2023-2024学年江西省吉安市峡江中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省吉安市峡江中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在正四面体P−ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则A.−1 B.1 C.3 2.已知(x2+x+a)(A.−10 B.−11 C.−133.在空间直角坐标系O−xyz中，A(8,0,0)，B(A.35 B.36 C.84 D.214.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为A.105 B.104 C.5.如图，在四棱锥P−ABCD中，已知：PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，BC/​/AD，PA

A.41515 B.43 C.6.向量a,b满足|b|=1，〈a+A.[2−1,2+17.已知抛物线C：y2=4x，M是直线y=x+4上的一个动点，过M作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，若H为圆N：(A.5 B.5 C.2 D.8.如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n项之和为Sn，则S32的值为．(

)A.452

B.848

C.984

D.1003二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若(1−2xA.a0=1 B.i=0210.已知圆C：x2+y2=2，点P为直线l：x−2A.直线l与圆C相离

B.圆C上有2个点到直线l的距离等于1

C.过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则|PA|的最小值为65

D.过点P向圆C引两条切线PA、PB11.已知双曲线E：x2−y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，过点C(A.当点C为线段PQ的中点时，直线l的斜率为3

B.若A(−1,0)，则∠QF2A=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻(上、下相邻或左、右相邻)的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次(例如：先按(1,1)，再按(4,4))，则(((((((((((((((((13.正四棱台ABCD−A1B1C1D1，AB=3，A1B1=1，AA1=2，14.已知双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F四、解答题：本题共6小题，共89分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

有5对夫妇和A，B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐(旋转之后算相同坐法)，而后进行合影留念．

(1)就餐时，5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多少种坐法；

(2)合影时，若随机选择5人站成一排进行合影，求有且只有16.(本小题15分)

已知圆C的圆心为C(a,b)(a>0且b>0)，ab=1，圆C与x轴、y轴分别交于A，B两点(与坐标原点O不重合)，且线段AB为圆C的一条直径．

(1)求证：△AOB的面积为定值；

(2)若直线x−y17.(本小题15分)

如图，在多面体ABCDEF中，侧面BCDF为菱形，侧面ACDE为直角梯形，AC/​/DE，AC⊥CD，M，N分别为DF，AB的中点，且BC=2，AC18.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=2px的焦点F在x轴正半轴上，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点.已知当l的斜率为2时，|AB|=5．

(1)求抛物线C的解析式；

(2)19.(本小题17分)

已知点A(4,7)，集合S={(x,y)|x216+y212≤1}，点P∈S，且对于S中任何异于P的点Q，都有AP⋅PQ>20.(本小题12分)

已知集合A={a1,a2,…,an}(n∈N*)，规定：若集合A1∪A2∪…∪Am=A(m≥2,m∈N*)，则称{A1,A2,…,Am}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了分析解决问题的能力，将空间向量的数量积转化为一组空间向量基底的运算是关键，属于中档题．

运用空间向量基本定理，将PE,BC用向量PA【解答】

解：如图所示：

在正四面体P−ABC中，∠APC=∠BPC=∠APB=60°，

因为E是棱AB2.【答案】B

【解析】解：∵(x2+x+a)(2x−1)6展开式中各项系数之和为3，

所以令x=1，可得2+a=3，解得a=1，

∴(x2+x+a)(2x−1)6=(x2+x+1)(2x−1)6，

∵(2x−1)6的展开式的通项为Tk+1=C6k⋅(2x)6−3.【答案】A

【解析】解：根据题意，作出图形如下，

因为A(8,0,0)，B(0,8,0)，C(0,0,8)，所以AB=(−8,8,0)，AC=(−8,0,8)，

设面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)，则AB⋅n=−8x+8y=0AC⋅n=−8x+8z=0，

令x=1，则y=1，z=1，故n=(1,1,1)，

设P(a,b,c)是面ABC上的点，则AP4.【答案】A

【解析】解：由题意不妨设2|PF1|=3|PF2|=6|QF1|=6t>0，|F1F2|=2c，

则|PF1|=3t，|PF2|=2t，|QF1|=t，

又由椭圆定义可知|PF1|+5.【答案】B

【解析】解：因为PA⊥平面ABCD且∠BAD=90°，

所以以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

因为已知Q是四边形ABCD内部一点，所以设Q(x0,y0,0)，

其中x0∈[0,4]，y0∈[0,2]且x0+y0≤4(即点Q在平面ABCD内部)，

则P(0,0,2)，D(4,0,0)，A(0,0,0)，

因为平面PAD⊂平面xOz，所以平面PAD的法向量为m=(0,1,0)，

又因为PD=6.【答案】B

【解析】解：在平面直角坐标系中，不妨令b=(1,0),a=(x,y)，

则a+b=(x+1,y),a+2b=(x+2,y)，

由〈a+b,a+2b〉=30°，得cos<a+b,a+2b>=cos30°=(a+b)⋅(a+2b)|a+b||a+2b|=(x+1)(x+2)+y2(7.【答案】D

【解析】解：假设M(x0,x0+4)，过M作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的方程为y(x0+4)=2(x+x0)，

整理得(y−2)x0=2x−48.【答案】C

【解析】解：设数列为{an}，前32项里面有偶数项16项，奇数项16项，

当n为偶数时，易知an=n+42，且a2=3，所以a32=32+42=18，所以偶数项之和为(3+18)×162=168，

当n为奇数时，1=C20=C22，3=C319.【答案】AC【解析】解：对于A，当x=0，则a0=1，故A正确；

对于B，由展开式通项为Tr+1=C2nr(−2x)r=(−2)rC2nrxr，

故r为奇数时，ar<0，r为偶数时，ar>0，则i=02n|ai|=a0−a1+a2−a3+...−a2n−1+a210.【答案】AB【解析】解：对于A：圆C：x2+y2=2的圆心C(0,0)，半径r=2，

圆心C(0,0)到直线x−2y−4=0的距离dC=45>r=2，所以直线与圆相离．故A正确；

对于B：圆心C(0,0)到直线x−2y−4=0的距离dC=45，

所以0<dC−r=45−2<45−1<1，则圆C上有2个点到直线l的距离等于1，故B正确；

对于C：由切线的性质知，△PAC为直角三角形，|PA|=|PC|2−r2≥dC2−2=305，

当且仅当PC与直线x−2y−11.【答案】BC【解析】解：对于选项A：设P(x1,y)，Q(x2,y2)，代入双曲线得，x12−y123=1x22−y223=1，两式相减得，(x1−x2)(x1+x2)−13(y1−y2)(y1+y2)=0，

∵点C为线段PQ的中点，

∴x1+x22=1，y1+y22=32，

即x1+x2=2，y1+y2=3，

∴(x1−x2)⋅2−13(y1−y2)⋅3=0，∴k=y1−y2x1−x2=23，故A错误；

对于选项B：

设Q(x0,y0)，∵tan∠QF2A=−y0x0−2，tan∠QAF2=y0x0+1，

∴tan2∠QAF2=2⋅y0x12.【答案】41120【解析】解：要使得(2,3)的状态发生改变，则需要按(1,3)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,3)这五个开关中的一个，

要使得(4,1)的状态发生改变，则需要按(3,1)，(4,1)，(413.【答案】275【解析】解：将正四棱台补全为正四棱锥O−ABCD，

取DC中点为N，则O，M，N共线，连接AN并延长交BC的延长线于点Q，

连接QM并延长交直线AA1于点P.△OA1B1～△OAB，所以OA1OA=A1B1AB=13，

所以OA1=1，OA=3，OM=32，ON=314.【答案】65【解析】解：设直线PF1与圆E：x2+(y−c3)2=b29相切于点M，

因为以F1F2为直径的圆过点P，所以PF1⊥PF2，

又圆E与直线PF1的切点为M，所以EM⊥PF1，从而EM//PF2．15.【答案】解：(1)分成三步来完成，第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，

甲、乙二人的座位也随之确定；

第二步，排其余3对夫妇的座位，有23A33=48种坐法；

第三步，排A，B二人的座位，有A42=12种坐法，

根据分步乘法计数原理，共有2×48×12=1152种坐法．

(2)若随机选择5人站成一排进行合影，有A125种，

有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻，

分为：当A、B都被选中，有2【解析】(1)先排甲、乙二人的太太及这两对夫妇，再排余下3对夫妇，最后用插空法排A，B，借助分步乘法计数原理计算即得．

(2)有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻，分A、B都被选中，A、B只有一个被选中，A、16.【答案】(1)证明：设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，由题可知点O在圆C上，

则圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=a2+b2，整理得x2+y2−2ax−2by=0，

因为圆C与x轴、y轴分别交于A，B两点(与坐标原点O不重合)，

令x=0，解得：y=2b；令y=0，解得：x=2a，

则A(2a,0)，B(0,2b)．

所以S△AOB=12×2a×2b=2ab=2，为定值．

(2)解：因为直线x−y=0经过圆C的圆心，所以a=b.又ab=1，a>0且b>【解析】(1)求出圆C的方程，分别令x=0，y=0求出A(2a,0)，B(0,2b)，即可求出△AOB的面积，即可证明；

(2)因为直线x−y17.【答案】证明：(1)取AC的中点G，连接NG，DG，则NG为△ABC的中位线，

所以NG/​/BC，且NG=12BC，又DM//BC，且DM=12BC，

所以NG//DM，且NG=DM，即四边形DMNG为平行四边形，

所以MN//DG，又MN⊄平面ACDE，DG⊂平面ACDE，

故MN/​/平面ACDE．

解：(2)连接CM，在菱形BCDF中∠CBF=60°，则CM⊥DF,CM=3．

在直角梯形ACDE中AC⊥CD，所以DE⊥CD，

因为面BCDF⊥面ACDE，面BCDF∩面ACDE=CD，DE⊂面ACDE，

所以DE⊥平面BCDF，又CM⊂平面BCDF，故DE⊥CM，

又DF⋂DE=D，DF，DE⊂面DEF，所以CM⊥平面D【解析】(1)取AC的中点G，连接NG，DG，易证四边形DMNG为平行四边形，则有MN//DG，再由线面平行的判定证结论；

(2)由题设及面面、线面垂直的性质可得CM⊥DF、DE⊥CM18.【答案】解：(1)如图，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意得，F(p2,0)，

当直线l的斜率为2时，直线l的方程为y=2(x−p2)，

联立y=2(x−p2)y2=2px得4x2−6px+p2=0，则x1+x2=32p，

|AB|=32p+p=52p=5，则p=2，

所以抛物线C的解析式为y2=4x；

(2)由(1)得F(1,0)，

设直线l的方程为x=m1y+1，CD的方程为x=m2y+1，设D(x3,y3)，E(x4,y4)，

因为直线l与直线CD垂直，所以m1m2=−1，

联立x=m1y+1y2=4x，消去x得：y2−4m1y−4=0，Δ=16m12+16>0，

则y1+y2=4m1，y1y2=−4，y1+y22=2m1，

x1+x22=m1(y1+y2)2+1=2m12+1，

所以M(2m1【解析】(1)根据直线l的斜率为2时|AB|=5列方程，得到p即可得到抛物线方程；

(2)分别联立直线l与抛物线、直线DE与抛物线方程得到点M，N的坐标，从而得到直线MN的方程，即可得到直线MN过定点；

(3)联立直线AE与BD的方程得到xG=−19.【答案】(1)解：P在椭圆x216+y212=1上，理由如下：

记C：x216+y212=1，若P不在C上，则在C内，

因为4216+7212>1，所以A在C外，

设线段PA与C有一交点Q，此时AP和