2023年高考第一次模拟考数学试卷北京A卷（解析版）

2023年高考第一次模拟考试卷(北京A卷)

数学

第一部分(选择题40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.设集合“={x[0<x<4},N=jxg%ik5卜则(Q例)N=()

A.’|0<x,g}B.卜

C.{x|0",5}D.{x|4黜5}

K答案》D

K解析U因为M={xlo<x<4},所以«"={xl弓0或X..4},贝iJ&〃)cN={x|4瓢5).

故选：D.

2.已知复数4与z=3-2i在复平面内对应的点关于实轴对称，则^=()

1+i

-1-i八1-i--5-i、5-i

A.----B.---C.----D.---

2222

K答案WD

K解析U复数4与z=3-2i在复平面内对应的点关于实轴对称，

Z]=3+2i,

4_3+2i_(3+2i)(l-i)_5-i

"7+i-1+i—(l+i)(l-i)-K

故选：D.

3.直线石x-y=0与圆M:f+y2-如+；=0相切，则实数〃?的值是()

A.±1B.±2C.+4D.±8

K答案》B

y/3x-y=0]

K解析H由{,)1得4f一如+:=0,△=次2_4=0,m=±2,

x+y-mx+-=04

又方程表示圆时，>-1>0,m<-1或加>1,加=±2满足题意.

故选:B.

X,X>0,r八

4.已知函数〃x）=c则方程/-/（x-1）=1的解集为（）

-x,x<0,

A.{-2,0}B.{-2,1}C.{-2,0,1}D.{0,"

K答案HB

K解析》当时，/（x-l）=x-l,故f-x+l=l,解得x=l或x=0（舍去）;

当xvl时，/（x-l）=l-x,故f+x-l=l,解得x=-2或x=l（舍去）.

综上所述：x=l或x=-2.

故选：B.

5.已知函数f“）=sin（8+e）（o>0,|同在区间上单调，且对任意实数x均有

/（I）,仔）成立，则。=（）

兀兀

A.B.-C.-D.

V2643

K答案XD

K解析X由题意知，函数/*）的最小正周期为丁=一，

co

因为函数"X）在（会子）上单调，且/（蒋）4/（力4/（看卜亘成立,

所以《二=一3’即:・@=兀，解得3=1,

26620）

又g是函数/*）的最大值点，?是函数/（x）的最小值点,

OO

所以1XB+9==+2E,又时，解得e=g.

6223

故选：D.

6.记5,为数列｛。“｝的前”项和，“对任意正整数〃，均有q<0"是'｛S,｝为递减数列”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1答案》A

K解析D当a“<0时，则S“-S“T=勺<0（"N2,"eN"）,二5“<S,I

则“对任意正整数n,均有4<0”是“｛S,,｝为递减数歹『'的充分条件;

如数列｛%｝为0,T-2,-3,T,,显然数列⑸｝是递减数列，

但是册不一定小于零，还有可能大于或等于零，所以“对任意正整数”，

均有4<0"不是“｛S,,｝为递减数列”的必要条件，

因此“对任意正整数〃，均有4<0”是"｛S"｝为递减数列”的充分不必要条件.

故选:A.

7.2020年，由新型冠状病毒(SARS-CoV-2)感染引起的新型冠状病毒肺炎(COVID-

19)在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR(RT-PCR)法以其高灵敏度与强特

异性，被认为是COVID-19的确诊方法，实时荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信

号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，

荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X“与扩增次数〃满足lgX“-"lg(l+p)=lgX。，其

中P为扩增效率，X。为DNA的初始数量.已知某样本的扩增效率p70495,则被测标本

的DNA大约扩增()次后，数量会变为原来的125倍.(参考数据：log©55=4)

A.10B.11C.12D.13

K答案》c

x

K解析』因为igx“_〃ig(i+p)=igx°,所以黄=0+p)".

A()

由题意，知125=(1+0.495)”,得"zlogL495125=31og1-4955N12,

故被测标本的DNA大约扩增12次后，数量会变为原来的125倍.

故选：C.

8.若*-1)30-2)=%+。仃+。2*2+e/3+%/,则%=()

A.5B.-5C.3D.-3

K答案2B

K解析』(x-l)3(x-2)=(x3-3x2+3x-l)(x-2),则%=-2-3=-5.

故选：B.

9.取两个相互平行且全等的正〃边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶

点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“"角反棱柱当〃=4时，得到如图

所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（）

K答案]]B

K解析』如图所示：设上下底面的中心分别为A8,设该“四角反棱柱”外接球的球心是

0,显然。是的中点，设的中点为E,连接£/，DF,

过E做EGLDF,垂足为G,

因为DG=CE=gx2=l,DF=^22+22=42,

所以。G=Z）F-£>G=^-1，

在直角三角形EGF中，EG2=EF2-GF2=3-(>/2-I)2=272,

所以有CQ=EG=6尻于是有"*co=写

在直角三角形O£>尸中，OF?=ODrDF2=巫+2,

4

2

所以该“四角反棱柱”外接球的表面积等于47t0F=4兀（逑+2）=（2&+8）兀,

4

10.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极

图如图是放在平面直角坐标系中的“太极图整个图形是一个圆形V+）3=4.其中黑色阴

影区域在）,轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:

①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是

②当。=-|时，直线＞=如+2。与白色部分有公共点；

③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x,y）,则x+y的最大值为0+1；

④若点P（O,1）,为圆/+丁=4过点p的直径，线段是圆x?+y2=4所有过点尸的

弦中最短的弦，则（AM-BN）.48的值为12.

其中所有正确结论的序号是（）

C.①③④D.①②④

K答案UC

K解析》对于①，设黑色部分区域的面积为耳，整个圆的面积为s,由对称性可知,

1q1

所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为尸=*=g,故

①正确；对于②，当。=-］3时，直线的方程为'=-13工一3,即3x+2y+6=0,

圆心（0,0）到直线3x+2y+6=o的距离为再鼻=答＜2,

下方白色小圆的方程为f+（y+l）2=l,圆心为（0,-1）,半径为1,

44

圆心（。,-1）到直线3x+2y+6=0的距离为"=存覆=［官＞1,如下图所示:

3

由图可知，直线y=-]x-3与与白色部分无公共点，故②错误；

对于③，黑色阴影部分小圆的方程为Y+（y-l）2=l,设2=、+九如下图所示:

当直线z=x+y与圆片+（＞-1）2=1相切时，z取得最大值，

且圆产+（”1）2=1的圆心坐标为（0,1）,半径为1,可得匕!1=1,解得z=l士

由图可知，z＞0,故Z1rax=3+1,故③正确；

对于④，由于MN是圆V+y=4中过点P（0,l）的直径，贝I]M、N为圆月+V=4与》轴

的两个交点，可设M（0,2）、N（0,-2）,

当轴时，|明取最小值，则直线AB的方程为尸1,可设点＜31）、8（后,1）,

所以，AM=（G,1）,BN=（-瓜-3）,A8=（2"0）,丽=（2/4）,

所以，（AM-BN）AB=U,故④正确.

故选：C.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数y=的定义域是_________.

”y/3-2x

fX+]w0Q

K解析X要使函数有意义，需满足，。八，解得且XW-1,故该函数定义域为

3-2x>02

故K答案》为：

12.双曲线C:f-2i=i,写出一个与双曲线C有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方

2

程.

K答案U£-f=1（R答案》不唯一）

2

K解析》与双曲线C有共同的渐近线的双曲线方程可设为

2

当4=-1时，得到双曲线方程为-丁=1,显然该双曲线与双曲线C有共同的渐近线但离

2

心率不同，

故K答案』为：W一/=1

2

13.如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙

漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.沙

漏摆动时离开平衡位置的位移$（单位：cm）与时间f（单位：s）满足函数关系

s=/（/）=3sin（麻+/）（0>0,0<时<兀）,若〃。的函数图象如下图所示，则/⑺=

K答案U

K解析D由/（0）=-3,得9=-；；由*=5得7=4,故

所以/(f)=3sin

故工答案》为：3sin

e\x<0,

14.己知函数/(x)=h-，若/(X)=l,贝Ijx=

,；若心"且

-%—1,x〉0

12

/(«)=/(«),则丁一"的最小值是.

K答案20或43+ln2.

K解析D空一：当x40时，f(x)=1er=1=>X=0,

当x>0时，/(x)=lngx-l=lnx=4；

空二：当X40时，函数/(x)单调递增，所以0</(x)Wl,

当x>0时,函数/(x)单调递增，所以f(x)>—l,且/⑵=0J(4)=l,

当机〉”时，设/(加)=/(〃)=，，所以有42nl>2>0>〃，且0<fVl,

于是有=机=2r+2，e"=rn〃=lnf，

因此有m—n=2t+2—lnt,

I7^-1

设f(t)=2r+2-lnr(0<z<l)=>f(t)=2—=------,

当0<r<；时，:⑺<0,/⑺单调递减,

当;<tsi时，ra)>oj⑺单调递增,

所以当f时，函数/⑴有最小值，即/⑺++

故K答案X为：0或4；3+ln2.

&“为偶数)、几,丁nl

15.己知数列｛4｝满足弓=5,。川2,设S“=q+4+…+4,,。=。色…4,则

3a.+l(a”为奇数)

下列结论正确的是.

①4=2；②*wN*,4=3：③S2022=4740；

④若等差数列｛“｝满足4=1也=2022,其前〃项和为A“，则V〃eN*,m“eN”,使得

Tm>4

K答案X①③④

竽，，为偶数，一,

K解析』­•4+1

3%+1,4为奇数

a=3x5+1=16,a,==—=8,a=—=-=4,a.=—=—=2,tz=—=—=1,

23224422522622

%=3as+1=3x14-1=4,/=与=g=2,L

此数列是从第四项开始的的周期数列，且满足q+3=可(〃24),，4=2,故①正确;

选项②，在数列｛。〃｝中，4=5,出=16,%=8,%=4,%=2,4=1?是不存在

攵EN*,%=3,故②错误；

选项③，S2022=4+4+〃3+4++%022=673x(4+2+1)+(5+16+8)=474。，故③正确；

选项④，等差数列｛4｝,々=1也=2022,."=伪-4=2021,

.,2*onon甘.〃(1+202In-2020)n(2021n-2019)

..bn=»,+(«-1)2021=202In-2020,其A,=----------------=--------------,

数列｛。“｝是从第四项开始的的周期数列，而＜=年。2吗。吗吗,，北呈指数被的增长,

无穷大，而A”是一个二次函数的增长形式，增长幅度相对于指数而言有限，故

VneN*,HmeN"＞使得图＞A“，所以选项④正确.

故K答案U为：①③④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题13分)

在.MC中，A,B,C所对的边为。，b,c,满足从+。2一6=秘.

(1)求A的值；

TC

(2)若a=2,B=~,则11ABe的周长.

4

解：(1)由从+02-42=儿，

AG(O,T),A=1.

.itK兀兀57r

(2)A=—,B=—，:.C=7t------=—

344312

.厂.(.(Tl7l\.兀71兀.兀«+&

/.sinC=sm—=sm—+—=sin—cos—4-cos—sin—=-----------,

{nJV64)64644

2_Z?_c

根据正弦定理人=."a='"厂，得6V2V6+V2,

sinAsinBsine

224

解得b=述,c=®也

33

因此三角形周长为a+0+c=2+亚+应+®2+&+6.

33

17.(本小题14分)

如图，在四棱锥尸一ABC。中，底面ABC。是菱形，%=9=2,上4,平面ABC。，E为

PO的中点.

(1)证明:PB//平面A£C;

(2)在①ZA8C=60。，②EC,AO这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作答.

若,求EC与平面玄。所成的角.

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)证明：连接30,交AC于。，连接OE,

底面A8CD是菱形，为33中点，

E为PD中点,:.OE//PB,

P8V平面AEC,OEu平面AEC,••.尸8〃平面AEC；

(2)解：选①：

以。为原点，03为X轴，OC为轴，过。作平面ABCO的垂线为Z轴建立如图空间直角

坐标系,

底面ABCZ)是菱形，PA=AB=2,ZABC=60°,

0(-^,0,0),P(0,-1,2),11C(0,1,0),A(0,-1,0),

I22J

岂,：,-l],AP=(0,0,2),AO=(-G/,0),

则EC=

I22J

设平面PAD的法向量为«=（苍y,z）,

n-AP=2z=0广

则,取x=l可得〃=(1,四,0),

n-AD=-\j3x+y=0

设EC与平面PAO所成的角为凡则sineTcos<EC”>|==迪=且,

11|EC|-|n|2x22

TT

所以EC与平面皿（所成的角为1；

选②：以。为原点，为x轴，OC为了轴，过。作平面A8C。的垂线为z轴建立如图空

间直角坐标系，取A。中点尸，连接EE"

底面ABCD是菱形，PA=AB=2,EC±AD,以，平面ABC。，E为P£）的中点,

:.EF//PA,平面ABC。，:.CF1AD,AC=CD=2,

•••a-6,0,0),P(0,-l,2),E-半21,C(O,1,O),A(O,-1,O),

I22J

则EC=旁,；,-1],AP=(0,0,2),AO=(-G,1,0),

I22J

设平面PAD的法向量为〃=(x,y,z),

nAP=2z=0

则心+…取x=1可得n=(1,A/3,0),

设反:与平面以力所成的角为巴

丽•AI、|IEC川206

则sin0=cos<EC-n>\=--------=----=——,

11\EC\-\n\2x22

7T

所以EC与平面PAO所成的角为不.

18.（本小题13分）

为了解学生上网课使用的设备类型情况，某校对学生进行简单随机抽样.获得数据如下表:

同时使用两种

仅使用仅使用仅使用使用其他设备

设备类型及两种以上设

手机平板电脑或不使用设备

备

使用人数171665320

假设所有学生对网课使用的设备类型的选择相互独立.

（1）分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率，该校学生上网课仅使用平板的概率；

（2）从该校全体学生中随机抽取3人进行调查，设随机变量X表示这3人中仅使用电脑

的人数，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；

（3）假设样本中上网课同时使用两种设备的人数是22,用“4=1”表示上网课仅使用一种

设备，4=0”表示上网课不仅仅使用一种设备；用"为=「表示上网课同时使用三种设

备，"务=0"表示上网课不同时使用三种设备.试比较方差。侑），。（刍）的大小.（结论不

要求证明）

1717

（1）解：学生上网课仅使用手机的概率为W+16+65+32130,

168

学生上网课仅使用平板的概率为

17+16+65+3265

（2）解：学生上网课仅使用电脑的概率为“+16+65+322,

X可取0』,2,3,且X43,；｝

P（X=2）=C；Q[X3

P（X=3）=C；

则分布列为:

X0123

133]_

P

8888

£（X）=3xl=|

Pd「l）=17+16+65-49

（3）解：‘*17+16+65+3265,

17+16+6516

P（*°）=l-

17+16+65+32-百

49八1649

所以E（刍）=1x——+0x—=—,

656565

2

49+40.丝49\_784

'-4225'

%）吟“656565

32-225

产值=1）=

17+16+65+3265

尸©=0）=1矣-黑

所以E⑻=卜2+0，*今

636503

5Y

+外。一25\300

鹤）嗫।65；6565）65

所以仇。）＜仇与）.

19.（本小题15分）

己知椭圆C:，+3=l（a>10）的离心率为|,短轴长为26.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点。（1,0）的动直线/与椭圆交于E、F两点（点E在x轴上方），A、&为椭圆

的左、右顶点，直线AE，4尸与》轴分别点〃、N,。为坐标原点，求肾*的值.

cLb22

gI［

（1）解：由题意，有,ClV/3,解得。=3,b=,

2h=2y/5

所以椭圆C的方程为E+《=l；

95

（2）解：由题意，点E在x轴上方且过点。（1,0）,则直线/的斜率不为0,

设直线/的方程为x=my+l,E（%，x）,F（X2,J2）,则H>0,必<°，

V£=,、

由,9+5-,可得［二+］卜2+2冲-8=0,

X=加丁+1

A=4"+4x8%必=

y+必〃2/x

所以即殁g=4(%+%)，

/1/24

由4(—3,0),4(3,0),

所以储L会,则直线A-的方程为、=道(x+3),

所以左旷=」^，则直线右尸的方程为>'=3*-3）,

令x=0,得＞'=

X(%-3)M(阳2.)

%+3my}y2-2y

y2a+3)%(町+4)吵上+4%

X2-3

=4()1+%)-2y=12yl+4%|=2y+2%|=J_

一4(%+%)+4*-14y+8%|-4.%+2%1万

\0M|1

所以两二

20.(本小题15分)

已知函数〃x）=e2,直线/：y=2x+b与曲线y=〃x）相切.

（1）求实数〃的值;

（2）若曲线y=4（x）与直线/有两个公共点，其横坐标分别为九〃（加＜〃）.

①求实数。的取值范围;

②证明：/(///)•"〃)>1.

（1）解：设切点尸（4,几），rw=2e2\

得2e2%=2，%=0,所以P（O,1）,代入直线/方程得b=l；

（2）①解：由（1）知y=2x+l,若曲线y=qf（x）与直线/有两个公共点，则等价于

觉2"=2x+l有2个实数根，a=（2x+l）e⑶，

设（p{x）=（2x+,则*'（x）=-4疣/、，

当X€（YO,0）时，d（x）＞。，9（x）单调递增，

当xe（0,+oo）时，e'（x）＜0，夕（可单调递减，

。（司四=。（°）=1，当*趋向于正无穷大时，9（x）趋向于0,当*趋向于负无穷大时,

*（x）趋向于负无穷大，

则0＜“＜1；

②证明:/（/«）/（«）＞1,即*小"）＞1，等价于〃?+〃＞0,

令万(x)=/(x)-研-X),(x>0),

U(x)="(x)+(p\-x)--4xe-2x-4(-x)e2'1=4x(e2j-e-2t),

因为x>0,所以e2，〉ez,故尸'(x)>0,

所以F（x）在（0,+8）上单调递增，故尸（x）＞/（0）=0,

不妨设故尸㈤>0,即/（〃）>/（-〃）,

由己知夕（⑴=/（"）="，所以e（%）>夕（一〃），

由①知，当xe（-oo,0）时，夕⑴单调递增,

故,">-〃，所以加+”>0,

所以/（加）/（〃）>1.

21.（本小题15分）

若项数为女（ZeN*且k.3）的有穷数列｛《,｝满足：阚/则称数

列｛叫具有“性质

（1）判断下列数列是否具有“性质河”，并说明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

（2）设勾斗（加=1,2,…，k-\）,若数列｛q｝具有“性质””，且各项