2023-2024学年辽宁省皇姑区九年级上册数学期末质量检测试题含解析

2023-2024学年辽宁省皇姑区九上数学期末质量检测试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.方程/-4》=0的根是（）

B.x=0C.玉=0,/=4D.玉=0,x2=-4

2.如图，AABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cosNABC等于（）

D

A.当B・乎©.小-|

3.如图，四边形ABCD内接于。O,若NBOD=160。，则NBAD的度数是（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

4.如图，是二次函数心+cb,。是常数，存0）图象的一部分，与x轴的交点4在点（2,0）和（3,0）

之间，对称轴是直线x=l对于下列说法：①abcVO；②2a+b=0；③3a+c>0；④当-1VXV3时，j>0；⑤a+力

Cam+b）其中正确有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.27的立方根是（）

A.±3B.±3百C.3D.3G

6.AABC的外接圆圆心是该三角形（）的交点.

A.三条边垂直平分线B.三条中线

C.三条角平分线D.三条高

7.图中几何体的俯视图是（）

4

8.如图，已知双曲线y=一上有一点A,过A作AB垂直x轴于点B,连接。4,则AAO8的面积为（）

X

Qk

9.如图，平行四边形A5CO的顶点3在双曲线丁=一上，顶点C在双曲线旷=一上，8c中点P恰好落在V轴上,

xx

已知，sOOABC=n9贝必的值为（

orx

A.-8B.-6C.-4D.-2

10.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,3),则CE的长是()

A.3B.272C,V10D.4

11.下列是一元二次方程的是（）

A.2x+l=0B.x2+2x+3=0C.j2+x=lD.-=1

X

12.在△ABC中，若=0,则NC的度数是（）

|cos^一三|+（1-tanB）2

A.45°B.60°C.75°D.105°

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图,ZkABC中,D、E分另IJ在AB、AC上,DE〃BC,AD：AB=2：3,则4ADE与aABC的面积之比为

14.地物线丁=以2+力％+。的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是,

15.已知扇形的面积为4k,半径为6,则此扇形的圆心角为___度.

16.如图、正比例函数=吊"与反比例函数乃的图象交于（U）,则在第一象限内不等式的解集为

17.如果函数丫=（左一3）/2-3&+2+7%+2是关于》的二次函数，则％=

18.如图，IJ叼小，直线a、b与4、4、匕分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=3,BC=5,DE=4,则

EF的长为

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，已知。是等边三角形A8C的外接圆，点。在圆上，在CO的延长线上有一点F,使叱=ZM，

AE//BC交CF于点E.

（1）求证：E4是。的切线

（2）若BD=6,求CF的长

20.（8分）三个小球上分别标有数字-2,-1,3,它们除数字外其余全部相同，现将它们放在一个不透明的袋子里,

从袋子中随机地摸出一球，将球上的数字记录，记为小，然后放回；再随机地摸取一球，将球上的数字记录，记为，2,

这样确定了点（小，”）.

(1)请列表或画出树状图，并根据列表或树状图写出点("?，〃)所有可能的结果；

(2)求点(小，〃)在函数y=x的图象上的概率.

21.(8分)如图，(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1,在AABC中，点O在线段BC上，

ZBAO=20°,ZOAC=80°,AO=6百，BO：CO=1：3,求AB的长.经过社团成员讨论发现，过点B作BD〃AC,

交AO的延长线于点D,通过构造AABD就可以解决问题(如图2),请回答：NADB=。，AB=.

(2)请参考以上思路解决问题：如图3,在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AC±AD,AO=66,

ZABC=ZACB=75°,BO：OD=1：3,求DC的长.

22.(10分)解方程：

(l)x(2x-3)=4x-6

(2)X(5X-3)=1-7X

23.(10分)综合与实践

问题背景：

综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究.下面是创新小组在操作

过程中研究的问题，如图一，AABC^ADEF,其中NACB=90。，BC=2,ZA=30°.

图一

操作与发现:

(1)如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置,四边形AC5f的形状是.,CF=

(2)创新小组在图二的基础上，将4OEf纸片沿A8方向平移至图三的位置，其中点E与48的中点重合.连接CE,

BF.四边形8CE厂的形状是.,CF=

操作与探究:

(3)创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△ZJE尸纸片绕点E逆时针旋转至OE与5c平行的位置，如图四所示,

连接AF,BF.经过观察和推理后发现四边形AC5尸也是矩形，请你证明这个结论.

24.(10分)用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示.

(D我们知道：把平面内线段。尸绕着端点。旋转1周，端点尸运动所形成的图形叫做圆.类比圆的定义，给圆锥下

定义;

(2)已知O3=2cm,SB=3cm,

①计算容器盖铁皮的面积；

②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖.以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择

且面积最小的矩形铁片是.

A.6cmx4cmB.6cmx4.5cmC.7cmx4cmD.7cmx4.5cm

25.(12分)图1和图2中的正方形ABCD和四边形AEFG都是正方形.

(1)如图1,连接DE,BG,M为线段BG的中点，连接AM,探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的

结论；

(2)在图1的基础上，将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结DE、BG,M为线段BG的中点,

连结AM,探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论.

26.有48两个口袋，A口袋中装有两个分别标有数字2,3的小球，B口袋中装有三个分别标有数字-1,4,-5的小

球(每个小球质量、大小、材质均相同).小明先从A口袋中随机取出一个小球，用加表示所取球上的数字；再从B口

袋中顺次取出两个小球，用〃表示所取两个小球上的数字之和.

(1)用树状图法或列表法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果；

(2)求一的值是整数的概率.

m

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【分析】利用因式分解法求解即可.

【详解】方程整理得：x（x-1）=0,可得x=0或x-l=0,解得：xi=O,X2=l.

故选C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键.

2、B

【详解】由格点可得NABC所在的直角三角形的两条直角边为2,4,

，斜边为V22+42=2石•

.,.cos/ABC=J=\"

2V55

故选B.

3、B

【分析】根据圆周角定理即可得到结论.

【详解】解：VZBOD=160°,

:.ZBAD=—ZBOD=80°,

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，理解熟记圆周角定理是解题关键.

4、C

【分析】由抛物线的开口方向判断“与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴判定b

与1的关系以及2a+6=l；当》=-1时，尸。“+（：；然后由图象确定当x取何值时，y>l.

【详解】解：①•.•对称轴在y轴右侧，且抛物线与y轴交点在y轴正半轴，

:异号,C>19

/.abc<l9故①正确；

②•.•对称轴》=--=1,

2a

：.2a+b=l；故②正确；

③：2a+b=l,

.\b=-2a,

V当x=-1时，y=a-b+c<l,

.,.a-(-2a)+c=3a+c<l,故③错误；

④如图，当-l〈x<3时，y不只是大于1.

故④错误.

⑤根据图示知，当，"=1时，有最大值；

当tn丰1时，有am2+bm+c<a+b+c,

所以。+方>m(.am+b')(机,1).

故⑤正确.

故选：C.

【点睛】

考核知识点:二次函数性质.理解二次函数的基本性质是关键.

5,C

【分析】由题意根据如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根，据此定义进行分析求解即可.

【详解】解：•••：!的立方等于27,

.•.27的立方根等于1.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方.由开立方和立方是互逆运算，用

立方的方法求这个数的立方根.注意一个数的立方根与原数的性质符号相同.

6、A

【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可.

【详解】解：^ABC的外接圆圆心是aABC三边垂直平分线的交点，

故选：A.

【点睛】

本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外

心的概念是解题的关键.

7、D

【解析】本题考查了三视图的知识

找到从上面看所得到的图形即可.

从上面看可得到三个矩形左右排在一起，中间的较大，故选D.

8、B

4

【分析】根据已知双曲线丫二一上有一点A,点A纵和横坐标的积是4,AAO8的面积是它的二分之一，即为所求.

x

4

【详解】解：•・•双曲线丁二一上有一点A,设A的坐标为(a,b),

x

.,.b=-

a

:.ab=4

:.AAON的面积=

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质和三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键.

9、B

【分析】连接BO,过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD,证明ABEPgZ\CDP(AAS),则ABEP面积=ACDP

面积；易知ABOE面积=,x8=2,ACOD面积=』|k|.由此可得ABOC面积=ABPO面积+ACPD面积+ACOD面积

22

=3+—|k|=12,解k即可，注意k<l.

2

【详解】连接BO,过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD,

:.ZBEP=ZCDP,

又NBPE=NCPD,BP=CP,

/.△BEP^ACDP(AAS).

二ABEP面积=ACDP面积.

Q

•点B在双曲线》=—上，

x

所以ABOE面积=,x8=2.

2

k

•.•点C在双曲线丁=一上，且从图象得出k<l,

x

/.△COD面积='|k|.

2

二ABOC面积=ABPO面积+ACPD面积+ACOD面积=2+-|k|.

2

V四边形ABCO是平行四边形，

...平行四边形ABCO面积=2x"8OC面积=2(2+-|k|),

2

：.2(3+g|k|)=12,

解得k=13,

因为kVL所以k=-3.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数k的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到y轴的

垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是'|k|.

2

10、C

【分析】根据勾股定理求得0D=M，然后根据矩形的性质得出CE=OD=回.

【详解】解：•••四边形COED是矩形，

.*.CE=OD,

,点D的坐标是(1,3),

•*-0£>=712+32=Vio>

:.CE=y/W，

故选：C.

【点睛】

本题考查的是矩形的性质，两点间的距离公式，掌握矩形的对角线的性质是解题的关键.

11、B

【分析】根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，对各选项分析判断后

利用排除法求解.

【详解】解：A、方程lx+l=O中未知数的最高次数不是1,是一元一次方程，故不是一元二次方程；

B、方程x41x+3=0只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元二次方程；

C、方程y1+x=l含有两个未知数，是二元二次方程，故不是一元二次方程；

D、方程L=1不是整式方程，是分式方程，故不是一元二次方程.

x

故选：B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否

是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1.是否符合定义的条件是作出判断的关键.

12、C

【分析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出NC

的度数.

【详解】由题意，得cosA=,tanB=L

*

3

.*.ZA=60°,NB=45。，

.*.ZC=180o-ZA-ZB=180o-60°-45o=75o.

故选C.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、4：1

【解析】由OE与3c平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AOE与三角形A5c相似,

利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果.

【详解】•:DE//BC,:.NADE=NB,NAEO=NC,:.△ADEs^ABC,：.S^ADE：S^ABC=CAD：AB）2=4：1.

故答案为：4：1.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.

14、x<-l或x>3

【分析】根据二次函数的对称性即可得出二次函数与x轴的另一个交点为（3,0）,当>>0时，图像位于x轴的上方,

故可以得出x的取值范围.

【详解】解：由图像可得：对称轴为x=l,二次函数与x轴的一个交点为（-1,0）

则根据对称性可得另一个交点为（3,0）

...当或x>3时，y>0

故答案为：》<一1或x>3

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的对称性，二次函数的图像是关于对称轴对称的，掌握这个知识点是解题的关键.

15、1

【分析】利用扇形面积计算公式：设圆心角是n。，圆的半径为R的扇形面积为S,则5用=空它由此构建方程即可

期360

得出答案.

【详解】解：设该扇形的圆心角度数为n。，

,••扇形的面积为4TT,半径为6,

解得：n=l.

...该扇形的圆心角度数为：1°.

故答案为：L

【点睛】

此题考查了扇形面积的计算，熟练掌握公式是解此题的关键.

16、x>l

【分析】在第一象限内不等式kix>k的解集就是正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即有yi>y2时X的取值

X

范围.

【详解】根据图象可得：第一象限内不等式kix>L

x

的解集为X>1.

故答案是：X>1.

【点睛】

此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题关键在于掌握反比例函数与一次函数图

象的交点坐标满足两函数解析式.

17、1

【分析】根据二次函数的定义得到％-3。()且氏2-3&+2=2,然后解不等式和方程即可得到Z的值.

【详解】•.•函数y=伏一3)x&-&+2+7%+2是关于x的二次函数，

.•.%—3。0且/—34+2=2,

解方程得：A=0或攵=3（舍去），

：.k=0.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y=or2+/zr+c（a、b、c是常数，的

函数，叫做二次函数.

20

18、一

3

【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得.

【详解】1\双加3,

ABDE

~BC~~EF'

A8=3,8C=5,OE=4,

34

•*•__一___，

5EF

20

解得七尸=下，

3

20

故答案为：y.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键.

三、解答题（共78分）

19、（1）证明见解析；（2）1

【分析】（1）根据等边三角形的性质可得NOAC=30。，NBCA=10。，根据平行线的性质得到NEAC=10。，求出NOAE

=90°,可得AE是。O的切线；

（2）先根据等边三角形性质得AB=AC,ZBAC=ZABC=10°,由四点共圆得NADF=NABC=10。，得AADF是

等边三角形，然后证明ABADgaCAF,可得CF的长.

【详解】证明：（1）连接OA,

D

•••OO是等边三角形ABC的外接圆,

AZOAC=30°,ZBCA=10°,

VAE/7BC,

.,.ZEAC=ZBCA=10°,

,ZOAE=ZOAC+ZEAC=30°+10°=90°,

.♦.AE是。O的切线；

（2）1.△ABC是等边三角形，

，AB=AC,ZBAC=ZABC=10°,

,:A、B、C、D四点共圆，

:.ZADF=ZABC=10°,

VAD=DF,

/.△ADF是等边三角形，

.*.AD=AF,ZDAF=10°,

二ZBAC+ZCAD=ZDAF+ZCAD,即ZBAD=ZCAF,

AB=AC

在ABAD和ACAF中，＜ABAD=ZCAF,

AD^AF

/.△BAD^ACAF,

.,.BD=CF=L

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆，切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆等知识点

的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键.

20、（1）见解析；（2）j

【分析】（1）根据题意列表，然后写出点（m,n）所有可能的结果即可；

（2）点（m,n）所有可能的结果共有9种，符合n=m的有3种，由概率公式即可得出答案.

【详解】解：（1）列表如下：

-2-13

-2(-2厂2)(-2,-1)(-2,3)

-1(-1,-2)(-1,3)

3(3,-2)(3,-1)（3,3）

点(m,n)所有可能的结果为：(-2,-2),(-1,-2),(3,-2),(-2,-1)>(-1,-1),(3,-1),(-2,

3),(-1,3)(3,3)；

(2)点(m,n)所有可能的结果共有9种，符合n=m的有3种：(-2,-2),(-1,-1),(3,3),

31

.•.点(m,n)在函数y=x的图象上的概率为：-=

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法、概率公式以及一次函数的性质等知识；列表得出所有结果是解题的关键.

21、(1)80,；⑵DC=85/B

【分析】(1)根据平行线的性质可得NADB=NOAC=80。，即可证明△BODs^COA,可得变="=1，求出

OAOC3

AD的长度，再根据角的和差关系得NABD=180。-ZBAD-ZADB=80°=ZADB,即可得出AB=AD=86.

FCRF

(2)过点B作BE〃AD交AC于点E,通过证明△AODS/XEOB,可得一上=——=——，根据线段的比例关系，

ODAODA

可得AB=2BE,根据勾股定理求出BE的长度，再根据勾股定理求出DC的长度即可.

【详解】解：(1)VBD#AC,

:.ZADB=ZOAC=80°,

VZBOD=ZCOA,

/.△BOD^ACOA,

.ODOB\

"~OA~OC~3

VAO=6V3,

.,.OD=-AO=2J3,

3

.•.AD=AO+OD=66+26=8百，

VZBAD=20°,NADB=80°,

.,.ZABD=180°-ZBAD-ZADB=80°=ZADB,

，AB=AD=8G,

故答案为：80,8^/3;

(2)过点B作BE〃AD交AC于点E,如图3所示：

VAC±AD,BE/7AD,

.,.ZDAC=ZBEA=90°,

VZAOD=ZEOB,

.,.△AOD^AEOB,

.BOEOBE

"~OD~~^d~~DA

VBO：OD=1：3,

.EOBE1

a，AO-DA-3

,:AO=66,

.,.EO=1AO=2V3,

/.AE=AO+EO=6+2=86,

VZABC=ZACB=75°,

.,.ZBAC=30°,AB=AC,

.*.AB=2BE,

在RtAAEB中，BE2+AE2=AB2,即(8百)2+BE2=(2BE)2,

解得：BE=8,

.,.AB=AC=16,AD=3BE=24,

在RtACAD中，AC2+AD2=DC2,即162+242=DC?,

解得：DC=8jI5.

图3

【点睛】

本题考查了三角形的综合问题，掌握平行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键.

、(；

221)%=1.5,x2=2(2)x}--,x2=-1.

【分析】(1)用因式分解法求解即可；

(2)用公式法求解即可.

【详解】解：(1)原方程可化为M2X-3)=2(2X-3),

移项得x(2x-3)-2(2x-3)=0,

分解因式得(2x-3)(x—2)=0,

于是得2%—3=0,或x-2=0,

X1—1.5,%2=2；

(2)原方程化简得5/+41—1=0，

2

A=4-4X5X(-1)=36>0,

.-4±V36-4±6-2±3

••x=----------=-------=------->

2x52x55

1,

%1=-,X2=~l.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的

方法是解答本题的关键.

23、(1)矩形，4；(2)菱形，26；(3)详见解析.

【分析】(1)由题意及图形可直接解答；

(2)根据题意及图形，结合直角三角形的性质定理可直接得到答案；

(3)根据旋转的性质及题意易得AE=EE=BC,然后得到四边形ACBF为平行四边形，最后问题得证.

【详解】(1)如图所示：

4ABC^ADEF,其中NAC5=90°,BC=2,NA=30°,

ZABC=ZFED=60°,BC=EF=2,

NC=NF=NE4C=90。，四边形ACBF是矩形，AB=4,,

•••AB=CF=4；

故答案为：矩形，4；

(2)如图所示：

AABC^ADEF,其中NAC8=90。，BC=2,N4=30°,

ZABC=ZFED=60°,BC=EF=2,

BC//EF，二四边形ECBF是平行四边形，

点E与A8的中点重合，，CE=BE,△CBE是等边三角形，

•.EC=BC,，四边形ECBF是菱形，；.CF与EB互相垂直且平分,

OC=—EC=y/3>CF=2g，

2

故答案为：菱形，26;

(3)证明：如图所示：

VZC=90°,ZA=30°ZABC=60°

•••DE"BCQDEF\ABC

：.ZDEB=ZDEF=ZABC=60°

,ZAEF=60°

VAB=2BC=4,:.AE=2

VEF=BC=2：.AE=EF

J.AA£F为等边三角形

•••NE4E=60°=ZABC

:.AF//BC

VAE=EF=BC

•••四边形ACBF为平行四边形

VZC=90°

...四边形ACBF为矩形.

【点睛】

本题主要考查特殊平行四边形的性质及判定、全等三角形的性质，关键是由题意图形的变化及三角形全等的性质得到

线段的等量关系，然后结合特殊平行四边形的判定方法证明即可.

24、（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；

（2）①6"；②B.

【分析】（1）根据平面内图形的旋转，给圆锥下定义；（2）①根据圆锥侧面积公式求容器盖铁皮的面积；②首先求得

扇形的圆心角的度数，然后求得弓形的高就是矩形的宽，长就是圆的直径.

【详解】解：（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫

做圆锥；

（2）①由题意，容器盖铁皮的面积即圆锥的侧面积

:.S厕母=万x2x3=67

即容器盖铁皮的面积为6冗cm2；

②解：设圆锥展开扇形的圆心角为n度，

〃万x3

贝!I2nx2=--------

180

解得：n=240°,

如图：ZAOB=120°,

则NAOC=60。，

VOB=3,

.,.OC=1.5,

二矩形的长为6cm,宽为4.5cm,

D

【点睛】

本题考查了圆锥的定义及其有关计算，根据题意作出图形是解答本题的关键.

25、(1)AM=-DE,AM±DE,理由详见解析；(2)AM=-DE,A