2024春八年级数学下册第一章三角形的证明1等腰三角形素养集训1等腰三角形中作辅助线的常见方法作业课件新版北师大版

第一章三角形的证明1等腰三角形素养集训1.等腰三角形中作辅助线的常见方法⁠

利用“三线合一”作辅助线1.【2023·聊城】如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.12345678910（1）求证：∠EAD＝∠EDA；

12345678910（2）若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积.1.【2023·聊城】如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，由（1）知EA＝ED，∴AF＝FD，∠AEF＝∠DEF.12345678910

12345678910作腰的平行线构造等腰三角形2.如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF.求证：DE＝DF.12345678910证明：如图，过点E作EG∥AC，且EG交BC于点G，则∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.∴∠B＝∠EGB.∴BE＝EG.∵BE＝CF，∴EG＝CF.

∴△EGD≌△FCD（AAS）.∴DE＝DF.12345678910⁠

⁠作底边的平行线证线段相等3.如图，在等边三角形ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G.求证：DB＝DE.证明：如图，过点D作DF∥BC，DF交AB边于点F.∵△ABC是等边三角形，DF∥BC，∴AB＝AC，12345678910∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°.∴△ADF是等边三角形.∴AD＝DF＝AF.∴CD＝BF.∵AD＝CE，∴FD＝CE.又∵∠DFB＝∠DCE＝180°－60°＝120°，∴△BFD≌△DCE（SAS）.∴DB＝DE.123456789104.如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数.⁠

绕顶点旋转三角形求角的度数12345678910解：如图，将△BCP绕B逆时针旋转60°，得到△BAP'.连接PP'，则∠PBP'＝60°，BP＝BP'，AP'＝PC＝10.∴△PBP'是等边三角形，∴∠BPP'＝60°，PP'＝BP＝8，∵PP'＝8，AP'＝10，PA＝6，∴PP'2＋PA2＝AP'2，∴∠APP'＝90°，∴∠APB＝60°＋90°＝150°.12345678910⁠

⁠

倍长中线法证与中线有关的线段的倍分关系5.如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.12345678910

12345678910

12345678910⁠

截长补短法证线段的倍分或和差关系

证明：如图，延长CB到点E，使BE＝BA，连接AE，则∠E＝∠BAE.12345678910∵∠E＋∠BAE＝∠ABC，∴∠ABC＝2∠E.∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C.∴AE＝AC.∵AD⊥BC，∴CD＝DE.∵点M为BC的中点，∴BM＝MC

123456789107.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，CD平分∠ACB交AB于D，E为BC上一点，BE＝DE.求证：BC＝CD＋AD.证明：如图，过D分别作直线BC，AC的垂线，垂足分别为F，G，则DF＝DG.∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠ACB＝40°，∵BE＝DE，∴∠B＝∠BDE＝40°，12345678910

12345678910⁠

⁠

以底或腰为边作等边三角形构造全等8.如图，△ABC是等边三角形，D为AC延长线上一点，E是BC延长线上一点，CE＝AD，求证：DB＝DE.证明：如图，过点D作DF∥AB交CE于F，12345678910

12345678910⁠

⁠

根据已知条件有60°的角构造等边三角形9.如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD＋BD，∠B＝4∠ACD，求∠DCB的度数.12345678910解：如图，延长AB至点E使BE＝AD，连接CE.12345678910

12345678910⁠

⁠

利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形10.（1）如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，求证：△PMO≌△QNO.

12345678910

12345678910（2）根据上述结论探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.（2）解：AB＝AF＋CF.证明：如图，分别延长DC，AE，交于G点，123