2022-2023学年北京市大兴区高一（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市大兴区高一（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.tan牛等于（）

A.—ʌ/ɜB.—1C*D.1

2

2.若集合/={0,l},B={x∖x≥0},则下列结论正确的是（）

A.{0]∈BB.A∏B=0C.AQBD.TlUB=R

3.下列函数中是奇函数的是（）

A.y=√%2B.y=InxC.y=2~x+2*D.y—x3

4.已知M=(α+2)(α-3),N=2α(α-1),a&R,则M,N的大小关系是()

A.M>NB.M≥NC.MVND.M≤N

5.已知Sin36。=a,则siτι5知等于（)

A.√1—a2B.aC.—√1—a2D.—a

6.6知a=O.32,b=log2θ∙3,c=2°∙3,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

7.下列函数中，最小正周期为兀的是（）

AJ(X)=tan5B./(x)=1+sinx

C.CX)=ISinXlD./(x)=sinx+cos2x

8.“a<0”是“函数/（x）=2x+a存在零点”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.在平面直角坐标系XOy中，角a,β,y均以OX为始边，a的终边过点（一苧]）,将a的终边

关于X轴对称得到角S的终边，再将S的终边绕原点按逆时针方向旋转180。得到角y的终边，则

S仇y的值为（）

cd

A∙-Tb∙τ∙4∙I

Y

10.声音的等级/^（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W∕τ∏2）满足f（x）=103L•若喷气式

飞机起飞时，声音的等级约为140dB,一般人说话时，声音的等级约为60dB,那么喷气式飞

机起飞时声音强度约为一般人说话时声音强度的（）

A.106倍B.1。8倍C.IoH)倍D.IO也倍

二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.若Sina<0且tana>0,则α是第象限角.

12.已知幕函数y=f(x)的图象经过点(2,4),贝行(—2)=.

13.己知函数〃“)=［短：J"则/(0)=:/(/⅛)=.

14.若直角三角形斜边长等于12,则该直角三角形面积的最大值为；周长的最大值为

15.设函数/(X)的定义域为D,若VXl6。，存在唯一的使'8)产)=tz(α为常数)

成立，则称函数/Q)在D上的均值为a.给出下列4个函数：

(Γ)y=%3；(2)y=4sinx;(3)y=lgx∙,(4)y=2x.

其中，所有满足在定义域上的均值为2的函数序号为.

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题12.0分)

己知命题p：VxeR,X2+2x+1>0.

(1)写出命题P的否定；

(2)判断命题P的真假，并说明理由，

17.(本小题13.0分)

Q

已知CoSa=-,aE(01π2)-

(I)求SizIα,tcmα的值；

(ɪɪ)求需黑F+CoSe-α)tan(α-Tr)的值.

18.(本小题15.0分)

已知函数/(X)=2sin(2x-^),x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求/(x)在区间［-也勺上的最大值和最小值；

(3)比较/第与f酸的大小.

19.(本小题15.0分)

x

已知函数y=x,y=a1y=］0gαx,Q>1的图象如图所示.

(1)函数y=产的图象的序号是；y=]ogɑX的图象的序号是:

(2)在同一直角坐标系中，利用已有图象画出y=logα5的图象，直接写出关于X的方程α-x-

loga^=0在(1,+8)中解的个数；

(3)分别描述这三个函数增长的特点.

20.(本小题15.0分)

已知函数f(x)=ɪg(l-%)-ɪg(l+x).

(I)求/(W)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)判断f(x)的单调性，并说明理由.

21.(本小题15.0分)

对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若.>%那么称点(α,b)是点(c,d)的

“上位点”.同时点(Gd)是点(α,b)的“下位点”；

(1)试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

(2)已知点(α,b)是点(c,d)的“上位点”，判断点P(等,空)是否是点(α,b)的“下位点”，证

明你的结论；

(3)设正整数n满足以下条件：对集合｛t∣0<t<2022,t∈Z｝内的任意元素m,总存在正整数匕

使得点(n,k)既是点(2022,m)的“下位点”，又是点(2023,m+1)的“上位点”,求满足要

求的一个正整数n的值，并说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：tan⅞=tan(π+5=tan^=l.

故选：D.

根据诱导公式以及特殊角的正切值即可求解.

本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：VB={χ∣χ≥0},ΛOeB,.∙.{0}⊂B,故A错误；

4∏B={l,0},所以4UB,故8错误，C正确；

AUB=B,故。错误.

故选：C.

根据元素与集合的关系可判断4求出4CB,可判断BC；求出4UB可判断D.

本题考查集合的运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：对于4令f(x)=疗，其定义域为R，且/(一乃=正守=疹=/(x).

所以/(%)为偶函数，故A不正确；

对于B,令g(x)="x,其定义域为(0,+8),不关于原点对称，故不是奇函数，故B不正确;

对于C,令∕ι(x)=2^^x+2"其定义域为R,且八(—%)=2*+2^^x=2^^x+2*=∕ι(x),

所以九(X)为偶函数，故C不正确；

对于O,令F(X)=X3,其定义域为R,且F(-χ)=(-©3=—/=—FQ),

所以F(X)为奇函数，故D正确；

故选：D.

利用奇偶函数定义即可判断每个选项.

本题考查函数的奇偶性，属于中档题.

4.【答案】C

【解析】解：因为M—N=(α+2)(α—3)-2α(α-1)=-a2+a-6=—a2+α—6=—(α—

所以M<N,

故选：C.

利用作差法即可判断M,N的大小.

本题主要考查了不等式大小比较，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：IS>⅛sin36o=a,sin236o+cos236°=1.

所以cos36°=√1—α2>

所以S讥54°=sin(90o-36o)=cos36o=√1-α2,

故选：A.

由题知cos36。=√1-α2.再根据诱导公式求解即可.

本题主要考查了同角平方关系及诱导公式的应用，属于基础题.

6.【答案】B

2030

【解析】解：因为α=0.3=0.09,b=log20.3<Iog2I=0,c=2∙>2=1,

所以b<a<c.

故选：B.

利用指数函数和对数函数的单调性，将b与0比大小，C与1比大小，即可求出结论.

本题主要考查了指数函数与对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：对于4/O)=tan糊最小正周期为亩=2兀，故4不正确；

对于B,f(x)=1+sMx的最小正周期为2τr,故8不正确；

对于C,f(%)=∣s⅛ι。的最小正周期为7T,故C正确;

对于O,因为f(%+兀)=sin(x+7r)+cos2(x+ττ)=—sinx+cos2x≠/(%),故D不正确,

故选：C.

根据三角函数的图像性质可判断/8C,利用周期的定义可判断D∙

本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：若函数/Q)=2'+α存在零点，则f(x)=2,+α=O有实数解，即α=-2,有实数

解，

因为2*>0,所以α=-2jf<0,而α<0,由f(x)=0得％=IOg2(-α),

则“α<O”是“函数/(x)=2x+α存在零点”的充分必要条件.

故选：C.

根据函数零点的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

本题考查函数零点的性质以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

9.【答案】D

【解析】解：因为α的终边过点(一且(—货+g2=ι,

√3

cosa=--

所以1ɪ2,

sina=-

∖Z

因为α的终边与角夕的终边关于X轴对称，

所以Td

[sinβ=--

因为角V的终边是6的终边绕原点按逆时针方向旋转180。得到，所以y=0+180°,

所以Siny=sin(∕?+180o)=-sinβ=ɪ,

故选：D.

利用三角函数的定义得到CoSa,sinα,继而得到CoS0,sin0,通过题意可得到y=£+180。，利

用诱导公式即可求解.

本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】解：设喷气式飞机起飞时声音强度和一般人说话时声音强度分别为X],X2.

/(ɪi)=10×Ig券=140,解得Xl=IO2,

/(x2)=10×lg-⅛=60,解得%2=lO-6,所以鲁=IO8,

IUΛ∙2

因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般人说话时声音强度的108倍.

故选：B.

首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般人说话时声音强度分别为乙，%2,根据题意得出/(/)=

140,/(x)=60,计算求2的值.

2人2

本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于中档题.

IL【答案】三

【解析】解：由SirIa<0,可知α是第三或第四象限角，

由tαnα>0,可知α是第一或第三象限角，

所以当Sina<0且tcma>0时，α是第三象限角.

故答案为：三.

结合三角函数的定义即可求解.

本题主要考查了象限角的判断，属于基础题.

12.【答案】4

【解析】解：设∕Q)=√l,则2。=4,α=2,

即/(x)=X2,

所以/(—2)=4.

故答案为：4.

由幕函数图象所过点求出辱函数解析式，然后计算函数值.

本题主要考查了暴函数解析式的求解，属于基础题.

13.【答案】W

【解析】解：∙∙g)=图:或！1，

.∙√(0)=2°=1J⅛=25,

1111

・・・/(/(5))=f(23)=log223=-，

故答案为：1；ɪ.

根据分段函数的性质，即可得出答案.

本题考查分段函数的性质和函数的值，考查运算能力，属于基础题.

14.【答案】3612√2+12

【解析】解：设两条直角边的边长分别为α,b,则α>0,b>0,α2+b2=144,

由基本不等式可得+b2>2ab,故144>2ab^ab≤72,当且仅当α=b=6√Σ时等号成立，

故直角三角形面积的最大值为;×72=36,

又(a+b)2≤2(a2+b2),a2+b2=144,

所以(a+b)2≤288,即a+bW12√Σ,当且仅当a=b=6√Σ时等号成立，

所以直角三角形周长的最大值为12√∑+12,

故答案为：36,12√2+12.

由条件，利用基本不等式可求面积的最大值和周长的最大值.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

15•【答案】①③

【解析】解：对于函数①y=/,取任意的XleR,3野2=粤=2,外=34—婢，

可以得到唯一的%2CC,故满足条件，所以①正确；

对于函数②y=4sinx,因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个不∈D,使曲与蝮=2成

立，故不满足题意，所以②不正确；

对于函数③y=Igx,定义域为X6(0,+8),值域为R,且单调，必存在唯一犯eD,使竺呼型=2

成立，故满足题意，所以③正确；

对于函数④y=2"定义域为R,值域为yW(0,+8)对于0=3,/(x1)=8,要使曲学线ɪ=2成

立，则f(g)=—4不成立，所以④不正确.

故答案为：①③.

对于①③根据定义给定任意一个求出%2判断是否存在定义域内，是否唯一.对于②根据定义得

知周期函数不符合题意.对于④特殊值验证不成立.

本题以新定义为载体，考查函数性质的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】解：(I)由命题p：∀x∈R,x2+2x+l>0,

可得命题P的否定为mxo∈R,x^+2xo+l≤O:

(2)命题P为假命题，

因为y=%2+2%+1=(%+I)2≥0(当且仅当X=—1时取等号),

故命题p：∀x∈R,/+2%+1>0为假命题.

【解析】(1)根据全称命题的否定为特称命题即可求解；

(2)因为y=X2+2%+1=(x+I)2≥0即可判断命题p.

本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.

4

-4

5

=-=

17.【答案】解：(1)：cosa=αe(O,]).;s讥a==金，tana=33-

z-

5'2,5cosa5

•2ɔɪɪɪ,sin2asin2a

(∏)原式=sιna+sma[-tan(ττ—1)]---------1-Sinatana—---------1--------

-CoSaL、八-cosa-cosacosa

【解析】(I)利用同角三角函数关系求Sina,tcmα的值；(Il)先利用诱导公式化简，然后代入同

角关系式即可.

本题考查诱导公式，同角函数关系，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由f(x)=2sin(2x一(,x∈R知:周期7=与=兀,

故/Q)的最小正周期为兀；

⑵由于xe[一尤],则2%冶e[—*J

因此Sin(2x-卞∈[―l,ɪ],

⅛fc∕(x)∈[-2,1],

所以〃久)在区间[-睛]上的最大值为1,最小值为一2；

(3)∕(y)=2stn(与Y)=2sin[π-(y-1)]=2sin噤，碍=2sin(^V)=2sin[(苧-

TT、c^∣r,/13九、>13τΓ

3)-27]=2sιn(--)=-2sιn-,

由于荒?FE

所以Sin詈>O,Sin詈>O,

因此/酸=一2Sin答<O,/(y)=2s加若>0,

⅛∕(y)<∕(y)∙

【解析】(1)根据周期的计算公式即可求解；

(2)根据整体法求解函数的值域，即可求解最值；

(3)代入求值，结合正弦函数的性质即可求解.

本题考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题.

19.【答案】解：(1)函数y=α"α>1为单调递增的指数函数，恒过定点(0,1),故为序号①;

函数y=logɑx,α>l为单调递增的对数函数，恒过定点(1,0),故为序号③；

(2)因为y=∕ogα?=一'OgaX,α>1，所以该函数与y=[oga，a>1关于X轴对称，如图所示:

方程a--loga^O解的个数即ar=/。。导解得个数，

可看作是y=a-x和y=EOga：的交点个数，

由于y=QT与y=Q%关于y轴对称，画出图象、=。-巴

从图像可得两个函数在(1,+8)没有交点，故a-x-，。9心=0在(L+8)中解的个数0：

(3)函数y=a∖a>1的图象是下凸的，所以其增长特点：先缓后快；

函数y=X的图象是直线，所以其增长特点：匀速增长；

函数y=loga%,a>1的图象是上凸的，所以其增长特点：先快后缓•

【解析】(1)利用指数函数，对数函数的单调性和定点进行判断即可；

(2)由于y-loga^--logax,该函数与y=唾&%关于X轴对称，故画出对应图象,cF*-loga^-0

看作是y=α-x和y=，oga：的交点个数，通过画图观察即可；

(3)根据图象特征进行描述即可.

本题主要考查函数的零点与方程根的关系，指数函数与对数函数的图象，考查数形结合思想与逻

辑推理能力，属于中档题.

20.【答案】解:⑴因为f(x)=lg(l—X)-Ig(I+x),

所以⅛∕)=Ig⅜-ig∏=Ig⅛×⅛)=ig⅛=T；

(2)f(x)为奇函数，

证明：要使f(x)=lg(l-x)-Ig(I+χ)有意义，只需解得一l<x<L所以/Q)的

定义域为(-1,1)；

又f(一%)=ɪg(i+%)-Ig(I-X)=-[ɪg(ɪ-χ)-ɪg(l+%)]=一/(%)，所以/(χ)为奇函数，

(3)∕(X)=lg(l-%)-lg(l+X)=Ig僵在上为减函数•

证明：任取与，∈(一且％

X21,1)1<X2»

财■)-/(χ2)=⅛⅛⅞-ig⅛=⅛(⅛⅛×谖)=Ig⅛¾≡¾⅞

,・,1+(%2-%1)-XlX2>1一(％2-xl)-xlx2=(1+XI)(I—％2)>°，

...1+(%2~~%1)一久1%2>ɪ

1+(工1一、2)-%1%2'

得/8)-/(χ2)>0,得到"/)>/。2)，

••./(%)在(一1,1)上为减函数.

【解析】(1)利用对数的运算性质即可求解；

(2)先求出函数定义域，然后利用奇偶性的定义进行判断即可；

(3)根据函数单调性定义进行判断即可.

本题考查函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.

21.【答案】解：(1)根据题设中的定义可得点(3,5)的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别

为(3,4)和(3,7).

(2)点P(等,等)是点(α,b)的“下位点”.

证明