江苏省2024届高考数学模拟试题（二）（含答案）

江苏省2024届高考数学模拟试题（二）一、单选题1．已知集合，，则下列关系一定正确的是（

）A． B．C． D．2．已知数列是公差为d的等差数列，对正整数m，n，p，若，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件3．已知复数z满足（其中i为虚数单位），且z的虚部为，则（

）A． B．C． D．4．如图，高速服务区停车场某片区有A至H共8个停车位每个车位只停一辆车，有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为（

）ABCDEFGHA． B． C． D．5．如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同两点，，，，．若，则过四点的球的表面积为（

）

A． B． C． D．6．已知，，则（

）A． B． C． D．7．已知为椭圆与双曲线公共的焦点，且在第一象限内的交点为P，若的离心率满足，则（

）A． B． C． D．8．已知点在曲线上运动，过作以为圆心，1为半径的圆的两条切线，则的值可能是（

）A． B． C．4 D．5二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．若随机变量，则B．若经验回归方程中的，则变量与正相关C．若随机变量，且，则D．若事件与为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥10．已知函数，则以下结论正确的是（

）A．为的一个周期B．在上有2个零点C．在处取得极小值D．对，，11．已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（

）A．为奇函数 B．C． D．为偶函数三、填空题12．小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为，若他在第一个路口遇到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的概率为，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为．13．已知，若，则的最大值为．14．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点（异于坐标原点，与轴交于点，若，，则；向量与的夹角为．四、解答题15．某设备由相互独立的甲､乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若有且只有一个部件出现故障，则设备出现异常.在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为，乙部件出现故障的概率为.甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故障，检修费用为2千元，在一个生产周期内，甲､乙两个部件至多各出现一次故障.(1)试估算一个生产周期内的平均检修费用；(2)求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率.16．已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，.(1)求数列和数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.17．在五棱锥中，，，平面平面.

(1)求证：；(2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.18．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为.(1)求的方程；(2)过椭圆的右焦点的直线与交于两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为.①求的取值范围；②求证：为定值.19．若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数，其中为正实数.(1)若函数有极值点，求的取值范围；(2)当和的几何平均数为，算术平均数为.①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；②当时，证明：.参考答案：1．C【分析】由并集运算和集合的包含关系，分析集合B中的元素，结合选项即可判断.【详解】因为集合，，则集合B一定含有2，3，可能含有0，1，对比选项可知，只有C正确.故选：C.2．D【分析】利用等差数列的性质和通项公式，结合充分、必要条件的定义即可判断.【详解】因为数列是公差为d的等差数列，若，等价于，等价于，等价于，所以是的充要条件.故选：D.3．B【分析】利用复数的模的运算法则、求得，由复数的模计算公式，即可计算答案.【详解】由，有，即，由的虚部为，设，则有，解得，则.故选：B4．A【分析】设事件“两辆黑色车停在同一列”，事件“两辆白色车停在同一列”，根据条件概率公式，即可求解.【详解】设事件“两辆黑色车停在同一列”，事件“两辆白色车停在同一列”，则所求概率为，因为，，所以，故选：A5．B【分析】根据垂直关系可得是二面角的一个平面角，过作平面的垂线和平面的垂线，得交点为外接球球心，利用勾股定理即可求出,由表面积公式即可求解.【详解】因为二面角的大小为，如图，所以平面与平面所成角的大小为，取的中点，的中点，，为，的外心，取的中点，连接，，则，，所以是二面角的一个平面角，则，过作平面的垂线和过作平面的垂线，交于点，即为外接球球心，所以平面，平面，连接，，所以易证得：△与△全等，所以，所以在直角三角形，，则过、、、四点的球的表面积为，故B正确．故选：B．

6．A【分析】利用已知结合同角的三角函数关系化简求得，再由同角三角函数基本关系即可求解.【详解】因为，，且，则或，由，得，即，解得，则，则，又，，故，解得，故选：A7．C【分析】根据椭圆和双曲线的定义，余弦定理可以得到，利用离心率的定义化简条件，可得，故可得，解此方程即可求出结果．【详解】不妨设椭圆的方程为：，双曲线方程为，因为，为椭圆与双曲线公共的焦点，所以；由椭圆的定义知：，两边平方得：，中，设，由余弦定理得：，所以，即；由双曲线的定义知：，两边平方得：，在中，由余弦定理得：，所以，即；所以，即；因为，所以，即，所以，所以，解得，由于，所以．故选：C．

8．BCD【分析】依据题意对目标式进行转化，利用导数确定最值即可.【详解】

由题意得，由勾股定理得，则，令，而，故在上单调递增，设，由两点间距离公式得，由二次函数性质得当时，取得最小值，此时，故的最小值为，即，显然B，C，D正确.故选：BCD9．BC【分析】本题考查了二项分布，回归直线方程与两个变量的相关关系，正态分布的概率，互斥事件与对立事件，根据选项，逐一分析判断即可．【详解】对于，根据二项分布的概率计算，可知A错误；对于B，若回归直线的斜率，则回归直线是从左到右是上升的，则散点图也是从左到右是上升的，故变量与正相关，故B正确；对于C，因为随机变量，且，所以，则，故C正确；对于D，若、为互斥事件，但的对立事件与的对立事件可能同时发生，所以不一定互斥，故D错误；故选：BC．10．BC【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于B：解方程求零点即可判断；对于C：求导，利用导数判断原函数单调性，进而可得极值点；对于D：根据单调性结合周期性、奇偶性分析的最值，进而可得结果.【详解】，故A错误；令，即，得或，当时，解得或，故在上有2个零点，故B正确；，所以的最小正周期为，因为的定义域为，关于原点对称，且，可知为奇函数，又因为，则，当时，则，可得；当时，则，可得；可得在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，故C正确；且，可知在内的最小值为，结合奇函数对称性可知：在内的最大值为，所以在内的最小值为，最大值为，结合周期性可知：在内的最小值为，最大值为，故，，，故D错误；故选：BC.11．ACD【分析】根据函数奇偶性判断AD；利用赋值法结合导数运算、函数性质判断BC．【详解】因为为奇函数，则，可得，所以为奇函数，故A正确；又因为，可得，则，可得，所以是以为周期的周期函数，可得，但没有足够条件推出，故B错误；因为，则，令，则，故C正确；因为，则，可得，又因为，则，所以为偶函数，故D正确，故选：ACD．12．/0.25【分析】根据全概率公式即可求解.【详解】由全概率公式可得小明在第二个路口遇到红灯的概率为，故答案为：13．【分析】，分别求与的最大值得的最大值.【详解】将视为的函数，故，其中，，所以当时的最大值为1，设，当时，取得最大值，所以的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：此题求解关键是将视为的函数，使用辅助角公式转化，再分别求与的最大值.14．【分析】根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程，结合两点间的距离公式及向量的夹角公式即可求解.【详解】如图所示，由，得，设，由，得，求导，所以直线得斜率为，则直线的方程为，令，则，解得，所以,所以，解得(负值舍去).当时，，则，又因为，所以，故向量与的夹角为.当时，同理可得向量与的夹角为.综上所述，向量与的夹角为.故答案为：；.【点睛】：关键点睛：涉及抛物线的切线问题，通常利用导数的几何意义及表示出切线方程.利用两点的距离公式及向量的夹角公式即可.15．(1)千元(2)【分析】（1）由题意知，设一个周期内检修费用为，取值为，依次求出相应的概率，再利用期望公式计算，即可得到答案；（2）由条件概率公式即可得到结果.【详解】（1）一个周期内检修费用的所有可能取值为.一个周期内的平均检修费用千元.（2）记设备出现异常为事件，甲部件出现故障为事件.16．(1)，(2)【分析】（1）利用等差数列前项和的性质，结合，即可求得；（2）由，把表达式求出后，可直接求和.【详解】（1），设，则，又，所以，.（2）.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据矩形的性质、结合面面垂直的性质定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：延长交于点四边形为矩形，平面平面，平面平面平面平面，即.（2）如图建系，

设平面的一个法向量，.18．(1)(2)①；②证明见解析【分析】（1）根据离心率以及面积的最大值，构造方程解方程可得的方程为；（2）①联立椭圆与直线方程得出的面积的表达式，利用对勾函数单调性即可求得的取值范围为；②利用中点坐标公式求得，得出斜率表达式即可得，可得为定值.【详解】（1）由题意知，解得，所以的方程为；（2）①易知，设直线方程为，如下图所示：联立，消去可得，所以，且，可得，令，可得，由对勾函数性质可得在时单调递增；所以可得；即的取值范围为.②易知，可得；所以；因此为定值.19．(1)(2)①答案见解析；②证明见解析【分析】（1）求导之后构造函数，利用二次函数的性质，利用对称轴，判别式，特殊值讨论即可；（2）①证明右边时先将不等式变形为，令，构造函数，求导，用导数分析单调性和极值即可证明；再将左边变形为，令，同样构造函数，求导，用导数分析单调性和极值即可证明.②恒成立问题，作差之后利用一问的结论构造函数，求导，分析单调性，再求最大值小于零即可.【详解】（1）在上