2023版高考数学一轮总复习应用创新题组4-4解三角形

4.4解三角形

应用篇知行合一

应用解三角形的实际应用

1.（2020朝阳二模,8）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天

文仪器,它包括一根直立的标竿（称为表）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长

尺（称为圭）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一

天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表

的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即NABC）为26.5°,夏至正午太阳高度角（即

NADC）为73.5°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a,则表高（即AC的长）

为（）

夏至日总

夏至正

Aθsin53o

2sin47o

B2sin47°

,asin53°

Calan26.50tan73.5°

c,tan47o

口asin26.5°sin73.5°

sin47o

答案D由题意可知NBAD=73.5°-26.5°=47°,在ABAD中，由.%,小.得

SinZ.BADSinZABDr

.，.黑所以AD-吧等：.•,又因为在RtΔACD中,今sin/ADC=Sin73.5°,所以

sιn47sιn26.5sιn47AD

AC=AD∙sin73.5°-邠汨26.50s,73.5°,故选ŋ

sιn47

2.（2022届河南驻马店11月监测，10I实际生活）黄鹤楼位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山

之巅,濒临万里长江,为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度,在大楼的一侧找到

一座高为30（√3-l）m的建筑物AB,在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶

A、楼顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°,则估算黄鹤楼

的高度CD为（）

A.2θV3mB.20√2mC.30√3mD.30√2m

答案C在RtZXABM中，∕AMB=15°,则60五折）.

sιn15

在AACM中，因为NCAM=I5°+15°=30°,NCMA=I80°-（60°+15°）=105°,所以

ZMCA=180o-105°-30°=45°.因为一名；.O,所以CM邛X60√⅞=60（m）,故

SinZAlzlCSinZJO2

CD=CMsin60o=30√3（m）.

3.（2022届陕西百校联盟一模,9I实际生活）为捍卫国家南海主权,我国海军在南海海域进

行例行巡逻,某一天，一艘巡逻舰从海岛A出发,沿南偏东75°的方向航行到达海岛B,然后从

海岛B出发,沿北偏东45°的方向航行了60近海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A以北偏东

60°的方向出发沿直线到达海岛C,则航行路程AC的长为（）

A.10√5海里B.30展海里

C.40g海里D.60禽海里

2

答案D如图，由题意可知，在aABC

中，∕BAC=30°+15°=45°,NABC=75°+45°=120°,BC=60夜海里，由正弦定理得

sin‰-siπ‰即备*所以AC=6。调X弓Xa6。战（海里），故选D.

2.（2022届豫东豫北十校联考（二），9I实际生活）2021年第6号台风“烟花”于7月25日

12时30分前后登陆舟山普陀区.如图,A点正北方向的C市受到台风侵袭,一艘船从A点出发

前去实施救援，以24nmile∕h的速度向正北航行,在A处看到S岛在船的北偏东15°方向,船

航行前后到达B处,在B处看到S岛在船的北偏东450方向.此船从A点到C市航行过程中

距离S岛的最近距离为（）

f北

/s4东

7

A

A.9V2nmiIe

B.9（√2-l）nmile

C.9（V3-l）nmile

D.9（√3-√2）nmile

答案C由题意知∕SBA=135°,AB=24X318,∕ASB=30°,在AABS中，由正弦定理得

0.Qχ√6-√2

-ɪ-ɪ-,.∙.SB-朋二鲁-T--9（=-√¾,又船航行过程中到S岛的最近距离为

sιnl5sιn30sιn301

2

ΔABS中AB边上的高，设AB边上的高为h则

h=SB∙sin（180o-ZABS）=9（√6-√2）×sin45o=9（通一1）,即从A点至IJC市航行过程中距离S

岛的最近距离为9（√5-l）nmile.故选C.

3.（2022届湖南三湘名校、五市十校联考，16I生活实践情境）

如图是2021年9月17日13时34分神舟十二号返回舱（图中C）接近地面的场景.伞面是表

面积为1200t∏2的半球面（不含底面圆），伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍,直

线BC与水平地面垂直于D,D和观测点A在同一水平线上,在A测得点B的仰角∕DAB=30°,

3

且sinZBAC=⅛,则此时返回舱底端离地面的距离CD=5=3.14,SinZACB嚅,

ZvZ41√247

计算过程中,球半径四舍五入保留整数J.

答案20m

解析设半球的半径为rm,则2πr2=1200,.*.rj¾14,

ABBC

ΛBC=5r=70m.在aABC中，由正弦定理得则