2023版高考数学一轮总复习检测11-1随机事件古典概型与几何概型

11.1随机事件、古典概型与几何概型

一、选择题

1.(2022届江苏百校联考,6)一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中，

它们形状、大小完全相同,该同学采用技术手段进行检测,恰好三次检测出两件次品的概率为

()

A'B'C.lD.-

54510

答案D恰好三次检测出两件次品可分为前三次检测的均为正品，和前两次恰有一次检测

出了一件次品，第三次检测出了一件次品两种情况.前三次检测的均为正品的概率为为前两

次恰有一次检测出了一件次品，第三次检测出了一件次品的概率为竽,故所求概率为

5

A+CCC

3223183√、生

-3甯逮-正4故r选rDk.

2.(2022届武汉月考,5)下列命题中正确的是()

A.事件A发生的概率P(A)等于事件A发生的频率f,,(A)

B.掷一枚质地均匀的骰子一次,得到3点的概率是说明掷6次这枚骰子一定会出现一次3

O

点

C.掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“一枚正面朝上,一枚反面朝上”，事件B为“两枚都是

正面朝上”，则P(A)=2P(B)

D.对于两个事件A、B,若P(AUB)=P(A)+P(B),则事件A与事件B互斥

答案C频率与试验次数有关,总在概率附近摆动,故选项A错误;概率是指这件事发生的

可能性,故选项B错误;P(A)铝,P(B)W,所以P(A)=2P(B),故选项C正确；因为

P(AUB)=P(A)+P(B),所以P(ACB)=O,若是在同一试验下，说明事件A与事件B一定是互斥事

件,但若在不同试验下,事件A和B不一定互斥,故选项D错误.

3.(2022届河南安阳模拟,6)己知圆0ιx2+y2=16,直线1:4x+3y-25=0,在圆0上任取一点A,则

点A到直线1的距离大于3的概率为()

.21CI3

A.—Bn.—C.—Dn.—

3364

答案A圆心0(0,0)到直线1的距离d=τ答5>4,则直线1与圆0相离.如图,设L〃l,且

√32+42

L交圆0于C,B,过0作OHl.1于H,交于D,且满足∣DH|=3,则IOD=2,故NCoB=Iπ.则点A

―2ππo

i

在优弧CB上（不含点B,C）运动时,满足点A到直线1的距离大于3,故所求的概率P-2;-ɜ,

故选A.

4.（2022届广东省级联测,6）十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造,算筹实

际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字「9的一种方法.例如:3可表示为

“三”，26可表示为“二Jj',现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数,算筹不能剩

余,则这个三位数能被3整除的概率为（）

_I上工

123456789

A'B'C，4θ.ɪ

461224

答案A用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数有

123,132,231,213,312,321,127,172,217,271,712,721,163,136,316,361,613,631,167,176,

617,671,716,761,其中能被3整除的有123,132,231,213,312,321,故所求概率为呆.故选

A.

5.（2022届江西月考,5）在区间［-2,3］上随机取一个数t,使-/+t+2>0的概率为（）

A.∣B.∣C.∣DT

答案C由-/+t+2>0,得/-52〈0,解得-l<t<2,所以所求的概率P今R4,故选C.

3-（-2）5

6.（2022届河南信阳月考,8）已知直线y=x+l与圆0:x2+y2=l交于A,B两点，则在圆0中任取

一点,该点取自aABO内的概率为（）

A."B.-C.--D.一

242ππ

答案C联立｛?+H解得或Ol，则aABO的面积SWXlXlW,又圆0的面积

ɪ

S'=Ii,所以点取自ZXABO内的概率pɪɪɪʌ.故选C.

π2π

7.（2022届郑州模拟,6）一个陶瓷圆盘的半径为10cm,中间有一个边长为4cm的正方形花纹，

向盘中投入1000粒米后,发现落在正方形花纹上的米共有51粒,据此估计圆周率π的值为

（精确到0.001）（）

Λ.3.132B.3.137C.3.142D.3.147

答案B由几何概型概率公式可得当一⅛七就,则加心3.137.故选B.

5例IrTo1000

2

8∙（2020湖南衡阳一模）我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周髀算经》《九章算术》《海

岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献,这10部

专著中5部产生于魏晋南北朝时期,某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课

外阅读教材,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（）

A，WD∙∣

答案A设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A,所以Pa-）C=⅛2=∣2,

tιoy

因此P（A）=I-Pa）=I职.故选A.

9.（2021河南焦作模拟,6）在区间（-10,10）内任取一数x,则满足log2x<2的概率为（）

Aɪ11B=2C.7D.：1

10552

答案B∙.∙log2X<2,・・.(Kx<4,・・・在区间(70,10)内任取一数x,则满足log2x<2的概率为

湛勒，故选艮

10.（2022届西南八省名校联考,7I数学成就与古典概型）哥德巴赫猜想作为数论领域存在

时间最久的未解难题之一，自1742年提出至今，已经困扰数学界近三个世纪.哥德巴赫猜想

是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和“，如14=3+11.根据哥德巴赫猜想,拆分22的

所有质数记为集合A,从A中随机选取两个不同的数,其差大于8的概率为（）

.1,2厂3n4

A-5rc-5D-5

答案B因为22=3+因=5+17=11+11,所以A={3,5,以，17,19},所以从A中任取两个不同的数,

基本事件有

{3,5},{3,11},{3,17},{3,19},{5,11},{5,17},{5,19},{11,17},{11,19},{17,19},共10个,

满足两数之差大于8的基本事件为{3,17},{3,19},{5,17},{5,19},共4个,所以Pd.故选

IUD

B.

11.（2022届黑龙江大庆模拟,8）如图,每个小正方形的边长为1,小正方形的顶点称为“格

点”，如果一个多边形的每一个顶点都在格点上,则称该多边形为“格点多边形”∙1899年

奥地利数学家匹克（PiCk）对格点多边形面积的计算提出匹克定理:设格点多边形内部含有N

个格点,边界上含有L个格点,则该格点多边形的面积S=N+∣-1.在矩形ABCD内随机取一点，

此点取自格点多边形MNPQR内的概率为（）

3

B噂

cC∙-5

答案DS）^Ara=5X4=20,Y格点多边形MNPQR内部含10个格点,边界上含有5个格点，.∙.S

=10^-l=y,由几何概型概率公式得,在矩形ABCD内随机取一点,此点取自格点多边形

多边形MNPQRi-

ς23

“多边形即切?万23

MNPQR内的概率为∙故选D.

ABCD204°,

12.（2022届安徽蚌埠质检,8I数学成就与几何概型）莱洛三角形是一种特殊三角形,指分别

以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.莱

洛三角形的特点是:在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角

形的边长）的两条平行线间自由转动,并且始终保持与两直线都接触.机械加工业上利用这个

性质，把钻头的横截面做成莱洛三角形的形状,就能在零件上钻出正方形的孔来.如图,在莱

洛三角形ABC内随机选取一点,则该点位于正三角形ABC内的概率为（）

√3

A.D

2(π-√3)B∙77C∙2π-√3∙5

答案A由题意可得莱洛三角形ABC的面积S=S扇形檎+2（S闹形

2

XSAABC）含X3-2X,X22=2π-2√3,SΔABC=^×2=√3,所以由几何概型概率公式可得,所求概

率三故选A.

S2π-2√3,

二、填空题

13.（2022届河北邢台入学考试，14）小华、小明、小李、小章去A,B,C三个工厂参加社会实

践,要求每个工厂都有人去,且这四人都在这三个工厂实践,则小华和小李都没去B工厂的概

率是.

答案⅛

4

解析由题意可知总的分配情况有种，其中满足条件的情况有犯

C4*∕=ɔ6X46J=43644QC∙W+C=14

种，故所求概率p⅛⅛.

JoIo

14.(2022届河北邢台9月联考，16)从3名男生、2名女生中选出2人参加数学竞赛,则选出

的这2人性别不一样的概率为.

答案J

5

解析记3名男生分别为a,b,c,2名女生分别为X,y,基本事件共10个,分别为

(a,b),(a,c),(a,x),(a,y),(b,c),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(x,y),选出的2人性别不同

的基本事件共6个,分别为(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),故选出的这2人性别不

一样的概率为黑.

100

15.(2021陕西宝鸡一模，14)一只蚂蚁在最小边长大于4,且面积为24的三角形内自由爬行,

某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过2的概率为.

答案⅛

解析在三角形内，蚂蚁到三角形的任意一个顶点的距离不超过2的点形成的区域如阴影部

分所示(含边界)，因为三个阴影部分对应的圆心角的和为∏,故阴影部分的面积为

IX页X4=2n,故所求的概率为磊.

16.(2022届广东茂名五校联考，16)田忌赛马的故事出自司马迁的《史记》.齐王，田忌分别

有上、中、下等马各一匹.赛马规则：一场比赛需要比赛三局,每匹马都要参赛,且只能参赛一

局.最后以获胜局数多者为胜.记齐王、田忌的马匹分别为A1,A2,As和B1,B2,B3.每局比赛之间

都是相互独立的,而且不会出现平局.用色村(i,jc(1,2,3})表示马匹Ai与Bj比赛时齐王获

胜的概率,若

丹山=0∙8,PA曲=Q∙9,以乌=0∙95,∕⅛=0∙1,比旷0.6,利为=0.9,以为=0∙°9,以犷0.1,心旷0.

6,则一场比赛共有种不同的比赛方案;在所有的方案中,有一种方案田忌获胜的概

率最大,此概率为.

答案6:0.819

5

解析所有的比赛方案有6种，即

(A1B11A2B21A3B3),(A1B11A2B31A3B2),(A1B2JA2B11A3B3),(A1B2,A2B3,A3B1),(A1B3,A2B2,A3B1),(A1B31A2B1,

AB?),其中采用方案(A∣I⅛,A2B11A3B2),田忌获胜的概率最大,记田忌三局全胜和恰胜两局的概

率分别为

Pl,P2,P1=O.05×0.9X0.9=0.0405,P2=O.05×0.9×0.IX2+0.95×0.9×0.9=0.7785,所以所

求概率为P1+R=0.819.

17.(2022届宁夏顶级名校月考，16)袋子中有四个小球,分别写有“和、平、世、界”四个字,

有放回地从中任取一个小球,直到“和”“平”两个字都被取到就停止,用随机模拟的方法

估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用

0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果，

经随机模拟产生了以下24个随机数组：

232321230023123021132220

011203331100231130133231

031320122103233221020132

由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为.

答案ɪ

解析由题意可知,满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1,且。与1不

能同时出现,第三次必须出现前面两次数字中没有出现的1或0,可得符合条件的数组只有3

组：021,130,031,故所求概率P=⅛=∣.

Z4o

三、解答题

18.(2022届河南尖子生二诊，18)一个不透明的布袋中有编号为2,3的两个红球,编号为

2,3,4的三个黑球,这五个球的质地和大小完全相同,现从中任意取出两个球.

(1)求取出的两个球颜色不同的概率；

(2)求取出的两个球的编号之和不为6的概率.

解析从五个球中任取两个球的基本事件有:红2红3,黑2黑3,黑3黑4,黑2黑4,红2黑

2,红2黑3,红2黑4,红3黑2,红3黑3,红3黑4,共10个.

(1)记“取出的两个球颜色不同”为事件A,结果有:红2黑2,红2黑3,红2黑4,红3黑2,

红3黑3,红3黑4,共6种，.∙.P(A)哈(

6

(2)记“取出的两个球的编号之和为6”为事件B,结果有：黑2黑4,红2黑4,红3黑

3,.,.P(B)⅛

记“取出的两个球的编号之和不为6”为事件C,则事件B与事件C互为对立事件，

ΛP(C)=l-P(B)=l-⅛

19.(2022届清华大学中学生标准学术能力测试(11月)，17)近年来,人们的支付方式发生了

巨大转变,使用移动支付购买商品已成为部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A,B

两种支付方式的使用情况,随机抽取了600名男员工、400名女员工,统计了他们的消费习惯,

获得数据如下表：

男员工女员工

经常偶尔从不经常偶尔从不

使用使用使用使用使用使用

方式

200名300名100名300名100名0

A

方式

350名150名100名150名150名100名

B

(1)分别估算该企业男、女员工从不使用方式B的概率；

(2)从该企业全体男员工中随机抽取2人,全体女员工中随机抽取1人,估算这3人中恰有2

人经常使用方式A的概率.

解析(1)该企业男员工从不使用方式B的概率为瞿⅛;

bOOO

该企业女员工从不使用方式B的概率为瞿4∙

4004

(2)该企业男员工经常使用方式A