江苏省南京市六校2023-2024学年高二上学期1月期末调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市六校2023-2024学年高二上学期1月期末调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的焦点到准线的距离等于（）A.12 B.9 C.6 D.3〖答案〗C〖解析〗由抛物线中的几何意义为焦点到准线的距离，抛物线的.所以抛物线的焦点到准线的距离等于6.故选：C2.若直线与直线平行，则实数a的值为（

）A.0 B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，，解得，当时，两直线均为（重合），经检验满足题意.故选：B.3.设为等差数列的前n项和，已知，，则的值为（

）A.5 B.7 C.9 D.10〖答案〗C〖解析〗由等差数列性质可得，故，解得.故选：C4.如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为Sn，则S10等于（

）A.60 B.81 C.89 D.117〖答案〗A〖解析〗设为题设中的锯齿形数列，则，，，，而，，，，，.故选：A.5.已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（

）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗因为函数在上单调递增，所以对恒成立，即恒成立，设，，当时，，所以，则，所以实数a的最小值为.故选：B.6.若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示：直线过定点，曲线与轴负半轴交于点，设直线与曲线（半圆）相切于点，若直线与曲线有两个交点，则，而，若与半圆（圆心，半径）相切，则圆心到直线的距离满足，解得，即，综上所述，实数k的取值范围为.故选：D.7.已知椭圆与双曲线的公共焦点是，点A是与的一个交点，若，则双曲线的离心率为（

）A. B. C.2 D.2〖答案〗A〖解析〗由椭圆定义得，，由勾股定理得，即，所以，不妨设在第一象限，为左焦点，则，设双曲线，则，解得，又，故，故双曲线的离心率为.故选：A8.已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据式子结构，构造函数，则，令，则，令，得，因此在单调递增，在单调递减，而，，因为，所以.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆O：()与圆M：，则下列说法正确的有（

）A.若，则两圆外切B.若，直线为两圆的公切线C.若，则两圆的公共弦所在直线方程为D.若，则两圆外离〖答案〗ABD〖解析〗若r＝1，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A对；若r＝1，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B对；若，则，，两式相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错；两圆心间距离为，因为两圆外离，所以，即，故D对故选：ABD10.椭圆C：的左、右焦点分别为和，为椭圆上一点，则下列说法正确的有（

）A.过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为16B.若，则的面积为C.椭圆C上存在点P，使得D.的取值范围是〖答案〗BCD〖解析〗由可得：对于A，的周长为：，故A错误；对于B，令，则，所以，所以的面积为，故B正确；对于C，若，则点在以为直径的圆上，即圆，因为，，所以圆与椭圆有交点，所以椭圆C上存在点P，使得，故C正确；对于D，因为，所以的取值范围是，故D正确.故选：BCD.11.已知数列满足，则下列说法正确的有（

）A.数列的前9项和为295 B.数列为等比数列C.数列的前12项和为288 D.数列的前项和为〖答案〗BD〖解析〗A选项，①，令得，当时，②，式子①-②得，，化简得，又满足要求，综上，，故，所以为等差数列，数列的前9项和为，A错误；B选项，，，故数列为等比数列，B正确；C选项，，当时，，当时，，其中，，的前12项和为，C错误；D选项，，设数列的前项和为，则，D正确.故选：BD12.已知函数，则下列说法正确的有（

）A.2是函数的极小值点 B.当时，函数取得最小值C.当时，函数存在2个零点 D.若函数有1个零点，则或〖答案〗BCD〖解析〗对A，由题意，所以当或时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以2是函数的极大值点，故A错误；对B，由A知，且当时，，且大于，则当时，函数取得最小值，故B正确；对于C，若，则令，即，设，则，所以当或时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，则，，且当，，且大于0，作出函数图象如图所示，则直线与函数有两个交点，则当时，函数存在2个零点，故C正确；对于D，若函数有1个零点，即方程有一个根，则转化为直线与的图象只有一个交点，由图可知，若函数有1个零点，则或，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.数列的通项公式为，若该数列的前k项之和等于7，则k＝________．〖答案〗63〖解析〗，设该数列的前k项之和为，故，所以，解得.故〖答案〗为：6314.以直线为渐近线且经过点的双曲线的标准方程是________．〖答案〗〖解析〗由题意双曲线以直线为渐近线，设双曲线方程为，将点代入得，所以以直线为渐近线且经过点的双曲线的标准方程是.故〖答案〗：.15.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投________千元．〖答案〗〖解析〗设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元，则，可得，当时，可得，函数单调递增；当时，可得，函数单调递减；所以当时，函数取得最大值，最大值为.故〖答案〗为：16.已知椭圆，斜率不为0的直线过椭圆的左焦点F且与椭圆交于A，B两点，点P在y轴上，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则直线的斜率是________．〖答案〗〖解析〗由题意焦点，不妨设直线，将其与椭圆方程联立得，，化简并整理得，，，设的中点为，则，点P在y轴上，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则垂直平分，且，所以的中垂线方程为，令，得，所以，又，所以，解得，所以直线的斜率是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列的前n项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前n项和为．解：（1）①，当时，，解得，当时，②，式子①-②得，故，因为，所以，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；（2），.18.已知函数，若曲线在处的切线方程为.（1）求a，b的值；（2）求函数在区间上的最值．解：（1）函数，，由题意得：.解得：（2）由（1）知，，令，解得：列表如下：x(，2)2(2，e)e

0+

2e－2↘ln2↗由上表可知，函在区间[上的最大值是，最小值是.19.已知圆C的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l：与圆C相交于M，N两点，且满足，求实数k的值．在下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答.①②为正三角形③直线l将圆C分成的两段弧的弧长之比为注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）因为圆心在直线上，与直线相切，故设圆心，由题意可得：＝，解得，所以圆C的标准方程为．（2）选①：由（1）和已知条件可得因为，所以，则,因为，所以，所以弦心距．所以圆心到直线的距离为＝，解得.选②：因为为正三角形，所以，所以弦心距．所以圆心到直线的距离为＝，解得选③：因为直线l将圆C分成的两段弧的弧长之比为，所以，所以弦心距．所以圆心到直线的距离为＝，解得20.已知数列满足，且.（1）求的通项公式；（2）已知，在数列中剔除与的公共项后余下的项按原顺序构成一个新数列，求数列的前192项和．解：（1）当时，，所以；当时，，所以；当n为偶数时，；当n为奇数时，；综上所述：（2）设的前n项和为，的前n项和为，由（1）可知，，当时，可知与的公共项为4，8，16，，共8项，所以数列的前192项和.21.已知抛物线，为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于点，D．且当点P的坐标是时，线段的中点是(1，)．（1）求抛物线C的方程；（2）证明：直线过定点，并求出定点的坐标．解：（1）由题得，圆P的方程为，令得：，设，则，则，化简得：，抛物线C的方程是.（2）设，圆P的方程为，令得，设，则，设的方程为，由，消y得，则，即，又，得直线的方程，直线过定点.22.已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，，求a的取值范围．解：（1），当时，解得或.①当时，恒成立，即函数在上单调递增；②当时，令，解得或，令，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；③当时，令，解得或，令，解得，即函数上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递