2023-2024学年江西奉新县数学高二年级上册期末学业质量监测试题含解析

2023-2024学年江西奉新县数学高二上期末学业质量监测试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知中AABC,角A,B,C的对边分别为b,c,sin3=、5且b,c成等比数列，则这个三角形的

2

形状是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

2.已知函数/（x）=工以3一Y+z?x（a>0且aZ?>0）的一个极值点为2,则工+工的最小值为（）

32ab

79

A.-B.-

44

8

C.-D.7

5

3.在等比数列｛4｝中，为是生和血的等差中项，则公比q的值为（）

A.-2B.1

C.2或一1D.-2或1

22

4.设耳，为为双曲线斗-±=l（a〉0,6〉0）的上，下两个焦点，过心的直线/交该双曲线的下支于A，B两点,

且满足月=0，AF2=^F2B,则双曲线的离心率为（）

B..5

C.V10D.好

2

5.在A6C中,a=5b=3,A=~,则此三角形（）

6

A.无解B.一解

C.两解D.解的个数不确定

6.已知｛。〃｝为等比数列・q=2,%=8,则。3=（）

A—4B.4

C—4或4D.16

x>1,

7.设变量尤，y满足约束条件卜-2y+320,则目标函数z=2x—y的最小值为（）

x-y<0,

A.3B.1

C.OD.-1

8.已知x,yeR,则“幺>i”是“％>i”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分又不必要条件

9.经过点（3,1）且与直线y=3x-1垂直的直线方程为（）

A.x+3y—6=0B.3x+y-4=0

C.x-3y-0D.3x—y—8=0

10.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬

至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数

列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长

之和为（）

A.25.5尺B,34.5尺

C.37.5尺D.96尺

11.在棱长为1的正四面体A5C。中，点“满足A"=xA5+yAC+（l—%—（羽ywR）,点N满足

£>N=/in4+（l—㈤。C（/leR）,当40和。N的长度都为最短时，的值是（）

11

A.-B.——

33

22

C.一D.----

33

12.已知函数/'（xhe'+a,xe（O,”），当王〈尤2时，不等式恒成立，则实数。的取值范围为（）

%2再

C.[-1,-HX))D.(-l,+co)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

,、,、2（〃+2）a.

13.已知等差数列｛4｝,也｝的前"项和分别为S“Z，若清=；,则,=______

43〃—1b5

14.沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行

分层抽样调查，若抽取了一个容量为”的样本，其中高三学生有11人，则”的值等于.

x+y>1

15.若满足约束条件<X—1,则Z=2x+y的最大值为.

x<2

16.已知数列｛4｝满足q=1,%+i=eN,九21）,则其通项公式%=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知直线x—2y+3=0与直线3x+y+2=0交于点P.

（1）求过点P且平行于直线3x+4y-5=0的直线4的方程，并求出两平行直线间的距离；

（2）求过点P并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.

18.（12分）已知数列｛叫的各项均为正数，b„=n（l+k"an（neN+）,e为自然对数的底数

n

（1）求函数〃x）=l+x-ex的单调区间，并比较（1+工）〃与e的大小；

n

b[b,bb.b^b.bhb”

（2）计算,，Q」“，由此推测计算上~^的公式，并给出证明；

%aia2an

19.（12分）已知椭圆C:二+4=1（。〉6〉0）的离心率是且，且过点P（2,l）.

ab2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线/与椭圆C交于4、5两点，线段A3的中点为。为坐标原点，且卜夜，求面积的最

大值.

20.（12分）已知函数/（九）=（尤2+依+1'二其中e为然对数的底数

（1）若。=1,求函数“力的单调区间；

（2）若a>0,讨论函数了（%）零点个数

21.（12分）如图，在四棱锥S-ABC。中，已知四边形A3。是边长为贬的正方形，点S在底面A8CZ）上的射影为

底面A5CZ）的中心点。，点尸在棱S。上，且△SAC的面积为1

（1）若点尸是SO的中点，求证：平面SC。，平面四C；

（2）在棱SO上是否存在一点尸使得二面角尸-4。-。的余弦值为撞？若存在，求出点尸的位置；若不存在，说明

5

理由

22.（10分）已知函数/（x）=e'liu+3x.

（1）求〃龙）的导数/'（尤）；

（2）求函数八％）的图象在点（I"⑴）处的切线方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】根据题意求出COS3=土!，结合余弦定理分情况讨论即可.

2

【详解】解：因为sin3=立，所以cos3=土4.

22

由题意得Z?2=ac,利用余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB.

।JTr.

当COS3=5，即3=可时，a2+c2-2ac=0,即（〃一。）=0,解得：a=c.

此时三角形为等边三角形;

12万

当cosB=—,即6=—时，a?+/=0=。=0不成立.

23

所以三角形的形状是等边三角形.

故选：B.

【点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.

2、B

【解析】求出函数/(%)的导数，由给定极值点可得“与方的关系，再借助“1”的妙用求解即得.

2

【详解】对/(力=!以3_f+法求导得：f'(x)=ax-2x+b,因函数的一个极值点为2,

贝!J/'(2)=4a—4+/?=0,

2

此时fb——4ci+4,/'(x)=—2x—4。+4=—2)(x+2)—2(x—2)=a(x—2)(%+2—),

a

i9

因即2。2,因此，在2左右两侧邻近的区域/(x)值一正一负，2是函数/(%)的一个极值点，则有

4a+Z?=4,又a>0,b>0,

T曰，曰117、/11、I”b4。、、1I。4。、9小口p止"4。4

于是得一+―=_(4〃+/?)(—+—)=—(5+—H---)>—(5+2.(------)=—,当且仅当一二丁，即Z7=2a=不时取

ab4ab4ab4\ab4ab3

“一”

一,

所以上1+1上的最小值为了9.

ab4

故选：B

3、D

【解析】由题可得％q+q/=2%,即求.

【详解】由题意，得4+%=2%，

所以qq+qq2=2/，因为qwO,

所以q2+q_2=0,解得q=-2或q=l.

故选：D.

4、A

【解析】设此|=》,|&@=3x,表示出席|=2。+%网|=2a+3x,|AB|=4x,由勾股定理列式计算得％=a,然

后在Rt.再由勾股定理列式|裕『+|"「=闺玛-，计算离心率.

设|四=x,|@=3x,由双曲线的定义可得，|*=2a+x,网|=2a+3x,|AB|=4x,因为所以

（2a+x）2+（4x）2=（2«+3x）2,得x=。，所以|州|=3。,|然|=a,在Rt.公公《中，|相「十］伤广=闺研，

即（3a『+（。）2=（2c）2=^>e=—=

故选：A

【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

求出名。，代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于”,瓦C的齐次式，结合。2=02一片转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别

除以。或/转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）

5、C

【解析】利用正弦定理求出sin8的值，再根据所求值及。与％的大小关系即可判断作答.

【详解】在一ABC中，a=石，b=3,A=§,

6

由正弦定理得sinB=%4=r3._—&=走<1，而A为锐角，且a<b,

―a—布—2

则3=工或3=也，

33

所以有两解

故选:C

6、B

【解析】根据题意先求出公比，进而用等比数列通项公式求得答案.

【详解】由题意，设公比为则/=£=4n/=2,则%=的2=4.

故选：B.

7、C

【解析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解

【详解】作出可行域如图所示，y=2x-z,数形结合知过A(l,2)时取最小值

8、B

【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解.

【详解】由/>1可得X>1或X<T,所以由必>1得不出尤>1,故充分性不成立,

由1>1可得/>1,故必要性成立，

所以“好>1”是“九>1”的必要不充分条件，

故选：B.

9、A

【解析】根据点斜式求得正确答案.

【详解】直线y=3x-i的斜率为3,

经过点(3,1)且与直线y=3尤-1垂直的直线方程为y-l=3),

即x+3y-6=0.

故选：A

10、A

【解析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为可尺，公差为d尺，利用等差数列

的通项公式，求出d,即可求出外,从而得到答案

【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日

影长依次成等差数列{%},如冬至日的日影长为％尺，设公差为d尺.

由题可知，所以4+。4+g=31.5=>3%=31.5=>%=1。.5,

%+6+/=28.5=>3a5=28.5=>a5=9.5,

d=—。4=9.5—10.5=一］,

%+4+%=3。6=3(4+d)=3x(9.5—1)=3x8.5=25.5,

故选：A

11、A

【解析】根据给定条件确定点M,N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.

【详解】因AM=xAB+yAC+(l—%—y)AD,则AM—AD=—AD)+y(AC—AD),即

DM=xDB+yDC,

而匹则。共面，点拉在平面BCD内，

又ON=2D4+(1—X)DC(；l£R),即CN=2C4,于是得点N在直线AC上，

棱长为1的正四面体A3C。中，当川旅长最短时，点M是点A在平面BCD上的射影，即正△5CD的中心，

因此，AM=-AB+-AC+-AD,当ON长最短时，点N是点O在直线AC上的射影，即正"CD边AC的中点,

333

AN=-AC,而ZBAC=ZDAC=60，AB-AC=AD-AC=lxlxcos60=-,

22

11121

所以AMA7V=—(AB+AC+AD)・一AC=—(ABAC+AC+ADAC)=-.

3263

故选：A

12、C

【解析】由题意得出玉/(王)<X2/(X2),构造函数g(x)=xe、+◎,可知函数y=g(x)在区间(0,+。)上单调递增,

可得出g'(x)=eT+xe-Y+a>0对任意的尤>0恒成立，利用参变量分离法可得出a>-el(x+l)，利用导数求得函数

Mx)=-e、(x+l)在区间(0,+。)上的最大值，由此可求得实数。的取值范围.

【详解】函数/■")=1+。的定义域为(0,+。)，当玉时，旦0〈/应恒成立，

%2%

即%/(玉)<*2/(%2)，构造函数g(x)=「(％)=翼工+以,则g(Xi)<g(%2)，

所以，函数g(%)=xe*+依在区间(0,+8)上为增函数，

则g'(%)=e'+xe¥+a>0对任意的x>0恒成立，a>-e\x+l),

令/z(x)=—e，(x+l),其中x>0,则111ax.

h'(x)=-e，(x+2)<0,所以函数y=〃(x)在(0,+。)上单调递减；

又人(0)=—e°(0+l)=—1,所以a»—1.

因此，实数。的取值范围是“1，+8).

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

11

13、—

13

【解析】利用等差数列的性质和等差数列的前"项和公式可得手=1，再令〃=9即可求解.

4T9

【详解】由等差数列的性质和等差数列的前几项和公式可得：

a5_2a5_1+%5(6+&)$2x(9+2)2211

因为r于

故答案为：--

13

a<2aa,+a

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等差数列的性质可得广=奈=六Q?，再转化为前几项和公式的形式,

仇2b§b}+b9

代入〃的值即可.

14、33

【解析】根据分层抽样的性质进行求解即可.

【详解】因为抽取了一个容量为“的样本，其中高三学生有11人，

所以有——=---------------=>"=33,

n550+500+600

故答案为：33

15、7

【解析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象和直线在y轴上的截距，确定目标函数的最优解，代入即可求解.

x+y>l

【详解】画出不等式组x-y2-1所表示的平面区域，如图所示，

x<2

目标函数z-2x+y可化为y=-2x+z,

当直线y=-2x+Z过点A点时，此时直线y=—2x+Z在y轴上的截距最大，

此时目标函数z=2x+y取得最大值，

x—y=-1

又由1,解得x=2,y=3,即42,3),

x=2

所以目标函数的最大值为Zma.=2x2+3=7.

故答案为：7.

16、--(3"-1)

2

【解析】构造法可得％用+3=3(%+》，由等比数列的定义写出｛4+f的通项公式，进而可得％.

【详解】令an+l+C=3(。〃+C),则a„+1=34+2C,又an+l=3an+1,

:•C=7,故。〃+i+；=3(Q〃+：),而Q]+i=i，

1313

•••{4+5}是公比为3,首项为,，则4+2=].3i,

%=g<3"-1).

故答案为：1-(371-1).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4

17>(1)3x+4y—1=0•—.

(2)x+y=0或x-y+2=0.

【解析】(1)首先求得交点坐标，然后利用待定系数法确定直线方程，再根据两平行直线之间距离公式即可计算距离;

⑵根据截距式方程的求法解答

【小问1详解】

fx-2y+3=O,

由<得P(T,D

[3%+y+2=0,

设直线4的方程为3x+4y+2=0,代入点P坐标得2=-1,

直线4的方程为3x+4y—1=。

1-5-(-1)14

二两平行线间的距离d=-_上」=-

【小问2详解】

当直线4过坐标原点时，直线，2的方程为y=一X，即x+y=0；

当直线/,不过坐标原点时，设直线〃的方程为二+上=1，代入点P坐标得。=-2,

a-a

•••直线4的方程的方程为5+5=1，即%-丁+2=0

综上所述，直线4的方程为x+y=o或x-y+2=o

18、(1)的单调递增区间为(—8,0),单调递减区间为(0,+8)；(l+-r<e

n

(2)详见解析

【解析】(1)求出f(x)的定义域，利用导数求其最大值，得到l+x<e，，取％=!即可得出答案.

n

1b}bhbhb&b,b.b,八”

(2)由2二"(1+与%(neN+),变形求得,，由此推测：――^=5+D•然后用数学归纳法证

n%4%aia2a3

明即可.

【小问1详解】

/(X)的定义域为(—8,+8),/(x)=l-ev

当/'(x)>0,即％<0时，〃x)单调递增;

当/'(x)<0,即％>0时，f(x)单调递减

故/(x)的单调递增区间为(-8,0),单调递减区间为(0,+S)

当了>0时，/。)</(0)=0,即l+x<e'

1111

令》=一，得l+-<e",即(1+—)"<e

nnn

【小问2详解】

1222

1=1.(1+1)=1+1=2.^l=^A=2.2(l+-)=(2+l)=3;

ax1axa2axa22

她L皿工32.3(1+%=(3+1)3=43

由此推测：她'1二—①

下面用数学归纳法证明①

(1)当”=1时，左边=右边=2,①成立

(2)假设当"=左时，①成立，即他“=(”

dy(^2k

+1

当〃=左+1时，^+1=(Z:+l)(l+7^-/^+1,

女+1

由归纳假设可得b也她+'=她%,姐=奴+iy伏+i)(i+4)=(左+2产

以“女+1QQ2以外+1攵+1

所以当〃=左+1时，①也成立

根据(1)(2),可知①对一切正整数都成立

(2)2.

【解析】(1)根据已知条件列出关于。、从c的方程组即可求得椭圆标准方程；

⑵直线/和x轴垂直时，根据已知条件求出此时△AOB面积；直线/和x轴不垂直时，设直线方程为点斜式>=丘+G

代入椭圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长后得上和/关系，表示出△AOB的面积，结合基本不等式

即可求解三角形面积最值.

【小问1详解】

412

/+庐=1a=8

由题知＜，解得〃=2,

c_6

c2=6

«2

22

...椭圆C的标准方程为L+L=l.

82

【小问2详解】

当ABLx轴时，M位于x轴上，且Q0LAB,

由|。叫=0可得|AB|=迷，此时S0°B=g|。叫MBUG；

当A3不垂直x轴时，设直线A3的方程为丁=米+乙与椭圆交于4（%,%）,B（x2,y2）,

|22

土匕=]

由＜82一，得（1+4左2）/+8Hx+4/一8二0.

y=kx+t

/日—3kt4r-8

得尤1+%=]+4/'石马

1+4左2

—4ktt

从而M

1+4左2'I+422

已知|。0|=力，可得/_2（1+4内）.

‘1+16左2

•••|45|2=（1+左2）[（斗+々）2—4%/]=（1+42）-4Xr^F

设。到直线A5的距离为d,则42=

结合/=2（1+4父）化简得

1+16左2

+i

S%B=1|A@.,

<16x=4

此时的面积最大，最大值为2.

当且仅当12左2=4/+1即42=：时取等号，

综上，一AO3的面积的最大值为2.

20、（1）单调递减区间为（—2,—1）,单调递增区间为（—8,—2）和（—1,+w）；

⑵当0<。<2时，"％）无零点；当。=2时，"％）有1个零点；当。>2时，"％）有2个零点.

【解析】（1）求导，令导数大于零求增区间，令导数小于零求减区间；

⑵求导数/'（%），分0<a<2、a=2、。>2讨论函数/（x）单调性和零点即可.

【小问1详解】

当。=1时，f（x）=（x2+x+l）ev,易知定义域为R,

/'（尤）=（2%+1）已"+（V+尤+l）e*=（V+3x+2）e*=（尤+1）（X+2）6”，

当-2Vx<-1时，/（%）<0；

当x<—2或时，

故〃司的单调递减区间为（—2,—1）,单调递增区间为（，》,—2）和（―1,+8）；

【小问2详解】

/（无）=［炉+（0+2）X+0+1卜=（x+l）［x+（«+l）］ev

当a>0时，

X(-00,一〃-1)-a-1(-4Z-1,-1)-1(-1,-Ko)

正0负0正

小）单增极大值单减极小值单增

当％<—a—l时，f+双+1=%(X+〃)+1>0恒成立,

:./(尤)>0；

当%>—。一1时,/㈤—=/(T)=(2—a)e1

①当0<a<2时，/Wmn=/(-l)>0,.../(%)无零点；

②当a=2时，/("而n=/(—l)=0,.••/(%)有1个零点;

③当a>2时，/(x)min=/(-l)<0,又当xe(—1,”)时，单调递增，〃0)=1>0,有2个零点；

综上所述：当0<。<2时，/(%)无零点；

当a=2时，/(九)有1个零点；当a>2时，〃龙)有2个零点

【点睛】结论点睛：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断

单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应

用

21、(1)证明见解析

(2)存在，点P为棱靠近点。的三等分点

【解析】(1)由的面积为1,得到SO=1,SC=42,由CD=J5,点尸为的中点，所以CPLSD,同

理可得APLSD,根据线面垂直的判断定理可得SO_L平面B4G

再由面面垂直的判断