江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题注意事项:1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.60° B.90° C.120° D.150°〖答案〗B〖解析〗由题意直线为与轴垂直的直线，故它的倾斜角为90°.故选：B.2.已知函数（是的导函数），则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，则，又因为，当时，，解得，所以.故选：D.3.南宋数学家杨辉在《详析九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为（

）A.4951 B.4953 C.4955 D.4957〖答案〗A〖解析〗设该高阶等差数列为，因为前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，所以所以所以，故选：A.4.在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（

）A. B. C.D.〖答案〗D〖解析〗如图，设将军去河岸的B点喝水，回到军营的C点，所以需求出最小值即可，圆的圆心为，半径，设关于直线的对称点为，则，解得，所以，此时，所以“将军饮马”的最短路程为．故选：D．5.已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，数列是等差数列，，，，，数列的公差，，既，故，，，故选：D.6.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A.3 B.2 C.1 D.0〖答案〗B〖解析〗函数，则，由，得，即，解得，所以在，上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗抛物线的焦点为，设点、，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，，由韦达定理可得，所以，，设线段的中点为，则，，则，所以，，化简可得.因此，线段的中点的轨迹方程为.故选：D.8.已知圆与轴正半轴的交点为，从直线上任一动点向圆作切线，切点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗易得，设，因为是圆的两条切线，所以所以在以为直径的圆上,又因为,且的中点为，所以以为直径的圆的方程为：.所以为以为直径的圆和圆的的公共弦，两个圆的方程相减得：所以直线,直线恒过定点，过点作直线的垂线，垂足为,则在以为直径的圆上，设圆的圆心为，半径为，所以，所以的最小值为:．故选：B二、多项选择题.本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（

）A.，若，则或B.直线和以为端点的线段相交，则或C.直线与直线之间的距离是D.与点的距离为1，且与点的距离为4的直线共有3条〖答案〗BD〖解析〗对于A，若，则，则，解得或，当时，，则，重合；当时，，则，故，故A错误；对于B，由，得，所以直线过定点，因为，所以或，故B正确；对于C，将直线化为，所以两直线间的距离，故C错误；记以为圆心，为半径的圆为，以为圆心，为半径的圆为，因为两圆的圆心距，且两圆的半径之和，所以，所以两圆外切，所以两圆有三条公切线，这三条公切线满足与点距离为，且与点距离为，故D正确．故选：BD.10.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（）A. B.数列是递减数列C.数列是等比数列 D.〖答案〗ACD〖解析〗，所以在点处的切线方程为：，令0，得，故A正确，故，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，所以，D正确.故选；ACD11.阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为，弦的中点为C，则关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（）A.点 B.轴 C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由消y可得，令，，，解得，，A错．，∴轴，B对．，∴，D对．，∴，C对，故选：BCD．12.已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则（）A.函数的图象关于点对称B.函数是周期为4的周期函数C.函数的图象关于点对称D.〖答案〗ABD〖解析〗因为是偶函数，所以，则，所以函数的图象关于直线对称，由两边求导得，所以，得，所以函数的图象关于点对称，故选项A正确；令得，所以，因为函数为偶函数，所以，所以，所以函数的图象关于对称，所以函数,所以的周期为，所以选项B正确；又因为的周期为，故，所以，因此，所以函数的图象关于直线对称，所以选项C错误；因为，所以，又因为，所以，所以，所以选项D正确.故选:ABD.三、填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列满足，，则________．〖答案〗4082〖解析〗因为，所以，，又，所以，，因为，所以，两式相减得，所以的所有奇数项成等差数列，首项为1，公差为4，的所有偶数项成等差数列，首项为3，公差为4，所以当n为奇数时，，当n为偶数时，，综述：（），所以，所以.故〖答案〗为：4082.14.曲线上一点到直线的最短距离为______．〖答案〗〖解析〗直线的斜率为，令，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即，与的距离为.所以曲线上一点到直线的最短距离为.故〖答案〗为：15.学校餐厅每天供应1050名学生用餐，每周一有A，B两种套餐可供选择.调查表明，凡是本周一选A套餐的，下周一会有20%改选B套餐；而选B套餐的，下周一会有30%改选A套餐.用，分别表示第个周一选A套餐的人数和选B套餐的人数.第一个周一选A套餐的人数为人.（1）如果每个周一选A套餐人数总相等，则_____________.（2）若，则从第______________个周一开始，选A套餐人数首次超过选B套餐的人数.〖答案〗（1）630（2）3〖解析〗（1）由题意可得，如果每个周一选A套餐人数总相等，则，则，解得.（2）由可得，整理得，则，是首项为，公比为的等比数列，，即，令，即，即，由可得，，即，故从第3个周一开始，选A套餐人数首次超过选B套餐的人数.故〖答案〗为：630；3.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时，__________．〖答案〗〖解析〗由题可知，．因为平分，所以到，的距离相等，设为，则．易知是的中位线，延长，交于点，则为的中点，过作于，易得，则，从而．故〖答案〗为：四、解答题.本题共6小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆过，两点，且圆心直线上．（1）求圆的方程；（2）设点是直线上的动点，、是圆的两条切线，、为切点，求四边形面积的最小值．解：（1）根据题意，设圆的圆心为，半径为，则有，解可得，，；故要求圆的方程为；（2）根据题意，四边形的面积，而，当最小时，四边形面积的最小，而的最小值为点到直线的距离，则的最小值为；故的最小值为2，故四边形面积的最小值为．18.已知函数.（1）求的极值；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由函数，可得，令，即，解得；令，即，解得，所以函数在区间单调递减，单调递增，当时，取得极小值，极小值为，无极大值.（2）由不等式恒成立，即恒成立，即对于任意，不等式恒成立，设，可得，令，即，解得；令，即，解得，所以在上单调递减，在单调递增，所以，当时，函数取得极小值，同时也时最小值，，所以，即，所以实数取值范围为.19.已知抛物线的焦点为为上一点，且.（1）求抛物线的方程；（2）若直线交抛物线于两点，且（为坐标原点），记直线过定点，证明：直线过定点，并求出的面积.解：（1）因为在上，所以，又，所以，则，所以，则，解得或，当时，，满足要求；当时，，不满足，故，所以抛物线的方程为.（2）设，联立，消去整理得，所以，且，所以，因为，解得，所以直线的方程为，则直线过定点，直线，即过定点，又，所以，所以.20.设数列的前n项和为，已知，.（1）证明数列为等比数列；（2）设数列的前n项积为，若对任意恒成立，求整数的最大值.解：（1）因为，①当时，，②①②得：，即，经检验符合上式，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1）知，所以，，所以，所以恒成立，即，化简得：，令，所以，所以数列是递增数列，最小值为，所以，故整数的最大值为0.21.在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.（1）若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；（2）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.解：（1）因为直线，与圆M相切，将直线与圆联立，可得，由解得，，同理，所以是方程的两个不相等的实数根，∴，因为点在椭圆C上，所以，所以.（2）（i）当直线不落在坐标轴上时，设，因为，所以，因为在椭圆C上，所以，整理得，所以，所以.（ii）当直线落在坐标轴上时，圆方