中考数学复习指导：例谈与双曲线有关的中考题

例谈与双曲线有关的中考题反比例函数y＝是中考的一个热点．利用双曲线的对称性、k的几何意义是解决问题的关键．现例析近两年中考题，供教学参考．一、求坐标例1如图1，平面直角坐标系中，⊙O1过原点O，且⊙O1与⊙O2相外切，圆心O1与O2在x轴正半轴上，⊙O1的半径O1P1.⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直，且点P1（x1，y1）、P2(x2，y2)在反比例函数y＝(x>0)的图象上，则y1＋y2＝_______．点评本题是反比例函数的综合题，考查了圆的外切、一元二次方程，以及点在反比例函数图象上等知识点，也考查了数形结合、函数、方程思想．例2如图2，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y＝(x>0)的图象上，则点E的坐标是(_______，_______）．解析由点B在y＝图象上，易求点B(1，1)，设正方形ADEF的边长为m，则E为(1＋m，m)．点评本题是反比例函数的综合题，考查了圆的外切正方形、一元二次方程，以及点在反比例函数图象上等知识点，也考查了数形结合、函数、方程思想．二、求面积例3如图3，两个反比例函数y＝和y＝―的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为() (A)3 (B)4 (C) (D)5 解析可设P（a，）．因为P和A的纵坐标相同，又A在l2上，可得A点的纵坐标为－，所以PA＝．P点和B点的纵坐标相同，同理可得B点横坐标为－2a，即PB＝3a，所以三角形PAB的面积为××3a＝，故选C．点评本题结合反比例函数的图象表示出点P、A.B的坐标是解题的关键，然后根据直角三角形的面积公式求出结论．例4如图4，已知双曲线y1＝（x>0），y2＝(x>0)，点P为双曲线y2＝(x>0)上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA.PB分别交双曲线y1＝(x>0)于D.C两点，则△PCD的面积为_______．解析作CE⊥AO，DE⊥CE．因为双曲线y1＝（x>0），y2＝(x>0)，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA.PB分别交双曲线y1＝于D.C两点，所以矩形BCEO的面积为xy＝1．点评此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知，得出BC＝BP，AD＝AP是解决问题的关键；同时考查了数形结合、整体代入思想．三、求最值例5如图5，为反比例函数y＝在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点．过点A分别作AB⊥y轴，垂足分别为B，C．则四边形OBAC周长的最小值为（）(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析因为点A在反比例函数图象上，所以AC与AB的乘积等于1，再根据两个数的乘积是一个常数，则这2个乘数越接近，它们的和越小，当它们相等时，其和最小，当AC＋AB最小时，AC＝AB＝1，所以周长为4．故选A点评本题利用反比例函数的图象解决问题，必须正确理解反比例函数图象横纵坐标表示的意义，还要知道两个数的乘积一定时，这两个数的和的最小值的求法．例6知识迁移：当a>0且x>0时，因为≥0，所以x－2＋≥0，从而x＋≥2（当x＝时取等号）．记函数（a>0，x>0），由上述结论可知：当x＝时，该函数有最小值为2．直接应用已知函数y1＝x(x>0)与函数y2＝（x>0），则当x＝_______时，y1＋y2取得最小值为_______．变形应用已知函数y1＝x＋1（x>－1）与函数y2＝(x＋1)2＋4(x>－1)，求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x值．实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用－，共360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 解直接应用1；2． 点评本题是阅读应用性问题，要求从学生熟知的乘法公式出发，归纳出“均值不等式”，并给出取最小值的条件，学生能否通过阅读理解新知识，成为解决问题（探索应用）的关键．本题同时要求学生利用已有知识与经验自主证明新结论，有效地考查了学生的转化思想、函数思想、数学建模能力，值得一提的是，较好地考查了学生的阅读理解、自我解释、新知识应用与迁移等学习能力指标．本题中，不等式的应用由直接应用到变形应用再到实际应用，能够考查学生对不等式知识掌握的深度，以及灵活运用的能力，本题关注对数学活动过程的评价，考查学生思维能力和水平，较好地贯彻了“对学生数学学习的评价，既关注结果，更关注他们在学习过程中的变化和发展”这一理念，体现了“用数学”的新课标的理念．四、求线段长例7如图6，定义：若双曲线y＝（k>0）与它的其中一条对称轴y＝x相交于A.B两点，则线段AB的长度为双曲线y＝（k>0）的对径．(1)求双曲线y＝的对径；(2)若某双曲线y＝（k>0）的对径是10，求k的值；(3)仿照上述定义，定义双曲线y＝(k<0)的对径．分析(1)先解方程组可得到A点坐标为(1，1)，B点坐标为（－1，－1），即OC＝AC＝1，则△OAC为等腰直角三角形，得到OA＝OC＝，则AB＝2OA＝2，于是得到双曲线y＝的对径；(2)过A点作AC⊥x轴于点C，根据双曲线的对径的定义，得到当双曲线的对径为10，即AB＝10，OA＝5，根据OA＝OC＝AC，则OC＝AC＝5，得到点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线y＝（k>0）即可得到k的值；(3)双曲线y＝（k<0）的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义，易得到双曲线y＝（k<0）的对径．如图7，过点A作AC⊥x轴，则△AOC是等腰直角三角形．∴点A坐标为(5，5)，则k＝5×5＝25．(3)若