2022-2023学年江西省部分学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省部分学校高二(下)期中数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.在等比数列｛αn｝中,若c⅛=3,a5=5,则劭=()

A.yB.9C.15D.7

2.已知f'(l)=3,则4：:0八1+34刈-/1)=()

∆x

A.1B.3C.6D.9

3.已知函数/(x)的导函数为/"'O),f(x)的图象如图所示，则()

,,

A.f'(xι)>∕(x2)>∕(x3)B.f(x2)>f(x3)>/'(Xi)

,

c.∕(X3)>f(x2)>f(⅜)D.Jf(Xl)>f(X3)>/'(尤2)

2

4.已知LP为函数f(χ)=①χ+/图象上一点，则曲线y=∕(x)在点P处的切线的斜率的最小

值为()

A.0B.1C.2D.I

5.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的

曲率定义如下：若/'(X)是/(x)的导函数,尸。)是尸(X)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,∕(χ))

„∣f"(x)∣

处的曲率K=(］；［，(X)D函数/(")=的图象在(1,/(1))处的曲率为()

AɪBɪC旦Dɜ^ɪθ

1000100100100

29

6.已知(3—2x)9=a0+a1x+a2x4-----Fa9x,则QI+2a24------F9a9=()

A.1B.9C.18D.-18

7.若函数/(%)=COSS:+abι∣%∣+b%2+c满足//)=2,则1(_$=()

ZTr4

8.设数列｛an｝的前Tl项和为立,若勾=学，则称数列｛bn｝是数列｛c⅛｝的''均值数列”.已知数

n2

列｛bn｝是数列｛α∏｝的“均值数列”，且2瓦+4b2+Bb3+∙∙∙+2bn=n+n+2,则%-

a4=()

A.⅛B.IC.ɪD.⅛

164416

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列求导正确的是()

A.若y=sin3无，则y'=cos3xB.⅛ry=xlnx,则y'="尤+1

C.若y=或，则V=-VD.若y=2X,则y，=2xln2

10.过点P(l,2)且与曲线y=∕Q)=2χ3相切的直线的方程为()

A.6x+y-8=0B.6x—y-4=0C.3x—2y+1=0D.3x+2y-7=0

11.已知曲线y=f(x)在(0,0)处的切线与曲线y=xf(x)在(2,6)处的切线重合，则()

A.7(2)=3

B.f'(2)=3

C.1(0)=3

D.曲线y=∕(x)在(2,3)处的切线方程为、=3

12.在如图所示的数表中，第1行是从1开始的正整数，从第2行开始每个数是它肩上两个数

之和,则()

123456...

357911...

8121620...

A.第2023行第1个数为253×22024

B.第2023行的数从左到右构成公差为22。23的等差数列

C.第2023行第2023个数为1517X22023

D.数表中小于50的数有89个

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数/(x)=SmX在区间［0,刍上的平均变化率为

14.已知函数/(x)=G+2∕,(l)x,则/(1)=.

15.一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯内放入一个圆柱形铁

块后，水面刚好和铁块的上底面齐平，如图所示.已知该水杯的底面圆半径

为6cm,铁块底面圆半径为3cm,放入铁块后的水面高度为6cm,若从t=Os

时刻开始，将铁块以ICnI/s的速度竖直向上匀速提起，在铁块没有完全离

开水面的过程中，水面将(填“匀速”或“非匀速”)下降；在t=3s

时刻，水面下降的速度为cm∕s.

不等

16.已知数列｛α⅛｝满足的=2,nαn+1+1=(n+l)αn,若对任意t∈[0,1neN*,

式号>t?+(α—2)t+a?恒成立，则α的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

求下列函数的导数：

,八COSX

⑴y=;

(2)y=xe2χ2+1∙

18.(本小题12.0分)

设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程，(单位：M)与时间t(单位：S)满足关系式

ɔ5

l(t)=2t2+≡t.

(1)当t=2s时，求该运动员的滑雪速度；

(2)当该运动员的滑雪路程为37τn时，求此时的滑雪速度.

19.(本小题12.0分)

已知正项数列｛ajt｝的前n项积为〃，Tn二翡.

(1)证明：数列｛〃｝为等差数列.

(2)设数列｛0n-α7l+ι｝的前n项和为g，证明：Sn<1.

20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=α%+g+1的图象经过点/1(1,3),曲线y=/(x)在X=1处的切线与X轴平行.

(1)求α,b的值.

(2)试问曲线y=上任一点处的切线与y轴和直线y=x+1所围成的三角形的面积是否为

定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=(X-α)2,g(x)=-(x—ð)2.

(1)当a=1时，求曲线y=/(x)在X=0处的切线方程.

(2)若α+b=l,是否存在直线I与曲线y=∕(x)和y=g(x)都相切？若存在，求出直线，的方

程(若直线加勺方程含参数，则用。表示)；若不存在，请说明理由.

22.(本小题12.0分)

2n+1

已知等比数列｛arι｝的前n项和为Sn，公比q=4,Sn+Sn+1+Sn+2=7×2-2.

(I)求｛azι｝的通项公式；

2

(2)设bzι=αnIog40n+1＞记｛bj的前几项和为乙，若t(6n+I)≤9Tn+1对于任意n∈N*恒成

立，求t的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：根据题意，在等比数列｛an｝中，若t⅛=3,as=5,

则有a7=S=卷

故选:A.

根据题意，由等比数列的性质可得答案.

本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：ZMOf(I+34χ)-f⑴=34M(√(i+34x)-f⑴=3/⑴=9∙

故选：D.

利用导数的定义式以及极限的性质可求答案.

本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：设过曲线上点4的切线人的倾斜角为α,则α为钝角，f'(.x1)=tana<0,

设过曲线上点B点的切线，2的倾斜角为仍过曲线上点C点的切线，3的倾斜角为。,

由图知0<8<9<*

故/'(刀2)=tdnφ>f'(x3)=tanθ>0,

,

综上，∕(X2)>f(X3)>f(X1),

故选:B.

作出过曲线上点A、B、C各点的切线，利用导数的几何意义，可得答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查导数几何意义的应用，属于中档题.

4.【答案】C

【解析】解：f(%)的定义域为(0,+8),

"/(ɪ)=Inx+y..∙.∕,(x)=；+X≥2」4X=2，

故曲线y=f(%)在点P处的切线的斜率的最小值为2.

故选：C.

根据导数的几何意义可得曲线在点P处的切线的斜率f'(x)=J+x,结合基本不等式计算即可求解.

本题考查导数的几何意义及应用，训练了利用基本不等式求最值，是基础题.

5.【答案】D

【解析】解：因为/⑶=3lnx,所以f'(x)=pr(X)=-ɪ,

所以/'(1)=3,∕,,(1)=-3,

κ=∣f"(D∣=3=3√T0

(l+(f(l))2)2(1+9)2100-

故选：D.

求出f'(x),1'(x),代值计算可得出函数/(x)=3∕nx的图象在(14(1))处的曲率.

本题主要考查导数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】D

8

【解析】解：对等式两边求导，可得-18(3-2x)8=a1+20⅛xH------1-9α9x,

令X=1>可得%+"2.0.2+…+9。9=-18.

故选：D.

两边求导，再利用赋值法，即可求解.

本题考查二项式定理，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：因为f(%)=C0S3%+Q"∣x∣+b/+C=/(-X),所以/(%)为偶函数,

将/(%)=f(-%)两边同时求导得/'(%)=一f'(-x),

所以1(V)=一,⑤=-1.

故选:B.

易得f(χ)=f(-x),再将f(x)=/(T)两边同时求导即可得解.

本题主要考查导数的运算，属于基础题.

8.【答案】C

n2

【解析】解：因为2瓦+4/>2+8坛H----1-2bn=n+n+2,①

所以瓦=2,2瓦+4⅛2+8⅛3+…+2"-Ibn-I=(n—I)2+n+I(Zl≥2)>(2)

n

①-②得，2bn=2n(n>2),

(2,n=1,(2,n=l,

所以%=［如n≥2J故Sn=便τ,n"

故a4=54—S3=—ɪ,a1-a4=

故选：C.

根据题意求出劣和%,从而求出治,即可求解.

本题考查数列的递推式的运用，以及数列的通项与前n项和的关系，考查运算能力，属于基础题.

9.【答案】BCD

【解析】解：若y=s讥3x,则y'=3cos3x,故A错误；

若y=X"X,则y'=Inx+X=Inx+1,故B正确；

若y=或，则y'=(χτy=-3”=一段，故C正确；

若y=2*,则y'=29n2,故£)正确.

故选：BCD.

利用导数的求导法则及复合函数求导可得答案.

本题主要考查导数的运算，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：设过点P(l,2)的切线与曲线y=f(%)相切于点4Qo,2瑶)，

32

由/(%)=2xf得/'(%)=6x,

・,・过切点的切线方程为y-2XQ=6%o(%-x0),

••・切线过点P(l,2),.∙,2-2x1=6就(1-x0),解得沏=1或%o=-ɪ-

故切线方程为6x-y-4=0或3x-2y+1=0.

故选：BC.

设过点P(l,2)的切线与曲线y=f(x)相切于点做x0,2*),根据导数的几何意义求出切线方程，再

根据切线过点P(l,2)求出而，即可得解.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解:由题意可得F(O)=0,曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=f(0)x,

令g(x)=γf(x),则g(2)=2/(2)=6,即/(2)=3,故A正确；

g'(x)=/(%)+xf'(X),曲线y=Xf(X)在(2,6)处的切线方程为y=[/(2)+2∕,(2)](x-2)+6,

即V=，(2)+2f(2)]x-2[∕(2)+2f(2)]+6,

."(2)+2f'(2)=/'(O)解俎-“。、4加o

i-2[∕(2)+2[(2)]+6=0'解得/2)+2八2)=/(0)=3,

把/'(2)=3代入，可得/(2)=0,故8错误，C正确；

曲线y=/(x)在(2,3)处的切线方程为y=3,故。正确.

故选:ACD.

根据求导法则以及导数的几何意义可得答案.

本题考查导数的几何意义及应用，考查运算求解能力，是中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：数表中，每行是等差数列，且第一行的公差为1,第二行的公差为2,第三行的公差

为4,第n行的公差为2时1,

nn1

设每一行的第一个数构成数列｛art｝,由数表可得即+i=αn+(αn+2→),即即+1=2an+2-,

所以,舞=患+3:=今即数歹啰｝是以;为首项,*为公差的等差数列,

所以茨1-1)，即αn=(n+l)2T,

所以，第2023行第1个数为a2023=(2023+1)x22023-2=253x22024,A正确；

第2023行的数从左到右构成公差为22022的等差数列，B错误；

第2023行第2023个数为253×22024+(2023-1)×22022=1517X22023,C正确；

第1行小于50的数有49个，

第2行的数构成的数列的通项公式为b7l=2n+l,令bn=2n+1<50,解得几<24.5,

则第2行小于50的数字有24个；

第3行的数构成的数列的通项公式为Cri=4n+4,令J=4n+4<50,解得n<11.5,

则第3行小于50的数有11个；

第4行的数构成的数列的通项公式为drι=8n+12,令dn=8n+12<50,解得n<4.75,

则第4行小于50的数有4个；

第5行的数构成的数列的通项公式为e7l=16n+32,令e>l=16n+32<50,解得n<1.125,

则第5行小于50的数有1个.

故数表中小于50的数有89个，D正确.

故选：ACD.

由表中数据可知，每行是等差数列，第n行的公差为2底1,每一行的第一个数构成数列{an},结合

递推关系得α;l=(n+1)2时2,进而依次讨论各选项即可得答案.

本题主要考查了归纳推理，考查了等差数列的通项公式，属于中档题.

13.【答案】-

π

【解析】解：函数/⑺=S讥X在区间上的平均变化率为第=曾，)=

乙ZJX——U71

故答案为：--

π

根据平均变化率的公式进行求解即可.

本题主要考查平均变化率的求解，属于基础题.

14.【答案】T

【解析】解：八X)=余+21⑴，即八1)="21⑴，解得八I)=—.

故答案为：-1

将/'(1)作为常量对/(x)求导，得到导函数，再将1(1)作为未知量求解即可.

本题主要考查导数的运算，属于基础题.

15.【答案】匀速g

【解析】解：设在铁块没有完全离开水面的过程中，水面高度为H,铁块离开水面的高度为九，

则水和铁块的体积为苑×62×6=7Γ×62×H+π×32×∕ι,即24=4H+无①，

铁块距离杯底的高度为6+t=//÷无②，

由①②可得H=-gt+6,设/(£)=—3+6，则/'(£)=—%

故水面将匀速下降，下降的速度为gcm∕s∙

故答案为：匀速;ɪ

由圆柱形铁块竖直向上匀速提起，可得水面匀速下降：根据已知得出水面高度H与时刻t的函数关

系，通过导数求瞬时速度.

本题考查导数的实际意义，化归转化思想，属中档题.

16.【答案】[一1,1]

【解析】解：因为吗+∣+l=(n+l)αn,所以得+岛IrM即黯+；击=*

所以第L-CT=幺-L所以学二｝为常数数列，

n÷ln+1nnnj

即&一!=¥-1=1,可得α=7l+l,所以幺=Ξ±i=l+工>1,

nn1“zlnnn

所以原题等价于产+(Q-2)t+α2≤1对任意t∈[0,1]恒成立，

W2+(-t+α2,t∈[O,l],则懦箸即格K.2)xl+02≤ι,

解得一l≤α≤l,所以实数a的取值范围为[-1,1]∙

故答案为：

将m⅛+ι+l=(n+l)&n两边同除小+1),即可得到霜一左=中一，从而得到｛零—｝为常

2

数数列，即可求出｛an｝的通项公式，则零>1,原题等价于t?+(α-2)t+α≤1对任意t∈[0,1]恒

成立，令/(t)=t2+(α-2)t+α2,则勿怨：，即可求出参数的取值范围.

UKɪ/一ɪ

本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题.

-sinx(sinx-cosχ)y—(cosx+sinx)cosx1

17.【答案】解:(Dy'=2

(sinx-cosx')2(sinx-cosx)

(2)y,=e2χ2+1+X(2X2+l),β2χ2+1=(4x2+l)β2χ2+1.

【解析】(1)利用商的求导法则可得答案;

(2)利用积的求导法则以及复合函数求导法则可得答案.

本题主要考查导数的运算，属于基础题.

18.【答案】解：(1)因为l'(t)=4t+∣,所以，'(2)=4x2+3=?，

所以当t=2s时，该运动员的滑雪速度为*m∕s∙

(2)由题意得2t2+∣t=37,

解得t=4或t=—骨舍去).

O

因为Y(t)=4t+q,所以*4)=4X4+R筝

当运动员的滑雪路程为37m时，此时的滑雪速度为竽m∕s∙

【解析】(1)根据路程与时间关系，求解晨2)即可；

(2)解方程2/+?=37,得t=4,再求晨4)即可.

本题考查导数的实际意义，导数的应用，属基础题.

19.【答案】证明：⑴当n≥2时，I=与I=I-；=1一要，即7；-GT=I,

lnanan,n

当n=1时，Tl=得Tl=a1=2(T1=a1=O舍去)，

所以数列｛%｝是以2为首项，1为公差的等差数列；

(2)由(1)得7；=2+n-l=n+l.

因为Tn=B⅛=n+1，

un1

所以α∏==+l'an-αn+l=ɪ-^γ∙

所以Sn=ι-∣+∣-∣+-+^-⅛=ι-⅛<ι∙

【解析】(1)当n≥2时，由襄=子=结合斯="变形可得出7；-T71T=1,结合等差数列的定

1nan1n-1

义可证得结论成立;

(2)求出q,可求得数列｛azι｝的表达式，可得出αn-αn+ι=；-击，求出土，即可证得结论成立.

本题考查等差数列的定义及裂项相消法求数列的前H项和，属于中档题.

20.【答案】解：(1):"(I)=α+h+l=3,：.a+b=2.

∕,(x)=a-曲线y=/(x)在X=1处的切线与X轴平行，

∕,(1)=a—b=0,解得Q=6=1,

经检验，Q=Z?=1符合题意，故Q=b=1；

(2)由(1)可得f(x)=x+1+l,f(x)=l-⅛.

在曲线y=/'(X)上任取一点P(t,t+；+1),

则曲线y=f(X)在X=t处的切线方程为y—(t+ɪ+1)=(1-

也)(X-t).

令X=0,可得y=q+l,则切线与y轴交于点B(OA+1).

{y-(t+；+I)=(I-5)(%—t)，解得C=2t,

联立

=2t+1,

，切线与直线y=X÷1交于点C(2t,2t+1).

99

直线y=x+1与y轴交于点D(0,1),则8。=∣≡+1-1∣=⅛,

tIcI

112

.■.S^BCD=-\BD\-\2t\=-x-x2\t\=2.

故曲线y=f(x)上任一点处的切线与y轴和直线y=x+1所围成的三角形的面积为定值2.

【解析】(1)由/(1)=3可得a+b=2,由导数的几何意义可得/'(1)=a-b=0,即可求出a、b；

(2)由(1),根据导数的几何意义求出曲线在点PCt+；+1)处的切线方程，令X=0求出切线与y轴

的交点B坐标，切线方程联立直线y=x+1方程，求出交点C坐标，再求出直线y=x+1与y轴的

交点D,结合三角形面积公式计算即可求解.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查三角形面积的求法,考查运算求解能力，

是中档题.

2L【答案】解:(1)当α=l时，∏x)=2(x-l),/(0)=l,f(0)=-2.

曲线y=/(%)在％=0处的切线方程为y-1=-2×(%-0),即y=-2x+1；

(2)设直线E与曲线y=/(%)相切于点A(XlJi),与曲线y=g(x)相切于点BQz，%)，

z

∕(x)=2(%—d)9g'(x)=-2(x—h).

2

曲线y=/(%)在点4处的切线为y-(Xl-α)=2(x1-Q)(X-x1),

与曲线y=g(%)相切于点B,

2

则一2(%2—⅛)=2(x1—α)且一(%2—b)2—(χ1—a)=2(x1—a)(x2-%，(*),

由％ι+%2=α+b=l,则％ι-。=-(X2—b)，

代入(*)得，一(Xl-a)?=(Xl-a)(x2-x1)f

解得％ι=Q或％2=a∙

当％I=Q时，直线Z：y=0.

当%2=α时，XI=I—Q,直线八y=2(1—2d)x÷2α—1.

故存在直线Z与曲线y=/(x)和y=g(%)都相切，直线［的方程为y