2023年上海市某学校高二数学第二学期期末监测试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知过点P（l,l）且与曲线），=1相切的直线的条数有（）.

A.0B.1C.2D.3

22

2.已知£,士是双曲线与-1=1（。＞0力＞0）的上、下两个焦点，耳的直线与双曲线的上下两支分别交于点

atr

B,A，若A5尼为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=+42XB.y=+^-xC.y=±\[6xD.y=±^-x

26

3.点丫的极坐标，它关于极点的对称点的一个极坐标是

4.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,

则这个元件使用寿命超过2年的概率为（）

A.0.75B.0.6C.0.52D.0.48

5.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（）

A.y=cos2x,xeR

B.y-log2|x|,xeR且xRO

ex-e~x

C.y=---,xeR

D.y=x3+l,xeR

6.在正方体ABC。-ABCA中，Bg与平面AC。所成角的正弦值为（）

x=x+at,

7.已知直线n,（t为参数）上两点A5对应的参数值分别是乙,弓，贝III4B|=（）

[y=y0+bt

A..+勾B.p,-z2|

C.际心VD.爆

8.已知椭圆方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为“，满足>_的平面区城

Rg"层屋52

绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为:，贝*

C.D.u,y无明确大小关系

%=沔21

9.已知数列｛q｝满足％=0,%+|=".+lg(l-二),则。|00=()

A.-IglOlB.-2C.IglOlD.2

10.已知函数y=/(x)的导函数y=/(x)的图像如图所示，则f(x)()

11.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，4O=15,且S?=S7,则％=（）

A.6B.7C.8D.9

12.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，4=2,Se=2S,「T（〃wN.）,贝lj%二（）

A.128B.256C.512D.1024

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.现在“微信抢红包”异常火爆.在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额9元，被随机分配

为1.49元，13元，2.19元，3.40元，06元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的

金额之和不低于5元的概率是.

14.若实数二，二橄g二一二二0,则二的最小值是____________.

(Z<0

15.若函数/(尤)=--——;为奇函数，则/⑴=_________.

(2x+l)(x-a)

16.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

jr

17.(12分)(1)已知直线/经过点尸(1,1),倾斜角£=工.设/与圆f+y2=4相交与两点A,8,求点尸到两点的距

6

离之积.

7万

(2)在极坐标系中，圆C的方程为。+2cos8=0,直线/的方程为2psin(6——)+m=0.

6

①若直线/过圆C的圆心，求实数加的值；

②若帆=2,求直线/被圆C所截得的弦长.

18.(12分)如图，已知三棱柱ABC-A4G，平面AACC，平面ABC,NA8C=90°,

NBAC=30。,4A=A。=AC,E,F分别是AC,\B,的中点.

(D证明：EF1BC；

(2)求直线旅与平面ABC所成角的余弦值.

19.(12分)已知函数/'(x)=2xlnx-〃tr.

(D若加=0,求曲线y=/(x)在％=1处的切线方程;

(2)若函数/(x)在工e］上的最小值为-e,求加的值.

20.（12分）已知递增等比数列｛4｝满足：4=2,%=16.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

（2）若数列｛a｝为等差数列，且满足“=。2-1，瓦=。,求数列｛2｝的通项公式及前10项的和;

O

21.（12分）已知A48c中，三个内角A，B,。所对的边分别为。，b,c,满足2asinC+2j=b+c.

（1）求A;

（2）若a=2,AASC的面积为6,求b,c的值.

22.（10分）某单位为了了解用电量＞（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制

作了对照表，由表中数据得线性回归方程j其中3=-2.现预测当气温为一4c时，用电量的度数约为多

少？

用电量y（度）24343864

气温x（°C）181310-1

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

设切点为（xo，y°）,则yo=x03,由于直线1经过点（1,1）,可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处

的切线斜率，建立关于X。的方程，从而可求方程.

【详解】

若直线与曲线切于点（x0,y0）（x0。0）,贝！］k==x；+X。+1,

Xc—1xn1

又丁丫』？*?,二丫'卜=*0=3*02,二？*。？-*。-1=(),解得Xo=l,Xo=-y,

...过点p(l,l)与曲线C:y=x，相切的直线方程为3x—y-2=0或3x-4y+l=0,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何

意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

2、D

【解析】

根据双曲线的定义，可得忸周-|8闾=2。，是等边三角形,即忸用=|明.•.忸耳卜|明|=2a,即

阿卜网=同=2

即又|A7s|-|AF^=2a,

:.\AF2\=\AFi\+2a=4a,一A4鸟中,|A用=2a,|A司=4a,^AF2=n

222

0°I=|^I+1A/s|-2\AF,\^AF2\COS0即4c2=4a2+16〃2—2x2ax4ax(—3)=284,

解得c2=7a2,贝必=y1c2-a2=46a^=46a,

由此可得双曲线C的渐近线方程为y=土骼x.

故选D.

【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a,b的关系是解决本题的关键.

3、C

【解析】

在点，，极径不变，在极角的基础上加上丁，可得出与点”关于极点对称的点的一个极坐标。

【详解】

设点关于极点的对称点为】r，则，~0if，_)

LXOM'=；+,T=~

所以点I，的一个极坐标为.故选：C.

(q

【点睛】

本题考查点的极坐标，考查具备对称性的两点极坐标之间的关系，把握极径与极角之间的关系，是解本题的关键，属

于基础题。

4、A

【解析】

记事件A:该元件使用寿命超过1年，记事件B:该元件使用寿命超过2年，计算出P（A）和P（A3）,利用条件概率公

P(AB)

式可求出所求事件的概率为尸（同A）

【详解】

记事件A:该元件使用寿命超过1年，记事件B-.该元件使用寿命超过2年,

则P（A）=0.8,P（A8）=P（3）=0.6,

因此，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为

产（则=2符=蔡=875,故选A.

【点睛】

本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能

力，属于中等题.

5、B

【解析】

首先判断奇偶性：A,B为偶函数，C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数，所以排除C、D,

对于,=cos2：（l<>•<2,2<<•先减后增，排除A,故选B.

考点：函数的奇偶性、单调性.

6、B

【解析】

证明BB*与平面ACD｝所成角为NDD&,再利用边的关系得到正弦值.

【详解】

如图所示：连接3。与AC交于点。，连接口。，过点。作。

与平面ACQ所成角等于DR与平面ACDX所成角

正方体=>AC1D8,AC1DD|=>AC1平面。00OACLDE

DE00=_L平面ACD,

DD,与平面ACA所成角为NDD0

设正方体边长为1

V2

DO_丁_也

在RtADDQ中sinNDD0=

76-T

2

故答案选B

【点睛】

本题考查了线面夹角，判断8片与平面AC。所成角为/。。。是解得的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象

能力.

7、C

【解析】

am

尤=~)+/

x=x+atJa2+b2m

试题分析：依题意，{n,={,J-,、由直线参数方程几何意义得

>=%+从、一、，工bmyja2+b2

22

\AB\=\mA-?H2|=\/a+h-/,|»选C.

考点：直线参数方程几何意义

8、C

【解析】

根据题意画出图形，分别求出椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为一与满足.三的平面区城绕y轴旋转

一周所得的旋转体的体积为二，则答案可求.

【详解】

在同一平面直角坐标系中画出椭圆与旋转体如图,

椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体为椭球，其体积为

V：=%x.2x2x.S=—

*tV

满足，-的平面区城阴影部分绕y轴旋转一周所得的旋转体是圆柱挖去一个圆锥,

、V令

其体积

-.x2>xlO-|x«xFxS«^=

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了旋转体的体积及学生的计算能力，属于中档题.

9、B

【解析】

分析：首先根据题中所给的递推公式%+i=a„+lg(l一——),推出a用一a“=lg(l一一—)=lgn-lg(n+l),利用

累求和与对数的运算性质即可得出结果

详解：由4川=«„+lg(l——1),

可得a“+i-%=lg(l--1)=lg〃-lg(〃+l),

n+l

即a2-a}=lgl-lg2,a3-a2=lg2-lg3,...,a„=lg(n-l)-lgn,

累加得。“一4=电1一电2+想2—怆3+...+坨(〃-1)一炫〃=一3〃,

又4=0,所以4=-lg〃，所以有=-IglOO=-2,故选B.

点睛：该题考查的是有关利用累加法求通项的问题，在求解的过程中，需要利用题中所给的递推公式，可以转化为相

邻两项差的式子，而对于此类式子，就用累加法求通项，之后再将100代入求解.

10、A

【解析】

通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值.

【详解】

由导函数图像可知：导函数y=/'（x）在（FM）上小于0,于是原函数y=/（x）在（FM）上单调递减，y=在

（。，+8）上大于等于0,于是原函数.丫=/（为在（分+8）上单调递增，所以原函数在x=。处取得极小值，无极大值，

故选A.

【点睛】

本题主要考查导函数与原函数的联系，极值的相关概念，难度不大.

11、D

【解析】

7x6

分析：设等差数列｛%｝的公差为d,由4o=15且S2=$7,可得q+9d=15,2q+d=7q+学d,解出即可得

出.

详解：设等差数列｛4｝的公差为d,由即）=15且S?=S7，

7x6

二q+94=15,2a｝+d-1a｝H———d,

解得4=T2,d=3,

贝Ua8=_12+3x7=9.

故选：D.

点睛：（1）等差数列的通项公式及前A项和公式，共涉及五个量ai,d,n,S,„知其中三个就能求另外两个，体现

了用方程的思想来解决问题.

（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而m和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已

知和未知是常用方法.

12、B

【解析】

S,+i=2S“-1（"GN+）,吟2时，Sn=2Sn-1-l,相减可得m+1=20".再利用等比数列的通项公式即可得出.

【详解】

"：Sn+l=2Sn-1（nGN+）,

”?2时，S,,=2S”-i-1,2a”.

〃=1时，ai+ai=2ai-1,ai=2,<12=1.

...数列S"｝从第二项开始为等比数列，公比为2.

贝!Imo=4x2'=1x28=3.

故选：B.

【点睛】

本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13、—

10

【解析】

分析：基本事件总数〃=&=20,再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的情况种数，能求出

甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率.

详解：所发红包的总金额为9元，

被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40%,0.61元，共5份，

供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，

基本事件总数〃=&=20,

其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的情况有(2.19,3.40),(3.40,2.19)2种，

211

二甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率「二二二工；，故答案为

201010

点睛：本题考查古典概型概率公式的应用，属于简单题.在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总

m

数"，其次求出概率事件中含有多少个基本事件〃?，然后根据公式尸=—求得概率.

n

14、1

【解析】

试题分析：不等式对应的可行域为直线一二♦•.二.：,：□+二=I二=围成的三角形及其内部，顶点为

：士，当一———过点时取得最小值1

考点：线性规划问题

2

15、-

3

【解析】

根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a的值，再将1代入即可求解

【详解】

.・・函数小)=(2x+f(…)为奇函数,

:,/(-X)=-/(X),

_-X_X

即/(x)(_2彳+1)(_元_4)(2X+1)(X—Q)，

:.(2x-1)(x+〃)=(2x+l)(x-a),

2

即2x+(2a-1)x-(1=2^~(2«-1)x-a9

12

/.2a-1=0,解得〃=].故/(I)=§

2

故答案为]

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键.

16、24〃

【解析】

试题分析：正四棱柱的高是4,体积是16,则底面边长为2,底面正方形的对角线长度为、岳营=a、信，所以正四

棱柱体对角线的长度为、：二二_二,而，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为石，所以球的表面积为

S=4万/=47•6=24万•

考点：正四棱柱外接球表面积.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)2；(2)①机=1；②百

【解析】

(1)求出直线的参数方程，并代入圆的方程，利用直线参数方程的几何意义即可求解；

(2)将极坐标方程化为直角坐标方程，①将圆心(-1,0)代入直线+m=()即可求出

②先求出圆心到直线的距离，根据弦长公式即可得出直线/被圆C所截得的弦长.

【详解】

1+V3

x=l+rcos—X=Id---

即.

(1)直线的参数方程为〈6,2

..冗,1

y-l+rsin—y=1+—f

62

x=1+——t

把直线〈2代入x2+y2=4,

,1

y=1+—r

-2

得(1+42+(1+L)2=4,r+(V3+1V-2=O,%=_2,

22

则点尸到A,8两点的距离之积为2.

(2)①以极点为坐标原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系.

由。+2cos9=0得+2「cose=0,

则圆C的直角坐标方程是d+y2+2无=o,

圆心坐标为(一1,0),半径卜=1.

77r77r77r

由2psin(6----)+m=0,得2PsinJcos----2/7cossin——+m=0,

666

则直线I的直角坐标方程是x-^y+m=Q.

若直线,通过圆C的圆心，则一1+加=0,所以加=1.

②若m=2,则圆心到直线的距离"=与上空=!，

Jl+32

所以直线/被圆C所截得的弦长为2J尸-/=2^1-1=73.

【点睛】

本题主要考查了直线参数方程的几何意义以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，过点(事,为)，且倾斜角为a的直线

x=x(}+tcosa

的参数方程.,属于基础题.

y=%+fsina

3

18、(1)证明见解析；(2)

【解析】

(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直;

(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关

系可得线面角的余弦值.

【详解】

（1）如图所示，连结4E4后,

等边△A4C中，AE=EC,则4EJ.AC,

平面ABCJL平面AACG,且平面A8CCI平面A}ACQ=AC,

由面面垂直的性质定理可得：4E_L平面ABC,故4E_LBC,

由三棱柱的性质可知44〃A3,而故且04^=4，

由线面垂直的判定定理可得：8。，平面446,

结合EEU平面4B|E,故EF上BC.

⑵在底面A8C内作EH1AC,以点E为坐标原点,E〃,EC,Ea方向分别为xj,z轴正方向建立空间直角坐标系£一孙z.

设EH=1,则AE=EC=VJ,M=CA=26,BC=®AB=3,

据此可得：A(o,-73,O),B，A(0,0,3),C(0,A/3,0),

(22J

由A3=44可得点B]的坐标为

利用中点坐标公式可得：F(^|,|V3,3j,由于七(0,0,0),

故直线E尸的方向向量为：£F=^|,|A/3,3^|

设平面4BC的法向量为根=(x,y,z),贝！|：

>

m-/41B=(x,y,z)-f1,^,-3|=|x+^y-3z=O

mBC=^x,y,z)-—,0=--%+—y=0

、v/

据此可得平面ABC的一个法向量为加=EF=[-,-s/3,3

EF-m64

此时cos(M,m

EF\x\m\

2

/\43

设直线E尸与平面AfC所成角为。，贝!|sin8=cos(EF,〃?)=g,cos9=1.

【点睛】

本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答

本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角

的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

19、(1)2x-y-2=0(2)-21n2+4

【解析】

(1)利用导数的几何意义求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；(2)由题得/'(x)=21nx-加+2,再对m分类讨

论求出函数f(x)的最小值，解方程即得m的值.

【详解】

解：(1)/(x)=2xlnx,则/(1)=0

/'(x)=21nx+2,1(1)=2,

所以曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为y-0=2(x—l),

即2%_y-2=0.

(2)由/'(x)=2xlnx-mx,可得/'(x)=21nx-m+2

①若机24,则尸(x),,0在工团上恒成立，即若x)在"e］上单调递减,

则/(x)的最小值为/(e)=2e-me=-e,故加=3,不满足机N4,舍去;

②若加W2,则尸(xRO在口㈤上恒成立,即f(x)在工e］单调递增,

则/(x)的最小值为f(l)=T"=-e,故m=e,不满足根42,舍去;

nt-2、/m-2

③若2＜加＜4,则当xel,e2时,1(x)＜()；当xee2,e时,

./1(x)＞0,

m-2、、

:.f(x)在l,e三上单调递减，在e上单调递增,

/7

'm-2、m-2

二/(X)的最小值为/e亍=—2eF-=—e,解得m=-21n2+4,满足2(加＜4.

\7

综上可知，实数〃？的值为-21n2+4.

【点睛】

本题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能

力，属于中档题.

20、(1)勺=2"；(2)bn=2n-\,数列低｝前