山东省2024届高考数学模拟试题（含答案）

山东省2024届高考数学模拟试题一、单选题1．现有随机选出的20个数据，统计如下，则（

）7

24

39

54

61

66

73

82

82

8287

91

95

8

98

102

102

108

114

120A．该组数据的众数为102 B．该组数据的极差为112C．该组数据的中位数为87 D．该组数据的80%分位数为1022．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（

）A． B． C． D．3．已知正项等比数列的前n项和为．若，则（

）A． B． C． D．4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（

）A．若，且，则 B．若，且，则C．若，且，则 D．若，且，则5．设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合A的个数为（

）A．833 B．884 C．5050 D．51516．在平面直角坐标系中，设，，，动点满足，则最大值为（

）A． B． C． D．7．如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（

）

A． B． C． D．8．已知直线：与椭圆：至多有一个公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知函数的图象经过点，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．C．函数的图象关于点中心对称D．函数在区间单调递减10．已知函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（

）A． B．在实数集单调递减C． D．或11．在棱长为2的正方体中，分别是侧棱的中点，是侧面（含边界）内一点，则下列结论正确的是（

）A．若点与顶点重合，则异面直线与所成角的大小为B．若点在线段上运动，则三棱锥的体积为定值C．若点在线段上，则D．若点为的中点，则三棱锥的外接球的体积为三、填空题12．在中，，点满足，若，则的值为.13．已知，则等于.14．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率取值范围为.四、解答题15．设函数．(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(其中为自然对数的底数)(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值．16．当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．(1)求选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率；(2)记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望．17．如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，.(1)证明:平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18．已知点、、是抛物线上的点，且．(1)若点的坐标为，则动直线是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由．(2)若，求面积的最小值．19．已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：①；②.则称这样的数表具有性质.(1)若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；(2)对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得；(3)对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值.参考答案：1．D【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再根据众数，极差，百分位数的定义即可判断.【详解】将数据按从小到大的顺序排列：7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，对于A，出现次数最多的是82，所以众数是82，故A错误；对于B，极差为，故B错误；对于C，，第10个数和第11个数的平均数为中位数，即，故C错误；对于D，，第16个数和第17个数的平均数为80%分位数，即，故D正确.故选：D.2．D【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得.【详解】如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①，由余弦定理可得：，化简得：②，由①式两边平方再减去②式，得：，于是的面积为.故选：D.3．A【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式计算即可.【详解】设正项等比数列的公比为q（）．∵，∴．∵，∴，故，解得（舍负值），∴，∴，∴．故选：A．4．D【分析】构建正方体，利用其特征结合空间中直线与平面的位置关系一一判定选项即可.【详解】

如图所示正方体，对于A，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故A错误；对于B，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故B错误；对于C，若对应直线与平面，平面，显然符合条件，但，故C错误；对于D，若，且，又，是两个不同的平面，则，故D正确.故选：D5．A【分析】利用隔板法，然后排除有两个数相同的结果，再结合集合元素的无序性可得.【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有种结果，因为，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，所以a、b、c三个数各不相等的结果共有个因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为个.故选：A6．B【分析】由已知条件可得，动点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可得三点共线，当与圆相切时，为锐角且最大，最大，求出，由，求值即可.【详解】设点，则，，所以，整理可得，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，，，故三点共线，如图所示，当与圆相切时，为锐角且最大，最大，即，由，此时，则.故选：B7．D【分析】作的四等分点，使得，然后在三角形与三角形中，使用余弦定理表示出，再结合，两次使用余弦定理，从而解得所需要的边长，解出.【详解】设在三角形与三角形中，解得：

作的四等分点，且,由题意知，，又因为，所以,,又，所以,在三角形与三角形中，化简得:,代入解得：,从而解得：故选：D.8．D【分析】由直线：与椭圆：至多有一个公共点，即联立方程，化简整理得，即可理解为双曲线外部的点（可行域），转化为线性规划的题，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到的取值范围.【详解】联立方程，化简整理得：因为直线：与椭圆：至多有一个公共点，所以，即，即点满足双曲线外部的点，即可行域，如图所示，为x轴，k为y轴，将变形为，平移直线，由图可知，当直线与双曲线相切时为临界条件.联立，化简整理得：由题知，，解得若可行域是双曲线右支外部的点，即临界条件切线需要往上平移，即；若可行域是双曲线左支外部的点，即临界条件切线需要往下平移，即；综上可知，的取值范围是故选：D.【点睛】本题考查直线与椭圆交点个数问题，考查用双曲线外部点作可行域，求线性目标函数的最值，考查学生的转化与化归思想，数形结合思想与运算求解能力，属于难题.9．ABD【分析】由条件可求的解析式，再利用余弦函数的性质逐项判断即可.【详解】对选项A，依题意函数的周期为，所以选项A正确；对选项B，因为，即，又，所以，所以选项B正确；对选项C，因为，又，所以点不是的中心对称，所以选项C错误；对选项D，因为，所以，因为在单调递减，所以函数在区间单调递减，所以选项D正确.故选:ABD.10．AC【分析】根据函数的奇偶性可得出关于的方程组，即可得的解析式，从而得选项A；结合函数的单调性，可判断选项B；根据的解析式，求出的解析式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函数的定义域，即可求出其最小值，从而解得，即可判断选项C与选项D.【详解】A，因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以，因为①，所以，即②，由得：，，所以选项A正确；B，因为函数在上均为增函数，故在上单调递增，所以选项错误；C、D，因为，所以，又，当，即时等号成立，，设，对称轴，当时，函数在上为减函数，在上为增函数，则，解得或（舍）；当时，在上单调递增，，解得：，不符合题意.综上，所以选项C正确，错误.故选：.11．BCD【分析】利用异面直线所成角定义求出异面直线与所成角判断A，利用等体积法求出三棱锥的体积判断B，利用线面垂直判定定理和性质判断C，根据条件确定三棱锥的外接球的球心，求出半径，即可求出球的体积判断D.【详解】A，因为，又点与顶点重合，所以是异面直线与所成角，其大小为，故A错误；B，因为是侧棱的中点，所以，又点在线段上，所以三棱锥的体积（定值），故B正确；C，因为点在线段上，连接，因为平面平面，则，又为正方形，则，且平面，则平面，且平面，可得，同理可得，又平面，则平面，因为平面，所以，故C正确；D，因为点为的中点，连接，记与的交点为，取的中点为，连接，则，又，所以点为三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的体积为，故D正确.故选:BCD.12．【分析】根据向量的加减运算即可得出答案.【详解】由题意可得：.所以.故答案为：.13．【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可.【详解】.故答案为：.14．【分析】由，可得，由余弦定理，设，利用函数单调性求取值范围即可.【详解】设椭圆长轴长为，焦距为，因为，由椭圆的定义可得，所以.又因为，，中由余弦定理可得：.化简得，由对勾函数的性质可知，在区间上单调递增，所以，所以，可得，所以椭圆的离心率取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．与椭圆的焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．15．(1)(2)的单调减区间是，单调增区间是，极小值为【分析】（1）根据题意可得切线的斜率为0，然后利用即可求解；（2）讨论的正负即可得到函数的单调区间，继而得到极小值【详解】（1）由可得，因为在点处的切线与垂直，所以此切线的斜率为0，即，解得；（2）由（1）可得，由得，由得，所以的单调减区间是，单调增区间是，所以当时，取得极小值16．(1)(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）分两种情况求出概率，相加得到答案；（2）求出X的所有取值及对应的概率，得到分布列和期望值.【详解】（1）选取的3个科技企业中，BAT中有2个的概率为，BAT中有3个的概率为，故选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率为．（2）由题意，X的所有取值为0，1，2，3，，，，，所以X的分布列为X0123P．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，可通过证明，，得平面；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）证明：连接，，则，在中，因为，则，因为，，所以，，所以，则，又，、平面，所以平面（2）解：因为，为的中点，则，又平面，以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，则、、、、，所以，，，，，，，，设平面法向量为，则，令，即，设平面法向量为，则令，即，设平面与平面所成锐二面角的平面角为，所以．18．(1)证明见解析，直线过定点；(2).【分析】（1）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由结合平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可得出、所满足的等式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标；（2）分和两种情况讨论，在时，直接计算出的面积，在时，将的面积表示为的表达式，求出面积的取值范围，综合可得结果.【详解】（1）解：设直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意.设直线的方程为，设点、，则且，联立可得，，由韦达定理可得，，，同理，，所以，，可得，故直线的方程为，因此，直线过定点.（2）解：由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，记线段的中点为点.①当时，则、关于轴对称，此时线段的垂线为轴，因为，则点为坐标原点，又因为，则为等腰直角三角形，则的两腰所在直线的方程为，联立，解得或，此时，，；②当时，，，即点，因为，则，设点，其中且，，，由已知可得，所以，，则，直线的斜率为，可得，所以，，当时，等式不成立，所以，且，所以，，则，所以，，故.综上所述，.因此，面积的最小值为.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．19．(1)答案见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据题意写出满足性质的所有数表，再分别计算即可；（2）根据题意，可知当取最大值时，存在，使得，由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为，再利用反证法证明即可；（3）结合性质可得，，两式相加可得得，结合，可得，构造数表，结合性质进而可以求解.【详解】（1）满足条件的数表为，所以的值分别为5，5，6.（2）若当取最大值时，存