2022-2023学年湖北省武汉市高一年级上册期末联考数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市高一上册期末联考数学模拟试题

(含解析)

一、单选题

1,已知集合4={小=皿2-可，集合人{xX_2x<0},则加8=。

A.{x|x<0}B.{x|x<2}C.{x[0<x<2}D.0

【答案】C

【解析】

【分析】先化简集合/、B,进而利用交集定义求得ZcB.

【详解】/=„=ln(2-x)}={x|x<2},B=1x|x2-2x<o|=1x|0<x<21,

则/c8={x|x<2}c{x[0<x<2}={x[0<x<2}.

故选：C

2.命题P：R,%2+x+1>0，则命题。的否定是()

A.3xeR,x2+x+1<0B.lx史R,x2+x+l<0

C.Vx€R,%2+%+1<0D.Vx5?R,x2+x+1>0

【答案】C

【解析】

【分析】根据特称命题的否定可直接得到结果.

【详解】由特称命题的否定知：命题。的否定为VxeR,x2+x+l<0.

故选：C.

3.已知函数/(x+2)的定义域为(一1,1),则函数y=/(2x—l)的定义域为()

A.(-1,1)B.(-3,1)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】D

【解析】

【分析】求抽象函数的定义域，只需要牢记对应法则括号中的式子取值范围相同即可.

【详解】设x+2=f,则f(x+2)=〃。,

因为函数/(x+2)的定义域为(一1,1),所以当一1<X<1时，/(x+2)有意义，

所以l<x+2<3,故当且仅当1</<3时，函数有意义,

所以函数的定义域为(1,3),

由函数/(2x-l)有意义可得l<2x—1<3,所以l<x<2,

所以函数—的定义域为(1,2),

故选：D.

4.设函数=二的最大值为最小值为根，则V+〃2=()

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【解析】

4r

【分析】将/(X)整理为/")=2--^,令g(x)=/(x)—2,由奇偶性定义可证得g(x)为奇函数,

则g(x)mx+g(x)min由此可求得〃+加的值.

2(X2+1)-4X

•・,、"2(二X-人

【详解】■Y1

x2+1

二可令g(x)=/(x)-2=-黑，则8(力)=一六=言=一g(x),

•/VIJLIJLIJL

，g(x)为定义在R上的奇函数，.•.g(x)max+g(x)min=0，

则〃一2+〃?-2=0,:.M+m=4.

故选：D.

，/、[a\x<0fM-fM

5.已知函数，满足对任意西力马，都有0成立,则。的取

[(a-2)x+3a,x>0xt-x2

值范围是()

A.aG(o,l)B.ae(2,+oo)C.D.ae

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式可以确定函数的单调性，根据分段函数的单调性的性质进行求解即可.

【详解】不妨设X]>》2，由"")/02)>0=/,(%,)-/-(%2)>0=>/,(X,)>/(X,),

因此该函数是实数集上的增函数，

a>1

于是有<。一2>0=。>2,

Q°<(a-2).0+3o

故选：B

IJI)

6.已知a=ln-,b=sin—,,则a,b,c的大小关系为()

26°,

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<C<a

【答案】A

【解析】

【分析】

分别将a,6,c与0,1进行比较，然后可判断.

【详解】a=ln—<lnl=0,Z)=sin—=—,c=2,所以得“<6<c.

2622

故选：A.

212

7.已知x>0,y>0f且一+—=1,则2x+y+-上的最小值为()

xyx

A.5+4及B.3+4及c.9D.7

【答案】A

【解析】

【分析】根据2x+y+女=(2+，］(2x+y)+红，化简后利用基本不等式求解即可.

x\xy)x

21

【详解】因为x>0,y>0,且一+—=1,

%y

所以2x+y+2=—+—（2x+y）+—

x（x刀x

=5+生+肛”+2庐x"=5+4》

yxyyx

当X=2+J5，丁=1+立时等号成立,

所以2x+y+2』的最小值为5+4行，

x

故选：A.

8.已知满足/(/(x)-e、-lnx+4)=e-3,则函数/(x)的零点所在区间为()

A•心)B.(切C.gl)D.(l,e)

【答案】D

【解析】

【分析】先利用题给条件求得函数/(x)的解析式，再利用零点存在定理即可求得函数/(x)的零点所在区

间.

【详解】设/'(x)-e*-lnx+4=/,则=/+e'+lnx-4,/(f)=e-3

则41)=/+3+瓜1-4=6+/-4,川)=6-3

又〃x)是定义在(0,+8)上的单调函数，

则e+f-4=e-3,解之得t=l,则/(x)=e“+lnx-3

则〃l)=e-3<0,/(e)=ec+lne-3=ee-2>e-2>0

/'(e-2)=e。"+lne-2-3=ec'-5<e-5<0

/(eT)=e。'+lne-l-3=ec'-4<e-4<0

则函数/(x)的零点所在区间为

故选：D

二、多选题

9.设a,b,ceR,a<b,则下列不等式一定成立的是()

A.Q+CV/?+CB.I>e”

11

C.ac2<be2D.—>—

ab

【答案】AB

【解析】

【分析】

由不等式的性质，y=e'的单调性及特殊值法，即可判断选项的正误.

【详解】A：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，即“+c<A+c,正

确；

B：因为歹=/在定义域内为增函数，由题意知-。〉一6,故有eT>e”，正确；

C：当c=0时，ac2—be2>故错误；

D：当。<0<6时，—<-j-,故错误；

ab

故选：AB.

10.下列说法正确的是()

7兀

A."是第三象限角

6

TT37c

B.若圆心角为一的扇形的弧长为兀，则该扇形的面积为一

32

3

C.若角a的终边过点尸(一3,4),贝!Jcosa=-《

D.若角a为锐角，则2a为钝角.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据象限角定义、扇形弧长和面积公式、任意角三角函数的定义和锐角、钝角的定义依次判断各

个选项即可.

7兀7兀

【详解】对于A,・・・一终边位于第三象限，，一为第三象限角，A正确；

66

对于B,设扇形的半径为『，则四尸=兀，解得：〃=3,.••扇形面积S=-x¥/=」，B正确；

3232

33

A

对于C,Q。终边过点尸(一3,4),cos6Z=-^-===-->©正确；

兀71

对于D,当0<a<—时，0<2a<—,此时2a是锐角，D错误.

42

故选：ABC.

11.已知函数/(x)=ln(x2_bx-b+l),下列说法正确的有()

A.当6=0时，函数/(x)的定义域为R

B.当6=0时一，函数/(X)的值域为R

C.函数/(x)有最小值的充要条件为：/,2+4/?-4<0

D.若/(x)在区间[2,M)上单调递增，则实数b的取值范围是(一8]]

【答案】ACD

【解析】

【分析】求得当6=0时函数/(x)的定义域判断选项A；求得当6=0时函数/(x)的值域判断选项B；求

得函数/(x)有最小值的充要条件判断选项C；求得实数6的取值范围判断选项D.

【详解】选项A：当6=0时;函数/(xbln'+i),/(x)的定义域为R.判断正确；

选项B：当6=0时，函数/(x)=ln，+i),

x2+l>l,故函数/(x)的值域为[0,+8).判断错误；

选项C：若函数/(x)=In#-bx-b+1)有最小值，

则“=/一bx-b+1有最小正值，则(一b)--4(-6+1)<0,即y+4■一4<0.

又当/+46-4<0时，“=/一笈-6+1有最小正值，

则函数/(x)=ln(x2-bx-b+l)有最小值

则函数/(x)有最小值的充要条件为：〃+46-4<0.判断正确；

选项D：若/(6=卜卜2-笈—6+1)在区间[2,+00)上单调递增，

[-<25

则12,解之得b<—

[22-26-6+1>03,

则实数b的取值范围是判断正确.

故选：ACD

12.若函数/,(X)在其定义域内是奇函数或偶函数，则称/(x)具有奇偶性.以下函数中，具有奇偶性的函数

是()

A.4=-

V1-

r/\_X

B.

/•/、11

C-/3(X)=h~［+5

z—1，

x+1,x<-l

D._/；(x)=<O,-l<x<l

—X+1,X>1

【答案】BCD

【解析】

【分析】选项A,因为定义域不关于原点对称，所以很容易识别；选项B、C,先看看函数定义域是否关于

原点对称，然后再求解/(-力与/(x)的关系，选项D,可以根据图像来识别.

(l+x)(l-x)>0

【详解】选项A,令—NO,则<17。。'解得T"<L

1-X

所以函数工(X)的定义域是卜1,1),定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性:

选项B,为使函数人(X)的分子有意义，于是x-3<0恒成立,

故人(力=卢］=

——3x户］［一百0)口仅,6］，

3%

因为/(一力=-=-f2(x)>

故,2(x)是奇函数:

2+2x-l12X+1

函数R(x)的定义域是卜|x*o},人3=37+；

选项C,A-

2(2-1)22工一1'

故/；(x)为奇函数;

x+Lx<-l

选项D,=<0,-1<x<l的图象，如图，图象关于y轴对称,

-x+l,x>1

故£(x)为偶函数.

故选：BCD.

三、填空题

13.已知函数则.

[2+3,x<0I9J

【答案】11

【解析】

【分析】

根据分段函数的解析式，先计算/("),然后计算/1/(!))即可.

flog,x,x>0

【详解】由题可知:<W=12^+3,x<0

所以/(3=噫।=嗨3。=-2，

则/(/(1)=〃—2)=21H)+3=11

故答案为：11

cosa+sina)

14.已矢口-------；----=2,则ntsirra-2sinacosa=

cosa-sina

【答案】—##—0.5.

2

【解析】

由题意求出将要求的式子化简为tan2a-2tana

【分析】tana=',,求解即可.

3tan2a+1

cosa+sina1八▼八人/口1+tan«

【详解】-----------；—=2分子分母同除cosa得，---------2,

cosa-sma1-tan«

解得：tana=-,

3

£_2

”，，.2-.sin2a-2sinacosatan2a_2tanaa31

所以sina-2sinacosa------；-------；-----=------；-------=—~—=.

sin*a+cosatana+11+12

9

故答案为：—

2

15.已知函数_)；=--+38一。与),=》+1的图像上存在关于》轴对称的点，则a的取值范围是.

【答案】a<5

【解析】

【分析】根据题意，点(机,〃)关于X轴对称点为(机,-")，即对于任意的点(机,〃)在y=-F+3x-a上，

则点(〃?,一〃)在y=x+1上，列出方程即可得到结果.

【详解】设点(〃?,〃)在函数y=-/+3x—a上，则n=-in2+3加一。

则点(见一〃)在函数尸x+1上，即一〃=加+1

所以一(加+1)=—加2+3m—a,化简可得用2—4机+a—1=0

即△=(—4)2—4x(a—1)20,解得a«5

故答案为：a<5

16.已知函数/(力=黄工「?2+1，若引〃41,4],使得不等式/(4一加a)+/(加2+3〃?)42成立，

则实数。的最大值是.

【答案】8

【解析】

【分析】根据不等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性、奇偶性，结合对钩函数的单调性、存在性

的性质进行求解即可.

【详解】构造函数g(x)=/(x)—l=黄石一+i-1=/(不、一?，

1111(1户、

因为g(x)+g(-x)=f(-------)+X2(---------)=X2-----+-------1=0,

v

占一")2-v+i22-、+12G+12、+1)

所以函数g(x)是奇函数,

当士>占>0时，2V;>2X,>1^2x;+l>2J|+l>2=>0<———-<———-<0

2号+12X|+1222*2+122"+12

11、11

>->0,

2亚+12J28+12

因为所以x；＞x；＞o,

111___、

因此有-x；>-x；<0,

2*2+122X'+1-2

所以有g(x)＜0,g(X2)＜g(xJ，因此此时函数g(x)单调递减，而g⑼=0,函数g(x)是奇函数，所以

函数g(x)是实数集上的减函数,

/.(4-加a)+/'("/+3加)<2=>/(4-wa)-l<-{/[tn2+3〃?)一1]

=>g(4-ma^<-g^m2+3tnj=g^-m2-3/n)=>4-wa>-m2-3m,

因为加e[l,4],所以由4-ma>—m2—3m=>m2+3m+4>ma>a<m-\---b3,

m

4

令g(m)=m+—+3,/〃

m

当14加＜2时，g(〃?)单调递减，当2＜加工4时，g(⑼单调递增,

因为g(2)=7,g(l)=g(4)=8g(〃?)在[2,4]上的最大值为8,

要想使得不等式/(4一〃也)+/(加2+3机)42成立，只需则实数“的最大值是8

故答案为：8

【点睛】关键点睛：构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性，结合对钩函数的单调性是解题的关键.

四、解答题

17.(1)已知sina=43，且a为第二象限角，求cosa,tana的值;

2

\

(2)：(ig3+log3)•(log2+log2)+出「

O483927)

【答案】(1)cos^z=—,tancc=—y/3：(2)2.

2

【解析】

【分析】(1)利用同角三角函数的关系即可求得cosa,tana的值;

(2)利用指对数运算规则即可求得该代数式的值.

【详解】（1）由sina=走，且a为第二象限角,

可得cosa--vl-sin2aL

2

百

sina7

tana=-----=消-

cosar

~2

(2)

(log43+log83)•(log32+log92)+

2

f1,°1.24?3

2+ylog32j+

=1-log23+-log23

3,

5.3,\(4、53

=-log23x-log32+-=—I-=2

62\3744

18.已知-5x-6<0,q'A-m<x<3+m.

（1）若p是q的充分条件，求实数加的取值范围;

（2）若P是4的必要条件，求实数〃?的取值范围.

【答案】（1）［3,+oo）；

（2）（-8,2）

【解析】

【分析】（1）先化简条件P,再利用P是4的充分条件列出关于实数机的不等式，解之即可求得实数，〃的

取值范围：

（2）按实数加分类讨论，利用。是4的必要条件列出关于实数加的不等式，解之即可求得实数〃2的取值

范围.

【小问1详解】

由x2—5x-6<0，可得-1<X<6,则p:-l<x<6

又4：1一“4》43+加，且P是q的充分条件，

］一小«—1

可得j6<3+加，解之得加23,则实数加的取值范围为［3,水》）；

【小问2详解】

由(1)得p:-l<x<6,q:l-fn<x<3+m

当加<—1时，1—加>3+加，q：xw0,此时，夕是9的必要条件，符合要求;

当用2-1时，由〃是4的必要条件，

1-m>—1

可得｛6>3+加,解之得—1工加<2,

m>-\

综上，实数加的取值范围为（一叫2）.

19.2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单,

吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接,

最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成

1Ox2+100x,0<x<60

本6200万元，每生产x千件该产品，需另投入成本F（x）万元，且R（x）=（8100，

''90U+------21980,x>60

.x

假设该产品对外销售单价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完.

（1）求出全年的利润G（X）万元关于年产量X千件的函数关系式:

（2）试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润.

-1Ox"+800x—6200,0<x<60

【答案】（1）G（x）=<

x+1+15780,x>60

xJ

（2）该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元

【解析】

【分析】（1）利用分段函数即可求得全年的利润G（x）万元关于年产量x千件的函数关系式；

（2）利用二次函数求值域和均值定理求值域即可求得该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600

万元.

【小问1详解】

当0cx<60时，G(x)=900x-(1Ox2+1OOxj-6200=-1Ox2+800x-6200,

当x»60时，G(x)=900x—(90lx+^^—21980)—6200=—++15780,

—1Ox~+800x—6200,0<x<60

所以G(x)=<8100A

XH-----+15780,%>60

X)

【小问2详解】

若0<x<60,则G(x)=—10(x—40『+9800,当x=40时，G(x)max=9800；

若xN60,G(x)=—[x+^^)+157804-2^^^+15780=15600,

当且仅当％=?乎，即x=90时，等号成立，此时G(x)1rax=15600.

因为15600>9800,所以该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元.

20.已知函数/(x)=」一⑶6为常数，且1+/工0)，满足/(2)=1,方程〃x)=x有唯一解.

axtb

(1)求函数歹=/'(X)的解析式

(2)如果/(x)不是奇偶函数，证明：函数/(x)在区间(-2,+»)上是增函数.

丫？Y

【答案】(I)/(x)=2或/(x)=l(xro)或/(x)=、(xo—2)；

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据。，6的正负性，结合代入法进行求解即可；

(2)根据函数奇偶性的定义，结合函数单调性的定义进行证明即可.

【小问1详解】

由/(x)=x,得到一--=x,

ax+b

①4=0,b^O,则/(x)=工，由/(2)=1得6=2,即/(x)=

②若arO,6=0,则/(x)=L(x00),由/(2)=1得a=l,即〃X)=1(XHO)；

a

③OH。，6H0,由一--=》得仆2+(6—l)x=0,由A=0得6=1,

ax+b

1Or

又由/(2)=1得4=5,即〃X)=*(XH-2).

v*2Y

...函数的解析式为=i或/(x)=l(x0O)或/(%)=——-(x^-2)；

【小问2详解】

因为/(_力=-1=一/(尤)，所以函数/(x)=]是奇函数，

因为〃T)=1=/(X)(XHO),所以函数/(X)=1(XHO)是偶函数，

2r

若一(X)不是奇、偶函数,由(1)^j/(x)=-(x^-2)

任取为，x2e(-2,+oo),且否<%

“小/(少黑-冷=音3<°'即/㈤"㈤’

/(x)在区间(-2,m)是增函数.

21.我们知道，函数y=/(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函数,

有同学发现可以将其推广为：函数歹=/(尤)的图像关于点P(〃,b)成中心对称图形的充要条件是函数

y=/(x+a)-b为奇函数，

Y

(1)求函数/(x)=K的对称中心；

(2)已知/(x)=jL,8(0=〃吠+1-2加，若对任意的王e[2,3]，总存在々€[2,3],使/(凡)=8(丫2)

X—\

成立，求实数朋的取值范围.

【答案】(1)(1,1)

(2)m>1

【解析】

【分析】(D求出歹=/(8+1)-1=四-1=1，判断y=,为奇函数，即可证明；

XXX

(2)若对任意的[2,3],总存在％G[2,3],使/(xj=g(x2)成立，只需函数歹=/(》)的值域为函

数y=g(x)的值域的子集.分别求出y=/(