2024届吴淞中学高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2024届吴淞中学高二数学第一学期期末达标检测模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知等差数列｛。“｝的前”项和为S,,且％+口8=M，^io=Pm＞则夕=()

A.3B.5

C.6D.10

2.如图①所示，将一边长为1的正方形ABC。沿对角线折起，形成三棱锥C-A3。，其主视图与俯视图如图②

所示，则左视图的面积为()

主视图俯视图

图②

3.在棱长为1的正四面体ABC。中，点M满足=++。一x—y)AD(x,ywR),点N满足

DN=ADA+(1-2)DC(2eR),当AM和。N的长度都为最短时，的值是()

11

A.-B.——

33

22

C.一D.----

33

4.下列关系中，正确的是()

A.log54<log23<log64

C.sinl<sin2<sin3D.cos2>cos3>cos4

5.与直线4x-3y-5=。关于x轴对称的直线的方程为。

A.4x+3y+5=0B.4x-3y+5=0

C.—4x—3y—5—0D.4x+3y—5—0

6.7(无)=sinx,则/(l)与[/(l)]'分别为()

A.cos1与cos1B.cos1与sin1

C.cos1与0D.O与cos1

7.现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，5表示

事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P(叫A)=()

14

A.-B.-

37

23

C.一D.一

34

8.已知数列｛4｝为递增等比数列，为+。4=9,4-。3=8,则数列｛q,｝的前2019项和52019=()

A.22019B.22018—1

C.22019-1D.22020-1

22

9.片、工是椭圆。：言+1_=1的左、右焦点，点P在椭圆。上，|「耳|=6,过耳作/耳夕外的角平分线的垂线,

垂足为贝UIOMI的长为

A.lB.2

C.3D.4

10.已知等差数列｛4｝的公差为d,则“d>0”是“数列｛4｝为单调递增数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

11.记S"为等差数列数列的前〃项和.若%+。=24,§6=48,则｛为｝的公差为O

A.lB.2

C.4D.8

12.已知等差数列｛斯｝中，。4+〃9=8,则S12=()

A.96B.48

C.36D.24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛4｝的前〃项和为％且％=1,若点尸as+J(〃£N*)在直线X—y+l=。上，则S〃二

111

+—=

14.设函数/(%)的导数为/'(%),且/(x)=/[Bsinx+cosx,则/日J=

15.设尸为曲线2'=，4+四上一点,A(-V5,0),8(b,0),若|心|=2,贝！J|PA|=

na“-n

16.设公差2>0的等差数列｛4｝的前九项和为S,,已知4=5,且%,«3-1,&成等比数列，则的最小

值为______

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知三角形的三个顶点4-5,0),3(3,-3),C(0,2),求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线

的方程

18.(12分)已知数列｛4｝的前”项和为S"，q=2,且4M=24+2

(1)求数列｛&｝的通项公式；

(2)令a=二~记数列也｝的前“项和为T,，求证：Tn<3

4+2、

19.(12分)已知函数/(x)=ex—Inx(aeR)

(I)若/'(x)的图象在点(1,/(D)处的切线与x轴负半轴有公共点，求。的取值范围；

(II)当a=l时，求〃尤)的最值

20.(12分)已知命题p：实数x满足a4+(a—2〉2「2W0；命题夕：实数x满足/一3x+2<0.若p是g的必

要条件，求实数”的取值范围

21.(12分)已知函数/(x)=exx+f_1,aeR.

(1)当a=—g时，求曲线y=/(x)在点(—1"(—1))处的切线方程;

(2)若/«%)在区间(0,1)上有唯一的零点与.

(i)求。的取值范围；

(ii)证明：

22.(10分)已知函数/(x)=e*—Inx

(1)当相=-1时，讨论了(%)的单调性；

(2)当相之—2时，证明/(尤)>0

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前"项和公式，由题中条件，即可得出结果.

【详解】因为数列｛4｝为等差数列，

由%+。8=加，m可得，S1O==5(。3+/)=57"=pm，

贝！IP=5.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列前〃项和的基本量运算，属于基础题型.

2、A

【解析】由视图确定该几何体的特征，即可得解.

【详解】由主视图可以看出，A点在面上的投影为8。的中点，

由俯视图可以看出C点在面形。上的投影为6D的中点，

所以其左视图为如图所示的等腰直角三角形，直角边长为巫，

2

于是左视图的面积为L义叵又显=上

2224

故选：A.

3、A

【解析】根据给定条件确定点M,N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.

【详解】因AM=xAB+yAC+(l—x—y)AD,则AM—A。=x(A3—A£>)+y(AC—A。)，即

DM=xDB+yDC,

而x,yeR,则。共面，点M在平面BCD内，

XDA^=2DA+(1-2)DC(2eR),即CN=2C4,于是得点N在直线AC上，

棱长为1的正四面体ABC。中，当40长最短时，点M是点A在平面BCD上的射影，即正△BCD的中心，

因此，AM=-AB+-AC+-AD,当。N长最短时，点N是点O在直线AC上的射影，即正"CD边AC的中点,

333

AN——AC9而N_BAC—N_DAC-60，AJB,AC-AD,AC=1x1xcos60——,

22

I♦［一］♦・-2-•—j

所以AMA7V=—(AB+AC+A。)一AC二—(ABAC+AC+ADAC)=~.

3263

故选：A

4、B

【解析】根据对数函数的性质判断A,根据指数函数的性质判断B,根据正弦函数的性质及诱导公式判断C,根据余

弦函数的性质及诱导公式判断D；

【详解】解：对于A：因为1。823〉1。822=1,0=log51<log54<log55=1,0=log61<log64<log66=1,故

A错误;

%3

对于B：因为y=在定义域上单调递减，因为:<?，所以1J：〉

31j_1

因为y=，在(0,+8)上单调递增，所以j

j_35

故B正确；

对于C：因为y=sin尤在—,n上单调递减，因为»>3>»-1>2>工，所以sin3<sin(»-l)<sin2,又

_2J2

sin(乃一l)=sinl,所以sin3vsinl<sin2,故C错误；

对于D：因为y=cosx在[0,可上单调递减，又2<2»—4<3<%,所以cos2〉cos(2%—4)>cos3,又

cos(2%-4)=cos4,所以cos2>cos4>cos3,故D错误;

故选：B

5、D

【解析】点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.

【详解】设(x,y)是与直线4x-3y-5=。关于x轴对称的直线上任意一点,

贝！IG,一切在4x—3y—5=0上，故4x+3y—5=0,

.•・与直线4x—3y—5=0关于x轴对称的直线的方程为4x+3y—5=0.

故选：D.

6、C

【解析】利用正弦函数和常数导数公式，结合代入法进行求解即可.

【详解】因为〃尤)=sinx,所以/(x)=cos尤,所以/(l)=cosl,[/(l)]'=(cosl)'=0,

故选:C

7、A

【解析】先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是女医生事件的概率，然后代入条件

概率公式即可

C2+C293C231

【详解】解：由已知得尸(A)=43=w=方=亍,

1

则P(张户瑞=91

7

故选：A

【点睛】此题考查条件概率问题，属于基础题

8、C

【解析】根据数列｛/｝为递增的等比数列，为+%=9,。2・。3=8,利用“q,q”法求得q,4,再代入等比数列的前"

项和公式求解.

【详解】因为数列｛4｝为递增等比数列，

所以4+。4==9,。2•。3=a：.q3=8，

解得：4=1,q=2,

所以邑。|9=3-=2划9-1・

故选：C

【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

9、A

【解析】延长F｝M交PF2延长线于N,

则|OM|=gEN=g(|PN|-PE)=g(mHPE)

=^(\PFi\-2a+\PFi\)=\PF1\-a=6-5=l

选:A.

【点睛】涉及两焦点问题，往往利用椭圆定义进行转化研究，而角平分线性质可转化到焦半径问题，两者切入点为椭

圆定义.

10、C

【解析】利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论.

【详解】若d〉0,则。“+i—a〃=d〉0,即为M〉a“，此时，数列｛4｝为单调递增数列，

即“d>0"n”数列｛4｝为单调递增数列”；

若等差数列｛叫为单调递增数列，则d=an+l-an>0,

即“d>0"u"数列｛4｝为单调递增数列”.

因此，“d>0”是“数列｛4｝为单调递增数列”的充分必要条件.

故选：C.

11、C

【解析】根据等差数列的通项公式及前几项和公式利用条件％+%=24,§6=48列出关于由与d的方程组，通过解

方程组求数列｛4｝的公差.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,

6x5

则a4+〃5=q+3d+q+4d=2%+7d=24,S6=6(\=6al+15d=48,

2〃i+7d=24

联立＜，解得d=4.

6q+15d=48

故选：C.

12、B

【解析】利用等差数列的性质求解即可.

【详解】解：由等差数列的性质得5]2=；*12乂(4+囚2)=6(%+%)=48.

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

12n

13、①.一+②.----

2n+1

【解析】根据等差数列的定义，结合等差数列前〃项和公式、裂项相消法进行求解即可.

【详解】因为点P(4，a,,+J(〃eN*)在直线x—y+l=。上，

所以q—4+i+l=Ona“+i—%=1,所以数列｛4｝是以%=1,公差为1的等差数列,

所以S”=叫(〃-l)d="+g〃("-l)=n(n+1)；

因为S,=；"("+l)，

12J1、

所以工=记行=2(/二^),

于是―++j-+11xI、2〃

+-------)=2(1-----)二——

SlS2Sn223nn+\n+1n+\

12n

故答案为：-n(n+l)；--

2zi+1

14、-72

【解析】=f^i—jcosx-sinx,而：|=jcos^-sin-^-=-1,所以/'8)=-85乂-血丁，

J_=—cos——sin_=一无，故填：.

44

考点：导数

15、4

【解析】化简曲线方程2x=j4+y2,得到双曲线的一支，结合双曲线定义求出结果

_____22

【详解】由2x=j4+y2,得=4+y2(x〉o),即f—2L=1。〉0),故P为双曲线必—2L=i(x〉o)右支上

v-44

一点，且A3分别为该双曲线的左、右焦点，贝！|依|=2。=2,|B4|=2+2=4.

【点睛】本题考查了双曲线的定义，解题时要先化简曲线方程，然后再结合双曲线定义求出结果，较为基础

2

16、-##0.4

5

【解析】应用等比中项的性质及等差数列通项公式求公差d,进而写出等差数列的通项公式、前"项和公式，再求目

标式的最小值.

【详解】由题设，(%—1)2=44,则(2d+4)2=5(5"5),整理得4d?-94一9=0，又d>0,

解得2=3,故4=3附+2,3=〃⑶;+=,

na-n3H+1,62

所以一『=三17=1-不有，故当〃=1时目标式有最小值为三.

2Sn3〃+73〃+75

2

故答案为：j

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、5x+3y—6—0•%+13y+5=0

【解析】根据两点式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可.

V—2x—0

【详解】解：过5(3,—3),C(0,2)的两点式方程为=整理得5x+3y—6=0

—j—23—0

即BC边所在直线的方程为5x+3y—6=0,

8C边上的中线是顶点A与边中点M所连线段,

3+0-3+21

由中点坐标公式可得点M的坐标为

2)

y-01135

的直线的方程为4-。*5,即寸+广。

整理得x+13y+5=0

所以8C边上中线所在直线的方程为x+13y+5=0

18、(1)=2,!+1-2

(2)证明见解析

【解析】(1)依题意可得4+1+2=2(%+2),即可得到｛%+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列，从而求出数

列｛4｝的通项公式；

72+1

(2)由(1)可得利用错位相减法求和，即可证明；

【小问1详解】

解：因为q=2,an+l=2an+2,所以+2=2(为+2),所以+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列，所

以4+2=4x2"T=2用，所以4=2m-2；

【小问2详解】

解：由(1)可知d=——+==—需+工=二n+二1，所以7；=：2+3+三4++n等+1①，所以

n+1n123n

an+2222222

J234n+1^

5北=球+初+吩++广②；

①-②*-+99+.贵…见上1帮二1一景

乙乙乙乙乙1A乙乙乙

~2

〃+3

所以(=3-〒<3；

19、(I)(-oo,l);(II)答案见解析.

【解析】(I)求导数.求得切线方程，由切线与x轴的交点在负半轴可得。的范围；

(II)求导数f\x),由/'(%)的正负确定单调性，极值得最值

【详解】命题意图本题主要考查导数在函数问题中的应用

解析(I)由题可知r(x)=ex-a--,x>0

X

川)=/⑴=ej

故可得/(x)的图象在点(1,/(1))处的切线方程为y-e〜=(e〜―l)(x-1)

令y=o,可得x=-

1-e~

由题意可得」T"<0,

即ej>l，解得。<1，即。的取值范围为(—8,1)

(II)当a=l时，y(x)=er-l-lnx

r(x)=en」，x>0

X

易知/'(x)=e--工在(0,+8)上单调递增

X

又广⑴=0,

.•.当xe(0,l)时，f'(x)<Q,此时/(X)单调递减，当xe(l,+8)时，f'(x)>0,此时单调递增

•••/«in=/(l)=h无最大值

【点睛】关键点点睛：本题考查用导数的几何意义，考查用导数求函数的的最值.解题关键是求出导函数/'(x),由

/'(x)的正负确定单调性，得函数的极值，从而可得最值

,1

20、aV—

2

【解析】由题设得(L2)是P为真时的子集，即。.2*-2<0,法一：讨论。40、a>0,根据集合的包含关系求参数

范围；法二：利用「.2工-2<0在(L2)恒成立，结合参变分离及指数函数的单调性求参数范围.

【详解】由三―3%+2<0,得l<x<2,则命题4对应的集合为A={x|1<x<21,

设命题夕对应的集合为3,〃是q的必要条件，则人口5,

由a-22，+(a—2)2、一240,得(「•2'—2)(2,+1)<0,又2，+1>0，

法一：若时，a-2x-2<09则XER,人口5显然成立；

221

若a>0时，x<log2—,则log2—22,可得0<a4彳，

aa2

…/I

综上：〃V—

2

法二：a•2工—240在(1,2)恒成立,即4<£_=(；)=/(x)，

•••/(尤)在(1,2)单调递减,

1

•••aV—・

2

3

21、(1)y=----；

2e

(2)(i)(O,+8);(ii)证明见解析.

【解析】(1)求出/(-1),/'(-1),利用导数的几何意义即可求得切线方程;

(2)(i)根据题意对参数。分类讨论，当a>0时，等价转化刊［%)=0,且构造函数/2(%)=三+依-。，利用零

点存在定理，即可求得参数。的取值范围；

=/-2+占

(ii)根据(i)中所求得到。与%的等量关系，求得/(七)并构造函数〃z(x),xe(0,1),利用导

数研究其单调性和最值，则问题得证.

【小问1详解】

当a=一工时,/(x)=e4x-^--ll则/刎=e[2x：x+l),故/(-六一尸㈠卜。,

2\)2工2

则曲线y=/(x)在点(-1,/(-1))处的切线方程为V=

【小问2详解】

(i)因为/(x)=e[x+--1故可得/<%)=e，

因为尤e(O,l),则当aWO时，x+--4=x+-［1--|>0,则尤)>0,无零点，不满足题意;

当a>0时，若在(0,1)有一个零点，即y=x+@-乌在(0,1)有一个零点，

XX

也即人⑺=3+融一a在(0,1)有一个零点,又用'(尤)=3/+4>0,则人⑺单调递增,

则只需/z(0)=—40皿1)=1)0,解得a>0.

综上所述，若在区间(0,1)上有唯一的零点飞,则ae(O,”)；

(ii)由(i)可知，若刊［%)在区间(0,1)上有唯一的零点/,则焉+ax°—a=0，

/、

也即a=」!L_