指数函数和对数函数复习

指数函数和对数函数复习1．指数函数：①定义：函数称指数函数，1〕函数的定义域为R，2〕函数的值域为，3〕当时函数为减函数，当时函数为增函数.②函数图像：1〕指数函数的图象都经过点〔0，1〕，且图象都在第一、二象限，2〕指数函数都以轴为渐近线〔当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴〕，3〕对于相同的，函数的图象关于轴对称.①①，②，③①，②，③，③函数值的变化特征：性质：1〕、Q〕，2〕、Q〕，3〕Q〕〔注〕上述性质对r、R均适用.2．对数函数：①定义：函数称对数函数，1〕函数的定义域为，2〕函数的值域为R，3〕当时函数为减函数，当时函数为增函数，4〕对数函数与指数函数互为反函数.②1〕对数函数的图象都经过点〔0，1〕，且图象都在第一、四象限，2〕对数函数都以轴为渐近线〔当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴〕.①，②，③.①，②①，②，③.①，②，③.③函数值的变化特征：根本性质：1〕真数N为正数〔负数和零无对数〕，2〕，3〕，4〕对数恒等式：③运算性质：如果那么1〕；2〕；3〕R〕.④换底公式：1〕，2〕3.指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据):且指数函数与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线对称,指数函数与对数函数的性质见下表:典型例题讲解:例1.定义在R上的函数满足，当时，．(1)求的值；(2)比拟与的大小．解：〔1〕∵,∴,.∵,∴,(2)∵∴而∴例2．方程lgx+x=3的解所在区间为〔〕A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比拟困难了．实际上这是要比拟与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故此题应选C．说明：此题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比拟其大小进行判断．例3.设a＞0,f(x)＝是R上的奇函数.(1)求a的值;(2)试判断f(x)的反函数f－1(x)的奇偶性与单调性.解：(1)因为在R上是奇函数,所以,(2),为奇函数.用定义法可证为单调增函数.例4.是否存在实数a,使函数f(x)＝在区间上是增函数?如果存在,说明a可以取哪些值;如果不存在,请说明理由.解：设,对称轴.(1)当时,;(2)当时,.综上所述:例5．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)假设f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，那么有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．R恒成立．例6．函数f(x)=logm(1)假设f(x)的定义域为［α，β］，〔β＞α＞0〕，判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.解：〔1〕x＜–3或x＞3.∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3设β≥x1＞x2≥α，有当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.〔2〕假设f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］∵0＜m＜1,f(x)为减函数.∴即即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–∴∴0＜m＜故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在.例7，求函数的值域。解：，，即，得，而是上的增函数，，故所求函数的值域是。例8函数，当时，的取值范围是，求的值。解：将函数化为，令，那么，由，得。从而，而，。①，又，即。解之，得即②比拟①、②得或，解得。例9设，、是满足的实数，其中。求证：①；②。证明：①，，又，。②，而。，从而，又，故。例10是奇函数〔其中，〔1〕求的值；〔2〕讨论的单调性；〔3〕求的反函数；〔4〕当定