2022-2023学年湖北省十堰市房县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省十堰市房县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（）

A.2x+l=0B.y2+久=iC.%2-l=0D./+^l

2.下列四个图案分别是我国传统文化中的“福”“禄”“寿”“喜”图.这四个图案中，既是轴对称图形又

是中心对称图形的是（）

。晤

3.下列点中，一定在抛物线y=a/+2。X+3上的是（）

A.(2,3)B.(-2,3)C.(3,0)D.以上都不在

4.如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面48在圆心。下方，若。。的直

径为26czn,水面宽AB=24cm,则水的最大深度为（）

A.5cm

B.7cm

C.8cm

D.10cm

5.下列成语描述的事件为随机事件的是（）

A.守株待兔B.水中捞月C.瓮中捉鳖D.水涨船高

6.我国南宋数学家杨辉在佃亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云

长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多

多少步？若设长比宽多无步，则下列符合题意的方程是（）

n60—%60+%“人

A.(60—x)x=864B.-------=864

C.(60+x)x=864D.(30+x)(30-x)=864

7.如图，AB,8C和AC分别为O。内接正方形，正六边形和正n边形的一边，贝切是（

A.六

B.八

C.十

D.十二

8.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3,若它把物体从地面点a处送

到离地面2米高的B处，则物体从4到B所经过的路程为（）

A.6米B.米C.2/IU米D.米

9.如图，48是。。的直径，点E,。在O。上，点4是部的中点，过点4作。。的

切线，交BC的延长线于点。，连接EC.若乙4DB=59。，则乙4CE的度数为（）

A.59°

B.41°

C.31°

D.29°

10.如图，正方形4BCD位于第一象限，边长为3,点4在直线y=久上，点4的横坐

标为2,正方形力BCD的边分别平行于光轴、y轴.若双曲线丫=!（/£力0）与正方形

4BCD有两个公共点，贝果的取值范围为（）

A.2<fc<5B.1<fc<16C.4<fc<25D.4<fc<25

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.抛物线y=（%-3/一4的顶点坐标是.

12.若sin（x-10°）=:，则锐角x=°.

13.如果点P（2,a）和点Q（-6,4）关于原点对称，则曲=.

14.如图,以点。为位似中心,将AOAB放大后得到△OCD,若。4=2,得三|，则

AC=.

15.如图所示，4B为半圆。的直径，C、D、E、F是筋上的五等分点，P为直径4B

上的任意一点，若AB=4,则图中阴影部分的面积为.

P8

16.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已

知点4、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=

（久-1）2-4,4B为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题5分）

计算：|—21+（—1严2一sin30。一（四一，I）°.

18.（本小题5分）

已知函数丫=X2+6无+。的图象过点4（2,5）,C（0,-3）,求出该抛物线与坐标轴的交点坐标.

19.（本小题6分）

已知关于x的方程：x2+ax+a—2-0.

（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

（2）若方程的两个实数根打，比2,满足好+蟾=7,求a的值.

20.（本小题9分）

为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行共青团团史知识竞赛活动.赛后随机抽取了部分学生的

成绩，按得分划分为4、B、C、。四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图.

等级成绩（久）频数频率

A80<%<100m

B70<x<8015

C60<%<70n

D%<604

根据图表信息，回答下列问题：

⑴表中m,n-

（2）若全校共有1200名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校成绩为4等级的学生人数为；

（3）学校拟在成绩为100分的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽取两名学生参加市级比赛，请用树状图或

列表法表示所有可能的结果，并求甲、乙两名学生中恰好只有1人被选中的概率.

21.（本小题8分）

如图，F为四边形A8CD边CD上一点，连接4尸并延长交BC延长线于点E,已知NDAE=NE.

⑴求证：AADFMECF；

(2)若CF=2,AF=2EF,求DC的长度.

22.（本小题8分）

如图，已知△ABC内接于。。，力B是。。的直径，NC4B的平分线交BC于点。，交O。于点E,连接EB,

作=交4B的延长线于点F.

（1）求证：EF是。。的切线；

（2）若BF=10,EF=20,求。。的半径.

23.（本小题9分）

某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价%（元）之间满

足如图所示的一次函数关系.

(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？

(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元?

24.(本小题10分)

在正方形A8CD中，M是BC边上一点，且点M不与8、C重合，点P在射线4M上，将线段2P绕点4顺时针旋

转90。得到线段力Q,连接BP,DQ.

(1)如图1,当点P在线段4M上时，依题意补全图1；

(2)在图1的条件下，延长BP,QD交于点H,求证：Z.H=90°.

(3)在图2中，当点P在线段AM的延长线上时，连接DP,若点P,Q,。恰好在同一条直线时，猜想DP,

DQ,之间的数量关系，并证明.

25.(本小题12分)

如图，抛物线y=—/+bx+c经过点4(3,0),B(0,3),点P是直线2B上的动点，过点P作％轴的垂线交抛

物线于点设点P的横坐标为t.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P在第一象限，连接AM,BM,当线段PM最长时，求AABM的面积；

(3)是否存在这样的点P,使以点P,M,B,。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的

横坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：42x+1=0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、、2+久=1是二元二次方程，故本选项不符合题意；

C、x2-l=0是一元二次方程，故本选项符合题意；

D,该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意.

故选：C.

根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

本题考查了一元二次方程的定义.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，

一般形式是a/+匕％+©=0(且a丰0).特别要注意a*0的条件.

2.【答案】B

【解析】解：4、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故选项错误，不符合题意；

3、是轴对称图形，也是中心对称图形.故选项正确，符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形.故选项错误，不符合题意；

。、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故选项错误，不符合题意.

故选:B.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

本题考查中心对称，轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

3.【答案】B

【解析】解：y=ax2+2ax+3,

••・抛物线对称轴为直线x=-"=-1,

2a

将x=0代入y=ax2+2ax+3得y=3,

抛物线经过(0,3),

由抛物线的对称性可得抛物线经过(-2,3).

故选：B.

由二次函数解析式可得抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标，进而求解.

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

4.【答案】C

【解析】解：连接0B,过点。作。C14B于点D,交。。于点C,如图所示:

•••AB-24cm,

BD=gAB=12(cm),

,•'O。的直径为26cm,

OB—OC=13(cm),

在RtAOBD中，。。=VOB2-BD2=V132-122=5(cm),

CD=OC-OD13-5=8(cm),

即水的最大深度为8on,

故选：C.

连接。B,过点。作。C14B于点D,交。。于点C,先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出。。的

长，进而得出CD的长即可.

本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：4守株待兔是随机事件，故A符合题意；

8、水中捞月是不可能事件，故8不符合题意；

C、瓮中捉鳖是必然事件，故C不符合题意；

水涨船高是必然事件，故。不符合题意；

故选：A.

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一

定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件

是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

根据长与宽之间的关系，可得出长为竽步，宽为与步，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于久的

一元二次方程，此题得解.

【解答】

解：•••长与宽和为60步，长比宽多x步,

...长为竽步，宽为号步.

依题意得：竽•丹三=864.

故选:B.

7.【答案】D

【解析】解:连接0408,OC.

由题意，=—=90%ZBOC=—=60%

•••N40C=4AOB-乙BOC=30°,

.一360°_“

,,TL-30。-12,

故选：D.

根据正多边形中心角的定义求出，乙AOB,NBOC可得结论.

本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

8.【答案】C

【解析】解：如图：作8尸14尸，垂足为F.

•••BF：AF=1：3,

•••2：AF=1：3,

AF=6,

AB=,22+62=740=2/10.

故选：C.

根据坡比求出4尸的长，再根据勾股定理求出A8的长即可.

本题考查了解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：•••4D为。。的切线，

ABLAD,

.­.ABAD=90°,

Z.B=90°-/.ADB=90°-59°=31°,

,・,点a是团的中点，

AE=AC>

.­•LACE=Z5=31°.

故选：C.

先根据切线的性质得到NBA。=90°,则利用互余计算出NB=31°,然后根据圆周角定理得到N2CE的度

数.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.

10.【答案】D

【解析】解：•••点力在直线y=久上，点4的横坐标为2,

・•・4(2,2),

•••边长为3的正方形4BCD的边分别平行于x轴、y轴，

C点坐标为⑸5),

当双曲线y=5经过4点时，此时k=2x2=4；

当双曲线y=£经过C点时，此时k=5x5=25；

k的取值范围为4<k<25.

故选：D.

先利用直线解析式确定4点坐标，再根据正方形的性质得到C点坐标，然后求出反比例函数图象分别经过

4、C时对应的k的值，从而得到k的取值范围.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=5(k为常数，k40)的图象是双曲线，图象上

的点(x,y)的横纵坐标的积是定值K即xy=k.也考查了反比例函数的性质和正方形的性质.

11.【答案】(3,-4)

【解析】解:抛物线y=。一3/一4的顶点坐标是(3,—4).

故答案为：(3,-4).

根据抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标是直接写出即可.

此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(九k),对称轴是直

线％=h.

12.【答案】70

【解析】解：vsin60°=—

%-10°=60°,

解得：x=70°,

故答案为：70.

根据60。的正弦值是年计算即可.

本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记60。的正弦值是苧是解题的关键.

13.【答案】16

【解析】解：•••P(2,a)和点Q(—b,4)关于原点对称,

-b=-2,ct——4,

解得：b=2,a=-4,

则心=(-4)2=16,

故答案为：16.

根据关于原点对称的点的坐标特点可得=-2,a=-4,再解方程即可得到a、b的值，进而可算出答

案.

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点

P(无,y)关于原点。的对称点是P'(-x,-丫).

14.【答案】3

【解析】解：•••以点。为位似中心，将AOAB放大后得到AOCD,

.•.AOAB-AOCD,

.AB_OA_AO_2_2

"DC-CO-OA+AC—2+AC—0’

解得：AC=3,

故答案为：3.

利用位似性质得到△0aBs△OCD,然后根据相似三角形的性质求解.

本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行(

或共线).

15.【答案】|兀

【解析】解：连接。。、0E；

•••C、D、E、F是Q上的五等分点

•••功。£建x180。=36。，

,*,△。£)£"和4PDE同底等IWJ,

036X71X222

S扇形DOE=360=髀；

故答案为:|TT.

连接。D、OE,那么阴影部分的面积就等于扇形。DE的面积，根据C、D、E、F是弧力B的五等分点，可求

得圆心角NDOE的度数，进而可根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积.

此题主要考查的是扇形面积的计算方法，能够发现扇形ODE和阴影部分的面积关系是解决此题的关键.

16.【答案】3+0

【解析】解：当久=。时，y=(x-I)2-4=-3,

・••点。的坐标为(0,-3),

0D=3；

当y=0时，有。—1)2—4=0,

解得：=—1,%2=3,

・••点A的坐标为(一1,0),点B的坐标为(3,0),

AB=4,0A=1,0B=3.

-1

连接CM,贝!)CM=/HB=2,0M=1,如图所示.

在RtACOM中，CO=VCM2-OM2=<3,

CD=CO+OD=3+y/~3-

故答案为：3+质.

利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点4B、。的坐标，进而可得出。。、OA,0B,根据圆的性质可

得出。M的长度，在COM中，利用勾股定理可求出C。的长度，再根据CD=C0+。。即可求出结论.

本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、圆以及勾股定理，利用二次函数图象上

点的坐标特征求出点4、B、。的坐标是解题的关键.

17.【答案】解：|-1|+(-1)2022-sm30°一(C一72)°

=0.

【解析】根据实数的运算法则和零指数幕的性质以及特殊角的三角函数值即可得到结论.

本题考查了实数的运算，零指数幕，特殊角的三角函数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

18.【答案】解：；二次函数、=/+法+(；的图象过点力(2,5),C(0,-3),

*2+2b+c=5

to2+6x0+c=-3'

解得：b=2,c=-3,

.•.二次函数的解析式为y=/+2%一3.

当y=0时,y=x2+2x-3=0,

(%—1)(%+3)=0,解得：x1=—3,x2=1.

•••该抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0).与y轴的交点坐标为(0,-3).

【解析】首先利用待定系数法求出表达式，然后利用二次函数的性质求解即可.

此题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数与坐标轴的交点坐标，解题的关键是熟练掌握待定系

数法求二次函数表达式.

19.【答案】解：⑴A=a2-4(a-2)

=a2—4a+8

=a2—4a+4+4

=(a-2)2+4>0,

・•・不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

(2),方程工2+ax+a-2=0的两个实数根久I,x2,

x1+x2=—a,xrx2=a—2,

好+好=7,

=2

xf+xj(久i+g)?-2x1x1=(-a)—2(a—2)=7,

解得：a=3或a=-1.

a的值为3或—1.

【解析】(1)由判别式/>0即可证明；

(2)由根与系数的关系可得%+不=—a,xrx2=a—2,再由呼+另=7得到关于a的方程，解方程则可

求a的值.

本题考查一元二次方程的根；熟练掌握判别式确定根的存在情况，灵活应用根与系数的关系是解题的关

键.

20.【答案】29640

【解析】解：(1)抽取的学生人数为：15+轰=60(人),

n=60X15%=9,

・•.A等级的人数为60-15-9-4=32(人)，

・•・m=32+60=与

15

故答案为4，9；

(2)解：由题意得：1200X盘=640(名)；

故答案为：640；

(3)解：画树状图如下：

开始

甲乙丙丁

xdX.

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名学生中恰好只有1人被选中的结果有8种，.•・甲、乙两名学生中恰

好只有1人被选中的概率为。=|.

(1)由B的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，即可解决问题；

(2)根据题意可直接进行求解；

(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名学生中恰好只有1人被选中的结果有8种，再由概

率公式求解即可.

本题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识.树状图法可以不重复不遗漏的列出

所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

21.【答案】(1)证明：•••ADAE=4E,^DFA=乙CFE,

ADF^AECF,

(2)解：由(1)知，XADFfECF,

.竺_竺

,•而一而‘

•・•CF=2,AF=2EF,

2EF_DF

~EF~~

解得。尸=4,

：.DC=DF+CF=4+2=6,

即DC的长度为6.

【解析】（1）利用相似三角形的判定即可证明△NDFsAECF；

（2）根据相似三角形的性质和题目中的数据，可以计算出DF的长，然后再根据CF=2,即可得到DC的长.

本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

22.【答案】解：（1）连接。E,

•••4B是O。的直径，

•••乙AEB=90°,即NAE。+乙OEB=90°,

•••4E平分NG4B,

•••Z-CAE=Z.EAB,

0A=0E,

•••Z.EAB=Z.AEO,

Z.BEF=Z.CAE,

Z.BEF=Z.AEO,

・•・乙BEF+乙OEB=90°,

•••0E1EF,

•••0E是O。的半径，

・•.石尸是。。的切线.

(2)设。。的半径为力

则有。E=OB=x,

在Rt△OEF中，

OE2+EF2=OF2,

/+202=(x+10)2,

解得x=15.

；.O。的半径为15.

【解析】(1)连接。E,根据圆周角定理得乙4EB=90。，再由角平分线得定义和同圆半径相等，等腰三角形

及等量代换可得NOEF=90。即可得到结论.

(2)如图，设半径为x,则有。E=OB=x,根据勾股定理即可求出x的值.

本题考查了切线的判定，圆周角定理的应用等，掌握切线的判定定理，圆周角定理的应用是解题的关键.

23.【答案】解：(1)设一次函数的关系式为丫=kx+6,

由题图可知，函数图象过点(25,50)和点(35,30).

把这两点的坐标代入一次函数y-kx+b,

彳曰［25k+b=50

付t35/c+b=30，

解得c：高

・•・一次函数的关系式为y=-2%+100；

(2)根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，

由题意得，

(x-10)x(-2%+100)=600,

解得：=40,%2=20,

・•・当天玩具的销售单价是40元或20元；

(3)根据题意，l!)w=(X—10)x(—2x+100),

整理得：iv=-2(%-30)2+800；

-2<0,

.•.当％=30时，w有最大值，最大值为800；

••・当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元.

【解析】(1)直接用待定系数法，求出一次函数的关系式；

(2)根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；

(3)根据题意，列出w与久的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案.

本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理

解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题.

24.【答案】解：（1）补全图形如图1：

(2)如图1,延长BP,QD交于点H,

•••四边形4BCD是正方形，

AD=AB,L.DAB=90°,

•••将线段4P绕点4顺时针旋转90。得到线段4Q,

•••AQ=AP,“AP=/.DAB=90°,

Z.QAD=Z.BAP,

-.AAQD=hAPB(SAS^

PB=QD,乙AQD=Z-APB,

•・•/.APB+乙APH=180°,

・•・^AQD+乙APH=180°,

•••Z.QAP+"PH+乙AQD+乙H=360°,

・•・乙H=90°；

(3)DP2+DQ2=2AB2.

证明：连接BD,如图2,

•・•线段/P绕点/顺时针旋转90。得到线段ZQ,

/.AQ=AP,^QAP=90°,

••・四边形/BCD是正方形，

AD=AB,448=90。，

•••z.1=z2.

ADQ三△ABP(SZS),

DQ=BP,Z-Q=Z.3,

•・,在Rt△QZP中，Z-Q+Z-QPA=90°,

・•・乙BPD=Z3+^QPA=90°,

在/^△8尸0中，DP2+BP2=BD2,

又•・•DQ=BP,BD2=2AB2,

・•・DP2+DQ2=2AB2.

【解析】(1)根据要求画出图形，即可得出结论；

(2)由旋转的性质可得4Q