（湖北专供）高考数学二轮专题复习 4.3与数列交汇的综合问题辅导与训练检测卷 理

一、选择题1.已知等差数列{an}中，a3=11,a5=19,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的斜率为()(A)1(B)2(C)3(D)42.设函数f(x)=(x-1)2+n,(x∈[-1,3],n∈N*)的最小值为an，最大值为bn，则cn=是()(A)公差不为零的等差数列(B)公比不为1的等比数列(C)常数列(D)既不是等差数列也不是等比数列3.(2012·黄冈模拟)设{an}是公比为q的等比数列，令bn=an+1(n=1,2，…)，若数列{bn}的集合{-53，-23，17，37，82}中包含数列{an}的连续四项，则q等于()(A)(B)(C)(D)4.三个数a,b,c成等比数列，且a+b+c=m(m＞0),则b的取值范围是()(A)[0,](B)[-m,](C)(0,)(D)[-m,0)∪(0,]5.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的实数x，y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围为()(A)[,2)(B)[,2](C)[,1)(D)[,1]6.(2012·北京高考)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高,m的值为()(A)5(B)7(C)9(D)11二、填空题7.设数列{an}的前n项和为Sn，且an为复数(n∈N*)的虚部，则S2013=_________.8.(2012·武汉模拟)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn-n-6|＜的最小整数n是_______.三、解答题9.等差数列{an}的各项为正数，其前n项和为Sn，且S3=9，又a1+2,a2+3,a3+7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：当n≥2时，10.在数列{an}中，前n项和Sn=na+n(n-1)b,(b≠0)．(1)求证:{an}是等差数列；(2)求证：点Pn(an,)都落在同一条直线上；(3)若a=1,b=，且P1，P2，P3三点都在以(r,r)为圆心，r为半径的圆外，求r的取值范围．11.已知点Pn()在曲线y=f(x)上且a1=1,an＞0(n∈N*).(1)求证：数列{}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设数列{}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，存在正整数t，使得Sn＜t2-t-恒成立，求最小正整数t的值.12.已知函数f(x)=x2-ax+a(a∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立.设数列{an}的前n项和为Sn=f(n)(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci·ci+1＜0的正整数i的个数称为数列{cn}的变号数，令(n为正整数)，求数列{cn}的变号数.答案解析1.【解析】选D.设等差数列的公差为d，则a5-a3=2d=19-11=8,∴d=4,∴kPQ==d=4.2.【解析】选A.由已知得an=f(1)=n,bn=f(-1)=f(3)=n+4,∴cn=-anbn=(n+4)2-n(n+4)=4n+16,显然{cn}是公差为4的等差数列.3.【解析】选C.{-53，-23，17，37，82}各项减去1得到集合{-54，-24，16，36，81}，其中16，-24，36，-54或-54，36，-24，16成等比数列，∴q=或4.【解析】选D.设公比为q，则有即当q＞0时，0＜b≤；当q＜0时，-m≤b＜0,所以b的取值范围是[-m,0)∪(0,].5.【解析】选C.依题意得f(n+1)=f(n)·f(1),即an+1=an·a1=an,所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,所以所以6.【解析】选C.年平均产量的几何意义为点(n,Sn)与原点连线的斜率，由图可知，当n=9时，斜率最大.因此m=9.7.【解析】由已知得：(n∈N*),∴a1=1,a2=0,a3=-1,a4=0,故{an}是以4为周期的周期数列，∴S2013=S503×4+1=S1=a1=1.答案：18.【解析】由递推式变形得3(an+1-1)=-(an-1)，∴{an-1}是公比为的等比数列，则于是因此|Sn-n-6|==∴满足条件的最小整数n=7.答案：79.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，∵S3=9,∴a2=3.∴a1+2=3-d+2=5-d,a2+3=6,a3+7=3+d+7=10+d.∵a1+2,a2+3,a3+7成等比数列，∴(5-d)(10+d)=36.解得d=2或d=-7(舍去).∴an=3+(n-2)×2=2n-1.(2)因为=(n≥2),所以当n≥2时，=【方法技巧】巧用放缩法证明不等式对于数列{an}的前n项和，如果没有直接可套用的公式和方法，而又涉及一些大小比较等一些不等关系时，可巧用放缩法，将待求和转化为能用公式或其他方法求和的问题求解，即可达到大小比较或证明的目的.10.【解析】(1)a1=S1=a，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=a+(n-1)·2b,当n=1时,式子也成立．所以{an}是首项为a，公差为2b的等差数列.(2)设Pn(x,y)，由已知，应有观察可知点Pn都在直线上．(3)因为a=1，b=，易求得P1(1，0)，P2(2，)，P3(3，1)，由题设解得r∈(-∞,1)∪11.【解析】(1)∵所以{}是以1为首项，4为公差的等差数列.∴(2)设=∴Sn=b1+b2+…+bn=对于任意的n∈N*使得Sn＜t2-t-恒成立，所以只要∴所以存在最小的正整数t=2符合题意.12.【解析】(1)由①f(x)≤0的解集有且只有一个元素知Δ=a2-4a=0,得a=0或a=4.当a=0时，函数f(x)=x2在(0,+∞)上递增，此时不满足条件②.易知当a=4时，满足题意，故f(x)=x2-4x+4,∴