a>0且aWl,M>0,N>0)

差式：10&,，=10&知一10&及(a>0且a#l,M>0,N>。)

换底：10&力=毕劲(a>0且a/l,c>0,且c#l；6>0)

logca

n

指系：logamb=^\og(lb(。>0且a#l,6>0,团,〃WR,mWO)

第1弗，1片W31页7/27

还原：Qi°g。"=log。a”(a>0且aWl：x>0)

倒数：k)g/=；^—(a>0且aWl,6>0且6W1)

°logba

9,三角函数的基础公式

sin2a+cos2a=1tana=巴丝

cosatanacota=1

10.和差公式

(1)sin(a±P)=sinacosP±cosasinp

(2)cos(a±p)=cosacosp+sinasinp

tana±tanp

(3)tan(a±P)=1+tanatanp

11.倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

2tana

(3)tan2a=l-tan2a

12.正弦定理

在△NBC中，内角/、B、C所对的边分别为a、b、c,R为△ABC的外接圆的半径,

s-t7n—AsinBsinC—2Rc

三角形的面积公式：S畦ABC=/csiM=%csiiB=、6sinC

13.余弦定理

在△力8C中，内角Z、B、C所对的边分别为人b、c,有q2=〃+c2-2bccos4,b2=

a2+c2-2accosB,c2=a2+Z>2_2abcosC

*'人.b2+c2-aia2-/-c2-b2M+b?_c2

推定：cosJ=----c--o-s-B=

2bc2accosC=2ab

14.均值不等式

①若a,beR,a2+b2>2ab,当且仅当Q=b时，等号成立

②若〃>0,b>0,则呼N/标，当且仅当。=b时，等号成立。

这里a,6均为正数，称卓为正数a,b的算术平均数，疝称为正数a,b的几何平均

数，即两个整数的算术平均数不小于（大于等于）它们的几何平均数。

③若a,h,CER,则可上2V赤，当且仅当a=b=c时，等号成立。

第2猱,2埃31页7/27

15.柯西不等式

若。，b,c,dWR,都是实数，则(。2+炉)«2+d?)N(QC+bd)2,当且仅当ad=bc

时，等号成立。

16,复数的运算

1.加减运算：(a+bi)土(c+由)=(a土c)+S±rf)i

2.乘法运算：(。+山)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

3.除法运算：(。+质)+9+力)=与您+与濯i(c+山NO)

c4-razcz7-az

4.i的霉运算：*=1,*+1=1,j4n+2=—1,j4n+3=-j(〃WN)

17.复数方程

实系数方程渥+bx+c=O(a彳0)在复数范围内求根：

当判别式△>()时，有一对实根X/厂-可ic；

2a

当判别式A=0时，有一对相等的实根必产一3；

2a

b±iacb

当判别式A<0时，有一对共辑虚根Xl.2--^~\

2a

(3)数量积：对于两个向量日和人它们的模㈤、回及它们的夹角。的余弦的乘积称为

向量d和B的数量积，记作d即五不=同同cos。。

18.坐标运算

设a=(x”i),石=(X2,y2)，则：

向量的加减法运算：a±另=(xitT2,»±、2)

实数与向量的积：Aa=A(xi,_yi)=(Ari,A_yi)»

若A(xiyi),B(X2,J2).则而uaz—Xijz—yi)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的

有向线段的终点坐标减去起点坐标。线段AB的中点坐标为(工铲，空)。

平面向量数量积：a-b=x\X2+y\y2o

向量的模：|2|=+y2,日2=忻|2=%2+,2。

两点间的距离：若A(xi,yi),B(X2^2)，则I第I=J(%2-X1)2+(72-丫1)2。

19.向量的运算律

交换律：d+b=b+a,入(〃五)=(入a,b=b-d

结合律：(d+b)+c=a+(b+c)9a+b+c=(a+b)+c,a—b-c=d-(b+c),(ka)-b

=X(a-h)=a•(Ah)；

第3弗,3圾31页7/27

分配律：(X+n)a=Xd-/-/za,X(a+b)=Xd+Ab9(a+b)-c=d-c+b-co

,2

20.向量平行的充要条件：a//h—d=Ab(AeR)(a-b')2=(|a||6|)«->xiy2-X2_yi=0。

21.两个向量垂直的充要条件

设@=(X”|),万=(X2J2)，

①向量式：a±b(b手G)c日,b—0；

②坐标式：a±b(bHJ)-x\X2+y\y2—0«

③直线/i：A|x+Biy+Ci=0与A：A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A|A2+B|B2=

0»

向量垂直的充要条件：a1b(b*0)a-b=0«-»|a+&|=|a—b|«-»工武2+川2=0。

22.向量的模与两点间的距离公式

设向量七(x,y,z),则向量模的坐标表示式出=yjx2+y2+z2

设有点/=3加与)，8=(x2必/2)，则AB=OB-OA=(X2—%1^2—yi,Z2—zi)

于是点A与点B间的距离为MB|=\AB\=J(X2—xJ2+@2-yi)?+32—z】)2

23.数量积

(1)数量定义

对于两个向量&和a它们的模同、同及它们的夹角。的余弦的乘积称为向量五和冽勺数

量积，记作日不，即，•J=|由同COS0

24.数量积的性质

①d-a=\a\2

②对于两个非零向量五和如果小3=0,则反之，如果213,则di=0。如

果认为零向量与任何向量都垂直，则

25.数量积的运算律

①交换律,<b=b-a

②分配律：(五

③(­)•»=&•(Ah),(河心L)=入u(曲入、〃为常数

26.数量积的坐标表示

设一=@,ay,az),b=(bx,by,bz),Hfla-b=axbx+ayby+azbz

(5)两向量夹角的余弦的坐标表示

第4域,4城31页7/27

设。=＜五］＞,则当doo,BHO时，有8sg=磊=_,气铝吟+吁一

同回配的司应对短

27.向量积

(1)向量积的定义

设向量乙是由两个向量五和9按下列方式定出：

邢J模团=@,|sin。，其中。为潸丽间的夹角。

加勺方向垂直于日和前决定的平面，不的指向按右手定则从五转向加来确定。那么，向量,

叫做向量五与B的向量积，记作ax5,即m=ax加

向量积的几何意义：平行四边形的面积

28.向量积的性质

①Gxa=0

②对于两个非零向量苍、b,如果dxB=O,则己〃3；反之，如果d〃族，则dx族=0。

29.向量积的运算律

①交换律dx3=—bxa

②分配律：(五+力xc=axc+bxc

③而xb=ax(Ab)=A(axb),4为常数

30.向量积的坐标表示

-ijk

aaa

axb=xyz=(aQz—dzby)i-{axbz-azbx)j+(axhy-aybx)fc

bxbybz

31.利用向量的坐标判断两个向量的平行

设d=(g,ay,az)W0,石=(bx，byfbz)9向量为〃石1日=看，

即五〃族一(七,ay9az)=k(bx,by,bz),于是叁=曳=%

a%Oy°z

32.混合积

设已知三个向量a,b,c,先作两向量。和6的向量积把所得到的向量与第三个向

量c再作数量积(合6).如这样得到的数量叫做三向量〃、氏c的混合积，记作［a,b,c］。

ClyQyQ7

QyidyCLZI|Q%Qyb.7.

［a,h,c］=(a^b)-c=cxbybz\-Cy\bx/J+'z口by=xbybz

cxcycz

几何意义：以向量。，力，c,为棱长的平行六面体的体积。

33.两条平行线间的距离

第5弹,5坂31页7/27

若/i：4t+gy+G=0，hi4v+及y+C2=0平行，则：d=。

A2+B2

34.点与直线的关系

向0+Byo+c|

点Po（xo,次）到直线4*+到+C=0的距离为：d=

JA2+B2

35.圆的方程的几种形式

表达式圆心半径

标准方程(x-a)2+(y-b)2=33,b)r

x2+y2+Dx+Ey+F=O,

DED2+E2-4F

一般方程（一于一或r=Q-----------

(D2+E2~4F>0)2

(x=rcos0+a

参数方程ly=rsin0+b(a,b)r

37.排列数公式：=n(n—l)(n—2)...(n-m+D\;)！(加，〃£N,m<m)

m个相乘

如父=5X4X3=&

38.组合数公式:

蕾=第=丛*答=誓=篇而(九〃£N,g/),如威孝=窑

7711771-1)…21(M—433X2X1

39.组合数性质

Cm=Cn-mi规定或=毓=［。

40.二项式定理

（a+b）n=C^an+C^1-1ft+...+C\an-rhr+...+CJ}b"（n,rGN*）,其中组合数品叫做第&+

1）项的二项式系数；展开式共有（〃+1）项，其中第（r+1）项「+|=品/-万&=0,1,2,...〃）称为二

项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项。

41.等可能事件的概率

（1）几何概率：每个事件发生的概率只与构成事件区域的几何度量（面积或体积）成

正比。

p,,_构成事件A的区域的几何度量：（长度、而积或体积）

一优验所有可能结果构成的K域的几何度埴（长度、间积或体积）

42.等可能事件的概率

①特点：所有基本事件有限个；每个基本事件发生的可能性都相等

4包含的基本事件的个数

②概率公式：P（4）=~一木事件的总数~

43.古典概型概率的求法

第6猱,6共X31页7/27

一般地，如果在一次试验中，有"种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件

力包含其中的加种结果，那么事件N发生的概率为

P(N)=n-

44.如果事件力和8互斥，则尸(A+B)=P(A)+尸(B)(加法公式)。

45.如果/和8对立，则：P(A)=1一尸(8)。

46.条件概率P(B|A)母名，为在事件力发生条件下，事件8发生的概率。

P(4)

47.独立事件概率P(AB)=P(A)P(B⑷=P(A)P(B)o

48.n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

在〃次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用自来表示，事件发生的概率是

p,则在〃次试验中恰好成功上次的概率为：PK=k)=C"(l-p严。

49.两点分布

如果随机变量X的分布列为

X01

P1-PP

则称X服从两点分布，并称片P(六I)为成功概率。

50.二项分布

〃次独立重复试验中，事件A发生的次数4是一个随机变量,其所有可能的取值为0、1、

2、…〃，并且P*=P(4=k)=Cp*g"*,其中OS七小q=\-p,随机变量。的分布列如下:

e01kn

PcW「PH"

称这样的随机变量1r服从二项分布，记作〜8(〃,p),并称p为成功概率，其中〃、。为

参数，并记C初*(1—p)"-*=b(A,n,p).

51.超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中含有次品数记为蜃则事件归=的发生

的概率为尸«=%)=鱼斛(％=1,2,…且建N,M<N,n,M,NGN*),

CN

其分布如下表所示：

三01I

r'Or,n/'Iz'n-lplpn-l

CC

pMN-M

a

称这样的随机变量。服从超几何分布，记作。〜〃(〃，M,N),并将=脸第记

第7彼,7埃31页7/27

为H(k：n,M,N)。

52.期望=平均数元=«内+X2+…+x“)

53.方差：s2=；[(X]—元)2+(X2—制2+…+(x“一£)2]

54.标准差系数(离散系数)：%

55.离散型随机变量的期望

E(5=pg+p2X2+……为j的数学期望或平均数、均值，简称为期望。

00

E(X)=WXfcPfc

k=l

若n=a1+b,其中a,b为常数，则n也是随机变量，且E(n)=E(a&+b尸aE&+b。

随机变量期望的性质：

®E(c)=c(c为常数)；

②E(cX尸cE(X)；

③E(X士Y尸E(X)士E(Y)；

④E(£d=£%E(XD；

⑤若X,Y相互独立，则E(XY尸E(X>E(Y)。

56.离散型随机变量的方差O©=pGi-E©)2+p2(X2-E©)2+…+P，(XLE©)2+.+

p”(x“一E(e))2为随机变量的方差。

若n=a&+b,其中a,b为常数，则耳也是随机变量，且D(n尸Dg+b)4%。

随机变量方差的性质：

①D(X)=X迄1%-E(X)Fpk=E{[X-E(X)『}；

②D(c)=0(c为常数)；

(3)D(cX)=c2D(X)(c为常数)；

④D(X+c尸D(X)(c为常数)；

⑤若X,Y相互独立，则D(X+Y尸D(X)+D(Y)；

@D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

57.随机变量的分布函数

设X是一个随机变量，x是任意实数，

函数F(x)=P{XWx},-oo<x<8,称为X的分布函数。

对于任意实数X],X2(^l<刀2)，

第8猱,8片X31页7/27

有P{%1<X<x2}=P[X<x2]-P[X<Xi)=F(x2)-F(%1)0

也就是，只要知道X的分布函数，我们就知道X落在任一区间(打/2]上的概率。

F(x)具有以下性质：

X

1.F(x)是一个不减函数。对于任意实数与，X2(1<%2)，有F(》2)-F(%1)=P{%1<X<x2}>

Oo

2.0WF(x)〈l且F(—8)=limF(x)=0,F(oo)=limF(x)=1

XT-8XT8

3.F(x+0)=F(x)即F(x)右连续。

58.如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数f(x),对于任意实数x有FQ)=

则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称密度概率。

概率密度函数/(x)具有以下性质：

l./(x)>0

21:/0)八=1

3.对于任意实数X1，X2(%1<x2)>有P{X1<XWX2}=F(X2)-FQ1)=C"(x)dx

4.若/(x)在点x处连续，则有F'(x)=/(x)

/*<x>

59.设连续型随机变量X的概率密度为/(x),若积分/公绝对收敛，则称积分

J-00

/»oo/*00

/W(X)公的值为随机变量X的数学期望。记为£(X)。即E(X)=/xf(x)dxo

«/-8J-a0

数学期望简称期望，又称均值。

对于连续型随机变量有O(x)=/8[x*—£(x)『/(x)dx,其中/(X)是X的概率密度。

kx0<x<3

23<X<4

{0其他

(1)确定常数k;(2)求X的分布函数F(x)；求P{1<X4}

解：由得+/；(2-§dx=1,解得k=，，于是

r-x0<x<3

6

X具有概率密度/(%)=《23<x<4

、0其他

第9弗,9圾31页7/27

0%<0

fo2xdx0<x<3

(2)X的分布函数F(x)=

0而+/：(2—23<x<4

x>4

(0x<0

X2

0<x<3

BPF(X)=12/

-34-2%--3<x<4

4

(1x>4

(3)P[l<X<g=Fg)-F(l)=il

60.随机变量函数数学期望定理

设随机变量Y是随机变量X的函数Y=g(X),这里g是连续函数，那么

(1)若X是离散型随机变量，且X的概率分布为P{X=xJ=p.=123…，则

E(Y)=E[g(x)]=£g(Xi)Pi；

(2)若X是连续型随机变量，且概率密度函数为/(x),则E(Y)=E[g(x)]=J：0g

61.正态分布的概念

1(*r)2

如果连续型随机变量4的概率密度函数为f(x尸患e-k,xGR,其中O,□为常数，

VV1(x-g)2

-

并且o>0,则称自服从正态分布，记为&〜N(p,M)。称F(x)=J_oo/(x)dx=正前e―京dx

为分布函数。期望E《=N，方差DJ=(T2。

62.性质

I.曲线在x轴上方，并且关于直线x=p对称。

P(X<p)=P(X>p.)=0.5；P(X<p-G)=P(X>JX+G)

2.曲线在x=R时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低。

3.曲线的对称轴位置由N确定；曲线的形状由。确定，o越大，曲线越“矮胖”，反之越

“高瘦”。

63.标准正态分布

第l0®J0fti3l页7/27

当(i=0,o=l时，&服从标准的正态分布，记作&〜N(0,1),且有中仪)=意0-尹2,(p(x)

称为标准正态分布的概率密度函数；标准正态分布函数为①

且满足①(-x)=l-e(x),<P(0)=0.5o

-------------------

-XX

当X〜N(N，<72)时，F(H)=0.5；

F(x)=中叶)，

P(X<r)=P(^<^)=^>(—),

GO(J

P(a<X<6)=F(b)-F(a)=0>牛)-①")。

O(J

64.数列极限

设数列｛&｝与常数a有如下关系：对任意给定的正数£(不论它多么小)，总存在正整

数M使得当〃>N时，有|xn-a|<£成立，那么就称常数a是数列｛xj的极限，或者称数

列｛x｝收敛于a,记作limx=a。

nn-»oon

语言：VE>0,m正整数M当〃〉N时，有％-a|<£。

65.函数极限

(1)自变量趋于有限值时函数的极限

设函数f(x)在点出的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A,对任意给定的正数£(不

论它多么小)，总存在正数6,当0<|x-x0|<5时，|/(x)-川<£成立，则称/(x)当x->x0

时以A为极限，记作

limf(x)=Ao

X-^X0

描述语言：当x—沏时，/(x)无限趋近(接近)于某个常数A。

0

“e—A叫吾言：VE>0,38>0,对任意的xeU(xo),有|f(x)-川<£。

66.自变量趋于无穷大时函数的极限

设函数f(x)当团大于某一正数时有定义。如果存在常数/,对于任意给定的正数£(不

第11瓶版31页7/27

论它多么小)，总存在着正数X,使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足

不等式I/O)-A\<E,那么常数A就叫做函数/(x)当xT8时的极限,记作

limf(x)=A或/(x)—A(当尤->8)

X-><»

气—M，语言：VE>0,3X>0,当|x|>X时，有|f(x)-A\<E„

67.函数的有界性

如果在变量x所考虑的范围(用D表示)内，存在一个正数M.使在D上的函数值f(x)都

满足|〃x)|<M,则称函数y=/(x)在D上有界，亦称/(%)在D上是有界函数。如果不存在

这样的正数M,则称函数y=f(x)在D上无界，亦称/(X)在D上是无界函数。

一般来说，连续函数在闭区间上具有有界性。

68.极限的性质

(1)函数极限的唯一性

如果极限limf(x)存在，那么这极限唯一。

x-*x0

(2)函数极限的局部有界性

如果极限

limf(x)=A

x-»x0

那么存在常数M>0和d>0,使得当0<|x-xol<<5时，有|/(x)|WM。

(3)函数极限的局部保号性

如果

lim/(x)=A

x-*x0

且Z>0(或/<0),那么存在常数3>0,使得当0<|x-%0|<3时，有/'(x)>0(或/(x)<0)o

(4)函数极限与数列极限的关系

如果极限

lim/(x)

X->X0

存在，｛马｝为函数y(x)的定义域内任一收敛于X。的数列，且满足：xn^xo(ne/v+),那

么相应的函数值数列｛/On)｝必收敛，且

lim/(xn)=lim/(%).

n-*oox-^x0

69.极限的运算法则

设lim〃(x)=4limv(x)=B,则有

第12须版31页7/27

(1)加减法：lim[w(x)士u(x)]=lim〃(x)±limv(x)=4±8

(2)乘法：lim[u(x)v(x)]=limw(x)\mv(x)=AB

(3)除法：当limv(x)=8用时，lim峰==d

v(x)h:m吗v(？x)B

推论1：如果lim〃(x)存在，而c为常数，那么lim[cw(x)]=c\mu(x)o

nz,

推论2：如果lim〃(x)存在,而n是正整数,那么lim[u(x)]=[limu(x)]o

70.判定极限存在的两个准则

(1)(夹逼准则)设函数./)，g(X),，7(X)在%()的某个邻域U(%o)内满足g(X)g(X)W/?(X),

且有极限

lima(x)=lim/i(x)=A

n-»x0x->x0

则有limf(x)=A»

x->x0

(2)单调有界数列必有极限。

71.极限的求法

代入法就是直接将所趋近的值代入函数表达式中，这种方法的前提条件是这个值能使函

数有意义。

约公因子法：所趋近的值使得函数没有意义，因此需要进行约公因子，约公因子通常运

用因式分解的方法。

最高次幕：当函数是分式形式，且分子、分母都是多项式时，可以通过这种方法。最高

次辱法主要是比较分子与分母次数的高低。

―,当九=m

..劭”+。1”-1+...+0m

lim-----------------------

一d/+瓦卢-1+...+%0,当n>m

oo.当九<m

72.两个重要极限公式

sinx

(1)lim...-1

XTOx

/1\X-

(2)lim1+-=6或1而(1+»』

X->00\x)X—0

73.洛必达法则

法则1：吟型)

设(1)lim/(x)=O,limg(x)=O；

(2)在x变化过程中，f(x),g{x)皆存在；

第13须：13J版31页7/27

(3)lim^y-=A(或8),则lim^^=4(或8)。

gfWg(x}

注意：如果lim零不存在，则不能得出lim祟不存在，如反例

g39M

x+sinx

lim-----------。

X->oox

法则2：(史型)

OO

设(1)lim/(x)=oo,limg(x)=oo；

(2)在x变化过程中，./V),g。)皆存在；

(3)lim篇=4(或8),则lim怒=4(或8)。

注意：(1)离散型数列极限不能直接用洛必达法则：

(2)如果直接用洛必达法则更麻烦，可先作变量替换，如令*=/。

74.两个无穷小的比较

在自变量同一变化过程(X-»X。或％—8)中，设lim/(x)=0,limg(x)=0.且lim^y=I,

则有:

①若/=0,称/(幻是比g(x)高阶的无穷小，记作：/(x)=o[g(x)]；

②若/=8,称f(x)是比g(x)低阶的无穷小，记作：/(x)=0[g(x)]；

③若/="0,称f(x)与g(x)是同阶无穷小；

④若/=1,称是/(x)与g(x)等阶无穷小，记作：/(x)〜g(x)。

75.常用等价无穷小

当XT0的等价无穷小量有：

sinx—%；tanx〜x；arcsinx~x；arctanx~x；e*-l~x；

x2

ln(l+x)~x；(1+x)2—1〜2x；1-cosx~w；av-1\nci

76.水平渐近线

当limf(x)=c(常数)时，则称产c为水平渐近线。

X-»±oo

77.垂直渐近线

当lim/(x)=±8时，则称x=xo为垂直渐近线。

78.闭区间上的连续函数的性质

定理1(有界性与最大值最小值定理)：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定

第14项>口版31页7/27

能取得它的最大值和最小值。

这就是说，如果函数y(x)在闭区间⑷勾上连续，那么存在常数M>0,使得对任一xe[a,b],

满足|/(%)|WM；且至少有一点g,使火9是.危)在[a,0上的最大值；又至少有一点n，使

/(n)是/(X)在口，6]上的最小值。

定理3(介值定理)：设函数/(x)在闭区间口，切上连续，且在这区间的端点取不同的函

数值J(a)=A及J(b)=B则对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点

&，使得y(&尸CCa<^<b)o

79.第一类间断点

设沏是函数y=/(x)的间断点，如果/(%)在间断点X。处的左、右极限都存在，则称与是

f(x)的第一类间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。左、右极限相等称为可去间断点，不相等

者称为跳跃间断点。

80.第二类间断点

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。(至少一个单侧极限不存在)

常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。

例如：x=0是f(x)=等的可去间断点，是f(x)=?的跳跃间断点，是/■(*)=：的无穷

间断点，是/'(x)=sin：的振荡间断点。

81.导数的几何意义

f'(x)=lim/=limf(x+Ax)-f(x)

*)

△x—oAX-»O△x

第15项:版31页7/27

(*)式称为导数的定义式，其常用形式还有下列两种：/'Qo)=lim

X-^XQX-XO

../(xo+^-ZCxo)

_=l】m-------：--------

Tvoh->0h

82.基本初等函数求导

1.(C)'=0

2.(F)'=*,特别地，(x)，=1,(⑸'=京，G)'=-2

3.(")'=ax\na,(a>0且的H),特别地(靖)'=峭

4.(logx)'=-^—(”>0且存1),特别地，(Inx)—

°axlnax

(siar),=cosx(cosx)'=-sinr

(tairr),=sec2x(cotr)'=-csc?x

(secx),=tarLrsecx(cscx)"=—cotxcscx

(arcsinx)'=(arccosx)r=-^===

(arctanx)'=(arccotx)，=—

83.求导法则

函数的和、差、积、商的求导法则

定理：设〃=〃(x),u=n(x)都可导，则

(1)[u(x)土v(初'=u\x)±vf(x)；

(2)[w(x)-v(x)]/=uf(x)v(x)+〃(x)M(x),特别地,[Cu(x)]f=Cu\x)；

84.反函数求导法则

反函数的导数等于原函数导数的倒数。

85.复合函数的求导法则

函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数。

86.隐函数求导

(1)隐函数的概念

由二元方程/(x,y)=0所确定的函数称为隐函数。

(2)隐函数的求导法

例：求由方程e、+盯-e=0所确定的隐函数的导数字。

第16须：16J版31页7/27

解：把方程两边分别对X求导数，注意产况）。方程左边对X求导得意（“+xy-e）=

e'M+v+x?，方程右边对x求导得（0），=0。

由于等式两边对X的导数相等，所以"的”X字=0,从而察=--y（x+ey#o）。

在这个结果中，分式中的尸y（x）是由方程蜻+孙-e=0所确定的隐函数。

87.由参数方程所确定的函数的导数

一般地，若参数方程仔=?，?，确定y与x间的函数关系，则称此函数关系所表达的

函数为由参数方程所确定的函数。要计算这个参数方程所确定的x的函数的导数，假设函数

dy

x=W（t）、y=W（t）都是可导的，而且W'（t）则用=患需。

88.切线方程与法线方程

函数/（x）在点与处的导数/''（xo）在几何上表示曲线y=f（x）在点（X。，/"（x。））处的切线的

斜率，即/（&）=%.

②若f'Go）=8,则在点（%。，/（X。））处的切线垂直于x轴；

③曲线y=/（x）在点（x（）,/1Go））处的切线方程为y-/（xo）=/'（xo）（x-与）；

曲线y=/（x）在点（Xo，/（xo））处的法线方程为y-f（x0）=---（x-x0）»

J^XQ）

89.函数单调性的判定

设函数广/（x）在［a,6］上连续，在（a,b）内可导。

（1）如果在（a,b）内/（x）K）,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数产本）在。

6］上单调增加；

（2）如果在（a,b）内/（x）S0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=/（x）在［a,

6］上单调减少；

90.求函数最值的方法

极值与区间端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

91.曲线的凹凸性与拐点

设兀0在区间/上连续，如果对/上任意两点,X2恒有f（空）＜R△@，那么称

/（X）在/上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；

如果恒有弩）＞f（＞）7（xz）,那么称左）在/上的图形是（向上）凸的（或凸弧）.

如果函数/（X）在/内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性,

第1735147^31页7/27

设兀t)在［a,3上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么

(1)如果在(a,b)内广(x)>0,那么函数.危)在［a,0上的图形是凹的；

(2)如果在(a,b)内/'(x)<0,那么函数/(x)在口，0上的图形是凸的；

92.詹森不等式:若/为回句上的凹函数,则对任意x,G［a,b］,X,>0(/=l,2,3,...n),

£A=I,

i=l

?zn

i=li=l

一般地，设产危)在区间/上连续，xo是