2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）入学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数f(x)=x+A.1 B.2 C.π D.02.(sin15A.32 B.12 C.33.若数列{an}满足a1=1，A.2910 B.289 C.4.已知三棱锥O−ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA=a，OB=b，OC=cA.12(b+c−a)

5.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l:3x+4A.2 B.153 C.163 6.若直线ax+2y+1=0A.1或0 B.12 C.0 D.0或7.如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点.现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为(

)A.34米 B.38米 C.316米 8.已知椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l：yA.43 B.83 C.169二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且S4=A.Sn的最大值为212 B.数列{Snn}是公差为−32的等差数列

10.下列求导运算正确的是(

)A.(ln2)′=12 11.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1(上下底面都是正方形的四棱台A.它的表面积为5+37 B.它的外接球的表面积为823π

12.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0A.双曲线C的离心率为3 B.△AF1F2的面积为23a2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知f(x+h)−14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点M(x,y)到两个定点15.已知空间三点A(0,2,3)，B(2,516.设数列{an}满足a1=12，an+1=四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

在正项等比数列{an}中，a4=16，且a2，a3的等差中项为a1+a2．

(1)18.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心、3为半径的圆与以F2为圆心、1为半径的圆相交，且交点在椭圆C19.(本小题12分)

设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且y120.(本小题12分)

刍甍(chumeng)是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：”底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.”，如图，在刍甍ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面BAE和平面CDE交于EF21.(本小题12分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=12，S3=15．

22.(本小题12分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A(−2,0)，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，|MN|答案和解析1.【答案】A

【解析】解：f(x)=x+sinx在区间[02.【答案】C

【解析】解：(sin15°+cos3.【答案】A

【解析】解：∵数列{an}满足a1=1，anan−1=2⋅n−14.【答案】D

【解析】解：∵点M为AB的中点，∴OM=12(OA+OB)=12a+125.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离是关键．

利用抛物线的定义，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离即可求得结论．

【解答】

解：∵点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减去1，

过焦点F作直线3x+4y+12=0的垂线，垂足为N，

垂线与抛物线的交点为P时，此时d1+d26.【答案】D

【解析】解：由题意可得，a−2a2=0，

解可得a=0或a=12，

当a=12时，直线方程分别为12x+2y+17.【答案】B

【解析】解：如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，

每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点，

现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，

该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，

由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，12为公比的等比数列，

设最小的正三角形的边长为3×(12)n−1米，则9[1−(12)n]8.【答案】A

【解析】解：由题意可得F1(−1,0)，F2(1,0)，则直线l：y=x+1，

联立方程y=x+1x22+y2=1，消去x得3y2−2y−1=0，

设A(x1,y9.【答案】AB【解析】解：根据题意，等差数列{an}，由于S4=8，S8=−32，

则有4a1+4×32d=88a1+8×72d=−32，解得a1=132,d=−3；

所以a1=132不是4的倍数，故C不正确；

则该数列的通项公式为an=a1+(10.【答案】BC【解析】解：对于A选项，(ln2)′=0，A错；

对于B选项，(x−1x)′=1+1x2，B对；

对于C选项，(2x)′11.【答案】AC【解析】解：由题意得：上底面A1B1C1D1的面积S1=1×1=1，下底面ABCD的面积S2=2×2=4，

侧面ABB1A1为等腰梯形，过A1、B1分别做AB的垂线，垂足为E、F，如图所示，

所以EF=A1B1=1，则AE=BF=12，

所以B1F=BB12−BF2=72，

所以梯形ABB1A1的面积为S3=12×(1+2)×72=374，

所以正四棱台ABCD−A1B1C1D1的表面积S2=S1+S2+4×S3=5+37，故A正确；

连接A1C1，B1D1，且交于点O1，连接AC，BD交于点O2，连接O1O2，

则O1O2垂直底面ABCD，

过A12.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了双曲线的定义及其性质，学生的数学运算能力，数据处理能力，属于中档题．

按照A、B两点在同支或两支讨论，结合余弦定理及离心率的定义可判断A，结合三角形面积公式可判断B；利用等面积法可判断C，由双曲线的定义结合切线长定理可判断D．【解答】

解：对于D，设△BF1F2的内心为I，过I作BF1，BF2，F1F2的垂线，垂足分别为H，G，P，不妨如图所示：

则||PF1|−|PF2||=||F1B|−|F2B||=2a，所以|OP|=a，则△BF1F2的内心在直线x=±a上，

故D正确；

因为△ABF1为等边三角形，当A，B都在同一支上时，则AB垂直于x轴，可得A(c,b2a)，

由题意可得tan30°=b2a2c=33，又13.【答案】2x【解析】解：f′(x)=h→0limf(x+h)14.【答案】[−【解析】解：由题意可知，|MA||MB|=2，即(x−1)2+y2(x+2)2+y2=2，

整理为(x+3)2+y2=4，

所以点M15.【答案】6【解析】【分析】本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

由AB=(2,3,−1)，AC=(−2,1【解答】

解：AB=(2,3,−1)，AC=(−2,1,3)，

∴AB⋅AC=−4+16.【答案】2025

【解析】解：因为an+1=an+(an)22023(n∈N*)，所以an+1=an(an+2023)2023，

所以1an+1=1an−1an+2023，即1an−1an+1=1an+2023，

所以1a17.【答案】解：(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，

由题意可得a1q3=【解析】(1)利用已知条件列出方程组，求出首项与公比，然后求解通项公式．

(218.【答案】解：(1)设圆F1与圆F2的一个交点为P，

则|PF1|+|PF2|=2a，

由点P在椭圆C上知2a=4，即a=2，

由e=ca=32，则c=3，即b2=1，

所以椭圆C的方程：x24+y2=1；

(2)已知直线l的斜率存在，

设直线l的方程：y=kx+2，

A(x1,y1)，B(x2,y2)，【解析】(1)根据椭圆的定义及离心率公式，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

(2)设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，表示D点坐标，代入椭圆方程，即可求得k的值，即可求得|x19.【答案】解：(Ⅰ)F(p2，0)，设直线AB的方程为y=k(x−p2)，

代入抛物线，消去x得：ky2−2py−kp2=0，

∴y1y2=−p2=−4，从而p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x．

(Ⅱ)【解析】本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．

(Ⅰ)设直线AB的方程为y=k(x−p2)，代入抛物线，消去x，利用y1y2=−4，求出p，即可求抛物线C的标准方程；

(Ⅱ)20.【答案】解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB//DC，

因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，

所以AB/​/平面CDE，

因为AB⊂平面BAE，平面BAE和平面CDE交于EF，

所以AB/​/EF；

(2)过点F作FO⊥DC于点O，过点O作OH⊥DC于点H，连接AO，

因为平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD=CD，FO⊂平面CDE，

所以FO⊥平面ABCD，

因为OH⊂平面ABCD，所以FO⊥OH，

所以以O为坐标原点，OD，OH，OF所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

因为AB/​/EF，AB//DC，所以EF/​/DC，

在四边形CDE【解析】(1)根据题意证明AB/​/平面CDE，再根据线面平行的性质即可得证；

(2)过点F作FO⊥DC于点O，过点O作21.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

由已知a2+a3=12，S3=15得2a1+3d=123a1+3d=15，解得a1【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，利用已知建立方程组，即可求解首项与方差，即可求解．

(2)22.【答案】解：(1)因为椭圆C的左顶点为A(−2,0)，当直线l垂直于x轴