2022-2023学年江西省上饶市余干四校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省上饶市余干四校八年级（下）期中数学试

卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）

A.5,12,13B.2,3,4C.1,√-2,CD.1,2,>∏>

2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.B.ʃɪC.>∏L5D.√^20

3.如图，四边形ABCD中，对角线AC、B。相交于点。，下列条件不能判定这个四边形是平

行四边形的是（）

A.AB∕∕DC,AD//BCB.AB∕∕DC,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB=DC,AD=BC

4.化简J（3—兀）2得（）

A.TT—3B.3—TTC.—TT—3D.7T+3

5.如图所示，RtZkBCD中，∆BDC=90o,CD长度为单位1,数轴上点4所表示的数为α,则

ɑ的值是（）

---

A.√5-1B.-λΓ5+1C.√5+1D.√5

6.如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE=DF,

若四边形OEDF的面积是去OA的长为1,则正方形的边长AB为（）

q

5

A.B4-

5

2-

C.色

4

D.nɜ

2

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.若，在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是

8.若最简二次根式2d21二而与√3α—4是同类二次根式,贝IJa的值是

9.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，

周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”

题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆

柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点4处缠绕而上，绕五周后

其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是丈.

10.直角三角形的两边a、b满足良2—9∣+√16-炉=0,第三边长是

11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BC交于点。，E为边AD

的中点，OE=5,OB=8,则菱形ABCO的面积为一.

12.如图，已知正方形4BCD的边长为4,P是对角线BD上一点,

PEIBC于点、E,PFJ.CD于点尸，连接4P,E凡给出下列结论：

①PD=√r^2DF;

②四边形PECF的周长为8；

③EF的最小值为2：

（4）AP1EF.

其中正确结论的序号为.

三、解答题（本大题共U小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.（本小题8.0分）

计算：

∣

(1)2<18-5∫+y∏2^

⑵C-2)2—

14.（本小题8.0分）

已知X=2+*'y=2­√^⅞,求“2+xy+y2的值.

15.（本小题8.0分）

如图是某小区为迎接十四运，方便群众活动健身设计的秋千示意图，秋千4B在静止位置时,

卜端B离地面0.6m,当秋千到4B'的位置时，下端8'距静止位置的水平距离DB'等于1.2τn,距

地面1m,求秋千4B的长.

16.（本小题8.0分）

已知点E、F为平行四边形ABCD对角线AC上的两点，AE=CF,

(1)求证：∆ΛBF≡ΔCDE↑

（2）判断四边形BFDE的形状，并说明理由.

17.（本小题8.0分）

如图是单位长度为1的正方形网格.

（1）在图1中画出一条长度为E的线段4B：

（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形.

18.(本小题8.0分)

如图，在△4BC中，。是BC上一点，若4B=10,BD=6,AD=8,AC=17.

(1)求DC的长.

(2)求AABC的面积.

19.(本小题8.0分)

当a=2022时，求“、，-上一I的值.如图是小亮和小芳的解答过程:

(1)的解法是错误的；

(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；

(3)当α>3时，求、一1“的值.

20.(本小题8.0分)

如图，矩形4BCD中，EF垂直平分对角线BD,垂足为。，点E和F分别在边4D,BC上，连接BE,

DF.

(1)求证：四边形BFDE是菱形；

(2)若ZE=OF,求4BDC的度数.

21.(本小题8.0分)

先观察下列等式，再回答下列问题:

①Ji+⅛+⅜=i+τ-⅛1Γ

②J1+*+»1+；一击1T

③J1+⅛+⅜=1+l^⅛τ1⅛∙

⑴请你根据上面三个等式提供的信息，猜想J1+京+5的结果，并验证;

(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n(n为正整数)表示的等式.

(3)请利用上述规律来计算:瑞+京仿照上式写出过程)；

22.(本小题8.0分)

如图，已知在RtAABC中，∆ACB=90o,AC=8,BC=16,。是4C上的一点，CD=3,点

P从8点出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t.连接4P.

(I)当t=6秒时，求AP的长度；

(2)当AABP为等腰三角形时，求所有符合条件的t值；

(3)过点。作。E_L4P于点E.在点P的运动过程中，直接写出当t为何值时，能使DE=Cz)?

23.(本小题8.0分)

已知：在△4BC中，∆BAC=90o,AB=AC,点。为直线BC上一动点(点。不与B、C重合),

以4。为边作正方形40EF,连接CF.

(1)如图1,当点。在线段BC的延长线上时，请你判断线段BD与CF的数量关系，并说明理由.

(2)如图1,若AC=21∑CD=2,请连接DF并求出DF的长.

(3)如图2,当点。在线段BC的反向延长线上时，且点小F分别在直线BC的两侧，其它条件不

变；若连接正方形对角线4E、DF,交点为0,连接。C,探究△4。C的形状，并说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4、52+122=132,则此项能作为直角三角形三边长，不符合题意；

B、22+32=13≠42,则此项不能作为直角三角形三边长，符合题意；

ɑι2+(√^)2=(√3)2,则此项能作为直角三角形三边长，不符合题意；

。、12+22=(仁)2,则此项能作为直角三角形三边长，不符合题意；

故选：B.

根据勾股定理的逆定理逐项判断即可得.

本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键.

2.【答案】C

【解析】解：力、，破=J?=野，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；

B、被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意：

C、E是最简二次根式，本选项符合题意：

D、√^20=2<5,被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；

故选：C.

根据最简二次根式的概念判断即可.

本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因

式的二次根式，叫做最简二次根式.

3.【答案】B

【解析】解：4、AB∕∕DC,4D〃BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四

边形是平行四边形，故此选项不合题意；

B、AB∕∕DC,AD=BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；

C、AO=CO,BO=CO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四

边形，故此选项不合题意；

D、AB=DC,4。=BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行

四边形，故此选项不合题意；

故选:B.

利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形∙（2）两组对边分别相

等的四边形是平行四边形.（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）对角线互相平分

的四边形是平行四边形进行分析即可.

此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理.

4.【答案】A

［解析］解：J（3—兀）2

=|3-兀I

=π—3,

故选：A.

根据二次根式的性质进行化简即可求解.

本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：由题意得，BC=VI2+22=，亏，

二数轴上点A所表示的数为α为：√-5-1,

故选：A.

先运用勾股定理求得线段Be的长度，再根据数轴上点的特点，即可得出a的值.

此题考查了利用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解题意并列式、计算.

6.【答案】D

【解析】解：•••四边形ABCD是正方形，

.∙.AB=AD,乙BAE=∆ADF=90°,

在AABE与ADAF中，

AB=AD

/.BAE=∆ADF,

AE=DF

•MABE"DAF（SAS）,

ʌ/.ABE=/.DAF,

ʌ∆ABE+/.BAO=Z.DAF+Z.BAO=90°,

:∙ΛAOB=90o,

ABE=LDAF,

**'SAABE=^LDAF»

ʌS>ABE一SM。E=S^DAF—SLAOE,

即SMB。=S四边形OEDF=1，

13

。。-=

2-4-

：,AB=√AO2+BO2=Jl2+(∣)2=苧，

故选：D.

根据正方形的性质得到AB=AD,/-BAE=Z.ADF=90°,根据全等三角形的性质得到NABE=

∆DAF,求得NAOB=90。，根据三角形的面积公式得到。4=1,由勾股定理即可得到答案.

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，以及勾股定理等知识，证

明△ABENAZMF是解题的关键.

7.【答案】x≥6

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件列不等式求解.

本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)是解题关键.

【解答】

解：由题意可得x—6≥0,

解得X≥6,

故答案为：X>6.

8.【答案】5

【解析】解：•••最简二次根式2√21-2α与J3α—4是同类二次根式,

ʌ21—2Q=3Q—4,

解得：a=5.

故答案为：5.

两个最简二次根式是同类二次根式，则被开方数相等，由此可得关于α的方程，解方程即可.

本题考查了同类二次根式及一元二次方程，掌握同类二次根式的含义是关键.

9.【答案】5

【解析】解：如图所示：4B表示葛藤的最短长度,

由题意可知：BC=3(±),Ae=8x5÷10=4(丈),

在Rt△ABC中，AB=√ZlC2+BC2=√32+42=5（丈）.

故答案为：5.

根据题意画出图形，在Rt△4BC中，再根据勾股定理求解即可.

本题考查了平面展开一最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造直角三角形是解题的关键.

10.【答案】「或5

【解析】解：因为直角三角形的两边a、b满足W-9∣+√16-炉=0,

所以a2-9=0,16-62=0,

解得a=3,£1=-3（舍去），b=4,b=-4（舍去），

当第三边是直角边时，长为142—32=V^^7；

当第三边是斜边时，长为√42+32=5;

故答案为：√7或5.

先确定a=3,b=4,在第三边是直角边和斜边两种情况计算即可.

本题考查了实数的非负性，勾股定理，分类思想，熟练掌握分类思想和勾股定理是解题的关键.

11.【答案】96

【解析】解：菱形的对角线AC、BC交于点O,OB=8,

：，OA=OC,OB=OD,AC1BD,

∙∙∙E为边4。的中点，OE=5,

.∙.AD=20E=10,

.∙.AO=√AD2-OD2=√102-82=6，

ʌAC=20A=12,

λS菱形ABCD=5X4CXBD=EXl2X16=

故答案为：96.

根据菱形的性质和已知条件可得。E是RtADOZ的中位线，由此可以求出ZM的长，再根据勾股定

理可求出OZ的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.

本题主要考查菱形的性质，三角形中位线的性质及勾股定理的知识，熟练掌握菱形的两条对角线

互相垂直平分是解题的关键.

12.【答案】①②④

【解析】解：如图，连接PC,

①•••正方形ABC。的边长为4,P是对角线B。上一点,

."PDC=45°,

又PFLCD,

：.∆PFD=90°,

•••△PD尸为等腰直角三角形，

.∙.PD=L∑DF,故①正确；

②由①同理得：ABPE是等腰直角三角形,

.∙.PE=BE,

■：4PEC=乙ECF=∆PFC=90°

••・四边形PECF为矩形，

四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2(CE+BE)=2BC=2X4=8,故②正确;

③•••四边形PEC尸为矩形，

・・・PC=EF,

由四边形ABCD为正方形，BD所在直线为四边形ABCD的对称轴，可得4P=PC,

∙∙∙AP=EF,

当AP最小时,EF最小,此时APIBD,

.∙∙AP=^BD=2√^I,

・・・EF的最小值等于2「，故③错误；

④延长FP交AB于M,延长AP交EF于H,

-AB//CD,PF1CD,

・・・FMLAB9

∙∙∙8D平分乙4BC,PMLABfPELBC,

・・・PM=PE,

VAP=EF,Z.AMP=(EPF=90°,

・•・Rt△AMP三Rt△FPE(HL),

・∙・Z-BAP=Z-PFE9

•・•Z-AMP=90°,

・・・Z,BAP+∆APM=90°,

•・•∆APM=乙HPF,

・・・∆PFH+乙HPF=90°,

・・・乙PHF=90°,

.∙.APIEF,故④正确；

综上所述，①②④正确，

故答案为：①②④.

①先证APDF是等腰直角三角形，贝IJP。=，NDF,即可判断；

②先证明△PEB是等腰直角三角形,再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形PECF为矩形,

则四边形PECF的周长=2BC=8,即可判断；

③由四边形ABCD为正方形，BD所在直线为四边形ABCD的对称轴，可得AP=PC,根据矩形对

角线相等得PC=EF,当API.BD时，垂线段最短，即可判断；

(4)iiE0JlΛt∆AMP^Rt∆FPE,得至∣J∕B∕IP=NPFE,进而求日军.

本题综合考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识；充分利用正

方形的性质证明三角形全等是解题的关键.

13.【答案】解：(l)2E-5jT+E

_15√"7

(2)(0乌尹

=3-4、~3+4—V9+V4

=3-4V3+4—3+2

=6-4√-3.

【解析】(1)直接利用二次根式的性质化简计算即可；

(2)利用完全平方公式，二次根式的性质计算即可.

本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键.

14.【答案】解：X2+%y+y2=X2+2xy+y2-xy=(%+y)2一xy；

把X=⅛τy=5∑¼代入S+'/一孙，

,,、2,1,1、21、，1

.∙∙Q+y)一0=+-2+7ς52^73

_(11、2_1]

―½+≠^3+2-∙Jy-2+口X2->Γ3

,2-V3+2+J3、？1

=42-1

=15.

【解析］根据(α±b)2=α2±2αb+b2,对/+χy+y2进行化简，然后把χ,y的值代入，即可.

本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的化简，分母有理化，平方差公式，完全

平方公式.

15.【答案】解：设4B=xrn,则AB'=xm,

由题意可得出：Dfi=1-0.6=0.4(m),

则AC=AB-DB=(X-0.4)m,

在Rt△AB'D中，

AD2+B1D2=AB'2,

则—0.4)2+122=乂2,

解得：%=2.

答：秋千AB的长为2m∙

【解析】利用已知表示出4。的长，再利用勾股定理得出即可.

本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

16.【答案】(D证明:VAE=CF,

：.AF=CE,

又∙.∙ABC。是平行四边形，

•••AB-DC,

-AB//DC,

：.Z.BAC=Z-DCA,

∙-∙ΔABF=Δ,CDE；

(2)解：结论：四边形BFDE是平行四边形.

理由：•；四边形4BCD是平行四边形，

∙∙.AB=DC,

■■■AB//DC,

"AE=CF,

Z.BAC=Z-DCA,

.∙.ΔBAE^Δ,DCF(SAS),

：.BE=DF,

又,：△ABF≡Δ,CDE,

.∙.ED=FB,

••・四边形BFDE是平行四边形.

【解析】（1）根据平行四边形性质可判断出4B=DC,ABAC=∆DCA,再结合题目条件即可求证；

（2）根据平行四边形性质可判断出48=DC,∆BAC=乙DCA,接着证明小BAE=ΔDCF,得出BE=

DF,再结合（1）的结论，得出ED=FB,即可证明结果.

本题考查了全等三角形的判定方法，平行四边形性质，平行四边形的判定方法，熟悉掌握相关知

识点是解题关键.

17.【答案】解：（1）如图1所示，4B即为所求.（答案不唯一）

（2）如图2所示的正方形即为所求.（答案不唯一）

图1图？

【解析】（1）根据勾股定理作出以1和3直角边的三角形的斜边即可；

（2）利用勾股定理作以门为边长的正方形即可.

本题考查了勾股定理，是基础题，熟练掌握网格结构以及勾股定理的应用是解题的关键.

18.【答案】解：（I）在△?!B。中，AB=10,BD=6,AD=8,

；.AB?=BD2+AD2,

・•.△4BD为直角三角形，

.∙.AD1BC,即ZJWC=90。，

在RtAzWC中，AD=8,AC=17,

根据勾股定理得：DC=√172-82=15：

11

（2）SMBC=（AD∙BC=^AD・（BD+DC）=84.

【解析】（1）在三角形ABC中，利用勾股定理的逆定理判断得到为直角三角形，即AD垂直

于BC,在直角三角形4CC中，利用勾股定理求出DC的长；

（2）由BO+DC求出BC的长，即可求出三角形ABC面积.

此题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，以及三角形面积求法，熟练掌握勾股定理逆定理是解本

题的关键.

19.【答案】解：(1)小亮；

<2)VH∙'<>；

(3)因为α>3,

所以α—3>0,1—α<0,

所以原式=J(α-3)2-∣l-α∣,

=∣α—3|—|1—α∣

=α—3+(1—α)

=a-3+1-a

=—2.

【解析】

【分析】

(1)观察可知小亮的解法没有正确运用二次根式的性质，所以小亮的解法是错误的；

(2)小亮错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质-”；

(3)根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案.

【解答】

解：，:1∖aj2aɪ

-a+y(l-a?

=a+∣l-a∣

因为a=2022>1,所以1-a<0,Iaa1,

所以原式=α+ɑ-1

=2α-1

=2×2022-1

=4043

所以小亮的解法是错误的.

故答案为：小亮；

(2)小亮错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质∖V-”.

故答案为：V.1〃；

(3)见答案.

【点评】

本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质.

20.【答案】(I)证明：・・・E尸垂直平分对角线BD,

・・・乙o

DoE=Z.BOF=90,OB=OD9

四边形ABCD是矩形，

ADIlBC,

・•・∆DEO=乙BFO,

在ADEO和ABFO中，

∆DOE=乙BoF

乙DEO=乙BFO,

OD=OB

•••△0E0*BF0(44S),

.・.DE—BF,

•・,EF垂直平分对角线BD,

・•・DE=BE,BF=DF,

DE=BE=BF=DF,

・・・四边形BFZ)E是菱形；

(2)解：•・・四边形ZBC。是矩形，

・•・AB=CD,∆A=∆C=90°,

•・•Z.BOF=90°,

・•・Z.A=(BoF=90°,

在Rt△84E和Rt48。F中，

(BE=BF

lAE=OF'

・•・Rt△BAE^Rt△BOF(HL),

・•・AB=OB1

∙.∙AB=CD9OB-OD9

1

.∙.CD=^BD,

∙.∙ZC=90o,

."CBD=30o.

:•乙BDC=180o-ZC-乙CBD=60°.

【解析】(I)求出ND。E=NBoF=90。，OB=OD,4DEo=LBFO,根据全等三角形的判定定理

得出△DEO=SBFO,根据全等三角形的性质得出DE=BF,根据线段垂直平分线的性质得出DE=

BE,BF=DF,根据菱形的判定推出即可；

(2)根据全等三角形的判定得出RtΔBAEmRtΔBOF,根据全等三角形的性质得出AB=OB,求出

CD=∖BD,根据含30。角的直角三角形的性质得出即可.

本题考查了全等三角形的性质和判定，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，含30。角的直角三角

形的性质，矩形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.

21.【答案】解：(I)J1+»»1+9兴嗡

(2)I1÷-ɪ÷■ɪ-=IH—(ɪ1λ;

√九2(n÷l)2∏(n+l)

⑶J郎+专

【解析】(1)根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可;

(2)根据已知算式得出规律即可；

(3)先变形为原式=/l+⅛+⅜-再根据得出的规律进行计算即可.

本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题

的关键.

22.【答案】解：(1)根据题意，得BP=t,

PC=16—C=16—6=10,

在Rt△4PC中，AC=8,

根据勾股定理，得AP=√AC2+PC2=√82+IO2=2/44.

答：AP的长为2√^^ξT.

(2)在RtZkABMAC=8,BC=16,

根据勾股定理，得AB=√AC2+BC2=√82+162=8√~51

•・•△4BP为等腰三角形，

若PA=PB,贝∣L4P=t,

在Rt△4CP中，根据勾股定理得，(t)2=(16-t)2+82,解得t=10.

若BA=BP,则£=8仁，

若4B=4P,则BP=32,t=32,

即满足条件的t的值为8仁或10或32.

(3)①点P在线段BC上时，过点。作DEIAP于E,如图1所示:

则乙4ED=乙PED=90°,

乙PED=∆ACB=90°,

∙.∙DE=DC,

・∙・Z.EPD=Z-CPDf

又•・•PD=PD,

PDE"PDC(HL),图1

・・・ED=CD=3,PE=PC=16—3

AD=AC-CD=8—3=5,

ʌAE—VAD2—DE2—V52-32=4,

・•・4P=/E+PE=4+16—t=20—3

在Rt△4PC中，由勾股定理得：82+(16-O2(20-O2,

解得：t=10；

②点P在线段BC的延长线上时，过点。作QEl

AP于E,如图2所示:

同①得：PDE^ΔPDC(AAS),

.∙.ED=CD=3,PE=PC=2t-20,

••・AD=AC-CD=8—3=5,图h

.-.AE=√AD2-DE=√52-32=4,

.∙.AP=AE+PE=4+t-16=t-12,

在Rt△4PC中，由勾股定理得：82+(t-16)2=(t-12)2,

解得：t=22；

综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为10或22时，DE=DC.

【解析】(1)根据动点的运动速度和时间先求出PC,再根据勾股定理即可求解;

(2)根据动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解;

(3)分两种情况：①点P在线段BC上时，过点。作DE_LAP于E,先证APDE三APDC,得出ED=

CD=3,PE=PC=16-2t,再由勾股定理求出力E=4,贝必P=20—2t,然后在RtAZPC中,

由勾股定理得出方程，解方程即可;

②点P在线段BC的延长线上时，过点。作DE1AP于E,同①得△PDE=^PDC,得出EO=CD=3,

PE=PC=2t-20,再由勾股定理得AE=4,贝∣jAP=2t-16,然后在Rt△4PC中，由勾股定理

得出方程，解方程即可.

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类

讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题

的关键.

23.【答案】解：⑴