第6章空间向量与立体几何章末题型归纳总结（原卷版）

第6章空间向量与立体几何模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：空间向量及其线性运算经典题型二：空间向量的数量积运算经典题型三：空间向量基本定理经典题型四：空间向量运算的坐标表示经典题型五：用空间向量研究平行、垂直问题经典题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题经典题型七：用空间向量研究线面角问题经典题型八：用空间向量研究二面角问题经典题型九：用空间向量研究距离问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③特殊到一般思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：空间向量及其线性运算例1．（2024·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考期末）如图，在四面体中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（

）A． B．C． D．例2．（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（

）A． B． C． D．例3．（2024·福建莆田·高二仙游一中校联考期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（

）A． B． C． D．例4．（2024·山东枣庄·高二校联考阶段练习）如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（）A． B．C． D．例5．（2024·北京西城·高二北师大二附中校考阶段练习）如图，在平行六面体中，若，，则（

）A． B．C． D．经典题型二：空间向量的数量积运算例6．（2024·广东广州·高二统考期末）正四面体的棱长为2，设，，，则.例7．（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）向量，向量在向量上的投影向量坐标是.例8．（2024·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点，分别是，的中点，则的值为．例9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）若，则例10．（2024·高二课时练习）若是一个单位正交基底，且向量，，．经典题型三：空间向量基本定理例11．（2024·山东·高二统考期末）已知空间向量，，，下列命题中正确的（

）A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得例12．（2024·贵州·高二校联考阶段练习）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，，则下列说法错误的是（）A．当时，点在棱上B．当时，点在线段上C．当时，点在棱上D．当时，点在线段上例13．（2024·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考期末）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（

）A． B． C． D．例14．（2024·山东·高二校联考阶段练习）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（

）A． B． C． D．2例15．（2024·广东深圳·高二深圳第三高中校考期末）在平行六面体中，若，则（

）A． B．1 C．2 D．经典题型四：空间向量运算的坐标表示例16．（2024·新疆喀什·高二统考期末）已知空间向量，且，则.例17．（2024·四川达州·高二校考阶段练习），若，则实数值为.例18．（2024·广东珠海·高二校考阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是.例19．（2024·湖南衡阳·高二校考期末）已知向量，，且与平行，则.例20．（2024·广东惠州·高二校考阶段练习）已知点.若点在平面内，则x=.例21．（2024·河南郑州·高二郑州市宇华实验学校校考阶段练习）若向量共面，则．例22．（2024·贵州·高二统考阶段练习）已知向量，则在上的投影向量的模为.例23．（2024·山西太原·高二统考期末）已知，则向量与的夹角为．例24．（2024·北京通州·高二统考期末）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为；在的投影向量.经典题型五：用空间向量研究平行、垂直问题例25．（多选题）（2024·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例26．（多选题）（2024·云南曲靖·高二校考期末）设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则，使得 D．若，则例27．（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中学校考期末）如图，在正方体中，，分别是，的中点．(1)求证：平面；(2)求证：例28．（2024·广东江门·高二台山市华侨中学校考期末）长方体中，，.点为中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.例29．（2024·江西·高二校联考阶段练习）如图，正四棱锥的高为6，，且M是棱上更靠近C的三等分点.(1)证明：；(2)若在棱上存在一点N，使得平面，求的长度.例30．（2024·广东清远·高二校联考期末）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，.(1)求两点间的距离；(2)求证：平面；(3)求证：平面平面.经典题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题例31．（2024·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）如图，在正四棱柱中，，是棱上任意一点．(1)求证：；(2)若是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．例32．（2024·黑龙江佳木斯·高二校考期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.’(1)求证:(2)求三棱锥的体积(3)求异面直线所成的角的最小值.例33．（2024·新疆喀什·高二校考期末）已知棱长为2的正方体，点M、N分别是和的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出图中、、M、N的坐标.(2)求直线AM与NC所成角的余弦值.例34．（2024·广东惠州·高二校考期末）如图，四棱锥SABCD中，SD⊥AD，SD⊥CD，E，F分别是SC，SA的中点，O是底面正方形ABCD的中心，AB=SD=4.(1)求证：EO平面SAD；(2)求异面直线EO与BF所成角的余弦值.经典题型七：用空间向量研究线面角问题例35．（2024·广东广州·高二统考期末）如图，在正方体中，E，F，G分别为，，的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值．例36．（2024·陕西西安·高二高新一中校考阶段练习）如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，平面平面ABC，．(1)过作出三棱柱的一个截面，使AB与截面垂直，并给出证明；(2)求与平面所成角的正弦值．例37．（2024·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．例38．（2024·陕西西安·高二校考期末）如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是的中线，点是棱的中点.(1)证明：平面.(2)若平面平面，且，，求直线与平面所成角的正弦值.经典题型八：用空间向量研究二面角问题例39．（2024·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）如图，圆柱底面直径长为4，是圆上一点，且点为圆弧中点.(1)求证：平面平面；(2)若该圆柱的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.例40．（2024·河南省直辖县级单位·高二河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使点到点处，平面平面.(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.例41．（2024·四川成都·高二石室中学校考期末）已知三棱锥中，，，，.(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面夹角的正弦值.例42．（2024·河南·高二伊川县第一高中校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，.(1)求点到平面ABCD的距离；(2)在棱上是否存在点，使得平面DBF与平面PBC夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.例43．（2024·广东东莞·高二校考阶段练习）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：(1)证明：平面平面；(2)若点M在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．经典题型九：用空间向量研究距离问题

55．（2024·河南·高二校联考阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，点在棱上，且.(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)若点在棱上，且到平面的距离为，求到直线的距离.例44．（2024·陕西宝鸡·高二陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，直四棱柱的高为3，底面是边长为4且的菱形，，，是的中点．(1)求二面角的大小；(2)求点到平面的距离．例45．（2024·全国·高二专题练习）设正方体的棱长为2，求：(1)求直线到平面的距离；(2)求平面与平面间的距离.例46．（2024·辽宁葫芦岛·高二校联考期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点．(1)求到直线的距离；(2)求到平面的距离．例47．（2024·天津南开·高二天津市天津中学校考阶段练习）在三棱台中，若平面，分别为中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值；(3)求点到平面的距离；(4)求点到直线的距离．模块三：数学思想方法①分类讨论思想例48．（2024·浙江·高二校联考开学考试）已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（

）A． B． C． D．例49．（2024·高二课时练习）已知平面与平面成角，，则C与D之间的距离是（

）A． B．C．或 D．或例50．（2024·浙江·校联考三模）在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（

）A． B． C． D．②转化与化归思想例51．（2024·宁夏银川·高二贺兰县第一中学校联考期末）在三棱锥中，为的中点，若，则（

）A． B．C． D．例52．（2024·河北保定·高二校联考期末）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（

）A．3 B． C．9 D．6例53．（2024·安徽合肥·高二校联考期末）如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（

）A． B．C． D．例54．（2024·北京·高二校考期末）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.若直线与平面所成的角为，则二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．③特殊