平行四边形-2023年中考数学一轮复习（全国通用）

考向24平行四边形

【考点梳理】

1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

(1)平行四边形的邻角互补，对角相等。

(2)平行四边形的对边平行且相等。

(3)平行四边形的对角线互相平分。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积：

S平行四边形=底边长X∣⅛=ah

6.三角形的中位线的性质：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

【题型探究】

题型一：平行四边形的性质

1.(2022•江苏泰州•模拟预测)如图，在口ABC。中，Aβ=4,AZ)=2√2,E,尸分别为边AB,CD上的点，若四

边形AECF为正方形，则Nr）的度数为（）

2.（2021.贵州遵义•校考模拟预测）如图，在平行四边形ABC。中，以对角线AC为直径的O分别交BC,8于

N.若AB=I3,BC=14,CW=9,则AN的长度为（）

3.（2023•广东佛山•石门中学校考一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线ACLBC,M在NCAO的平分线上,

且AArLOM,点N为CZ）的中点，连接若AQ=12,MN=2.则A8的长为（）

A.12B.20C.24D.30

题型二：平行四边形的判定

4.（2022・河北廊坊•统考二模）如图，E是四边形ABCZ）的边Be延长线上的一点，且A5〃C£>,则下列条件中不

能判定四边形ABa）是平行四边形的是（）

A

BCE

A.ZD=Z5B./3=/4C.Z1=Z2D.ZB=ZD

5.（2022•河南安阳•统考一模）如图，四边形EGF”的四个顶点分别在矩形ABa）的边和对角线上，已知AG=C”,

下列条件能使四边形EGFH是平行四边形的是（）

DFC

6.（2022・四川成都•模拟预测）如图，在YABcC）中，要对角线3。上找点E,F,使四边形AECF为平行四边形，

现有①，②，③三种方案，①只需要满足8E=r>F;②只需要满足CFLBD；③只需要满足4E,CF

分别平分,840,ZBCD,则正确的方案是（）

A.①②③B.①③C.①②D.②③

题型三：三角形的中位线问题

7.（2022秋・辽宁沈阳•九年级校考期中）如图，在，ABC中，。是AB边的中点，点E在BC边上，且BE:CE=3:2,

CD与AE交于点F,则。F:CF=（）

BEC

A.2：3B.3：4C.4：3D.3：2

8.（2022.四川绵阳・东辰国际学校校考模拟预测）如图，在ABC中，NAeB=90。，BC=6,cosZB=-,AE平分

4

ABAC,且AELCE于点E,点。为BC的中点，连接OE,则OE的长为（）

A.2B.4-√7C.2√7D.2--

2

9.（2023•上海静安・统考一模）如图，在ABC中，中线Ao与中线BE相交于点G,联结0E.下列结论成立的是

（）

A

CDB

y、SACDE_

A.DG=-AGB.—=—C,2=；I）-----——

S2

3EGABSMCB4

题型四：平行四边形性质和判定的应用

10.（2022•江苏淮安•模拟预测）如图，在平行四边形ABa）中，点E、F、G分别是AT＞、BC、CO的中点,

BElEG,AD=2后,AB=3,则A尸的长是（）

二

BFC

A.2B.3C.4D.5

11.（2022.四川绵阳.统考中考真题）如图，E、I二G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、A。上的点，A”=C凡AE

=CG,NEHF=60°,NGHF=45°.若A”=2,ΛD=5+√3.则四边形EFG〃的周长为（）

A.4(2+√6)B.4(√2+√3+l)C.8(√2+√3)D.4(√2+√6+2)

12.（2022•湖北鄂州•统考中考真题）如图，定直线MN〃PQ,点8、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=⑵BC

在两直线间运动过程中始终有NBeQ=60。.点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE//BC//DF,AE=4,

DF=8,AD=24√3,当线段BC在平移过程中，4B+C。的最小值为（）

题型五：平行四边形的综合问题

13.（2022•浙江杭州•杭州育才中学校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCO中，点E、尸分别在A8、CDh,且

EDlDB,FBLBD.

⑴求证：AE3之AeF8.

（2）若N4=3O。，ZDEB=45o,DAF=5,求£）尸的长.

14.（2022•江苏镇江•模拟预测）如图①，在矩形ABC。中，AD=2AB,E为AD的中点，F,G分别在4B、BC上,

KBF=CG.

图①

⑴求证：EF=EG-

(2)若CG=I,EF=2,求BC的长;

(3)如图②，M为BG的中点，连接EM,CF,求证：EMLCF.

15.(2022・贵州毕节•统考二模)已知，如图抛物线y=ɑχ2+3以+c(ɑ>O)与y轴交于C点，与X轴交于A、B两点,

A点在B点左侧，点B的坐标为(1,0),OC=3OB.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABC。面积的最大值；

(3)若点E在X轴上，点尸在抛物线上，是否存在以4C、E、尸为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【必刷基础】

一、单选题

16.(2022秋•广东东莞•九年级校联考期末)如图，在YABCD中，E/〃43,DE:E4=2:3,EF=4,则CD的长为().

3

17.(2019∙海南省直辖县级单位.统考中考模拟)如图，菱形ABCZ)中，对角线AC、BD相交于点。，E为AO边中

点，菱形ABCD的周长为28,则OE的长等于()

A.3.5B.4C.7D.14

18.（2022•山东临沂•校考二模）如图，将。ABC。沿对角线BO折叠，使点A落在点E处，交BC于点F,若/ABD=48。,

A.102oB.112oC.122oD.920

19.（2019・天津•校联考中考模拟）如图，。ABCD的周长为36,对角线AC、BD相交于点。，点E是CD的中点,

BD=12,则ADOE的周长为（）

20.（2022秋.湖南株洲•九年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点

0,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点，则下列说法正确的是（）

BC

A.EH≈HGB.四边形EFGH是平行四边形

C.AC±BDD.AABO的面积是ΔE尸。的面积的2倍

21.（2022.山东济南•统考模拟预测）已知：如图，在平行四边形ABCz）中，点£、尸为对角线8。上两点，且

/BAE=∕OCK求证：BF=DE.

AD

22.（2022•江苏盐城•校考三模）如图，在ΛBC中，点。是BC边的中点，点F,E分别是Ar）及其延长线上的点,

CF//BE,连接8尸，CE.

（1）求证：四边形BEC尸是平行四边形.

（2）当ΛBC满足.条件时，四边形BECF为菱形.（填写序号）

①AB=AC.②∕54C=90°,®AB=BC,④NBc4=90。.

23.（2022•宁夏银川•校考二模）如图，已知四边形ABcD中，对角线AC,B。相交于点。，且OA=OC,OB=OD,

过点0作防，%分别交AO,BC于点、E,F.

（1）求证：AAOE与ACOF；

⑵若80=24,EF=IO,求四边形BFDE的周长.

【必刷培优】

一、单选题

24.（2022・广东佛山•校考三模）如图，四边形ABCD中，AB//DC,CD=4,AB=Io,点V,N分别是边AO和

对角线的中点，且MN与对角线AC交于点。，则PN的长为（)

C.5D.7

25.（2022∙河北邯单B∙校考三模）如图.RAABC中，NACB=90。，点。是AABC的重心，连接30并延长交AC于

3

点E,连接CO并延长交48于点R连接EF.若AE=E,CF=-,则E尸=()

2

A.5B.4C.3D.2

26.（2022秋•全国•九年级专题练习）如图，在RtΔA8C中,ZACB=90,AC=6、BC=4,点F为射线CB上一动点,

过点C作CMJ_AF于M交AB于E,。是AB的中点，则。M长度的最小值是（）

A.6B.√2C.1D.^2

27.（2022・重庆・西南大学附中校考三模）如图，AB为。的直径，CA与。相切于点A,BC交。于点DE是AQ

的中点，连接OE并延长交AC于点尸，若BD=g（JD,AB=5,则A/的长为（）

C

28.（2022秋•九年级课时练习）如图，在45C中，点D、E、尸分别为边A3、BC、AC的中点，分别连结OE、

EF、DF.AE,点0是AE与OF的交点，下列结论中，正确的个数是（）

BEC

①M的周长是43C周长的一半；②AE与。尸互相平分；③如果Nfi4C=90。，那么点。到四边形ADE尸四个

顶点的距离相等；④如果AB=AC,那么点。到四边形4）£尸四条边的距离相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

29.（2022・青海・统考中考真题）如图，在RtAABC中，NAC5=90。，。是AB的中点，延长CB至点E,使BE=BC,

连接。E,F为。E中点，连接BF.若AC=I6,BC=12,则BF的长为（）

30.（2022•内蒙古通辽•统考中考真题）如图，点。是OaBC内一点，AO与X轴平行，8。与），轴平行，BD=B

k

o9/-

ABDC=∖2Q,SABCO=-√3,若反比例函数y=：（x<o）的图像经过C,。两点，则G的值是（）

C.-12GD.-12

31.（2022•山东潍坊•中考真题）如图，在口ABC。中，NA=60。，AB=2,AD=X,点、E,尸在CABC。的边上，从点A

同时出发，分别沿Aτ8->C和ATz）TC的方向以每秒1个单位长度的速度运动,到达点C时停止，线段EF扫过

区域的面积记为y,运动时间记为X,能大致反映y与X之间函数关系的图象是（）

二、填空题

32.（2022•黑龙江哈尔滨•校考二模）如图，平行四边形ABeD中，点E在CO边上，连接BE,NABE=60。，F在BE

上，AF=CE,/BAF=NCBE,若AO=7,AB=6,则BF=.

33.（2022・四川绵阳・东辰国际学校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCO中，AB=2,AD=3,ZABC=60°,

AELbC于点E,点尸为8的中点，OE与BF相交于点P,则BP的长为

34.（2022•内蒙古通辽.模拟预测）如图，在..ΛBC和CZ）E中，ZACB=ADCE=90°,AC=BC=a,CD=CE=b,

将CDE绕点C旋转，连接AE）,若点〃为A。中点，/SE绕点C旋转180。，则点M的运动轨迹的长为.

35.（2022•湖南株洲•校考二模）如图，在平行四边形ABCQ中，AB=3,BC=5,μ平分/AfiC交于点F,E

是AD的中点，连接CE,BF交于点、G,连接CF,则SFEG：SzJCG的值为.

D

36.（2023・陕西西安•西安市铁一中学校考二模）如图，平行四边形Q4BC的顶点。在坐标原点上，B在V轴上，顶

57

点A在y=-±上，顶点C在y=」上，则平行四边形Q4BC的面积是.

XX

37.（2023•陕西西安・西安市铁一中学校考二模）如图，正方形ABC。，点E、F、G、H分别在边A8、BC、CD、

D4上，若EG与F〃的夹角为45。，AB=2,FH=45,则EG的长度为.

38.（2023•广东佛山•石门中学校考一模）如图，在二ABC中，D,E分别为BC,AC上的点，将8E沿OE折叠,

得到VIEDE,连接8/，CF,NBFC=90°,若EF〃AB，AB=4√3,EF=IO,则AE的长为

39.(2023•陕西西安•校考二模)如图，在平行四边形4?C£>中，AS=4,AD=6,ZA=I20。，点尸、点N分别为

CZλAB的中点，点E在边AO上运动，将二£D尸沿EF折叠，使得点。落在W处，连接BE>',点"为8£>'中点，

则MN的最小值是.

三、解答题

40.(2022,宁夏银川・银川九中校考二模)如图，在,43。中，D、E分别是A3、AC的中点，连接CQ,过E作防〃OC

交BC的延长线于点尸，

(1)证明：四边形8EF是平行四边形；

⑵若NACB=90°,AB=IO,AC=S,求四边形CDEF的周长.

41.(2022•山西・山西实验中学校考模拟预测)综合与探究：

已知：二次函数y=aχ2+fcv+c的图象的顶点为。(-1,4),与X轴交于B,A两点，与N轴交于点C(0,3),如图:

(1)求二次函数的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上有一点E,使得*cε的周长最小，求出点E的坐标；

(3)若点N在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P,使得以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若

存在，请直接写出满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

42.(2022♦江苏镇江•统考中考真题)已知，点E、F、G、H分别在正方形ABC。的边A3、BC、CD、AD±..

(1)如图1,当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=ABx

(2)如图2,已知AE=AH,CF=CG,当4E、CF的大小有.关系时，四边形EFG”是矩形;

(3)如图3,AE=DG,EG、FH相交于点O,OE:。尸=4:5,已知正方形ABC。的边长为16,FH长为20,当AOEH

的面积取最大值时，判断四边形瓦'G〃是怎样的四边形？证明你的结论.

43.(2022∙四川资阳•中考真题)已知二次函数图象的顶点坐标为A(l,4),且与X轴交于点8(-1,0).

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图，将二次函数图象绕X轴的正半轴上一点P0"∙0)旋转180。，此时点A、B的对应点分别为点C、D

①连结AB、BC、CD、DA,当四边形ABC。为矩形时，求机的值；

②在①的条件下，若点何是直线X=W上一点，原二次函数图象上是否存在一点。，使得以点B、C、例、。为顶点

的四边形为平行四边形，若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案：

I.B

【分析】由四边形A8C3是平行四边形，AB=4,得到CO=4,由正方形的性质得到

AE=CE=CF=AF,ZAFC=ZDFA=90°,AE=CE=CF=AF=x,贝∣J

DF=CD-CF=A-X,在∕⅛Z∖ZMF中，由勾股定理得到x=2,AF=2,DF=4-2=2,

得到AE=E)尸，则一。E4是等腰直角三角形，即可得到/。的度数.

【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形，AB=A,

：.CD=AB=4,

：四边形AECF为正方形，

.∙.AE=CE=CF=AF,ZAFC=ZDFA=90°,

^lAE=CE=CF=AF=x,则OR=Ct)-C尸=4-x,

在RtADAF中，AO=2√2,

.∙.X2+(4-X)2=(2√2)2,

整理得，X2-4X+4=0,

解得x=2,

.∙.AF=2,。狂=4-2=2,

.,.AF=DF,

∙∖DE4是等腰直角三角形，

ZD=45°.

故选：B

【点睛】此题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、勾股定理、解一元二次方程、等腰

直角三角形的判定和性质等知识，证明qDE4是等腰直角三角形是解题的关键.

2.C

【分析】连接AM,由AC为。的直径，推出NAMC=90°=ZAΛffi,ZANC=90。=ZAND,

在RtAMB中，勾股定理求出40的长，利用平行四边形的性质得到∕β=4>,

ANAD

AO=BC=14,证明，AΛfl3SAM),得到F-大，代入数值计算可得AN的长度.

AMAB

【详解】解：连接AM,

M

D

：AC为。的直径,

ΛZAMC=90°=ZAMBiZANC=骄=ZAND,

在RtAM3中，BM=BC-CM=↑4-9=5,

-AM=y∣AB2-BM2=√132-52=12

・・・四边形ABC。是平行四边形，

ΛZB=ZD,AO=BC=14,

又,：ZAMB=ZAND

・・..AMB^AND

.AN_AD

**AM^AB,

.AN14

••一，

1213

・人"168

13

故选：C.

【点睛】此题考查了勾股定理，平行四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，

熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定定理是解题的关键.

3.B

【分析】延长OW交AC于E,利用ASA证明ZiACM丝Z∖AEM可得AE=AO=12,DM=EM,

即可证明MN是ASE的中位线，可求解CE的长，进而可求解AC的长，再结合平行四边

形的性质利用勾股定理可求解.

【详解】解：延长。M交AC于E,

平分NCAZ),AMVDM,

ZDAM=ZEAM,ZAMD=ZAME=90O,

在AAQM和AAEM中，

ZDAM=NEAM

<AM=AM,

ZAMD=ZAME

：.(ASA),

：.DM=EM,AE=AD=M,

.∙.M点是。E的中点，

,：N是CO的中点，

,MN是ACDE的中位线，

<MN=2,

：.CE=IMN=A,

.∖AC=AE+CE=↑2+4=∖6,

在平行四边形ABCD中，AB=CD,AD//BC,AClBC,

：.AClAD,

：.NCw=90°,

.∙.AB=CD=√AD2+AC2=√122+162=20-

故选B.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的中位线，勾

股定理，求解AC的长是解题的关键.

4.C

【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果.

【详解】解：A.ZD=Z5,

.∙.AD//BC,

AB//CD,

四边形ABcD是平行四边形，故不符合题意；

B./3=4,

.∙.AD//BC,

AB//CD,

四边形ABS是平行四边形，故不符合题意；

C.Z1=Z2,

.-.ABIICD,不能判断四边形ABC。是平行四边形，故符合题意；

D.AB//CD,

.∙.ZB=Z5,

NB=∕D,

.∙.ZD=Z5,

.-.AD//BC,

AB//CD,

四边形ABCO是平行四边形，故不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解本题的关键.

5.C

【分析】条件。F=BE,根据矩形的性质得到AB=Cz),ZCAB=ZACD,由此证明

∆AEG^∆CFW(SAS),推出NAGE=NC"尸，GE=FH,得至IJGE〃尸”，由此证得四边形

EGF”是平行四边形.

【详解】条件。F=BE可使四边形EG切是平行四边形，

证明：Y四边形A8C。是矩形，

J.AB∕∕CD,AB=CD,

：.ACAB=AACD,

'：DF=BE,

：.AE=CF,

又YAG=CH,

：.AAEG且ACFH(SAS),

ΛZAGE=ZCHF,GE=FH,

：.NCGE=NAHF,

J.GE//FH,

Λ四边形EGF”是平行四边形，

故选：C.

【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质，熟记矩形

的性质是解题的关键.

6.A

【分析】连接AC与8。相交于点。，由四边形ABCQ是平行四边形，得AO=C。，BO=DO,

MffiOE=OF,可得①正确；由四边形ABCo是平行四边形，f⅜AB=CD,NABD=NBDC,

再证/AEB=NCF£)=90。，可得NAEB=∕CFO=9(T,可得△ABE丝△©£>£可得②正确；由

四边形ABCD是平行四边形，得AB=CD,ZABD=ZBDC,ZBAD=DCB,SIjEZBAE=ZDCF,

可得AABE丝A>CDF,可得③正确.

【详解】解：如下图，连接AC与8。相交于点O,

•；四边形ABCO是平行四边形,

：.AO^CO,BO=DO,

"：BE=DF,

：.OE=OF,

.∙.四边形AECF是平行四边形，

故①正确；

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.AB=CD,ZABD=ZBDC,

"：AELBD,CF±BD,

：.NAEB=NCFD=90。,

，∆ΛBE^∆CDF,

'BE=DF,

和①一样了，

故②正确；

,/四边形ABCD是平行四边形，

.∙.NBAD=DCB,NABD=NBDC,AB=CD,

VAE,CF分别平分∕8AO,ZBCD,

：.ZBAE=ZDCF,

：.∕∖ABE^ΛCDF,

：.BE=DF,

.∙.和①一样了，

故③正确，

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题的关键是连接AC,

利用对角线相等证平行四边形.

7.B

【分析】过点。作DH〃BC交AE于，，可得。以为.ABE的中位线，可得ZW=设

BE=3x,则CE=2x,根据平行线分线段成比例定理即可求解.

【详解】解：如图，过点。作DH〃8C交AE于〃，

ADAH

。是AB边的中点，

；•点”是AE的中点,

.∙.D7是αAB石的中位线，

..DH=-BE,

2

3

⅛BE=3x,则CE=2x,DH=-X9

DH//BC9

.DHDF

,CECF,

3

.∙,"=二=3,

CF^2x-4

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线，过点。作构造三

角形的中位线是解题的关键.

8.B

【分析】利用余弦求出AB的长，利用勾股定理求出AC的长，延长CE交AB于点尸，证明

ACE(ASA),得到AC=A尸=2√7,推出DE是VeB/的中位线，进行求解即可.

3

【详解】解：VZACB=90o,BC=6,cosZB=-,

4

・BC3

••一，

AB4

4

：.AB=-BC=S,

3

；•AC=y∣AB2-BC2=2√7；

延长CE交AB于点尸，

平分∕BAC,AELCE,

；.ZEAF=ZEAC,ZAEC=ZAEF=90°,

又；AE=AE,

：...AFE^..ACE(ASA),

：.AC=AF=2出,CE=EF,

；•点E为C尸的中点，

点D为BC的中点,

DE=^BF=^(AB-AF)=4-y∕l-

故选B.

【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理.通过添

加辅助线，证明三角线全等，是解题的关键.

9.C

【分析】由中线AQ与中线BE得出。E是ABC的中位线，推出」∙DEGABG,

YCDE:VCBA,由相似三角形的性质即可解决问题.

【详解】：中线AD与中线BE相交于点G,

OE是：ABC的中位线，

DE//AB,DE=-AB,

2

：.ZDEG=ZABG,ZDGE=ZAGB,ACDE=ZCBA,

DEGSABG,

.DG_DE_\BGAB

/匹丫=LOG=UG,生二

SAGBIABJ42BE3

.SAGB_2

∙∙^ς-T,

ljAEBJ

YAE=EC,

•♦SAEB=3SABC9

,,SAGB=§SABC，

DEHAB,

/.CDE-CBA,

,UCDE_2

S1

，结论正确的是产

ðAGB4

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

10.C

【分析】连接AC、EC,由平行四边形的性质得出49=BCADHBC,证明四边形AFCE

AQEQAE1

是平行四边形，得出AF=CE,由平行线得出W=W=”=彳，设AQ=&EQ=b,则

cξ√t>∖2nCz

CQ=2a,BQ=2b,证明EG是A8的中位线，由三角形中位线定理得出EG//AC,得出

BELAC,由勾股定理得出方程，求出a?=T,得出BQ2=4∕=g,⅛2=p在RJEQC

中，由勾股定理求出CE,即可得出A尸的长.

【详解】解：如图所示：连接AC、EC,

四边形ABS是平行四边形，

..AD=BC,ADHBC,

点、E,尸分别是ADBC的中点，

.-.AE=CF,

•••四边形AFCE是平行四边形，

LAF=CE,

,ADHBC,

AQEQAE_\

"^CQ~^BQ~~BC~2'

设AQ=a,EQ=b,则CQ=2αBQ=2b,

点EG分别是ADCD的中点，

.∙.EG是,ACO的中位线，

.∖EG∕∕AC,

BE上EG,

..BElAC9

2222

由勾股定理得：AB-AQ=BC-CQ9

2f2

即9-/=(2λ∕5)-4d,

・•・3∕=ιι,

..CJ2=—ɪl,

3

.∙.BQ2=4⅛2=(2√5)2-4×y=y,

,1614

:.b~2=—×-=—,

343

在“EQC中，CE2=EQ2+CQ2=∕√+4∕=I6,

ΛCE=4,

ΛAF=4.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理、勾股定理等知识点,

熟练掌握平行四边形的判定与性质，运用勾股定理进行计算是解答本题的关键.

11.A

【分析】证明四边形EbG”为平行四边形，作EP_LHF交于点P,HKLBC交于点、K,设

HP=a,表示出EA∕=2α,EP=上a,PF=∖∣3a»EF=HG=∖[6a,进一步表示出

HK=AB=44a2-4+如-(i2+66),/∕F=(√3+l)a,∕CF=^+3-2=√3+l,利用勾

股定理即可求出a的值，进一步可求出边形EFG〃的周长.

【详解】解：♦.♦四边形ABC。为矩形，

ΛAD=BC,AB=CD,

VAH=CF,AE=CG,

HD=BF,GD=BE,

在△/!即和aCG尸中，

AE=CG

-ZA=ZC

AH=CF

，.AEH金CGF(SAS),

,EH=FG,

同理：BEF迫DGH(SAS),

：.EF=HG,

.∙.四边形EFGH为平行四边形，

作EPJ_交于点尸，HKLBC交于点、K，

设“P=4,

VZEHF=ωo,ZGHF=45°,AH=2,ΛD=5+√3,

.^.EH=2a,EP=y∕3a,PF=&,EF=HG=瓜a,

/.AE=√4a2-4，BE=DG=W2+6⑹,

AB=A£+8E=∖∣4a2-4+Jβα2-(12+6√5),

∙/HKlBC,

ABKH为矩形，即HK=AB=√4tz2-4+,6/-(12+6®,

V/∕F=(√3+1)<7,K尸=6+3-2=√i+l,

四边形EFGH的周长为：2(fH+WG)=2(4+2√6)=4(2+√6),

故选：A.

【点睛】本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的

判定及性质，解题的关键是利用HG+K尸=H产求出a的值.

12.C

【分析】如图所示，过点尸作F交8C于H,连接EH,可证明四边形O)FH是平行

四边形，得至IJCH=。尸=8,CD=FH,贝∣J8H=4,从而可证四边形ABHE是平行四边形，得到

AB=HE,即可推出当心F、”三点共线时，E”+”尸有最小值所即AB+CD有最小值EE

延长AE交PQ于G,过点E作ETɪpQ于T,过点A作ALLPQ于L,过点。作。K,PQ

于K,证明四边形BEGC是平行四边形，ZEGT=ZBCQ=60o,得到EG=BC=12,然后通过

勾股定理和解直角三角形求出ET和TF的长即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点F作切〃CO交BC于"，连接EH,

'：BC//DF,FH//CD,

四边形COFH是平行四边形，

：.CH=DF=SfCD=FH,

：.BH=4,

.∖BH=AE=4f

又・・•AE〃5C,

，四边形ABHE是平行四边形，

IAB=HE,

∙.,EH+FH≥EF,

・・・当E、F、〃三点共线时，E"+HF有最小值Er即A8+CD有最小值ER

延长AE交PQ于G,过点E作ETL尸。于T,过点A作AZAPQ于L过点。作OK，尸Q

于K,

・：MN〃PQ,BC//AE,

・・・四边形BEGC是平行四边形，ZEGT=ZBCQ=60o,

.∙.EG=BC=12,

・'・GT=GE∙cosNEGT=6,ET=GEsinZEGΓ=6√3，

同理可求得GL=8,AL=8√3,KF=4,3K=4百，

：・TL=2,

,

∖ALLPQfDKlPQf

AL//DK,

：.XKLOs/∖DK0,

.ALAOɔ

DKDO

A。=2AO=i6√iOO='AO=8√L

33

∙"∙OL=y∣AO2-AI:=24,OK=dDO。-DK?=12>

.'.TF=TL+OL+OK+KF=42,

∙*∙EF=ET2+TF2=12√13，

故选C.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，

解直角三角形，正确作出辅助线推出当E、F、H三点共线时，E"+"尸有最小值故即AB+CD

有最小值EF是解题的关键.

13.(1)见解析

(2)5

【分析】(1)根据平行四边形的性质，得出NAOB=NC3D,再由£D_LE>4,FB工BD,

得出NAZ出=NCS/"从而得出全等；

(2)作JDHLAB,垂足为“，由含30度角的直角三角形的性质得出4)=2。”，由

NDEB=45。，得出EB=2DH,进而得出四边形石以为平行四边形，即可得出答案.

【详解】(1)Y四边形ABC。是平行四边形，

：・AD=CB,ZA=ZC,AD//CB1ABCD

：・ZADB=ZCBD9

VEDA-DB,FBlBD,

."EDB=/FBD=90°,

：.ZADE=/CBF,

在AAED和.QfB中，

/ADE=ZCBF

AD=BC,

ZA=ZC

・•・AEDqCFB(ASA)；

(2)作。HLAB,垂足为"，

在RfAP”中，NA=30。，

・・・AD=ZDH,

在RtDEB中,ZDEB=45°,

.*.EB=2DH,

・・・EB=AD,

VEDA-DB,FBLBD.

；・DE〃BF,

,.,ABCD,

・•・四边形为平行四边形,

JFD=EB,

：.DA=DF=5.

【点睛】本题考查平行四边的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意

是解题的关键.

14.(1)证明过程见详解

⑵√7+ι

(3)证明过程见详解

【分析】⑴根据矩形的性质，AD=2AB,E为A。的中点，BF=CG,可证

△BEF式ACEG(SAS),由此即可求证；

(2)根据(1)中的结论可知CG=BF=I,在等腰直角三角形ABE中，设AF=X,则AE=X+1,

在RlAEF中根据勾股定理即可求出AB的长，根据矩形ABC。中，AD=IAB,即可求解；

(3)延长EM至N,使EM=MN,连接NG,CM与EN交于点、O,根据题意证明

△aAEF经AHEG(SAS),得到NAfF=N"EG,然后进一步证明AEGN丝AFEC(SAS),最

后根据同角的余角相等的性质即可证明出EMJ_B.

【详解】(1)证明：矩形ABCD中，AD=2AB,E为AD的中点，

ΛAB=AE=CD=DE,且ZBAE=ZD=90°,BE=CE,

：.ZABE=ZAEB=NEBC=ADEC=NDCE=ZECB=45°,

在ABEF,CEG中，

BF=CG

VNFBE=NECG,

BE=CE

：.ABEF当ACEG(SAS),

：.EF=EG.

(2)解：由(1)可知CG=BF=I,等腰直角三角形ABE中，设AF=X(X>0),则AE=X+1,

在RJAE尸中，AE2+AF2=EF2,B∣Jx2+(x+l)2=4,解方程得，Xl=避二1,χ,=二!二ZZ

2-2

(舍去)，

•.„.,,-Ji-1.-Ji+1

•∙AB=AcF+cFdB=-----Fl=---------,

22

Y矩形ABCO中，AD=2ABt

万1

BC=AD=2AB=2×-——=√7+l,

2

/.BC的长√7+ι.

(3)证明：如图所示，延长EM至N,使EM=MN,连接NG,CF与EN交于点O,

E

D

由(1)可知二ABE和CM:都是等腰直角三角形，则NAEB=NCa=45。，BE=CEf

Y四边形4?CO是矩形，点E是A。的中点，EHlBC,

・•・点”是BC的中点，

・•・四边形ABHE和四边形EHCD是正方形，

：•AB=EH=AE=HC,

•：BF=CG,

：.AF=HG,

又∙∙∙ZA=NG"C,AE=EH,

・・・AAEFqAHEG(SAS),

：.ZAEF=ZHEGf

：.NFEG=NFEH+ZHEG=NFEH+ZAEF=90。,

•••加为BG的中点，

・•・BM=MG,

•：ZBME=ZNMGf

：.ABEM^AGW(SAS),

：・BE=NG,ZBEM=ZMNG,

JBE//NG,

o

：.ZBEG-hZNGE=∖S0f

•：ZCEF=ZFEG+ZGEC=90o+ZGEC,

.*.ZCEF+NBEG=90°+ZGEC+ZBEG=90o+90o=180o,

：•/CEF=NEGN,

•：BE=EC,

：.NG=CE9

又YEF=EG,

：.Z∖EGN%AFEC(SAS),

・・・/CFE=/NEG,

,.∙ZFEN÷ZNEG=ZFEG=90o,

:,NFEN+NCFE=90。,

：.NFoE=90°,

：.EMlCF.

【点睛】此题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运

用等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，

勾股定理的运用.

39

15.(1)ʃ=—x~H—x—3

44

(2)13.5

⑶存在，(-3,-3),(N铲1,3)或(芍亘,3)

【分析】(1)根据OC=308,B(∣,0),求出C点坐标(0,-3),把点B,C的坐标代入

y=^2+3ar+c,即可求出函数解析式；

7O

(2)过点。作。七〃y轴分别交线段AC于点E,设3),然后求出OE的表

44

达式，利用S四边形48CT>=S4ABC+S4ACD,转化为二次函数求最值；

(3)①过点C作C<〃X轴交抛物线于点过点［作交X轴于点片,此时四边

形AClg为平行四边形；②平移直线AC交X轴于点E，交X轴上方的抛物线于点鸟，6，

由题意可知点E，6的纵坐标为3,从而可求得其横坐标.

【详解】(1)解：；B的坐标为(1,0),

；・08=1,

∙.∙OC=3OB=3,点C在X轴下方，

.∙.C(0,-3),

∙.∙将3(1,0),C(O,-3)代入抛物线的解析式,

3

44+c=0a=—

可得一3，解得4,

c=-3

■2Q

・•・抛物线的解析式为y=7f+：x—3；

44

(2)如图1所示，过点。作DE〃y,交AC于点E,

・・,该抛物线的对称轴为X=-一⅛Γ=-∣,3(1,0),

2×-2

4

∙,∙A(-4,0),

・•・AB=5,

：.S.=-AB-OC=-×5×3=1.5,

λbκcr22

设AC的解析式为y=H+∕),

∙.∙将A(-4,0),C(0,-3)代入，

Γ-4⅛+⅛=0k=--

可得，M，解得4,

叫一3卜=-3

3

・・・直线AC的解析式为y=-4%-3,

4

393

设。(。,二。~+;。-3),则E1(α,-■-6?-3),

444

3393

β.∙DE=一一a-3-(-a2+-a-3)=一一(。+2/+3,

4444

・・・当。=一2时，OE有最大值，最大值为3,

.A8的最大面积=1θE∙AO=Jχ3x4=6,

22

=

•∙SW边形A"S=SABC+SAco7∙5+6=13.5,

四边形ABCO的面积的最大值为13.5；

(