高数课件佚名反常积分初步

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§6.5反常积分初步二、瑕积分三、Γ函数与B函数一、无穷限积分

前面介绍的定积分是限定在有界函数在有限区间上的积分问题，现将其推广到无穷区间或无界函数上，称无限区间上的积分为无穷限积分，称无界函数的积分为瑕积分，统称为反常积分（或称为广义积分、非正常积分）一无穷限积分（一）无穷限积分的定义和性质1定义：

上式右边两个反常积分中若有一个发散，则此无穷限积分发散，只有右边两个都收敛才收敛。2利用定义判别无穷限积分的敛散性例1

讨论下列无穷限积分的敛散性：解：3无穷限积分的性质（1）性质1：（2）性质2：

（3）性质3：引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:（4）性质4：

另外，定积分的换元积分法和分部积分法在无穷限积分中也是适用的。4利用性质计算无穷限积分举例例2讨论下列无穷限积分的敛散性：（1）利用分部积分公式有：

这个例题的结论很重要，后面常用它作为判别其它无穷限积分敛散性的依据。若作如下运算则是错误的：

因为右边两个无穷限积分均不收敛，不满足相关性质的条件，因此不能将其化为两个无穷限积分的差。（二）无穷限积分敛散性的判别1当f(x)为保号函数时(1)引理：（2）比较判别法：①②证明：(3)比较判别法的极限形式①②③(4)柯西判别法①②（5）判别举例例3

判别下列无穷限积分的敛散性：解：这两题中的被积函数的原函数均不能用初等函数来表示，因此不能用收敛定义中的极限是否存在进行判别2绝对收敛与条件收敛（1）绝对收敛：（2）结论：

（3）条件收敛：

类似可定义另外两种形式的条件收敛。并且任何无穷限积分必定是发散、条件收敛和绝对收敛中的某一个，三者必居其一。（4）应用举例例4

判别下列无穷限积分的敛散性：解：因为被积函数在积分区间上不保号，所以不能用保号函数的相关结论来处理。二瑕积分（一）定义1定义：2可以类似定义另外两种形式的瑕积分此时只有右边两个瑕积分均收敛，才有瑕积分收敛。3利用定义判别瑕积分敛散性举例例5讨论下列瑕积分的敛散性：解：

这个例题的结论很重要，后面将用它来判别其它瑕积分的敛散性。

另外，在应用牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法计算时，必须指出瑕点，被积函数的原函数在瑕点处的值按照初等函数的连续性来求。例6

判别下列瑕积分的敛散性：解：注：下述计算是错误的：错误出现的原因是：（二）瑕积分敛散性的判别法1比较判别法：3比较判别法的极限形式：3柯西判别法：

另外，瑕积分也可类似于无穷限积分一样，定义和讨论瑕积分的绝对收敛和条件收敛。4判别法应用举例例7

判别下列瑕积分的敛散性：解：例8解：此反常积分中既有无穷限积分，也有瑕积分，称其为混合型反常积分，只有它们两者都收敛时才收敛。三Γ函数与B函数1、Γ函数概念：2、Γ函数的性质证明：3、B函数的概念4、B函数的性质证明：5、应用举

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