（江西版）高考数学总复习 第五章5.1 平面向量的概念及其线性运算 理 北师大版（含详解）

一、选择题1．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为()．A．3e2－e1B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e22．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()．A．＋＋＝0B．－＋＝0C．＋－＝0D．－－＝03．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()．A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对4．非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()．A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝05．点P在△ABC内，并且+=4，设△ABC的面积是△PBC的面积的m倍，那么m=()．A．B．eq\f(3,2)C．4D．26．(2012广东广州模拟)设I为△ABC的内心，AB＝AC＝5，BC＝6，＝m＋n，则m，n分别为()．A．eq\f(5,8)，eq\f(5,16)B．eq\f(5,16)，eq\f(5,8)C．eq\f(5,11)，eq\f(6,11)D．eq\f(6,11)，eq\f(5,8)二、填空题7．若＝8，＝5，则的取值范围为__________．8．已知＝a，＝b，＝λ，则＝________.9．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝__________.(用a，b表示)三、解答题10．如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．11．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上eq\f(|AD|,|AB|)＝eq\f(1,3)，eq\f(|AE|,|AC|)＝eq\f(1,4)，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示.12．(2011山东菏泽期末考试)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求＋＋；(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.

参考答案一、选择题1．C解析：如图所示，a－b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－3e2.2．A解析：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))，得eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.3．C解析：由已知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up6(→)).∴eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))不平行，∴四边形ABCD是梯形．4．A解析：Peq\o(A,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得Oeq\o(A,\s\up6(→))－Oeq\o(P,\s\up6(→))＝λ(Oeq\o(B,\s\up6(→))－Oeq\o(A,\s\up6(→)))，即Oeq\o(P,\s\up6(→))＝(1＋λ)Oeq\o(A,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→)).又2Oeq\o(P,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ得x＋y＝2.5．B解析：设D为BC中点，则eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))＝4eq\o(AP,\s\up6(→))，所以eq\f(PD,AP)＝eq\f(2,1).而eq\f(S△ABC,S△PBC)＝eq\f(AD,PD)＝eq\f(3,2)，所以m＝eq\f(3,2).6．A解析：如图所示，连接CI延长交AB于点H，∴eq\o(AI,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))＋eq\o(HI,\s\up6(→)).∵I为内心，∴eq\f(AH,HB)＝eq\f(5,6).∴eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(5,11)eq\o(AB,\s\up6(→)).同理eq\f(HI,IC)＝eq\f(5,11)，∴eq\o(HI,\s\up6(→))＝eq\f(5,16)(eq\o(HB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))．∴eq\o(AI,\s\up6(→))＝eq\f(5,11)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,16)(eq\o(HB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(5,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,16)eq\o(BC,\s\up6(→)).∴m＝eq\f(5,8)，n＝eq\f(5,16).故选A.二、填空题7．[3,13]解析：∵|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|，∴||eq\o(AC,\s\up6(→))|－|eq\o(AB,\s\up6(→))||≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|.∴3≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤13.8．eq\f(1,1＋λ)a＋eq\f(λ,1＋λ)b解析：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\f(λ,1＋λ)eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\f(λ,1＋λ)(eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→)))＝a＋eq\f(λ,1＋λ)(b－a)＝eq\f(1,1＋λ)a＋eq\f(λ,1＋λ)b.9．eq\f(1,4)(b－a)解析：如图所示，连接BD，设BD与AC交于点O.由eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))可知N为OC的中点．又M是BC的中点，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(b－a)．三、解答题10．解：设eq\o(BM,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up6(→))＝e2，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→))＝2e1＋e2，∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在λ，μ∈R，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，∴eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，即AP∶PM＝4∶1.11．解：取AE的三等分点M，使|AM|＝eq\f(1,3)|AE|，连接DM.设|AM|＝t，则|ME|＝2t.又|AE|＝eq\f(1,4)|AC|，∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，且DM∥BE.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(3,11)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b.12．(1)解：∵eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＝2eq\o(GM,\s\up6(→))，又2eq\o(GM,\s\up6(→))＝－eq\o(GO,\s\up6(→))，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GO,\s\up6(→))＝－eq\o(GO,\s\up6(→))＋eq\o(GO,\s\up6(→))＝0.(2)证明：显然eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得eq\o(PG,\s\up6(→))∥eq\o(GQ,\s\up6(→))，所以，有且只有一个实数λ，使eq\o(PG,\s\up6(→))＝λeq\o(GQ,\s\up6(→)).而eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－ma＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)b，eq\o(GQ,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＝nb－eq\f(1,3)(a＋b)＝－eq\f(1,3)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)))b，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\