山东省聊城市2023-2024学年高一上学期期末教学质量抽测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省聊城市2023-2024学年高一上学期期末教学质量抽测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故.故选：C.2.下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A，是奇函数不满足题意，故A错误；对于B，若，首先定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数，又，所以是周期函数，故B正确；对于C，画出函数的图象如图所示：由此可知函数不是周期函数，故C错误；对于D，若，则，所以不是偶函数，故D错误.故选：B.3.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，且，所以，则，，则.故选：A.4.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗利用对数函数的性质可得，，利用诱导公式可得，所以.故选：D.5.如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设，由题意可知，，，解得，，函数的最小正周期为，则，当时，，可得，又因为，则，故.故选：A.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由函数可知定义域为，且定义域关于原点对称，因为，所以函数为奇函数，故排除选项B；因为，故排除选项A；因为，故排除选项D.故选：C.7.若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗当时，，由于是三角形的一个内角，所以，则，由于函数在区间上单调，所以，解得，即的取值范围为.故选：B.8.已知函数，若函数有三个零点a，b，c，且，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗画出的图象和的图象，如下：由题意得，，且，即，，故，当且仅当，即时，等号成立.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9.以下说法正确的是（）A.“，”的否定是“，”B.“”是“”的充分不必要条件C.若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为D.“，”是真命题，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，“，”的否定是“，”，故A正确；对于B，即，解得，因为所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误；对于C，扇形弧长为，圆心角为，所以扇形的半径长为，则该扇形面积为，故C正确；对于D，因为“，”是真命题，即，对恒成立，当时，命题成立；当时，，解得，综上可得，，故D正确.故选：ACD.10.若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为函数为上的增函数，由，可得，对于A选项，当时，，A错；对于B选项，因为，则，所以，，B对；对于C选项，因为，则，可得，所以，，因为对数函数为上的减函数，故，C对；对于D选项，，D错.故选：BC.11.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.在上单调递增C.若、，且，则D.把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项，由图可知，，函数的最小正周期满足，可得，则，则，又因为，可得，因为，则，所以，，可得，所以，，A对；对于B选项，当时，，所以，上不单调，B错；对于C选项，当时，，由可得，所以，函数在区间内的图象关于直线对称，若、，且，则，所以，，C对；对于D选项，把的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则，D对.故选：ACD.12.已知函数的定义域为R，对任意，都有，当时，，且，则（）A.，都有B.当时，C.是减函数D.若，则不等式的解集为〖答案〗BCD〖解析〗令，则，又，所以，当时，，所以，又，所以，即，A错误，B正确；设，则，又，所以，所以，又当时，，当时，，，所以，即，所以在上单调递减，C正确；因为，所以，所以，即，又在上单调递减，所以，解得，所以不等式的解集为，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题．13.已知幂函数的图象通过点，则__________．〖答案〗〖解析〗设幂函数的〖解析〗式为，∵幂函数过点，∴，∴，∴该函数的〖解析〗式为，∴.故〖答案〗为：.14.若，且，则的最小值为__________．〖答案〗8〖解析〗因为若，且，则，又因为，所以，令，则，即，解得或（舍去），当且仅当时，等号成立，所以最小值为8.故〖答案〗为：8.15.在中，，边上的高等于，则__________．〖答案〗〖解析〗由题意设为边上的高，，又，所以，所以垂足必定落在线段上面，如图所示：，，又，所以.故〖答案〗为：.16.定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．〖答案〗〖解析〗定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称，因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以越靠近对称轴函数值越小，所以由得，由于，所以，可得，即时恒成立，可得，由于在时单调递增，，在时单调递减，，所以恒成立，则实数a的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.函数的值域为，的定义域为．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）因为在上单调递减，所以，当时有最大值，且最大值为，当时，有最小值，最小值为，所以．（2）由，得，解得，所以，，因为，所以，解得，故实数的取值范围．18.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点．（1）求的值；（2）已知为锐角，，求．解：（1）因为角的终边过点，所以，则，，，．（2）因为角的终边过点，所以为第四象限角，即，又因为为锐角，则，可得，因为，则，因，所以，则，所以．19.为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：建立平台年数工x123会员人数y（千人）142029为了描述建立平台年数与该平台会员人数y（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③．（1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的〖解析〗式；（2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t年的会员人数将超过100.2万人，求t的最小值．参考数据：，，．解：（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快，因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③，将数据代入可得，解得，所以，函数为，．（2）由（1）知，，则．得，，故t的最小值为12．20.已知函数．（1）判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断；（2）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形．解：（1）函数在上单调递减，证明如下：任取，且，，因为，且，所以，，所以，即，故函数在上单调递减．（2）证明：设，则，因为函数定义域为，且，所以为奇函数，故的图象关于点成中心对称图形．21.已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且．（1）求的值及函数在上的最小值；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）函数，则，因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且，所以，函数的最小正周期为，则，可得，由，得，所以，所以，故函数在上的最小值为．（2）设，因为，所以，因为不等式恒成立，设，所以在上恒成立，则，即，解得，故的取值范围为．22.若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”．（1）若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的〖解析〗式；（2）设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；